CC BY
35
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
А. А. КОЛОКОЛОВ А. В. ЯРОШ
Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН
Омский государственный институт сервиса
УДК 687.021
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОДЕЖДЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЕЙ ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
В ДАННОЙ РАБОТЕ ИЗУЧАЮТСЯ ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ РЯДА МОДЕЛЕЙ ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ, СВЯЗАННЫХ С ВОПРОСАМИ МАКСИМАЛЬНОЙ ВЫПОЛНИМОСТИ ЛОГИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ. ПРЕДЛАГАЮТСЯ ЗАДАЧИ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕТИКО-ГРАФОВЫЕ КОНСТРУКЦИИ ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ РАЗНООБРАЗНЫХ МОДЕЛЕЙ ОДЕЖДЫ. ОСНОВНЫЕ ИДЕИ ПОДХОДА ИЛЛЮСТРИРУЮТСЯ НА ПРИМЕРЕ ЖЕНСКОГО ДЕМИСЕЗОННОГО ПАЛЬТО.
Введение
Проектирование швейных изделий представляет собой сложный процесс, на разных этапах которого приходится анализировать значительное количество вариантов решений и выбирать из них наилучшее с учетом различных требований (конструкторских, технологических, экономических и т.д.). При этом качество принимаемых решений во многом зависит от проектировщика.
Современные компьютерные технологии открывают новые перспективы для совершенствования процесса проектирования одежды, решения большого числа возникающих при этом достаточно сложных и разнообразных задач [1,3,7,8). Успешное продвижение в указанном направлении требует более широкого использования математического аппарата, особенно из области оптимизации и исследования операций, разработки новых математических моделей и методов [2,4,9],
В данной работе изучаются возможности применения ряда моделей дискретной оптимизации, связанных с вопросами максимальной выполнимости логической формулы [6]. Предлагаются задачи целочисленного линейного программирования (ЦЛП) и некоторые теоретико-графовые конструкции для проектирования разнообразных моделей одежды. Основные идеи подхода иллюстрируются на примере женского демисезонного пальто.
1. Описание математических моделей
Рассматривается процесс проектирования моделей швейных изделий, которые формируются из множества деталей и усложняющих элементов с использованием ряда характеристик (силуэтных форм, объемов, свойств материалов и т.д.). Указанные элементы выбираются из достаточно широкой совокупности, которая свойственна данному классу изделий. Аналогичное разнообразие имеется и при подборе характеристик.
При подготовке проектных решений особенно важную ропь играют ограничения логического типа, поскольку они существенно влияют на основную структуру будущего изделия и его характеристики. Поэтому сначала мы рассматриваем постановку задачи, в которой требуется выбрать эпементы и удовлетворить указанные ограничения с учетом их важности, а затем обсуждаем бопее сложные варианты, связанные с выполнением других ограничений.
Обозначим через v¡l ¡=1_____п. детали, эпементы и характеристики рассматриваемых изделий. Каждому V поставим в соответствие логическую переменную х , которая принимает значение истина, если ^.входит в состав изделия, и - значение пожь в противном случае. Через 5 обозначим вес V.. который характеризует степень целесообразности включения V в состав изделия.
Проектируемое изделие должно удовлетворять системе и! т логических ограничений. Предположим, что ограничение с номером / соответствует некоторой логической формуле С., представляющей собой дизъюнкцию исходных переменных х. и/или их отрицаний [2]. Формула называется выполнимой, если существует набор значений переменных, при котором она принимает значение истина. Построим логическую формулу С путем конъюнкции формул Сг 1=1,...,т.
Каждой формуле С,, сопоставим неотрицательное число (вес) которое характеризует степень необходимости выполнения указанной формулы. Если требуется обязательное выполнение некоторой формулы С, то соответствующий вес должен быть достаточно большим (обозначим его №).
Задена состоит е отыскании знзнений логических переменных, при которых суммарный вес включенных в изделие составляющих V, /=?,...,/), и выполненных формул С/1=1,...,т будет максимальным. В случае, когда все ^=0 мы получаем задачу максимальной выполнимости для формулы С.
