Анализ критического состояния в модели блоков с вязкоупругими связями Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 53.072+550.34.013.4

АНАЛИЗ КРИТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ В МОДЕЛИ БЛОКОВ С ВЯЗКОУПРУГИМИ СВЯЗЯМИ

© 2009 г. А.С. Черепанцев

Таганрогский технологический институт Taganrog Technological Institute

Южного федерального университета, of Southern Federal University,

пер. Некрасовский 44, г. Таганрог, 347928, Nekrasovskiy Lane, 44, Taganrog, 347928,

[email protected] [email protected]

Анализируются условия возникновения критического состояния в механических моделях связанных систем блоков. Рассмотрены упругий и вязкоупругий типы связи. Показана зависимость возникновения критического состояния от угла действия внешней силы. На основе моделирования макросброса при случайном распределении блоков с вязкоупругими связями получены характеристики релаксационного процесса и проведено сравнение с наблюдаемыми афтершоковыми последовательностями.

Ключевые слова: самоорганизованное критическое состояние, модель Олами-Федера-Кристиансена, статистические закономерности сейсмического процесса.

Article is devoted to the analysis of conditions of critical state occurrence in mechanical models of block systems with different type of interrac-tion. Elastic and viscoelastic types of connection are considered. Dependence of critical state occurrence on an angle of external force apply is shown. On the basis of macrodrop modelling in stochastically distributed blocks with viscoelastic interraction characteristics of relaxation process are received and compared with aftershock sequences.

Keywords: self-organized critical state, Olami-Feder-Cristiansen model, statistical laws of seismic process.

Построение физической модели реальной геофизической среды должно учитывать возможность описания с помощью нее важнейших свойств, выделенных в ходе натурных наблюдений. К ним следует отнести дискретный, блоковый характер среды с фрактальной организацией. Это проявляется в пространственной области в структуре разломов, имеющей фрактальный характер, распределении числа тектонических плит по их линейному размеру, имеющему также степенную зависимость, в пространственном распределении эпицентров землетрясений, представляющих собой фрактальное множество. Другим фундаментальным свойством геофизической среды является степенной вид распределения в энергетической области - закон Гутенберга-Рихтера [1]. Для частоты возникновения землетрясений с энергией Е0 справедливо

Л^Со >еУАЛ0Г7^~к°-, (1)

где К=у, А - константы (у 0.4 - 0,6, А - сейсмическая активность в регионе). Степенной вид распределения характеристик сейсмичности присутствует и во временной области. Число землетрясений младших энергий, обусловленных релаксацией напряжений, после основного землетрясения (афтершоки) уменьшается во времени как степенная зависимость, что выражается в форме обобщенного закона Омори:

А

Щ) = ——, (2)

С+С

где А, С - константы; Н (число землетрясений в единицу времени (масштаб времени зависит от величины основного события); р = 1.

Одна из множества предложенных моделей для описания сейсмичности - модель прерывистого скольжения [2] системы блоков с упругими связями вызвала огромный интерес [3], став мощным инструментом в понимании динамики геофизической среды и сейсмичности. На основе модели прерывистого скольжения построена клеточная двумерная модель Олами-Федера-Кристиансена (OFC модель) [4], к которой при определенных условиях сводится модель прерывистого скольжения в двумерном случае. Оказалось, что эволюция OFC модели во времени демонстрирует сходимость к устойчивому критическому состоянию, являющемуся самоорганизованным в том смысле, что отсутствует управляющий параметр, как температура в фазовых переходах второго рода. В данном состоянии распределения величины сбросов энергии в диссипативной модели носят степенной характер, аналогичный зависимости (1).

Активное развитие вычислительных возможностей позволяет моделировать поведение системы взаимодействующих блоков не только в приближении OFC модели клеточных автоматов, но и непосредственно на уровне механической модели. Рассмотрим условия реализуемости условий самоорганизованной критичности в механической модели.

