CC BY
20
УДК 681.5 65.01156 А. А. КОЛОКОЛОВ
А. В. АРТЕМОВА А. В. АДЕЛЬШИН И. Е. КАН
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал Омский государственный технический университет
Сибирский институт непрерывного дополнительного образования, г. Омск
ПРОЕКТИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ИЗДЕЛИЙ НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ И АЛГОРИТМОВ ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ_
В статье продолжается разработка моделей и алгоритмов дискретной оптимизации с логическими, ресурсными и другими ограничениями для проектирования сложных изделий. Эти модели основаны на задаче максимальной выполнимости логической формулы и ее обобщениях. Особое внимание уделяется построению серий изделий с использованием предлагаемых авторами специальных конструкций («ядер»). Приводятся результаты вычислительных экспериментов, указывающих на перспективность развиваемого подхода.
Ключевые слова: дискретная оптимизация, целочисленное программирование, задача максимальной выполнимости, логические ограничения, автоматизация проектирования сложных изделий, легкая промышленность. Проект выполняется при поддержке Российского Фонда фундаментальных исследований, грант 16-01-00740 и при поддержке Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере, грант 7789ГУ2/2015.
Введение. Во многих задачах принятия решений, связанных с проектированием, планированием и управлением, используются логические, ресурсные и другие ограничения. Логические ограничения часто приводят к задачам выполнимости и максимальной выполнимости логической формулы, которые являются ЫР-трудными и одними из центральных в теории сложности. Рассматриваемые задачи могут использоваться в различных приложениях. Например, в работах [1—9] исследуются и решаются проблемы проектирования одежды из набора составляющих, в [10] разрабатываются составы резин специального назначения, в [11] решаются задачи логического криптоанализа. Кроме того, большое число приложений задачи выполнимости приведено в обзорной статье [12].
В настоящее время вопросам проектирования сложных изделий уделяется большое внимание, что обусловлено актуальностью этого направления. Многие задачи проектирования решаются с помощью различных компьютерных систем, например [13, 14], применяя которые специалист перебирает и сравнивает большое количество сочетаний составляющих и элементов. При таком подходе могут оказаться не рассмотренными достаточно интересные и перспективные варианты решений, а выбран-
ные не всегда будут оптимальными. В связи с этим требуется применение математического аппарата, в частности моделей и методов дискретной оптимизации, а также разработка комплексов программ на этой основе [2, 4, 5, 8, 9, 15, 16].
В [1—5, 10, 11, 15—19] и других работах используются математические модели, которые являются обобщениями задачи максимальной выполнимости и включают два типа ограничений: «жесткие» (обязательные для выполнения) и «мягкие», которые при определенных условиях могут быть нарушены. В данной работе продолжается развитие рассматриваемого подхода и исследование соответствующих моделей. Значительное внимание уделяется вопросам построения серий изделий на основе предложенных в [7] специальных наборов составляющих («ядер»), позволяющих расширить разнообразие выпускаемой продукции. Изучаются возможности применения данного подхода для автоматизации эскизного проектирования сложных изделий на примере некоторых ассортиментов легкой промышленности, отличающихся большим разнообразием и наполнением групп. Описана структура разрабатываемого программного комплекса [5, 9], приведены результаты вычислительных экспериментов, отражающих перспективность применения «ядер».
Постановки задач и математические модели.
Введем логические переменные x,...,x, которые принимают значения истина или ложь. Рассмотрим логическую формулу F = C1 л... лCm , в которой каждая логическая формула (скобка) C. представляет собой дизъюнкцию литералов x. и(или) их отрицаний xj . В задаче выполнимости требуется найти значения переменных, прикоторых логическая формулаявляется истинной.
Обозначим через y1,.,yn булевы переменные, причем у. соответствуют x,, а (1 — у.) — переменным xj , ,= 1,...,n. Выполнисость логической формулы F эквивалентна рсзрешимосли следующей системы:
Xj E^-CI-'' = 1'.''о' (1)
je-CC jE
0 е у е1, j = с,..,, n , (2)
у =Z,j = 1,..., n. (3)
где C- и C* — множества индексов литералов, входящихв скобки С. с отрицанием и без соответственно.