Некоторые логические условия могут быть описаны с использованием понятий теории графов, в частности, это относится к формулам вида V* , к * 5 (V - символ дизъюнкции). Истинность подобной формулы соответствует требованию, что в изделие можно включить не более одного из элементов (деталей, характеристик) vl¡ и При проектировании одежды такие ограничения встречаются достаточно часто и связаны со спецификой этой сферы.
Построим граф 0=(\/,Е), отвечающий рассматриваемым ограничениям. Каждой вершине графа из множества V соответствует некоторая деталь (элемент, характеристика) у, которую для простоты изложения обозначим этим же символом. Считаем, что вершины графа vll и ^связаны ребром, если имеется_логическое ограничение, задаваемое формулой xt V х .
Каждому ребру из множества Е соответствует введенный выше вес Если ребро имеет вес и*, то комбинация ^ и ^ в изделии считается недопустимой. Рассматриваемый граф назовем графом проектных ограничений (см. рис. 1).
Модели одежды, полученной в результате проектирования, отвечает некоторый подграф указанного графа, не содержащий ребер с весами С другой стороны, многие из таких подграфов порождают наборы элементов, деталей и характеристик, образующие лишь часть изделия. Данный граф может быть полезен для анализа и построения алгоритмов решения задачи.
Опишем соответствующую модель целочисленного линейного программирования. Для каждого / обозначим через С и С' множества индексов переменных, входящих в С с отрицанием и без него, соответственно. Чтобы перейти от условий выполнимости формул С к эквивалентным линейным неравенствам, необходимо ввести булевы переменные /., ¡=1,...г>, а затем заменить на уг отрицания х-на 1-у,, а символ у - на знак+. Используя
вспомогательные булевы переменные 1=1,.,т, математическую модель можно записать следующим образом:
у*=1гах
РЧ
при условиях:
Ъу,- Ъу.+^Щ / = йГ
0йу.<1, <1, 1 _ _
^.ге/,
(1)
(2) О)
Если в оптимальном решении этой задачи для некоторого / имеет место г.=1, то соответствующая формула С, принимает значение истина.
Для решения задачи (1 )-(3) могут быть применены различные методы и пакеты прикладных программ. Результаты расчетов по такой модели следует рассматривать как предварительную оценку проектируемого изделия. Фактически на данном этапе осуществляется выделение подмножества перспективных конструкций. Полученное с помощью некоторого алгоритма оптимальное решение задачи дает вариант изделия с учетом сформулированных требований и степени их важности. Однако оптимальное решение часто не является единственным, поэтому в процессе проектирования могут оказаться попеэными и другие решения, которые будут порождать новые модели изделий.
На следующем этапе могут быть применены другие математические модели с целью уточнения качества разрабатываемого изделия. Этот этап может также производиться проектировщиком на основе его внутренних критериев (квалификации, опыта, вкуса и т.д.) без применения математических моделей.
Модель (1 )-(Э) может быть дополнена другими ограничениями, которые возникают при проектировании одежды, например, можно учесть трудоемкость изготовления деталей и элементов, расходы различных ресурсов, приоритеты и т.д. Многие такие ограничения также описываются с помощью линейных неравенств.
Для оптимизации выбора подходящих моделей швейных изделий кроме функции (1) целесообразно использовать еще ряд критериев, например, минимизировать трудоемкость изготовления изделия, повысить эксплуатационные характеристики и другие, т.е. перейти к многокри-териапьной оптимизации.
2. Пример проектирования женского демисезонного пальто
Далее рассматривается процесс проектирования верхней женской плечевой одежды на примере демисезонного пальто с использованием детапей и усложняющих элементов. Этот пример является иллюстративным, в нем не ставится задача подробно описать все существующие детали и элементы, используемые при проектировании плечевой одежды, так как в данной области имеется достаточно большое разнообразие, которое невозможно учесть без заметного усложнения ситуации. Основной целью было показать перспективность применения развиваемого нами подхода.
