CC BY
29
Sapogin Vladimir Georgievich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected]; e-mail: [email protected].
Web-site: egf.tsure.ru.
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: 8(8634)37-16-63; 8(8634)312-368.
Department of Physics.
Professor.
УДК 519.6
АЛ. Сухинов, O.B. Колгунова, ДА. Зорина
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ГИДРОФИЗИКИ ВОДОЕМОВ НА ОСНОВЕ СХЕМ РАСЩЕПЛЕНИЯ
В данной работе построен алгоритм для двумерной модели совместного движения водной среды, транспорта тепла и соли. Данный алгоритм базируется на схемах расщепления и методе поправки к давлению. В случае сильно меняющихся соленостей и (wiu температур) возникает необходимость организации итерационного процесса, позволяющего согласовать распределение скоростей и плотностей водной среды.
Метод поправки к давлению; принцип максимума; параллельный алгоритм метода циклической редукции.
A.I. Sukhinov, O.V. Kolgunova, D.A. Zorina
PARALLEL ALGORITHM OF THE SOLUTION OF HYDROPHYSICS PROBLEM IN BASINS BASED ON SPLITTING SCHEMES
In this paper the algorithm of two-dimensional model for fluid dynamics, heat and salt transfer is constructed. It based on splitting schemes and Pressure-Correction method. In case of strongly varying salinity and (or) temperatures the necessity of the iterative process creation arises, allowing to coordinate the distribution of velocities and densities of the fluid.
Pressure-Correction method; a principle of the maximum; parallel algorithm of a cyclic reduction method.
, .
Течение жидкости рассматривается в прямоугольной области G . Для простоты под областью G будем подразумевать прямоугольник, боковые границы которого непроницаемы. В области G = {0 < x < l1,0 < y < l2,0 < t < TТребуется найти в G = G U Г достаточно гладкие функции u, v, p, P, S, T , описывающие соответственно распределение скоростей, плотности, давления,
солености и температуры, рассматриваемые как функции горизонтальных координат (х, у) и времени і и удовлетворяющие уравнениям
иг (х, у, ^) - заданная вектор функция граничных условий, Г - граница области G.
В приведенных выше соотношениях и, V - компоненты скорости V в направлении координатных осей ОХ, ОУ соответственно, Р - давление, £ - соленость, Т - температура, р = р(£, Т) - плотность, зависящая от солености и температуры.
Построим схему расщепления по физическим процессам, которая будет являться основой итерационного алгоритма, в случае сильно изменяющейся .
Введем временную сетку сдт={1п = пт, п = 0,1,..., к; кт = Т}, предпо-
,
промежутке. Для ^ < ¿п+1, п = 0,1,..., к — 1, заменим исходную задачу сле-
дующей задачей вида:
(1)
дУ —+
ді
(2)
дР + Шу(рГ) = 0
ді
(3)
(4)
(5)
р(Б,Т) = р0 + + Ь1Т ,
(6)
с начальными условиями
и(х,у,0) = Ыо(х,у); у(х,у,0) = ^(х,у); Р(х,у,0) = р,(х,у);
Т (х, у,0) = Т,( х, у); 5 (х, у,0) = 50( х, у); р^(),Т()) = р (7)
и граничными условиями
V(х, у, і) = иг (х, у, і), і > 0, (х, у) єГ,
(8)
где V (х, у, і) = (и, у) - двумерный вектор скорости водной среды,
т (х, у, і) = Ут (х, у, і), і > 0, (х, у) єГ, 5 (х, у, і) = Ц5 (х, у, і), і > 0, (х, у) єГ,
(9)
.
и — и 1
-----+—
т 2 V — У 1
-----+—
т 2
.. - ди ди
dlУ(uV ) + и---------------+ у—
дх ду
.. . - ду ду
аіУ\уУ ) + и--------------+ у—
дх ду
= 0
= 0
т
/ ~ ~ \
д2 и д2 и
дх2 + ~дуТ
V У
V У д2уЛ +
т
V
дх 2 ду
2
(10)
(11)
(12)
(13)
и—и т
У— У
1 д Р
рдх
А
1 дР
р ду
Т — Т 1
----+ —
т 2
Т — Т
7)Т 7)Т
Шу(^ ) + и — + у—
дх ду
= 0
= Цт
АА
д2 Т д2 Т дх2 + ду2
,„тул д5 д5
dly( SV) + и---------------+ у—
дх ду
АА
д2 5 д2 5 дх2 + ду2
V
р = р0 + а15 + Ь1 Т
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
Граничные условия для системы (10) - (20) аналогичны граничным условиям исходной задачи (1) - (6). Начальные условия на каждом временном интервале *п < * < 1п+1 ставятся дополнительно. Если q е {и, V, £, Т, р} , то
А А
q(tn) = q(t) * = *п—Х +т. Здесь q(t) - значение соответствующей функции, полученное на предыдущем временном шаге *п—1 < * < *п для * = *п, п = 1,2,...,к — 2 или начальное условие, если п = 0.