Предположим, бто жажеля скхОка С имеет неотрицательный вяс ж.. максимальоой и^шолни-мости заклор-1^тс5;[ ^ [0.1X1 знкчеН1Й перемесных, при которьгх маосимивиеуутся вис вополнснных скобок.
Введем всбокогажекь]ые Сулевы пе.емснные z,, i=1,...,m.
Ниже му1 е]иеод1м поитг^новку задачи максимальной вьшол] и ригеле ти в в иде задачи целочисленного линейиог о при гр аммирования (ЦЛП):
о
у0 = жcKi ^ max; (4)
i=1
ЖУ^Ж^-гсХ [4 г=[,...,ро; (5)
j-C- г-сб
о еу, к. el, j = l,...,n, г = 1,...,у; (6)
Ут.к. e Z , j = 1,...,n , i = 1,...,m . (7)
Если в допустимом решении задачи (4) — (7) переменная zi принимает значение, равное 1, то Ci выполнена. Оптимальное значение целевой функции — это суммарный вес выполненных скобок.
Кроме того, практическое значение имеет задача, в которой требуется найти такие значения переменных, при которых будут выполнены все «жесткие» ограничения, а суммарный вес выполненных «мягких» логических ограничений будет максимальным для всех скобок логической формулы. Эту задачу называют смешанной задачей максимальной выполнимости, ее модель ЦЛП имеет вид:
о
у0 = Z соко ^ max; (8)
i =1
Z =j-I>j^-|cr|, о 'со+1; (9)
j-C+ j£CО
ТОСУ.-ТСУ.+К,^;] , «^...с; (10)
joCf jeC+
0< Ку, Z^ 1, j = 1,j, n, *' = lc, m. (11)
Kj,K zZ , = = 1]|.., n, i =1....,m ; (12)
На основе указанных моделей ЦЛП и метода регулярных разбиений проводились теоретические исследования задач с логическими ограничениями, разработка и анализ алгоритмов точного и приближенного решения [17], результаты которых применяются для различных прикладных задач.
Приведем вариант постановки задачи эскизного проектирования сложных изделий и соответствующую математическую модель с логическими, ресурсными и другими ограничениями. При этом учитывается разбиение элементов на группы составляющих, что позволяет адекватно отразить проблемную ситуацию и может быть использовано при разработке алгоритмов решения задач [1, 4, 9, 15, 19].
Для формулировки задачи введем следующие обозначения:
J — множество номеров составляющих изделия,
J={1.....п};
G — множество групп соскавлсющ их и харак-терис ти к;
а — номер группы, а cG;
Ма — номера составляющим, прснхдлежащих групп е ш;
v0 — cocваcлxющтя с номер ом , из группы а; xa — логическая переменная, которая принимает а а^^^ение истина, если vj входст в состав изделия, и — значение ложь в противном случае;
L — множество нтмeерт показателей, характеризующих степень целесообраоности вклюкеиия составл!ющих в издеаие;
saj — вес востхвляю]ще]01 или харсксерлссххх vG по l-мр иоказвтслмс lcL, jaea\
Xj — нлюшхя ^aHHiaea дм семерной знашимо-сти соосвляющхх по /-мушэарзеаелю, вюкюоеоных а из делже;
I — отожсство номерор рогичес^иса фсрмуж ис-;(ал;ауемых в задачх, Ж ^;
1д — мнвже ство но меровлогичeскит ф Vх) мул. та -торые соязывают перемехные, относяаиеея к ;аж лхчным группам;
С. — логичввкая фовмхла, соотвсаствмыщая г-му логичехому 1грсничению, ie00 ° Которся предсвав-ляет собой ,.>^01 зъюнкцию перемеюных ха и/млт их отрхианий хс , причем фермулы с номевами 0'0 и00 оилжны быть обязах(^льно isыпожтены;
d — ве0 фор мулы ю., характер изую щий от епень нообиодимисти ее выполнения, i и о0\ о'0 ;
Си — лсагическея формула, кото^я отвечает r-му лоеическому огаанхаению и связывает пере-сениы е групосы a, r c I а , прхчем формулы о номе-рсмх хз о'а и оа должны б^^ть обязательсо выполненоr ;
d; — вес формулы C r, характерхзующиI степей ь н гобхооим ости ее выполнения, r еоа\ оТ ; К — м тожество используемых ресур^(П1^;
— объем k-го ресурса, требуемого для изготовления ,-ой составляющео измелия груопы а, [ и к, е еМа о
b k — имеющийся объем k-го ресурса, [ и К. Задача состоит в отыскании значений моги-иеских пеиоменных, при кгооретх вьтолняюмся фирмулы1 С.с номерами /л 1[ и формулы1 Cr ло'а о aeG. При этомдолжны1 быте ~довлетворены1огра-ничения со ресурсам и по с^марной значимоогре включенных в изделие составгеющих, а общий лес метолненные формул C, гл о0\о'0 и формул Cс , с л о а \о' , а л G будет максимальным.