Достижение самоорганизованного критического состояния в модели блоков с упругим взаимодействием

Механическая модель (stick-slip model) [2] представляет собой двумерную квадратную решетку, состоящую из одинаковых блоков. Каждый из блоков связан с соседними четырьмя блоками упругой пружиной. Блоки расположены на неподвижной платформе и соединены упругой связью с движущейся выше плитой. Сила, действующая на отдельный блок с координатой (i,j), определяется:

oïâ j

сила упругой связи с верхней плитои;

где f1

^±1 /11 ~ силы упругих связей с соседними блоками.

При наличии трения между основанием блока и неподвижной платформой движение носит скачкообразный характер. Если сила ^ у не превышает силы трения

покоя, то блок остается неподвижным. Когда же сила ¥г у становится больше силы трения покоя, блок перескакивает в новое положение равновесия Г, ■ = 0 .

Пусть К1, К2 - коэффициенты упругости пружин по х и у направлениям соответственно; //. 12 - нулевая длина пружин, (¿.7 _ определяет смещение блока

(/, ]) из положения равновесной конфигурации. Предполагая деформируемость блоков, будем считать, что среднее расстояние между блоками ак>1к , £=1,2. Пусть пружины подчиняются линейному закону упругой деформации, а движение верхней плиты происходит вдоль оси Ох.

При соскальзывании блока (/, /) новое значение 1л > о. Изменение компонент сил, действующих на

соседние блоки, определяется новыми значениями 7-. / . Для проекций сил, действующих на блок

F,

-F*

г+lj i+1J

= -Щ-{хi j -Xi j )-

ll <1

+ xi+1, j xi, j ._>

ß

х > / х ^

ll al xi l, j xi,

>

,j

fil

-xi4_, ,■ - Xi ,■ 4 + ~yi,j >

(3)

«1 л1+1, у у "

где , уи) - новые координаты блока С }

С учетом а £ » Агг у\ак » Ау^ у ; к=1,2 , для изменения компонент сил справедливо

F

F,

i+\,j i+\,j

F'X = -KL (Xi, j - xi, j ) - 2K1 (Xi, j - xi, j ) -

x

x

- 2К2 (Л; / - хи / ) + К2 — (*/. / - / )■ а2

Определим константы внутренней деформации = (¡/. -I/. 2,0, коэффициенты анизотропии системы а = К2 / К] ■ к = А"/ / К} . Новые значения действующих компонент силы можно представить через ее предшествующие значения

/:,Л|., = /VI., + ■ К]±1 = + •

1

где щ =

2(1 + s2cr) + к

рУ - рУ

s\a2 er

Fj-

где a 2 = -

1

(4)

2(1 +5! сг)

Полученная модель переходит в модель ОБО в случае, если выполняются два условия:

<»: ^ = 1- (5)

На рис. 1 а, б представлены расчеты распределения сбросов по величине для изотропной ^ = К2 и

анизотропной моделей ^ < К2 _ при различных направлениях действия внешней силы. Как следует из полученной зависимости, при направлении внешней силы вдоль оси ОХ критического состояния не наблюдается. Размеры сброса определяются характерной величиной Ь размера решетки. Причиной отсутствия критического состояния в модели при ¿9 = 0 является невыполнимость требований ОБО модели. Полученные зависимости также указывают на существование зависимости получаемых распределений величин сброса от направления действия внешней силы. Так, степенной характер распределения присущ сбросам при действии силы по диагонали решетки

блоков в изотропной модели (в = 45°) и при в ® 10° в анизотропной модели. В силу симметрии изотропной модели при данном угле воздействующей силы общее

приращение сил = 2

них блоков будет одинаковым.

С целью анализа принципиальной реализуемости условий критического состояния в модельной задаче, рассмотрим проекции сил, возникающих при сдвиге отдельного блока (рис. 2а).

