Свойства модифицированной OFC-модели при описании взаимодействия двумерных дислокаций Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 53.072+550.34.013.4

СВОЙСТВА МОДИФИЦИРОВАННОЙ OFC-МОДЕЛИ ПРИ ОПИСАНИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУМЕРНЫХ ДИСЛОКАЦИЙ

© 2012 г. А.С. Черепанцев

Черепанцев Александр Сергеевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики, Таганрогский технологический институт Южного федерального университета, пер. Некрасовский, 44, ГСП-17А, г. Таганрог, Ростовская область, 347928, e-mail: [email protected].

Cherepantsev Alexander Sergeevich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Taganrog Technological Institute of Southern Federal University, Nekrasovsky Lane, 44, GSP-17A, Taganrog, Rostov Region, 347928, e-mail: [email protected].

Ряд свойств эволюции упругой среды, определяемой взаимодействием возникающих разрывов сплошности в форме сдвиговых и нормальных дислокаций, может быть рассмотрен на основе анализа поведения модифицированной модели OFC, демонстрирующей критическое состояние с характеристиками, близкими к наблюдаемым в натурных условиях. Рассмотрены степенные показатели распределений предельных параметров в пространственной и энергетической областях и сформулированы условия возникновения критического состояния при различных видах приращения параметра системы.

Ключевые слова: сдвиговая дислокация, OFC-модель, степенное распределение.

Some evolution properties of an brittle medium, determined by the interaction of the continuous medium gap in the form of the shear and normal dislocations can be analyzed by considering the behavior of the modified OFC-model, demonstrating a critical state with characteristics similar to those observed in natural experiments. In this paper the exponents ofpower distributions of the parameters in steady states are examined in the spatial and energy areas. The conditions of the critical state appearance of a variety of system parameter increments are formulated.

Keywords: shear dislocation, OFC-model, power-law distribution.

В основе предлагаемой модели лежит анализ применимости концепции возникновения самоорганизованного критического состояния в диссипативной системе взаимодействующих дискретных элементов в модели Олами-Федера-Кристиансена (OFC) [1] к системе дискретных блоковых структур, находящихся в напряженном состоянии и формирующих систему разрывов при достижении некоторым параметром упругого состояния отдельного элемента критического значения. Возникающий разрыв формирует возмущение поля напряжений в окружающей области и тем самым может служить источником возникновения разрыва в соседнем элементе и т.д.

Как показано в [2], в случае дислокации прямоугольного типа: Дм = U = const, Av = V = const, для компонент напряжений, обусловленных дислокацией по оси Ox (сдвиговая дислокация), справедливо:

г 2ц U а' = ——

" k+1 п

(

22 — sin ^ +—sin0 + y

r r

--1cos201 +-1-cos202

r r

а'уу =

2ц U

(

k +1 п

У

—Y cos 2в1 + -1 cos 202

Л

' = 2ц U

а'У k + 1 п

—cos 0 ——cos 0 + y

r r

—Y sin 20 + -1 sin 20

V| // (1)

V '1

Аналогично в случае дислокации по оси Оу (нормальная дислокация):

<т" = -Ц V

xx k +1 п

1 п 1 п

—cos0--cos0 + У

r r

—1- sin 20 +-1 sin 20

r r

2ц V

ayy k + 1 п

11

—cos0 — cos0 -y

—у sin 20 + -1 sin 20

a'y =

2ц V

где k =

k +1 п

V 1

2 + 3ц

-1 cos 201 - -1 cos 202

Л

(2)

Л + ц

- в

случае плоской задачи;

k =

52 + 6ц

- в случае тонкого слоя.

32 + 2ц

На рис. 1 представлены поля напряжений, формируемых соответственно сдвиговой и нормальной дислокациями.

Стандартная ОБС-модель предполагает квадратную решетку дискретных элементов, в каждом из которых определен некоторый параметр состояния в. В физических приложениях это может быть энергия, сила, напряжение и т.д. В процессе временной эволюции он может достигать некоторого предельного значения втах и сбрасываться в исходное нулевое значение. При этом часть сброшенного значения а • втах передается соседним элементам. В случае квадратной решетки четыре соседних элемента получают

При условии диссипативности системы

а Й 4 •вш

(а < 1) и свободных или открытых условиях на границе через определенное число шагов эволюции системы, характеризующейся приращением в каждой ячейке на каждом шаге параметра в на заданную величину и сбросом параметров, достигших предельного значения, в системе возникает устойчивое предельное состояние со степенным характером распределения размеров сброшенных близких элементов [1] и фрактальной пространственной структурой координат центров сброса [3]. Скорость достижения предельного СОК определяется значением параметра диссипации а и возрастает при его увеличении [4].

r

r

2

К особенностям приращения напряжений при дислокации по сравнению с моделью OFC можно отнести возникновение как положительных приращений, так и отрицательных на различных участках поверхности, а также более сложный характер пространственного распределения в случаях сдвиговой (рис. 1а) и нормальной дислокаций (рис. 1б). Для отражения этих особенностей в клеточной модели изменим в ней условия и характер взаимодействия между элементами при сбросе.