Пусть булева переменная yj принимает значение 1, если соответствующий ей элемент включен
в состав изделия, 0 — в противном случае, j л О , ал О. По а залолол с мо делью ЦЛП для смешанной задачи мазсимазьззой выполнимости можно построить модель досматриваемой задачи проектирования:
ieJ о \( aeG те\а\Га
T
J- -MJ ya
а а
a\ca - i, iei'■
т
тст-jjaa
jeC-a yet.
Taa- e^ca *C'-\-C aeea; a aG;
1rCar jeGa
0>e- TaCaza aaCL\,ce\a\ra-,aea;;
JeCar JrCca
туат^-т-р- i-La
ieGjeJa
та z-aaa,--к;
ayG jcJa
0<Уа<1, у.jj Gi-J\ja ; 0< y <1, Z;-Z, i-IAI'-
(13)
(14)
(15)
(16) (17)
JJG
(19)
(20) (21) (22)
В целевой функции (13) максимизируется сумма весов выполненных «мягких» логических формул для переменных, относящихся к различным группам составляющих, и переменных отдельных групп. Неравенство (14) отвечает «жестким» логическим ограничениям, связывающим переменные между группами. Неравенство (15) отвечает мягким ограничениям, связывающим переменные между группами. Ограничения (16) и (17) аналогичны ограничениям (14) и (15), но связывают переменные внутри групп.
Пожелания дизайнера по выбору составляющих и их включению в изделие задается системой (18). Неравенства (19) — ограничения для используемых ресурсов (по стоимости, расходу материалов и пр.), (20) — (22) — условия булевости переменных.
Допустимое решение задачи (13) —(22) определяет вариант изделия с учетом указанных условий. Отметим, что пользователь имеет возможность корректировать ограничения (15) и (17) с помощью весов. Оптимальных решений данной задачи может быть достаточно много, что позволяет специалисту сделать выбор с учетом своих предпочтений.
Одним из эффективных способов повышения конкурентоспособности готовой продукции является создание не отдельных изделий, а нескольких, связанных между собой общей группой составляющих («ядром серии»), при возможности варьирования и взаимозаменяемости остальных составляющих и элементов на основе применения моделей и методов дискретной оптимизации [5, 7]. Рассмотрим более подробно понятие «ядра» серии на примере проектирования одежды. Для этого разобьем все группы составляющих на два класса. Первый — группы составляющих изделия, являющихся фор-
мообразующими (перед, спинка, рукава и др.). Второй класс — группы, предназначенные для создания визуального разнообразия эскизов моделей изделий (воротники, карманы и пр.). «Ядра» порождаются некоторыми комбинациями составляющих первого класса, связанных между собой единством конструктивного решения. Элементы второго класса должны согласоваться с ядром, при этом учитывается их художественная, конструктивная и технологическая совместимость. Такой метод позволяет в процессе формирования серий изделий без дополнительных временных и ресурсных затрат параллельно изготавливать несколько моделей одежды в одном производственном потоке.
Ранее были разработаны несколько «ядер» при проектировании серий моделей женской одежды платьево-блузочного ассортимента, для создания которых был выделен ряд «жестких» логических ограничений, определяющих фиксированный набор элементов, принадлежащих первому классу составляющих и формирующих «ядро» серии. Остальные «жесткие» и «мягкие» логические ограничения порождали разнообразие моделей серии. Проведены соответствующие вычислительные эксперименты [6].
