CC BY
26
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (110) 2012
УДК 687.021
Л. Л. КОЛОКОЛОВ Т. М. ОРЛОВА
Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН Омская государственная медицинская академия
РАЗРАБОТКА И АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОДНОГО КЛАССА СЛОЖНЫХ ИЗДЕЛИЙ____________________________________
Рассматриваются вопросы проектирования одного класса сложных изделий легкой промышленности, основанного на применении задач и методов дискретной оптимизации с логическими, ресурсными и другими ограничениями. Приводятся новые постановки задач и модели целочисленного линейного программирования, предлагается подход к построению алгоритмов их решения с использованием теоретико-графовых конструкций.
Ключевые слова: автоматизация проектирования, дискретная оптимизация, целочисленное программирование, логические ограничения.
Введение
В процессе проектирования изделий во многих случаях возникает необходимость использования логических ограничений. Это связано с тем, что комбинации элементов, из которых формируются изделия, могут выбираться с определенными приоритетами или быть нежелательными с точки зрения ряда критериев. В частности, логические условия требуется учитывать на этапе создания эскизов одежды в легкой промышленности.
В настоящее время продолжает развиваться подход к оптимизации выбора проектных решений, основанный на применении моделей дискретной оптимизации с логическими ограничениями [1—5]. В [6] приводится краткий обзор исследований в данном направлении. Эти модели представляют собой обобщения известной задачи максимальной выполнимости логической формулы. Указанные логические ограничения могут быть жесткими и мягкими. Первые соответствуют задаче выполнимости логической формулы (SAT), вторые — задаче максимальной выполнимости логической формулы (MAX-SAT).
Ранее на основе этого подхода построен и апробирован ряд моделей целочисленного линейного программирования (ЦАП) для решения задач проектирования женского демисезонного пальто и жакетов. В [1, 2] разработаны алгоритмы решения упомянутых задач и проведены экспериментальные исследования для указанного класса изделий, которые показали целесообразность развития рассматриваемого направления.
В данной работе приводятся новые математические модели для построения которых используется специфика изучаемого класса изделий. При этом нами применяется аппарат теории графов, математической логики и ЦЛП. Описываются схемы алгоритмов для решения возникающих задач дискретной оптимизации.
1. Математические модели
Предположим, что имеется набор конструктивнокомпозиционных элементов для разработки моделей одежды (рукава различных видов, карманы, воротники и т.д.). Чтобы из этого набора построить модель одежды, необходимо ввести ограничения на возможные сочетания указанных элементов. Во-первых, это естественные условия, такие как: в изделие должен быть включен только один вид рукавов, не более одного воротника и т.д. Во-вторых, — требования, которые вытекают из теории гармонизации костюма и актуальных модных тенденций [7, 8]. Кроме того, можно использовать ресурсные и некоторые другие ограничения, например, по стоимости или расходу материала. Задача заключается в том, чтобы из имеющегося набора элементов создать модель одежды, которая является наилучшей с точки зрения одного или нескольких выбранных критериев при условии выполнения всех используемых ограничений.
Построим соответствующую математическую модель. Пусть:
J — множество номеров элементов изделия, =};
V — элемент изделия с номером ] е J ;
— логическая переменная, принимающая значение истина, если V] входит в состав изделия, и — значение ложь в противном случае;
I — множество номеров всех логических ограничений, используемых в задаче, 1={ 1,..,т};
I' — множество номеров логических формул, которые должны быть обязательно выполнены, 1'= ={1,..,т'}, I 'с I ;
С. — логическая формула, соответствующая г-му логическому ограничению, г е I, которая представляет собой дизъюнкцию переменных X] и/или их отрицаний X; ;
й. — вес формулы С, характеризующий степень необходимости ее выполнения, г е I \ I'.
Задача состоит в отыскании набора составляющих, при которых выполняются все формулы C,, i е I', отвечающие жестким логическим ограничениям, а вес выполненных формул C,, i е I \ I', соответствующих мягким логическим ограничениям, будет максимальным.
С целью решения этой задачи построим модель целочисленного линейного программирования. Для этого необходимо от логических переменных перейти к булевым, а логические ограничения заменить эквивалентными им линейными неравенствами. Введем C- и C+ — множества индексов переменных, входящих в скобку C. с отрицанием и без него соответственно.