действие сброшенного элемента с соседними. Так стандартная модель OFC определяется матрицей

' 0 а/4 0 ^ сброса: А = а/ 4 -1 а/ 4 0 а/4 0 .

где а < 1 - параметр

диссипации в модели.

Для анализа влияния отрицательных приращений напряжения на возникновение критического состояния рассмотрено изменение степенных показателей пространственно-временного распределения при различных значениях суммарного значения отрицательных коэффициентов в матрице сброса

A =

'-у/4 а/4 -у/4 ^ а/ 4 -1 а/ 4 -у/4 а/4 -у/ 4

(у > ö). На рис. 2 представ-

V '' ' ' ' У

лены расчетные зависимости показателей степенных распределений для модели с параметрами: размер сетки N = 50 х 50 ; предварительное число итераций

ИТ = 106; число элементарных сбросов для оценки распределений N8 = 5 -104; втах = 30, приращение ви на одном шаге итерации Ав = 0,1; уровень значимости доверительных интервалов а = 0,1.

В качестве критерия критического состояния рассмотрим метод конечно-размерного скейлинга [5]. Он основан на предположении, что плотность вероятности определяется

/ 5

p(s ) = Па • F

L

(3)

Рис. 1. Распределение приращения параметров напряжения: а - кулоновское напряжения Дгс при дислокации сдвига

при наличии статического напряжения а = т0 ; б - максимальное напряжение а нормальной дислокации при наличии статического напряжения ап . Параметры модели: коэффициент внутреннего трения к = 0,6; смещение по разрыву и = V = 0,01 м; т0 = 107 Па; длина сдвига Ьт =1000 м; 2 = ¡л= 3 • 1010 Па; ап = 107 Па

Пусть состояние каждой ячейки может принимать как положительные, так и отрицательные значения ви , г,] = 1,...И. В случае, если на некотором шаге

итерации выполняется условие || > втах > 0, то значение . ^ 0, а соседние ячейки-элементы получают приращение: Ав,.^ .±/= ак |тах. Матрица сброса ЩI представляет собой набор положительных и отрицательных коэффициентов, определяющих взаимо-

где а и ¡3 - скейлинговые показатели; Ь - конечный размер системы; ¥(х) - скейлинговая функция, общая для систем различного размера.

Соотношение (3) указывает на отсутствие у величины 5 собственных характерных значений. Ее характерные значения определяются размером системы и зависят от него масштабно инвариантным образом: 5 ~ Ь3. Параметр средней величины события также масштабно инвариантен:

да да / X Л

5 = | х • р(х)Ух = | х • ЬТ\ -- шх =

0 0 V Ь у

_ j^-ß+а

J y • F(y)dy ~ L

2ß+а

(4)

С учетом степенного характера распределения ам-

где р - функция,

плитуд сбросов р(5) = 5 ь —

V 50 У

близкая к константе при малых 5 и быстро убывающая при больших 5 (5 > 50), р(^) = 17а • ¥|

-аз

Lß

= L

F

Lß

= s-^ßF\

или

p(s) = я

• F

Lß

(5)

где F(x) = p(x/x0) = x^ßF(x) функция, b = ^ß-

- новая скеилинговая

а

б

ö

а

s

b

■ J ■.....-i г..... г...... Г

■ \ \ \ ' {

1 ' \ 1----- 1 \ -

■ —■ 1 V -----

■ --« ...щ •d(7 т) ►

0 0 0 1 0 2 0 3 0 а 4 0 5 0 6 0 7 Y

и 2,0

1,5

1,0

б

Y

справедливо FI —j I = ф

s

Тч L

'0 у

-I jr

где B = const.

Тогда (3) можно представить в виде

p(s, L} = B ■ Т

(8)

Входящие в (6) степенные показатели определяют коэффициенты изменения масштаба значений аргумента и функции при изменении линейного масштаба

процесса Ь . В рассматриваемом случае модели сбросов на решетке размером Ь х Ь изменение функции (число событий размером ^) определяется показателем фрактальной размерности координат событий а = й, а связь характерного линейного размера сброса с его величиной •(/) определяет показатель в: ¡ = 8 . Данное утверждение подразумевает справедливость соотношения (8) для сбросов до масштабов размера решетки /тах ~ Ь .