Предположим, что все разрабатываемые модели демисезонного пальто имеют полуприлегающий силуэт, и а них уже входят основные детали (спинка, перед, рукав и т.д.), а также ряд формообразующих элементов конструкции (вытачки, рельефы). Перечислим остальные, представляющие интерес для данной задачи детали и усложняющие элементы:
у, - кокетка на полочке (переде);
V - воротник "стойка*;
Рис. 1. Граф проектным ограничений.
- широки и отложной воротник;
- накладные карманы в верхней части изделия;
- накладные карманы в нижней части изделия;
- расширение "годе";
- шлица;
V, - пояс.
Проектируемое изделие должно удовлетворять системе логических ограничений, которые описываются ниже,
2.1. Логические ограничения
Отметим, что логические ограничения относятся к области художественной выразительности [5] и при определенных условиях могут быть нарушены (степень необходимости выполнения формулы С. определяется величиной (/). В случае, когда в полученном по модели (1ЦЗ) решении какая-нибудь формула не является выполненной, проектировщику следует найти оптимальное соотношение размеров, связанных с ней деталей и элементов. Для каждого ограничения сначала дадим содержательную формулировку, а затем приведем соответствующую логическую формулу.
1. Не рекомендуется использовать одновременно кокетку V, и широкий отложной воротник V,, поскольку это может создать впечатление перегруженности плечевого пояса, а также привести к потере художественной выразительности изделия. Данному требованию соответствует формула С, = .V, V ху
2. Необходимо осторожно подходить к сочетанию кокетки V, и накладных карманов у,, так как имеется опасность перегрузить верхнюю часть_изделия. Этому условию отвечает формупа ул: .
3. Нужно быть внимательным при сочетании кокетки vl и накладных карманов V,, расположенных ниже линии талии. Из-за отдаленности деталей друг от друга может быть потерян ритм изделия. Это требование эквивалентно ВЫПОЛНИМОСТИ формулы С, = V Ху
4. В большинстве случаев при проектировании пальто нецелесообразно в одном изделии использовать воротники "стойка" уг и отложной 1/гСоответствующая логическая формупа имеет вид С, = л\ V *. Кроме того, предполагается, что во всех моделях пальто должен присутствовать хотя бы один из указанных выше воротников. Этому условию отвечает формула С, = .г, V .
5. В целях избежания перегруженности верхней части изделия следует осторожно подходить к сочетанию широкого отложною воротника V, и.верхних накладных карманов. у^Этому условию соответствует формула
6. Важно иметь ввиду, что сочетание широкого отложного воротника ^ и накладных карманов 1/5 в нижней части изделия может привести к потере общего ритма модели. Этому требованию отвечает формула С, = х, V х5
7. При сочетании накладных карманов ^ и ví из-за отдаленности деталей друг от друга может быть потерян ритм изделия. Учет этого обстоятельства эквивалентен требованию условию выполнения формулы С, = V х},
8. Следует быть внимательным при сочетании накладных карманов ^ в нижней части изделия и расширения "годе" V Это требование эквивалентно истинности формулы С, =л-,уа-„.
9. Для обеспечения свободы движения в нижней части изделия может быть использовано расширение "годе" у6 или шпица У7. Одновременное включение данных элементов нецелесообразно, так как это может привести к потере выразитепьности изделия. Соответствующая логическая формула имеет вид С,„ = л; V .х.. Требуется также наличие в изделии хотя бы одного из указанных элементов, что отражается с помощью формулы С,, = а; V л..
Некоторые логические условия могут быть заметно сложнее и включать три и более переменных х) и/или их отрицаний. Опишем такие ограничения для нашего примера.
10. Для сохранения ритма при проектировании верхнего плечевого изделия с использованием широкого отложного воротника ^ и накладных карманов ^ необходимо ввести связующую деталь Этому требованию соответствует истинность логической формулы (г, л г —.т.).
которая эквивалентна С,, = .у, V V (здесь и далее символом —> обозначается импликация).
