CC BY
44
E-mail: antonina [email protected]
347928, Россия, г. Таганрог, ГСП 17А, пер. Некрасовский, 44 Тел.: 8 (8634) 37-17-95
Гривцов Владимир Владиславович E-mail: [email protected]
Leonova Antonina Valerievna
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”
E-mail: antonina [email protected]
44, Nekrasovsky, GSP-17a, Taganrog, 347928, Russia, Ph.: +7 (8634) 37-17-95
Grivcov Vladimir Vladislavovich
E-mail: [email protected]
УДК 517.958:550.3 + 27.41.77
А. С. Черепанцев
ОЦЕНКА СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ РЕШЕНИЯ В МОДЕЛИ БЛОКОВ С
УПРУГИМИ СВЯЗЯМИ1
В работе рассмотрена механическая модель блоковой упругосвязанной сре-
.
, . -сти итерационного процесса.
Модель прерывистого скольжения; самоорганизованное критическое со; .
А. С. Cherepantsev
THE ESTIMATION OF SOLUTION CONVERGENCE SPEED IN BLOCK MODEL WITH ELASTIC INTERACTION
The mechanical model of elastical block media is explored. The sufficient condition of solution convergence of nonline system of equations for model evolution is obtained. The estimation of convergence speed in iteration process is carried out.
Stick-slip model; self-organized criticality; sufficient condition of convergence.
Одна из моделей для описания закономерностей в пространственной, временной и энергетической областях тектонического процесса в дискретной среде- модель прерывистого скольжения [1] системы блоков с упругими связями вызвала , -ческой среды и сейсмичности. Одной из наиболее значимых в семействе моделей на основе модели прерывистого скольжения явилась клеточная двумерная модель
1 Работа выполнена при поддержке гранта НШ-799.2008.5, гранта РНПВШ 2.1.1./6584
Олами-Федера-Кристиансена (OFC модель)[2], к которой при определенных условиях сводится модель прерывистого скольжения в двумерном случае. Оказалось, OFC
, , , отсутствует управляющий параметр как, например, температура в фазовых переходах второго рода. В данном состоянии распределения величины сбросов энергии в диссипативной модели носят степенной характер, аналогичный, наблюдаемым распределениям сейсмичности по магнитудам [3].
Активное развитие вычислительных возможностей позволяет моделировать поведение системы взаимодействующих блоков непосредственно на уровне меха. -вия реализуемости алгоритма расчета в модели упруго взаимодейст-.
(stick-
slip model) [1] изображена на рис. 1.
Она представляет собой двумерную ,
.
блоков связан с соседними четырьмя блоками упругой пружиной.
Блоки расположены на неподвижной платформе и соединены упругой связью с движущейся выше плитой. Сила, действующая на отдельный блок с координатой (i,j), определяется как
Рис. 1. Плоская механическая модель упруго связанных блоков на основании с .
движущейся плитой
Fj
. = ] + ^ Сила /,‘1р - сила, управляющая движением, образованная упругой связью с верхней плитой, ±1 - силы, образованные упругими связями блока (1,]) с соседними блоками. В случае отсутствия силы трения между основанием блока и неподвижной платформой движение блоков было бы непре-.
движение носит скачкообразный характер. Если сила не превышает силы трения покоя, то блок .
сила ¥] становится больше силы ,
новое положение, такое же, как и суммарная сила = 0 .
Рассмотрим отдельный блок (рис.2), находящийся в прямо-
i+1,j
+ fi-1,j + fi,j+1 + fi, j-1 .
Рис. 2. Схема взаимного расположения блоков в (I, ]) узле решетки. ЬхЬу, - . - расстояние между узлами решетки модели,
К1, К2 - коэффициенты упругости горизонтальных и вертикальных пружин соответственно, Кь - коэффициенты упругости пружины связи с внешней движущейся
плитои
угольной решетке блоков, который упруго связан с четырьмя соседними блоками. В качестве положений равновесия блоков будем считать узлы сетки, расстояние между которыми определяется нулевыми длинами пружин /ь 12 по осям X, У со ответственно. Для того чтобы компенсировать действие внешней силы, пусть узлы сетки двигаются с постоянной скоростью, равной скорости растягивания внешней пружины с коэффициентом упругости Кь. Пусть (I,]) блок теряет равновесие. Рассмотрим решение задачи определения нового положения равновесия блока ((/,])) и сходимость приближенного решения к точному.