212

-Аj для всех сосед-

ЛЧ411 ело блоков)

число блоков)

Рис. 1. Распределение сбросов по размеру для изотропной и анизотропной моделей при различных углах поворота решетки относительно внешней силы: а - изотропная модель:

£ = 100, ^ =¿2 =10, КХ=К2 = Ъ, =0,3, А'£ = 1; б —

анизотропная модель. £ = 100,/4 = //,=10,

^=3,^2=15,^=03,^=1-

Lx

а

Рис. 2. Схема модели системы связанных блоков: а - взаимного расположения блоков в (г, /) узле решетки; б - взаимодействия (г, ]) блока в модели с упруговязкими связями

Пусть блок (г, /) сместился из исходного положения, совпадающего с началом системы координат в близкую точку М' V V . Тогда упругие силы, действующие на соседние блоки, находящиеся в точках А-= 1,..,4, определяются:

FMVk =Кк

FM'Ok =Кк

\rMOt

\rMVt

\rMOk \rM'Ok

: — 1

" 1

СM'O

где К к - модули упругости; г - радиус вектор.

Направления смещения блока в текущей системе

координат можно определить, задавая в = агх/у ,

либо путем поворота решетки относительно начала

координат на угол в. Применим второй подход при

анализе зависимости условий критического состояния

от расположения системы блоков на плоскости.

_ , соъв

С учетом матрицы поворота Р =

-sin# cosí?

F,

M'O.

= Kг

MOu

F,

у

М'Ои

= К,

М'Ои

MOu

М'Ои

-1

-1

С'о*'1,

^M'Öu'K

где Ок =РОк.

Проведенный расчет значений компонент сил в точках О1, О2 для изотропной и анизотропной моделей показывает, что в случае изотропной модели условие равенства х-компонент сил в точках О\, О 2 достигается лишь при диагональном смещении и соответственно диагональном действии внешней силы. Однако при этом нарушается условие малости амплитуд сил Fy , что противоречит возможности достижения критического состояния, сформулированного для отдельной компоненты Fx. По данным расчетов анизотропной модели, равенство х-компонент сил достигается при меньшем угле действия внешней силы (в~ 10°), однако при этом значения ^-компонент силы существенно разняться в точках О1, О2, что также указывает на невозможность построения модели ОБО в формулировке выполнимости условий (5). Степенной характер зависимости модельных значений распределения амплитуд сброса при углах действия сил 9 = 45°, в « 11,3° в соответственно изотропной и анизотропной моделях (рис. 2) совпадает с расчетными значениями углов, при которых достигается равенство полных сил в точках 01, О 2. Это позволяет предположить возникновение в этом случае критического состояния. Степенной показатель наклона распределений ¿«1,0-1,2 оказывается близким к реально наблюдаемому значению наклона графика повторямости сейсмичности для магнитуд.

Рассмотренная модель с упругим межблоковым взаимодействием демонстрирует существование критических режимов поведения лишь при определенных направлениях действующей внешней силы либо, что то же самое, при определенной организации решетки блоков. Такая избирательность не наблюдается в экспериментальных наблюдениях и свидетельствует об ограниченности исследуемой модели. В качестве такого огра-

ничения можно, например, предположить необходимость учета дилатантных свойств упругого блока. В отличие от модели упругих блоков коэффициент Пуассона в рассматриваемой механической модели равно нулю, т.е. сжатие пружины по оси ОХ оставляет сжатие пружины по О V неизменным. Реальное же значение к« 0,25 приводит к перераспределению подводимой энергии по упругим энергиям в обоих ортогональных направлениях и соответственно существованию возможности возникновения критического состояния для параметра суммарной силы Г = Гх + Гу .