11. Аналогично для сохранения ритма изделия при использовании кокетки у, и накладных карманов V,, можно применить пояс как связующую деталь. Этому требованию соответствует истинность формулы (.V, л хъ , которая эквивапентна С,, = л V „V. V.
12. При одновременном использовании накладных карманов V, и vy для сохранения ритма рекомендуется также включать в проектируемое изделие пояс V,. Этому требованию соответствует истинность^ формулы (.г, л^-» х,). которая эквивапентна С„ = ,т4 V л, V .V, -
2.2. Граф проектных ограничений
Построим граф проектных ограничений (см. рис. 1)для нашего примера. Формуле С, = .т, V ,ч:) сопоставим ребро (у,, V,), отражающее необходимость ее выполнения. Аналогичным образом вводятся ребра, отвечающие формулам С^Ребра, имеющие вес ис, изображены сплошной пинией, а остальные - пунктирной.
Приведем примеры подграфов графа проектных ограничений и порождаемых ими изделий. Рассмотрим подграф с множеством вершин V'={vítvг,vГvl} и множеством ребер £'. Нетрудно увидеть, что Е=0, т.е. все входящие в С вершины не связаны между собой в исходном графе б. Данный подграф порождает модель женского демисезонного пальто полуприлегающего силуэта с воротником "стойка", кокеткой на попочке (переде), расширением "годе" и поясом.
Теперь выберем подграф который получа-
ется из в* путем добавления вершины vi и ребра указывающего на нарушение логического ограничения Сг е проектируемом изделии. Это соответствует тому, что изделие будет иметь перегруженность в области плеч и груди за счет одновременного использования кокетки и на-кпадных карманов, что зрительно утяжеляет и расширяет верхнюю часть модепи. Нарушение указанного ограничения может быть нежелательным, например, для женщин невысокого роста.
Построим подграф G3=(V3,E,) с вершинами vl, у,, и ребрами у^), (V,, vJ, у^). В соответствующем ему изделии не соблюдаются все имеющиеся погические условия, в том числе не выполняются формулы С(), Си, связанные с этими тремя деталями. Другими словами, в данную модель пальто входят кокетка на полочке (переде), верхние и нижние накладные карманы. Одновременное сочетание первых двух деталей может привести к перегруженности верхней части изделия, а двух последних - к потере ритма из-за отдапенности их друг от друга и отсутствия связующих элементов.
2.3. Модель ЦЛП
Перейдем к построению модели ЦЛП для рассматриваемого примера. Покажем, как условие истинности логической формулы можно преобразовать в эквивалентное ему линейное неравенство. Рассмотрим, например, формулу Си = .*_, V л-. V . Заменяем д-ц на 1 -уА, .у, - на 1-у,, .т, - на у,, символ V - на знак + и попучаем выражение: Истинность формулы Сн эквивалентна требованию 2-у,-у}+ув> 1, откуда вытекает V + у.-<1. Аналогично можно получить линейные неравенства для остапьных формул. Ниже мы запишем все эти формулы, а рядом - соответствующие неравенства.
С. = л\ V .т, - у, + у\ < 1,
С, = -V, V .V, - г, + у, < 1,
С, =*, V х, ~ у, + у; <1.
С4 = д\ V л\ - у, + >\ < 1, С = .т. V .V, - - у , - у. < -1,
С- = х. V .V, - у, + у, < 1,
С8 = Л'4 V л, - + V, < 1,
= л'> у + .И, ^1 •
С,« = л'„ V .у. + V. < I,
С,, = -V, ч/ .г7-- - < -I. С,, V л, V X,+ у, ~ у, <. 1,
С„ = Х, '^Х, V + V, -у„ 51,
Си = хл V X, V + V; - V, < I ■
Введем вспомогательные булевы переменные г......г„
и запишем модель ЦЛП:
У, = ¿V, тал
Г = | ЛИ
V,+.»■, + !, <2,
V, + у, + г, 5 2, у2 + у: + ^< 2,
+ 2, У у + У) + г, £ 2.