Новое положение равновесия (х,у) блока (/',/) относительно узловой точки О определяется равенством нулю проекций суммарной силы Ж. Таким образом, получается система двух уравнений, учитывающая проекции упругих сил связи с соседними блоками и внешнюю силу:
С учетом выражений для каждой компоненты силы искомая система уравнений (1) относительно (х,у) выглядит как:
При решении представленной нелинейной системы с помощью итерационного метода Ньютона актуальным является определение условий сходимости итерационного процесса и погрешности решения на каждом шаге итерации. Выполнение первого требования необходимо при задании параметров вычислительной мо, -.
новых значений положения равновесия с конечной точностью является то, что при движении блока с трением он останавливается в точке, где упругая сила уменьшается до величины силы трения скольжения, не достигая точного положения равновесия (без учета трения скольжения).
Воспользуемся одним из достаточных условий локальной сходимости [4]
итерационного процесса z(к+1) = z(к^- [((^)] 1 ^), в соответствии с которым
(1)
/
\
У
Ґ
\
(2)
/
\
^(х+и- х++(+и - у)2 )(-1.(- х-/і)2+(ч і- у)2 ,
если функция О() определена и дифференцируем а по Фреше в некоторой открытой области М с Rп, причем:
1). Бц> 0: ЦО'У)-G/(z Ц<П - ~||, V z,z е М ;
< С , V z е М .
2). 3 [О / ()] и 3 С > 0: О/ ()-1
Тогда, если v = — цС2р0 < 1, где р0 >||о(ж(о)| и замкнутый
шар
£
(0) г =
',г
= Ср0 ^2‘-1
У=0
целиком содержится в М , то все члены последовательно-
сти ^(к)) лежат в £ с М ; последовательность ^(к)) имеет предел z * е £ , являющийся решением уравнения О^ ) = 0 и справедлива оценка:
2(к)|< Ср0 V-1
1 — V
В нашем случае системы двух уравнений производная вектор-функции О(),
где z =
\У)
определяется частными производными:
=К -2К -2К2 +К2 •
сХ
(у-и -У)
+ К212
Х-Я] -х+/1)2 +(у+и -у)Т Ь-ц -х+/1)2 +(уч/ -у\
Х,/+1 - У + 12 )2 (Уг,/-1 - У - 12 )2
((хг,] +1 - х)2 + (,]+1 - У + 12 )2 )3/2 ((хг,у-1 - х)2 + Х,у-1 - У - 12 )2 )3/2
( - х+11)2 (хг-1,] - х-11)2
=-2Кх -2К2 + К& •
\
-х+1х)2 +Х+1,/ -У)2Г (((-х-1х)2 +(угч/ -у)2)'
\32
+ К 212
хг, /+1 - х
ху,/-1 - х
Х,/+1 - х)2 + (уг,у+1 - У + 12 )2 )3/2 (((]-1 - х) + Х,у-1 - У - 12 )2 )'
32
арх эру
и у = /
ду дх
= -К12 •
(хт+1,/ - х+/1)(/-У) (х-1 ] - х -^(у-и -у)
- К 212
/ -х+1х)2 + (/ -у)2Г ((у-х-^ ^-у)2Г
(х,у+1 - х)г,у+1 - У + 12 ) (х,у-1 - х),у-1 - У - 12 )
Х,у1 - У + 12 )2 + (х,/+1 - х)2 ) / Х,/-1 - х)2 + Х,у-1 - У - 12 )2 )
32
При этом симметричный вид полученной матрицы определяет существование только действительных ее собственных значений.