А
т
т
т
Л
г
Далее будем предполагать, что в области G построена равномерная сетка с шагом И по направлениям осей ОХ и ОУ . Базируясь на расщепленной цепочке задач (10-20), которая является нелинейной системой уравнений с частными производными, опираясь на идею метода поправки к давлению, построим линейную итерационно-р^ностную схему. В выражениях, приводимых ниже, верхний индекс «к» или «к+1» обозначают номер итерации на текущем временном слое.
и — и 1
- + —
т2
V — У 1
--+—
т2
(и ■ и) + (и ■ у) + и ■ и + У ■ и
= 0
у
\
(у ■ и) + (у ■ у) + и ■ У + У ■ У
= 0
и—и Ц
т
р
У — У Ц
и хх + и у
хх^ иуу к V У
т
р
Ухх + Уу
хх у у
к V
у У
(21)
(22)
(23)
(24)
рк+1 + рк +1
хх уу
Рк —Р , 1 т2 т
(ркиХ + (ркуХ
(25)
к+1 і а к +1
и — и _ 1 А
----------=---------Р х
т рк
(26)
= —± Р
т
к+1
У
р
к
(27)
Т— Т 1
------+—
т 2
(ик+1 Т\ + (ук+1 Т X + ик+1 Т + Ук+1 Т
к+1 ■
к+1
= 0
(28)
Тк +1 т
= Цт
А к+1 А к+1
Т хх + Т уу
V У
5— 5 1
-----+ —
т 2
С \
к+1 Ак+1 Ак+1 Ак+1
(и +1 5X + (у 5) о + ик+1 5 + ук+1 £
х уху
/
(29)
(30)
т
0
8к+1 _ £
Т
( л к+1 л к+1
£~хх + £
V
рк+1 = рк + а1 (£к+‘ _£к)+ Ь1 (Тк+1 _ Тк)
-у к+1 с к
к +1 г-тк
(31)
(32)
Применяя к полученной итерационной схеме принцип максимума и следствия из него [1], после небольших преобразований, получим, что достаточным условием сходимости итерационного процесса является выполнение неравенства:
а
£
к _1
Т
к_1
4М
к
Т
< 1,
(33)
где М =-
1 1 (И2+ч) '1 2 И+2 И 16^т 1
к рк _1 1 2 [т ' к ' й3 р
ик + Ук
И+і VII)+кТ и+і и )
И+1 и)2 )+т рк_1
р
Будем принимать во внимание, что для устойчивости явных разностных уравнений (21-22) достаточно потребовать следующие ограничения на временной шаг Т:
к к Т<^™,Т< , , (34)
2и + V
2(||и|| + | VII
, (34)
4 М
<
4 М 8Мт
к || и ¿ц к к к
— и + V----------------------
т 11 11 т 2т
,
((
£
к _1
+ Ъ1
Т
к_1
8Кт
< 1,
где
к \рк
(Щ+Т+Ти+1 н )+Т+Т Рк_
р
11
к \рк
+1+Т+Г|+Т р-"I
Т Т Т Т
1 1 1 1
рк_2 =к Л _1 р III
5( +^
(35)
(36)
,(37)
2т
+ Т рк
„к _2 р НУ
то выполняется и исходное неравенство (33).
С учетом этого из (36) и (37) приходим к следующему условию сходимости итерационного процесса:
А
1
1
1
(| (|+ь] It*-1!
где
L =■
і і + 2*
h Рк-1 1 2т J
Учитывая два последних соотношения и, проводя очевидные преобразования, получим
N <— .. . 1 ------. (38)
2 5
(р*-1 )-1 («і
S
к-1
т
к-1
Таким образом, одновременное выполнение неравенств (33), (34), (38) является достаточным условием сходимости итерационного процесса.
Данный итерационный процесс целесообразно использовать в водоемах с существенно меняющейся плотностью водной среды. В частности, к таким водоемам относятся устьевые районы крупных рек (Дон, Кубань, Волга), впадающих в море.
Другое возможное применение связано с моделированием гидрофизических процессов в стратифицированной водной среде. Например, когда более «легкие» (нагретые или распресненные) слои расположены снизу, а более «тяжелые» - сверху. Следует отметить, что в этом случае необходимо использовать негидростатическое приближение и перейти к пространственнотрехмерной постановке задачи.