Модель системы блоков с вязкоупругими связями

Рассмотренная модель эволюции упругосвязанной системы блоков показывает возможность возникновения критического состояния в энергетической области. Однако данная модель не позволяет получить закономерность временной повторяемости афтершоковых последовательностей, наблюдаемых в сейсмичности. Прилагаемые усилия по описанию закономерности спада активности сбросов для модели ОБО указывают на существование спада с показателем степени, отличным от устойчиво наблюдаемой величины в натурных условиях и зависимости данной величины от параметра диссипации модели, т.е. не носит универсального характера [5]. Другим направлением исследований модельного представления афтершоко-вых последовательностей явилось построение более сложной системы, которая включает пружинно-блоковую модель с вязкими элементами между блоками и движущейся верхней плитой. В этом случае возникают дисси-пативные переходные процессы [6]. В отличие от исходной ОБО модели, дающей отсутствие временной связи между событиями и, соответственно, их непредсказуемость, появление в модели характерного времени, определяемого коэффициентом вязкости, позволяет выделить временные закономерности афтершоковой и форшокой (предваряющей основной сброс) последовательности. Полученные модельные результаты указывают на характерное прогнозное поведение таких последовательностей: чем сильнее и длительнее последовательность, тем сильнее основной сброс.

Рассмотрим модель блоков с вязкоупругой связью (рис. 1б). Внутренние механические параметры системы определяются нулевыми длинами пружин 1х1, 1у1, 1Х2, 1у2 , коэффициентами упругости К1х, К1у , К2х,К2у и вязкости Рх. ру по каждой из осей.

Верхняя плита движется с постоянной скоростью и существует упругая связь с каждым отдельным блоком, с коэффициентом упругости К^ .

Будем предполагать, что при потере равновесия переход в новое состояние происходит мгновенно:

1) характерное время накопление упругой энергии много больше времени перехода в новое равновесное состояние: „,.„,.„. где А/ - временной интервал дискретизации по времени в расчетной модели;

2) время релаксации много больше времени пере-

Р

хода в равновесное состояние Тд =

■ »tn

2

Данное предположение представляется логичным, исходя из соотношения времени накопления упругой

k

x

энергии в реальной среде, имеющей порядок сотен лет [7, 8], и времени сдвиговой активности, имеющей порядок сотен секунд.

Нетрудно показать, что рассматриваемая модель при определенном соотношении параметров сводится к модели ОБО с самоорганизованным критическим состоянием.

Линеаризуя соотношения для сил и предполагая малость относительного изменения координат при соскальзывании: Ах «/|д. + 12х, Ду «!\у + Ьу • Для

изменения сил в соседнем блоке при соскальзывании ( у блока справедливо

77х _ 77х

2+1,j ri+l,j

kj+iiy\>-

1y xU xi,j >

-Kiv ~

-K

1y

= Kly(~i

lXi,j xi+1,j xi,j xi+1,j

hy +hy

ly xi, j xi,j >

-Klyiyj+l-

~>alj+l1y l1y +l2 y

V

l1 y l2 y

А

t -x.

Fxj ~fxj = Fx i ,j >

~ ,j xhj ^

1y

M,J xi,j >

K

1y

hy +hy

[y

+ afj + 2lly

uj xi,j

Из соотношений следует, что новое значение действующей силы на соседний блок после соскальзывания можно выразить через значение силы соскользнувшего блока, бывшее перед соскальзыванием:

Kl, =Fkj 1 "I.

где

а1 у

2ilx +K1 y~jKL

1 пу

2у ~ai,j

K

1y

Cr +12у 3" (f-1,7 + °lj + 2/1У .

,(6)

С учетом деформации пружин . =

hy ~ аг-\ j hy + hy

sy _l2y~aij 'J lu,+l

коэффициентов

системы

1у +12у

а = /\"| г IК | л. . /г - К! / К\х , (6) можно представить как

С

0C1y=(T-£l j! 2

1 + сг

'Ч-lj

,у л

2

Соотношение сводится к соотношению (4) в модели с чисто упругими связями при равенстве деформаций:

hj

b

(7)

2 y

где ¿2^ - среднее значение расстояния между блоками по 1-координатс с учетом их конечных размеров и возможной деформации ^2у >Ьу + !\у ■

Следует отметить, что в отличие от модели с упругими связями между блоками в модели с вязкоупру-

гими связями коэффициент диссипации а\у является

функцией времени и определяется поведением вязкого элемента связи. Его можно считать постоянной

^ » Т, где Т - время

величиной при условии

рассмотрения процесса.