Модель ЦЛП для сформулированной выше задачи проектирования сложных изделий имеет вид:
Z dizi ® max' (1)
ieI\I”
при условиях
Z У] - Z уj£ |Cr| -1,i е I', (2)
jeC- ieC+
Z yj- Z yj + zi£ |C-|- 1,i е I\f' (3)
jeC- jeC+
yi,zi е {0,1}, i е I\I', j е J . (4)
Если в оптимальном решении этой задачи для некоторого i имеет место z=1, то соответствующая формула Ct принимает значение истина.
Отметим, что рассматриваемая задача (1) — (4) является NP-трудной, так как представляет собой обобщение известной задачи MAX-SAT.
Во многих случаях при проектировании целесообразно ввести дополнительные ограничения, сокращающие возможности выбора элементов для включения в сложные изделия, например, они могут иметь вид:
Z уj = p или Z уj ^ р,
jеJ jеJ
где p — некоторая константа. Назовем эти условия ограничениями на выбор проектировщика. Первое из них будет означать, что изделие формируется из заданного числа p элементов, а второе — что число элементов не меньше p.
Кроме того, может оказаться полезным использование ресурсных ограничений, в частности,
Z ajyj £ b, jе
где aj — объем некоторого ресурса, требуемого для изготовления j-го элемента, b — имеющейся объем этого ресурса. Отметим, что ресурсных условий может быть несколько в зависимости от рассматриваемого изделия.
2. Использование специальных логических ограничений
Во многих задачах проектирования логические формулы C. представляют собой дизъюнкцию двух литералов, которые являются отрицаниями переменных, т.е. имеют вид x' V x”, где x' , x” — некоторые разные логические переменные. Отметим, что в таком случае Ci = 2 , а множество C+ будет пустым.
Запишем модель ЦЛП с учетом этих условий и ограничения на выбор проектировщика в виде равенства:
£® тах, ...
/еАГ ( )
при условиях
£У] < и е г, (6)
]еСг
£У] + г < 2,1 е I \ I', (7)
]еС
£ У] = р, (8)
]е
у., г. е {0,1}, г е , ] е J . (9)
Отметим, что ограничение (6) соответствует жестким логическим ограничениям, а условие (7) — мягким.
Для дальнейшего анализа и использования ограничений, представляющих собой дизъюнкции отрицаний двух переменных, можно построить граф С= =(У, Е1, Е2) для рассматриваемой задачи проектирования, описываемой моделью (5) — (9), с множеством вершин У={у1, у2, .., V}, где V] — вершина, отвечающая ]-му элементу сложного изделия (для простоты она также будет обозначаться V). Множество ребер Е1 отвечает жестким логическим ограничениям, Е2 — мягким логическим ограничениям.
Для дальнейшего исследования введем раскраску графа. Ребра, соответствующие жестким логическим ограничениям, будем считать окрашенными в красный цвет, а ребра, отвечающие мягким логическим ограничениям, — в зеленый.
Пусть С1 — подграф графа С, порожденный красными ребрами, а С2 — зелеными, V — некоторой подмножество вершин графа С. Далее нам потребуется следующие определения.
Определение 1. Ребро графа С называется полностью покрытым вершинами из V, если обе образующие его вершины входят в V.
Определение 2. Ребро графа С называется частично покрытым, если в точности одна образующая его вершина входит в V.
В дальнейшем представляется целесообразным выделить и непокрытые ребра графа С, у которых ни одна образующая их вершина не входит в множество вершин V'.
Сформулируем задачу оптимизации на графе С: найти подмножество вершин V заданной мощности р, которое не покрывает полностью ни одного красного ребра, а суммарный вес непокрытых и частично покрытых зеленых ребер будет максимальным.
Отсутствие полностью покрытых красных ребер графа С означает, что множество вершин V является независимым в подграфе С1 (и, следовательно, в С), а для зеленых ребер эта независимость может нарушаться.
При р=0 и р=1 соответствующая задача ЦЛП имеет тривиальное оптимальное решение. При р > 2 задача является МР-трудной, так как эквивалентна задаче поиска независимого множества вершин с максимальным весом.
Данный подход может быть использован и в случае более общих постановок задачи, в которых учитываются разбиения множество элементов на группы
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (110) 2012 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (110) 2012
(см., например, работы [1, 4, 6]). При этом возникают более сложные математические модели.
3. Об алгоритмах решения задачи
Как отмечалось выше, в области формирования моделей одежды часто возникают ограничения, представляющие собой дизъюнкцию двух негативных литералов. В случае более общих моделей возникают и другие логические и ресурсные ограничения.