В этом случае справедлива связь между степенными показателями:

й - Ь ■8 = 0 . (9)

Таким образом, в случае рассмотрения связи между функцией плотности распределения и величиной сброса для системы в критическом состоянии достаточно знание единственного показателя Ь. В случае, если рассматривается число событий заданной величины, то необходим учет дополнительного степенного показателя ё. При этом данные показатели для системы, находящейся в критическом состоянии, связаны соотношением (9).

Проведенные расчеты рассматриваемой модифицированной ОБС-модели позволяют проверить выполнение данного соотношения при различных величинах у-отрицательного приращения при сбросе (рис. 2б).

Как следует из представленной зависимости, условие (9) выполняется лишь при малых величинах отрицательных сбросовых приращений у < 0,2, что в свою очередь и определяет достижение самоорганизованного критического состояния в системе с задан-

'-у/4 а 4 -у/4 ^

Рис. 2. Степенные характеристики модифицированной OFC-модели: а - кривые зависимости степенных показателей

от значения суммарных отрицательных приращений при сбросе у; b - для распределений амплитуд сбросов; SSL - для распределений площади сброса по длине границы; d - для распределений сбросов по пространству; б - зависимость параметра d — b -8 от величины отрицательных сбросовых приращений у

Для оценки числа сбросов заданной величины N(5) по выборке размером N0 (L) с учетом того, что

N0 (L) = C - Ld , где C = const; d - фрактальная размерность пространственного распределения сбросов, справедливо

lgN(s, L) = —blg 5 + d lgL + A, (7)

где A « const.

Величина А близка к константе в области постоянства функции ф при 5 < s0. Для скейлинговой функции ( I V \—ь / \— ь

ной матрицей сброса A =

а/ 4 -1 а/ 4 -у/4 а/4 -у/4

кации: в =

Вид распределения приращений напряжения, возникающий при нормальной дислокации (рис. 1б), имеет иную форму пространственного распределения по сравнению с дислокацией сдвига (рис. 1а). С целью анализа поведения системы при такой дислокации рассмотрим упрощенную модель на основе модифицированной ОБС-модели с матрицей сброса В размером 15^15, имеющей распределение приращений, аналогичное возникающему при нормальной дисло-^(14 -, -/)+,4 + / -14 -14) 1 + (,-7)2 + (/ - 7)2 .

На рис. 3 показаны расчетные параметры степенных показателей и их соотношений при различной величине отрицательных приращений при сбросе.

Представленные зависимости демонстрируют отсутствие значимого влияния величины приращений отрицательного напряжения при нормальном сбросе на процесс формирования критического состояния. Низкое значение размерности 8«1,2 указывает на большое значение характерного линейного размера сброса. В качестве демонстрации формируемой пространственной структуры сбросов на рис. 4 представлено распределение координат сбросов.

Приращение кулоновского напряжения при сдвиговом сбросе (рис. 1а) в дислокационной модели имеет особенность, связанную с амплитудами при-

0

L

b

а

ращении положительного и отрицательного напряжений в соседних ячейках. В традиционной ОРС-модели условие диссипативности системы определяется тем, что суммарное приращение параметра состояния в системе меньше величины сброшенного значения. Выполнение данного условия при единичной амплитуде сброса в модифицированной модели означает а + у < 1.

При этом суммарное значение а положительных приращений может существенно превышать единичную амплитуду сброса. Анализ поведения системы в данном случае представляется актуальным исходя из характера амплитуд приращений кулоновского напряжения в дислокационной модели.

л 2,0

-I -

-2-

....... г...... Г..... \...... Г Г

1_ 1 к f— [ L

[ [

-

к 1

-Ь(т) -sJr 1 к-" I [

1.5

1,0

IUI !Н и"1 '■>-< I". < ■ Y

а

0,0 од 0,2

0,3 б

М i'.fy

которой, с одной стороны, условие диссипации выполнено, |Дстс | > Дст+ + Дст_ , но положительное приращение существенно превышает амплитуду сброса Дст+ > | Дстс |, предполагает режим эволюции с возникновением пространственных областей с устойчивым приращением напряжений, в которых нарушается условие диссипации и происходит потеря устойчивости.