Еще одним перспективным направлением развития подхода является проектирование комплектов одежды [5, 7, 9], т. е. наборов изделий из различных ассортиментных групп, связанных между собой единством стиля, формой, пропорциональным соотношением элементов, согласованностью членений, сочетанием отделки, материалов, цветовым решением и т. д.
Разработка алгоритмов и программного комплекса. Для решения рассматриваемых задач проектирования сложных изделий ранее авторами использовались различные пакеты прикладных программ, в частности GAMS. Кроме того, был создан вариант программного комплекса [5, 9, 15] для автоматизации проектирования серий и единичных эскизов одежды. При этом решались задачи проектирования женских демисезонных пальто, жакетов, изделий платьево-блузочного ассортимента и некоторых технических устройств [2, 4 — 9, 15, 16, 18, 19]. В экспериментах варьировались веса элементов составляющих, а также степень важности выполнения определенных «мягких» логических ограничений. Рассматривались различные силуэтные формы проектируемых изделий, фиксировалось некоторое количество элементов, включенных в модель. Расчеты подтвердили практическую ценность развиваемого подхода. На его основе оказалось возможным достаточно быстро получать разнообразные варианты эскизов, которые применимы для разработки изделий различных ассортиментных групп, запускаемых в технологический процесс.
В настоящее время ведется разработка специальных алгоритмов для поиска точных и приближенных решений исследуемых задач с целью создания серий изделий на основе одного «ядра». В случае приближенного решения задачи учитывается ограничение на максимально допустимое отклонение от оптимального решения (по значению целевой функции). Реализован алгоритм поиска допустимых решений, удовлетворяющих системе жестких ограничений (14) и (16), на основе комбинаторного алгоритма перебора L-классов для задачи выполнимости [20]. Данный алгоритм позволяет за приемлемое время, решая задачу (13) — (22), создавать серию достаточно разнообразных изделий.
aZj<C-\, Ce 1о\ 10
0 < z" < 1, r a Ia \ I' ; aeG
С целью апробации алгоритма были проведены экспериментальные исследования. Для этого использовались задачи проектирования серий изделий платьево-блузочного ассортимента на основе разработанной ранее библиотеки составляющих графических изображений и логических ограничений для проектирования серий на основе одного из разработанных «ядер». Алгоритм реализован в среде Visual Studio C + +. Расчеты проводились на компьютере Intel(R), Core(TM) i5-3337U CPU @ 1.80Ghz.
Для проектирования изделий платьево-блузоч-ного ассортимента на основе реальных исходных данных решалась задача с 55 «жесткими» и шестью «мягкими» ограничениями, число булевых переменных равнялось 30. Достаточно быстро было получено более 100 различных оптимальных решений, на базе которых была построена серия эскизов одежды.
В настоящее время модернизируется программный комплекс [5, 9], который позволит специалисту вводить и корректировать исходные данные для создания технических эскизов, использовать математические модели и алгоритмы поиска оптимальных решений, реализовывать взаимодействие с базами знаний. Последние включают в себя следующую информацию: размерные признаки типовых фигур и их графические изображения, составляющие и характеристики швейных изделий, полученные технические и художественные эскизы, а также логические, ресурсные и другие ограничения, необходимые для построения математических моделей.
Комплекс должен обеспечивать возможность получать и модифицировать указанные ограничения, визуализацию проекта и промежуточных вариантов, готовить отчеты и выводить их на печать, использовать различные цветовые схемы.
Кроме прямого проектирования одежды такой программный продукт может обеспечивать анализ полученных решений по значениям ряда показателей с целью оценки качества готовых эскизов, а также проводить сравнение нескольких вариантов для выбора наилучшего из них.
Заключение. В статье продолжены разработка и исследование моделей целочисленного программирования для проектирования сложных изделий, в том числе в легкой промышленности, основанных на задачах выполнимости и максимальной выполнимости логической формулы. Особое внимание уделено созданию серий сложных изделий с применением специальных конструкций («ядер») на примере некоторых ассортиментных групп сложных изделий.
Ведется разработка алгоритмов и модернизация программного комплекса для автоматизации проектирования сложных изделий с целью расширения его функциональных возможностей. Проводятся экспериментальные исследования с использованием реальных исходных данных.