Использование предлагаемого метода при расчете больших решеток блоков сталкивается с трудностью, связанной с большой длительностью счета для достижения заданной точности решения для каждого блока. К тому же такой расчет полной системы блоков необходимо делать на каждом шаге итерации. Для задач
165
к
использования данной модели число итераций может достигать величины N ~10 -108.
С целью уменьшения времени счета рассмотрим ограничения на модель, позволяющие получать приемлемую точность нахождения решения нелинейной системы уже после нескольких итерации.
Исходя из модельных задач будем рассматривать лишь малые сдвиги блоков: Дх << /1, Ду << /2 . При этом полученные ниже условия сходимости и определяют величины таких малых сдвигов.
Оценим сходимость одного шага итераций для рассматриваемой системы
уравнений. Рассмотрим оценки констант п, С в сферической норме || ||2 . Характеристическое уравнение для нахождения максимального модуля собственного значения шах|Лк\ представляет собой квадратное уравнение:
к=1,2'
Я2 -
V V + V V
дх д~ ду ду
Я +
дх дх I ду ду
і і
ду дуу
=0.
Оценим коэффициенты в уравнении, выразив производные через углы отклонения от положения равновесия и расстояния между блоками рр :
Ж Ж Ж Ж
і. + і
дх д~ ду ду
= К1І1
• 2 -2 • 2 ~
81П Щ+1,] 81П 81П Щ+и
----------------1---------------------------------
81П
^-1,]
Рі+1.
]
А-1,
і
Рі+1.
■]
А-1,,
+ К 212
+ К 212
2 2 2 ~ 2 ~ сое Щ,і+1 сое Щ,;-1 сое Щ,і+1 сое Щ,;-1
------------------1----------------------------------------------------------
Рі, ]+1
С08 Щ+1 ] С08
---------— +-----
Рі, ]-1 2
А, ]+1
і-1] С08 Щ+1]
А, ]-1
С082 ~
^-1, ]
А+1,
]
А-1,
]
А+1,
]
А-1.
]
(3)
• 2 -2 • 2 ~ • 2 ~
8Ш Щ,]+1 ЯП Щ,]-1 ЯП Щ,]+1 ЯП Щ,]-1
---------------1-----------------------------------------------
+К1І1
1
А; ]+1 11
А, ]-1
А, ]+1
1
Рі+,1 Рі-М Рі-и Рі-и
+К2І2
11
-+-
А, ]-1 11
р,]+1 р,]-1 А]+1 р,]-1
<2| z-у
+
І1 І
2
Обозначим разность производных в точках г, у через А----------, для дискрими-
дzi
нанта квадратного уравнения справедливо представление в виде:
Ґ - „ 2
£>2 =
дЩх
ч
дх
А-]+А- і]
ду
- 4-А—]-А-О- + 4
дх ду
22 ' д] ( дЩх д]
А—= А—^-А ]
\
ду
- К1І1
У V ]'
дх
ду
+ 44 А-
А-1.
]
А-1.
+ К 212
1,]
]
\
С08 2Щ,]+1 С08 2Щ,]+1 С08 2Щ,]-1 С08 2Щ,]-1
-------------------------------1------------------------------
А,]+1
А,]+1
А,7-1
А,/-1
дЩх
]
ду
2
+
+
+
+
+
2
+
+
- КЛ
/Яп2И+1,/ 81п2~~+1,/ 81п2^.-1, 81п 2^9. 4
+ ■
V Р+1, /
Р
1+1, /
Р
Р-1
+
+ К 212
81п2^, ] +1 81П 2~у, ;+1 вт^., ;-1 81п 2~у,/-!