Рис. 3. Степенные характеристики модифицированной ОРС-модели с матрицей сброса В: а - кривые изменения степенных показателей распределений Ь - амплитуд сбросов; $ - площади по длине границы; << - размерности распределения сбросов по поверхности от значения суммарных отрицательных приращений при сбросе у; б - зависимость параметра ё — Ь -8 от величины отрицательных сбросовых приращений

Рассмотрена модель, в которой среднее значение амплитуды сброса в элементе дислокации составляет Дстс =—1,53 -106 Па. При этом суммарные значения средних положительных и отрицательных приращений максимальных кулоновских напряжений в соседних элементах на расстоянии, определяемом радиусом взаимодействия, составляют соответственно величины

Дст+ = 7,25 106 Па и Дст_ = —6,76 106 Па. Ситуация, при

Рис. 4. Пространственное распределение координат сбросов в модифицированной ОРС-модели с матрицей сброса В на сетке размером 50x50. Параметр диссипации а = 0,8 , число итераций - 106; у = 0,6

В качестве простейшей модельной системы рассмотрим модифицированную ОРС-модель с матрицей сброса В (рис. 5а), для которой значение сброса ДАЛ = —1, суммарное приращение положительных и

отрицательных значений в соседних ячейках ДА+ = 1,77, ДА_ = —1,59.

Временной ход количества сбросов за одну итерацию представлен на рис. 5б до момента перехода системы в неустойчивый режим. В процессе эволюции системы происходит формирование устойчивой пространственной структуры распределения параметров состояния, определяемой заданной матрицей сброса. Развитие данной системы приводит к возникновению неустойчивости в областях положительных приращений параметра, заключающееся в лавинообразном росте значения параметра системы, когда сброс элемента в области приводит к сбросу соседних элементов, которые в свою очередь дают приращение параметра исходного элемента с еще большим значением, чем исходное, достаточное для сброса. Такая ситуация характерна для систем с постоянным пространственным распределением приращений сброса в соседних элементах, когда система диссипативна в целом, но в локальных областях диссипация отсутствует. Такая особенность может не возникнуть в дислокационной модели, учитывая параметр направления дислокации. Для рассмотренной матрицы сброса В повторный сброс с матрицей Б' = Н(а) - В, полученной из В путем поворота на угол а, при а~п/4 дает положительные приращения параметра системы с выполнением условия консервативности стандартной ОРС-модели.

Ar ▼ jpVjF

ш - *

# »J* ► +

5.:

jjjf > W? Л Jft # - :

а б в

Рис. 5. Модель возникновения неустойчивого состояния: а - матрица сброса 15x15; б - временной ход количества сбросов за одну итерацию; в - пространственное распределение сбросов перед возникновением неустойчивости

На рис. 6а представлена структура сброса, включающего объединение десяти последовательных связанных сдвиговых дислокаций, образующих кластер.

На рис. 6б представлена последовательность амплитуд и направлений отдельных сбросов, составляющих кластер. Характерно, что имеются два направления

а

±30

соответ-

ствующих величине максимальных кулоновских напряжений. При этом среднее значение проекций смещений и на ось Ох остается практически неизменной величиной, в то время как проекция на ось Оу имеет для всех дислокаций отрицательное

значение и да-1 м, указывающее на сдвиг кластера по направлению Оу , соответствующему приращениям внешних напряжений на каждом шаге итерации, имеющей характер растяжения по оси Оу .

Наличие двух характерных направлений дислокаций в рассматриваемом кластере (по пять в каждом направлении) приводит к слабому влиянию отрицательных приращений кулоновского напряжения в формируемом кластером поле напряжений при дислокации и, соответственно, отсутствии областей локальной неустойчивости.

Работа выполнена при поддержке гранта НШ-5583.2012.5, гранта РНПВШ 5.5745.2011, гранта РФФИ 11-05-00303-а.

а б

Рис. 6. Направление дислокаций в отдельном кластере: а - распределение дислокаций на сетке 100x100 элементов за два шага итераций. Выделен кластер связанных сдвиговых дислокаций (10 элементов), произошедших в течение одной итерации; б - направление

и амплитуда дислокаций в выделенном кластере. Вектор определяет направление (угол относительно оси Ох) и амплитуду (длина вектора) дислокаций, расположенных в последовательности их возникновения

Литература

1. Olami Z., Feder H.J.S., Christensen K. Self-organized criticality in a continuous, nonconservative cellular automaton modeling earthquakes // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 68. P. 1244 -1247.

2. Maruyama T. Stress Field in the Neighborhood of a Crack, Bull. // Eartq. Res. Inst. 1969. Vol. 47. P. 1 - 29.

3. Черепанцев А.С., Черепанцев С.Ф. Связь пространственно-временных параметров в OFC-модели тектонических процессов // Изв. ТРТУ. 2006. № 12. С. 7.

4. Черепанцев А.С. Оценка времени достижения критического состояния в модели Олами-Федера-Кристиансена // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2008. №2 1. С. 72 - 77.

5. Kadanoff L.P., Nagel S.R., Wu L., Zhou S. Scaling and universality in avalanches // Phys. Rev. A. 1989. Vol. 39, №2 12. Р.6524 - 6537.

Поступила в редакцию

20 августа 2012 г.