Библиографический список
1. Колоколов, А. А. Проектирование одежды с использованием некоторых моделей дискретной оптимизации / А. А. Колоколов, А. В. Ярош // Омский научный вестник. — 2002. - Вып. 20. - С. 91-94.
2. Гуселетова, О. Н. Решение задач дискретной оптимизации с логическими ограничениями при проектировании слож-
ных изделий / О. Н. Гуселетова, А. А. Колоколов // Автоматика и телемеханика. - 2008. - № 10. - С. 176-182.
3. Колоколов, А. А. Разработка и анализ моделей дискретной оптимизации для проектирования одного класса сложных изделий / А. А. Колоколов, Т. М. Орлова // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. - 2012. -№ 2 (110). - С. 22-24.
4. Артемова, А. В. Решение оптимизационных задач при разработке средств вычислительной техники : учеб. пособие / А. В. Артемова, А. А. Колоколов, В. И. Потапов. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2012. - 88 с.
5. Артемова, А. В. Применение методов дискретной оптимизации для проектирования некоторых классов сложных изделий с учетом колористических решений / А. В. Артемова, И. Е. Кан // Проблемы оптимизации сложных систем : тр. X Азиатской школы-семинара. - Алматы : НЦ НТИ, 2014. -С. 65-68.
6. Кан, И. Е. Об одном подходе к автоматизации проектирования одежды с использованием дискретной оптимизации (About one approach for the automation of the clothes design process using discrete optimization) / И. Е. Кан, А. В. Артемова // Российско-корейская науч. конф. : тез. докл. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2013. - С. 22-25.
7. Ярош, А. В. Решение задач формирования серий и комплектов одежды на основе дискретной оптимизации / А. В. Ярош, Л. В. Ларькина // Методы оптимизации и их приложения : тр. XIV Байкальской междунар. школы-семинара. -Иркутск : ИСЭМ СО РАН, 2008. - Т. 4 - С. 230-237.
8. Kolokolov, A. A. Computer-Aided Design of Some Assortment Groups of Complex Products Using Discrete Optimization / A. A. Kolokolov, A. V. Artemova, I. E. Kan // Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines (Dynamics), 2014. - P. 1-5. - DOI: 10.1109/Dynamics.2014.7005667. -Режим доступа: http://ieeexplore.ieee.org/xpl/login.jsp?tp = &arnumber = 7005667&url = http%3A%2F%2Fieeexplore.ieee. org%2Fxpls%2Fabs_all.jsp%3Farnumber%3D7005667 (дата обращения: 09.07.2016).
9. Артемова, А. В. О решении некоторых задач автоматизации проектирования изделий легкой промышленности / А. В. Артемова, И. Е. Кан // Математическое программирование и приложения : тез. докл. Всерос. конф. - Екатеринбург : Изд-во УрО РАН, 2015. - С. 69.
10. Адельшин, А. В. Применение задач выполнимости логической формулы для проектирования химического состава резин / А. В. Адельшин, Е. Н. Жовнер // Вестник Омского университета. - 2011. - № 2.- С. 14-18.
11. Посыпкин, М. А. Решение задач криптоанализа поточных шифров в распределенных вычислительных средах / М. А. Посыпкин, [и др.] // Труды ИСА. - 2009. - Т. 46. -С. 119-137.
12. Gu, J. Algorithms for the Satisfiability (SAT) Problem: A Survey / J. Gu, P. Purdom, J. Franco, B. Wah // DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, 1996, 131 p.
13. Sano, T. Computer aided design system for Japanese kimono / T. Sano, H. Yamamoto // Instrumentation and Measurement Technology Conference, 2001. IMTC 2001. Proceedings of the 18th IEEE. Vol. 1, 21-23 May 2001, P. 326331. - DOI: 10.1109/IMTC.2001.928834.
14. Zhou, X. The research of computer aided garment designing system based on CorelDraw / X. Zhou, S. Yu // Computer-Aided Industrial Design & Conceptual Design, 2009. CAID & CD 2009. IEEE 10th International Conference, 2009. - P. 1241-1243. -DOI: 10.1109/CAIDCD.2009.5375083. - Режим доступа : http://ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?arnumber= 5375083&queryText = The%20Research%20of%20Computer%20 Aided%20Garment%20Designing%20System%20Based%20on%20 Coreldraw&newsearch = true (дата обращения: 09.07.2016).