-----------------------------------1-----------------------------------
Р,1+1 Р, 1+1 Р,1-1 Р,1-1
С учетом малости смещений р+1,/ « / « Р-+1,/ ~ Р^1;/ ~ /х,
Р
у, ] +1
: Р,1-1 Р
у, ] +1
О2 < 4
(у+1,/ - х+1,/ + хг-1,/ - X-1,/) + у2 (х,/+1 - х,у+1 + х,/-1 - х,]-ь 11 12
+ 4
К1
I
(х-
'Уг-1,/ )+ ^ (У: 12
г, 1+1
г+1, ] Уг+1, ] + Уг-1, ] у г-1, ]
\2
*Ч + кЛ .
11 12 у
Из (3),(4) для нормы О ^)- О '(г ) справедлива оценка: О’У)-О'(~ !<(1 + гЛ ) + К
У г, ] +1 + У г,/-1 - Уи
(4)
К К2 » \г - ~|| с параметром ц = У + 2^2 ) )+К-2-
1 '2 У V 11 12
Для оценки С рассмотрим собственные знач ения обратной матрицы Якоби:
О Ь)'
-1
С учетом:
дКх -КУ
-КУ и г} -Кх и г1
1 -У -У
О 'У ) -Кх и г1 -Кх и г1
-У Эх
/
(5)
11 +-/ = -Кь - 4К1 - 4К2 + К1/1
Эх Эу
дкх -КУ
1 1 +
дх ду
- = -Кь - К111
/оо82щ+1,] + 0082^, у4
Р+1,
Р+1,1 Р-1,1
+ К2/2
+ К 212
/ \ 11 +
V
Р,1+1 р,}—1
Р-1,1
Р, /+1
Р, / -1
1-1 У
-Кх
дУ
= К1/1
V
р+1.
и оценок
ЭК х ЭКУ
И'1 О * ^ От
/ \ 2
д¥х
г]
Р-1,1
+ К 212
У
Р,1+1
+
-У
V У
! 2К 2 (Х£ + 2К1)
2
dF ■ У c dFx J c
Эу Эу
dFx J c dFx J c
Эу dx
< Kl + 2К1 + 2К2 + Kl + 2Л • К1 - 2К2
оценка нормы (5): G'(z) 1 < C, где с = -— +
Kl + 2^2 • К1 - 2К 2
2К 2 К^ + 2К 2К 2 ( + 2К)
Исходя из рассматриваемой модели, максимальное значение силы, дейст-
гг “ т^шах
вующеи на блок, определяется СИЛОИ трения ПОКОЯ ьтр , ..V. ,и/г
условие сходимости итераций у решения будет определяться условием:
Къ + 2л/2 • К! - 2К
т.е. Po = F„“ax. Тогда
v= 2 +V2
l1
l
2
1
1
2К 2 Kl + 2К1
2К 2 (Kl + 2К1)
ft < 1.(б)
,(1);
При этом оценка погрешности приближенного решения за один шаг итераций
II 7 Ml с • Fmax I * - z(1)||< с f«p
1 -V2
•V .
(7)
Полученное соотношение (6) определяет условие, гарантирующее сходимость итерационного процесса к точному решению. Скорость такой сходимости определяется (7) и может служить оценкой необходимого количества итераций расчета для достижения задаваемой программно точности.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Burridge R., Knopoff L., Model and Theoretical Seismicity, Bull. Seism Soc. Am. 57,
341-371, 1967
2. Olami Z., Feder H.J.S., Christensen K., Self-organized criticality in a continuous, nonconservative cellular automaton modeling earthquakes, Phys.Rev. Lett. 68, 12441247. 1992.
3. Gutenberg B., Richter C.F., Seismicity of the Earth and associated phenomena. Princeton: Univ. press, 1949; 2nd ed. 1954. 310 p.
4. Op тега Д., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. - М.: Мир, 1975.
Черепанцев Александр Сергеевич
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге E-mail: [email protected]
347928, Россия, Таганрог, ГСП 17А, пер. Некрасовский, 44 Тел.: 8(8634) 37-16-06
Cherepantsev Alexandr Sergeevich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”
E-mail: [email protected]
44, Nekrasovsky, Taganrog, 347928, Russia, Ph.: +7(8634)37-17-95 168
1
+