К1+К2

Аналогично получается /у^ . = /у^ .

■ a2yF*

г

где а2у =——а\у • рУ

Для остальных двух соседних блоков справедливо

' V V ^

fx

j 1= F*j± 1+a1xFxj, гДе 4x = 12

l + O-

J

hj

2

При условии (7) данный коэффициент совпадает с коэффициентом в модели чисто упругих связей.

Таким образом, модель с вязкоупругими связями сводится к ОБО модели при выполнении условий:

1) » /у'^ - условие пренебрежением сил по у-

координате;

,у -

2) osfj =oeI±J =1

условие равенства диссипа-

ции для соседних ячеек;

3) к > О - условие диссипативности системы.

Проведенные лабораторные испытания показывают, что релаксационная активизация сбросов наблюдается и при полном снятии внешнего воздействия, т.е. имеет внутрисистемную причину [9]. Предлагаемая модель включает вязкие элементы непосредственно в межблочные связи и таким образом является внутренней характеристикой блочной среды. Особенностью моделирования данного явления является необходимость использования большего разрешения по пространственно-временой сетке. Это приводит к существенному увеличению (примерно на 4 порядка) количества вычислений, делая их нереализуемыми с помощью стандартных вычислительных средств. В системе с упругими связями единственным характерным временем можно считать время (число итераций) самоорганизации исходно несвязанных блоков Г8ОС. Как показано в [10], оно определяется прежде всего линейным размером решетки Ь, параметром диссипации а и скоростью поступления внешней энергии АЕ . Стационарное критическое состояние достигается очень медленно. Так, требуется около 108 - 109 сбросов на двумерной решетке с линейным размером / = 100 при значении параметра диссипации а = ОД7.

Наличие вязкоупругих связей в модели определяет появление дополнительного характерного времени

Р

релаксации т д =-

Для рассмотрения влия-

К1+К2

ния релаксационного процесса с характерным временем тр проведено моделирование релаксации системы, находящейся в исходном состоянии значительных внутренних напряжений, моделируемых сжатием пружин К2х, К2у при отсутствии внешних воздействующих сил.

На рис. 3 представлен временной ход числа сбросов за одну итерацию для различных значений коэф-

фициента вязкости ¡3 в двойном логарифмическом масштабе. Представленные зависимости получены после макросброса всей системы. Можно условно разделить ход на два участка: начальный участок со слабым ростом или близкой к постоянному значению интенсивностью сбросов и второй участок, характеризующийся экспоненциальным спадом интенсивности возникновения сбросов с показателем, определяемым параметром г ^ . При релаксации потенциальной

энергии сжатия пружин К2х, К 2у упругая энергия пружин К1Х, К1у, определяющая силы межблокового взаимодействия в системе, изменяется, что может приводить как к увеличению средней энергии в системе, так и к ее уменьшению. С другой стороны, возникающие сбросы блоков приводят к уменьшению средней упругой энергии.

100000 -з

10000

1 10 100 1000

«(номер итерации)

Рис. 3. Ход плотности числа сбросов во времени в релаксационной модели при различных характерных временах релаксации т 0 . К] =3. /\ 2= 10

На рис. 4 представлен модуль приращения энергии системы на каждом шаге итерации. Данная зависимость определяется экспоненциальным спадом с показателем степени 1/г ^ .

10 -,

0.1

t4

0.01

1Е-3

11-.-4 -|-,..........,-. I"...... '-,..........