Для численного решения вычислительно трудоемкие сеточные уравнения параболического типа (23), (24), (29), (31) и эллиптического типа (25) решаются параллельным алгоритмом метода циклической редукции [2], который был реализован с использованием библиотеки MPI на кластере распределенных вычислений со следующими техническими характеристиками: топология связей между процессорами - полный граф, пакетный способ передачи, используемая сеть - Gigabit Ethernet. Процессор, расположенный в каждом узле имеет тактовую частоту 3ГГц и объем оперативной памяти 1Гб. Кластер работает под управлением операционной системы ASPLinux на ядре 2.4.20-9asp. Накладные временные расходы, связанные с организацией взаимодействия между узлами составляют t > 100 же, время осуществления коммуникации не зависит от номеров взаимодействующих узлов (связи равноценны) и возможны одновременно две пары обменов.
Другие сеточные уравнения являются явными и не требуют усилий для распараллеливания. При параллельной реализации алгоритма входная информация, разрезается на «вертикальные» полосы и распределяется по узлам кластера (рис. 1). В процессор с номером m , 1 < m < p загружаются элементы
исходных массивов размерностью N со значениями индексов
" N " •(m -1) +1 < i < " N "
P P
• т [3]. Максимальный объем передаваемой информации между узлами на текущем уровне редукции составляет 2N, тогда
общий объем переданных данных составит V = 2N * I, где I - показатель размерности входных данных, N = 2 .
\ * 1 | 2 | 3 | 4| 5| б| 7 8 | 9 | 10 | 11 | 12113 |14 | 15
0 Р
1 Р/1)
2 р,<2)
3 р.<3) Область данных 0-го " Тши'* Область данных 1-го процессора ,^1 процессора
а) і I
X ] 112 3 І 4І 5І 61 7 8 I 9 I 10 I 11 12І 13114 I 15
0 Р/03 ПрС ! пр і ТЙ^ Пр2 ! прз
1 Р/15
2 Р/2)
3 р*<3)
Рис. 1. Схема выполнения прямого хода метода редукции на кластере: а) с двумя процессорами, б) с четырьмя процессорами
Введем параметр системы к = 1°., где 1°, - численные временные ха-
/
а
рактеристики производительности процессора и каналов связи, соответственно, 1° - время передачи одного мегабайта данных между двумя узлами, -
характерное время выполнения усредненной арифметической операции. Анализ количества арифметических действий параллельного алгоритма и значение параметра к покрывают, что временные затраты на передачу данных , , экономичность параллельного решения. Методы БА, БАСЯ показали меньшую эффективность для данной задачи. На размерности входных данных
25 - 212 эффективность используемого метода (рис. 2) является приемлемой (0.5-0.95), что говорит о целесообразности его использования.
Рис. 2. Эффективность решения задачи гидрофизики водоемов методом циклической редукции, где Е2 - эффективность алгоритма, выполняемого на двух вычислителях, соответственно, Е4 - на четырех вычислителях, Е8 - на восьми вычислителях
Таким образом, в данной работе построен алгоритм численной реализации двумерной модели совместного движения водной среды, транспорта тепла
,
[4]. Построен эффективный параллельный алгоритм метода циклической редукции решения вычислительно трудоемких сеточных уравнений эллиптического типа и неявных сеточных уравнений, аппроксимирующих уравнения диффузии тепла и соли.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Самарский Л.А., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. - М.: Наука, 1973. - 344 с.
2. СамарскийЛ.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 592 с.
3. . . . - .:
МАКС Пресс, 2005. - 408 с.
4. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. - М.: Мир, 1980. - 298 с.
Сухинов Александр Иванович
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected].
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: 8(8634)315-638; +7(928)102-11-06.
Руководитель ТТИ ЮФУ.
Колгунова Олеся Владимировна
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Северо-Осетинский государственный университет им. К.Л. Хетагурова».
E-mail: [email protected].
362040, . , . , 46.
.: 8(8672)53-35-20; +7(928)235-72-96. Информационно-вычислительный центр.
-.
Зорина Дарья Алексеевна
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected].
347928, . , . , 44.
Тел.: (8634)315-638; +7(918)510-72-77.
Ассистент.
Sukhinov Alexander Ivanovich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
-mail: [email protected].
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
.
Phone.: 8(8634)315-638; +7(928)102-11-06.
Chief of TIT SFedU.
Kolgunova Olesya Vladimirovna The North-Ossetian State University.
E-mail: [email protected].
46, Vatutin str, Vladikavkaz, 362040, Russia.
Phone: 8(8672)53-35-20; +7(928)235-72-96.
The information-calculating center.
Part-programming engineer.
Zorina Darya Alekseevna
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: 8(8634)315-638; +7(918)510-72-77.
Assistant.