На основе указанных свойств строится граф С, который можно использовать при разработке алгоритмов. По аналогии с алгоритмом из работ [1, 2], можно построить процесс решения задач проектирования, который включает следующие этапы:
1. Поиск некоторого независимого множества вершин графа С (для красных ребер).
2. Проверка оставшихся логических и других ограничений для полученного решения. Если хотя бы одно из них не выполняется, то осуществляется переход к поиску нового независимого множества вершин графа (на этап 1) с учетом рекордного значения целевой функции. В противном случае переходим к следующему этапу.
3. Нахождение значений целевой функции задачи на основе зеленых ребер и логических ограничений, которые не были использованы при построении графа. Вычисление нового рекордного значения и возврат на этап 1.
Процедура завершается, если на этапе 1 не удается получить новое множество независимых вершин графа. Ввиду конечности совокупности независимых множеств вершин графа данный процесс за конечное число шагов либо находит оптимальное решение задачи, либо устанавливает, что она не имеет допустимых решений.
Для построения последовательности независимых множеств вершин графа можно использовать различные алгоритмы: ветвей и границ, направленный перебор булевых векторов, лексикографический перебор 1-классов и другие.
Заключение
В работе предложены новые варианты математических моделей и алгоритмов решения задач проектирования с учетом особенностей изделий легкой промышленности. Ведется реализация указанных алгоритмов с целью апробации и выбора наиболее перспективных из них. Выполненные раннее расчеты на реальных исходных данных подтвердили перспективность развиваемого подхода и целесообразность его применения, в том числе с использованием теоретико-графовых конструкций.
Библиографический список
1. Гуселетова, О. Н. Об одном алгоритме решения задач дискретной оптимизации с логическими ограничениями /
О. Н. Гуселетова // Динамика систем, механизмов и машин : матер. VI Междунар. науч.-техн. конф. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2007. - Кн. 3. - С. 26-30.
2. Гуселетова, О. Н. Разработка алгоримов для некоторых задач дискретной оптимизации с логическими ограничениями / О. Н. Гуселетова, А. А. Колоколов // Проблемы оптимизации и экономические приложения : матер. III Всерос. конф. (Омск, 11 июля 2006) / Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2006. - С. 176.
3. Орлова, Т. М. Разработка программного комплекса для создания эскизов одежды с использованием дискретной оптимизации / Т. М. Орлова // Динамика систем, механизмов и машин : матер. VI Междунар. науч.-техн. конф. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2007. - Кн. 3. - С. 65-68.
4. Орлова, Т. М. Об одном подходе к формированию сложных изделий / Т. М. Орлова, А. А. Чернова // Проблемы оптимизации и экономические приложения : матер. IV Всерос. конф. (Омск, 29 июня - 4 июля 2009) / Омский филиал Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН. - Омск : Полиграфический центр КАН, 2009. - С. 237.
5. Орлова, Т. М. Об одном подходе к формированию изделий в легкой промышленности / Т. М. Орлова, А. А. Чернова // Теоретические знания - в практические дела : сб. ст. межвуз. науч.-пр. конф. аспирантов и молодых исслед. 9 апреля 2009 г. В 2 ч. Ч. 2 / Филиал ГОУ ВПО «РосЗИТЛП» в г. Омске. Омск, 2009. - С. 49-50.
6. Колоколов, А. А. Автоматизация проектирования сложных изделий с использованием дискретной автоматизации и информационных технологий / А. А. Колоколов, А. В. Ярош // Омский научный вестник. - 2010. - № 2(90). - С. 234-237.
7. Гусенов, Г. М. Проектирование костюма : учеб. пособие для студ. высш. учеб. завед. / Г. М. Гусенов. - Москва : Академия, 2003. - 432 с.
8. Андросова, Э. М. Основы художественного проектирования костюма : учеб. пособие / Э. М. Андросова // Челябинск : Челябинский гос. ун-т, 2005. - 176 с.
КОЛОКОЛОВ Александр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор (Россия), заведующий лабораторией дискретной оптимизации, Омский филиал Института математики им. С.Л Соболева СО РАН.
ОРЛОВА Татьяна Михайловна, преподаватель кафедры физики, математики и медицинской информатики Омской государственной медицинской академии
Адрес для переписки: [email protected]
Статья поступила в редакцию 09.12.2011 г.
©А. А. Колоколов, Т. М. Орлова