+ + 2,
+ 2,
-л £2,
0< у1 <1,1
0йг<1, / = Ц4.
V ,г е И, I
Нами были проведены расчеты на ЭВМ для этого и других более сложных примеров с использованием программы, разработанной в лаборатории дискретной оптимизации Омского филиала Института ма+ематики СО РАН. Все коэффициенты и (¡. в задаче ЦЛП выбирались на основании опыта проектирования одежды Вычислительный эксперимент показал, что предложенный подход является перспективным, В частности, быпо получено множество разнообразных и интересных моделей демисезонных пальто.
Важной чертой разработанной здесь математической модели является возможность её развития и адаптации к более сложным ситуациям. Она позволяет вводить новые характеристики швейных изделий, не нарушая общей структуры исходной модели. Например, можно расширить рассматриваемый ассортимент одежды, добавить свойства материалов, сезонность, характеристики телосложения потребителей и т. д.
Система логических ограничений позволяет описать и проанализировать швейные изделия различной степени сложности и на любом уровне конкретизации. Это, в свою очередь, позволит оценить и сравнить разные группы одежды по всем необходимым показателям и из множества допустимых вариантов быстро находить тот, который наилучшим образом отвечает тем или иным требованиям. Такой подход к проектированию швейных изделий приемлем не только для массового и серийного, но и для индивидуального производства.
ЛИТЕРАТУРА
1. С.Ф. Абдулин. Системы автоматизированного проектирования и управления: Аннотированный ретроспективный библиографический указатель (1990- 2000г.г.).-Омский государственный институт сервиса, 2001. -234с.
2. O.E. Акимов. Дискретная математика: логика, группы, графы. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2001 - 352 с,
3. М.В. Андреева, Т.Ю. Холина, К.Г Андреева и др. Проектирование внешнего вида изделий в САПР "АССОЛЬ" // Швейная промышленность, 2001, №5. - С. 36-39.
4. A.B. Еремеев, Л.А. Заозерская, A.A. Колоколов, Задача о покрытии множества; сложность, алгоритмы, экспериментальные исследования //Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 2.2000. т.7, №2. - С. 22-46.
5. Т.В. Козлова. Основы теории проектирования костюма - М.: Легпромбытиздат, 1988. - 352с,
6. A.A. Колоколов, A.B. Адельшин, Ю.Н. Чередова. Применение L-раэбиения к исследованию некоторых задач выполнимости //Труды 12-й Байкальской международной конференции "Методы оптимизации и их приложения", Иркутск, 2001,-С, 166-172.
7. М, Кынчев, Н. Ферд. Швейная САПР лицом к конструктору //Швейнаяпромышленность,2001, №1. - С. 10-11.
6. H.H. Раздомахин. Трехмерные геометрические модели в проектировании одежды // Швейная промышленность, 1998, №1. - С. 36.
9. Д. Уайлд. Оптимальное проектирование: Пер. с англ, -М.:Мир, 1981.-272с.
КОЛОКОЛОВ Александр Александрович, доктор фиэ.-мат. наук, профессор ОГИС, зав, лабораторией ОФИМ СО РАН. ЯРОШ Александра Викторовна, аспирант ОГИС, ассистент кафедры ТШИ.
Новые поступления
В библиотеку Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии: Аленин В. П. Итерационные методы расчета систем с внешними и внутренними односторонними связями: Монография/В. П. Аленин; СибАДИ, - Омск: Изд-во СибАДИ, 2001.-224 е.: ил. - 150 экз.
Жарова Н. Р. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учеб. пособие/ Н..Р Жарова; А. М, Завьялов, Л. Г. Кузнецова; СибАДИ. - Омск: СибАДИ, 2002. -164 с. - Библиогр.: с. 161-162. -250 экз.
Завьялов А. М. Уравнения математической физики и приближенные методы решений дифференциальных уравнений: Учеб. пособие для вузов/А. М. Завьялов, Р. Б. Карасева; СибАДИ. - Омск; СибАДИ, 2002.- 123 с.-250 экз.