1 10 100 1000 «(номер итерации)

Рис. 4. Временной ход абсолютного значения роста изменения средней упругой энергии в системе при различных характерных временах релаксации т з . /\~1=3. /\2= 1 о

При малых значениях т q для начального участка

хода интенсивности сбросов во времени основным фактором является уменьшение упругой энергии системы несбросового характера, обусловленных уменьшением растяжения пружин Kjx , Kjу при уменьшении потенциальной энергии пружин K2x, K2y. Доминирующее растяжение пружин обусловлено предварительным макросбросом всей системы. По мере релаксации растяжение переходит в сжатие пружин Kjx, Kjy, и росту сбросовых релаксаций системы.

При этом интенсивность сбросовой активности определяется приращением упругой энергии, что и приводит к экспоненциальному спаду с показателем, совпадающим с показателем 1/г^ скорости релаксационного процесса.

Представленная модель объясняет наличие начального участка, присутствующего и в наблюдениях реальной афтершоковой последовательности (коэффициент С в (2)), упругой несбросовой релаксацией накопленных внутренних напряжений. Модельный эксперимент с системой блоков с упруговязкими связями не позволяет описать степенной характер зависимости спада интенсивности сбросов во времени. Степенные зависимости характеристик присущи системам в критическом состоянии. Афтершоковые последовательности представляют собой процессы младшего пространственно-временного масштаба по отношению к основному сбросу, что требует существенно больших линейных размеров модели и более подробных временных масштабов. Это приводит к увеличению на несколько порядков требований к вычислительной мощности и времени счета, что делает такую задачу плохо реализуемой. Использованное в приведенных расчетах начальное распределение блоков в предкритическом состоянии носило случайный некоррелированный в пространстве характер, не отражающий закономерности взаимного распределения блоков, возникающих в состоянии самоорганизованной критичности. Целью работы при этом было исследовать эволюцию процесса релаксации в системе связанных дискретных элементов.

Работа выполнена при поддержке гранта НШ-799.2008.5, гранта РНПВШ 2.1.1 ./6584.

Литература

1. Gutenberg В., Richter C.F. Seismicity of the Earth and as-

sociated phenomena. Princeton, 1949. 310 p.

2. Burridge R., Knopoff L., Model and Theoretical Seismicity

// Bull. Seism Soc. Am. 1967. Vol. 57. P. 341-371.

3. Turcotte D.L. Fractals and Chaos in Geology and Geophys-

ics. Cambridge, 1997. 412 p.

4. Olami Z., Feder H.J.S., Christensen K. Self-organized criti-

cality in a continuous, nonconservative cellular automaton modeling earthquakes // Phys.Rev. Lett. 1992. Vol. 68. P. 1244-1247.

5. Hergarten S., Neugaebauer H.J. Foreshocks and After-

shocks in the Olami-Feder-Christensen Model // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 88. P. 238501.

6. Hainzl S., Zoller G., Kurths J. Seismic quiescence as an

indicator for large earthquakes in a system of self-

organized criticality // Geophys. Res. Lett. 2000. Vol. 27, № 5. P. 597-600.

7. Смирнов В.Б. Оценка длительности цикла разрушения

литосферы Земли по данным каталогов землетрясений // Физика Земли. 2003. № 10. С. 13-32.

8. Helmstetter A., Hergarten S., Sornette D. Properties of Fore-

shocks and Aftershocks of the Non-Conservative SOC Olami-Feder-Cristiansen Model: Triggered or Critical Eartquakes? // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70. P. 046120.

Поступила в редакцию

9. Смирнов В.Б., Пономарев А.В. Закономерности релакса-

ции сейсмического режима по натурным и лабораторным данным // Физика Земли. 2004. № 10. С. 26-36.

10. Черепанцев А.С. Оценка времени достижения критиче-

ского состояния в модели Олами-Федера-Кристиан-сена // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2008. № 1. С. 72-77.

16 марта 2009 г._