15. Колоколов, А. А. Математические модели и программный комплекс для проектирования эскизов одежды /
А. А. Колоколов, З. Е. Нагорная, О. Н. Гуселетова, А. В. Ярош // Прикладная математики и информационные технологии : сб. науч. и метод. тр. — Омск : Изд-во ОмГТУ, 2005. — С. 80-98.
16. Колоколов, А. А. Системы автоматизированного проектирования в сервисе : учеб. пособие / А. А. Колоколов, З. Е. Нагорная, А. В. Ярош. - Омск : ОГИС, 2006. - Ч. 1. -113 с.
17. Kolokolov, A. A. Analysis and solving SAT and MAXSAT problems using an L-partition approach / A. A. Kolokolov, A. V. Adelshin, D. I. Yagofarova // Journal of Mathematical Modeling and Algorithms, Spinger, 2013, Vol. 12, № 2, P. 201212.
18. Kolokolov, A. A. On solving some complex design problems using discrete optimization models / A. A. Kolokolov, A. V. Yarosh // Operation Research 2003, Annual International Conference of the German Operation Research Society (GOR). -Heidelberg, Germany : University of Heidelberg, 2003. 3-5 September. - P. 136.
19. Колоколов, А. А. Автоматизация проектирования сложных изделий с использованием дискретной оптимизации и информационных технологий / А. А. Колоколов, А. В. Ярош // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технология. - 2010. - № 2 (90). - С. 234-238.
20. Колоколов, А. А. Решение задачи выполнимости с использованием метода перебора L-классов / А. А. Колоколов, А. В. Адельшин, Д. И. Ягофарова // Информационные технологии. - 2009. - № 2. - С. 54-59.
КОЛОКОЛОВ Александр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией дискретной оптимизации института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал; заведующий кафедрой прикладной и вычислительной математики Омского государственного университета им. Ф. М. Достоевского. Адрес для переписки: kolo@ofim.oscsbras.ru АРТЕМОВА Александра Викторовна, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры информатики и вычислительной техники Омского государственного технического университета. Адрес для переписки: alexxartemova@gmail.com АДЕЛЬШИН Александр Владимирович, кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник лаборатории дискретной оптимизации института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал. Адрес для переписки: adelshin@mail.ru КАН Ирина Евгеньевна, преподаватель кафедры общеобразовательных дисциплин Сибирского института непрерывного дополнительного образования, г. Омск.
Адрес для переписки: irina.e.kan@gmail.com
Статья поступила в редакцию 12.07.2016 г. © А. А. Колоколов, А. В. Артемова, А. В. Адельшин, И. Е. Кан
Информация
Конкурс 2016-2017 года для студентов на лучшую работу, выполненную с использованием математических пакетов
Образовательный математический сайт Exponenta.ru проводит конкурсы для студентов на лучшую работу, выполненную с использованием математических пакетов.
Победитель конкурса получит приз от компании PTC.
Требования для работ на конкурс:
Аннотация работы (не более 2500 знаков), оформленная в виде текстового файла либо в MS Word Исходные файлы самой работы (файлы *.mcd, *.m, *.mws, *.nb и т. д.) Краткие сведения об авторе/авторах и работе:
— фамилия, имя, отчество;
— e-mail для связи;
— название работы;
— название Вашего вуза;
— название пакета, который Вы использовали при решении;
— название курса, по которому выполнена работа;
— тип Вашей задачи (задача домашнего задания, лабораторная работа, курсовая работа и т. п.);
— почтовый адрес с индексом (для высылки дипломов).
Присланные работы будут помещены в разделе Банк студенческих задач и станут доступны для просмотра и свободного скачивания любым посетителям сайта Exponenta.ru.
Организаторы сайта оставляют за собой право отбора работ для размещения на сайте и редактирования описаний работ.
Работы принимаются по 31 января 2017 года. Итоги конкурса будут подведены в феврале 2017 года.
Подать заявку на участие и ознакомиться с информацией о конкурсе можно на сайте Exponenta.ru: http://www.exponenta.rU/educat/competit/competit_konk.asp#2
Источник: http://www.rsci.ru/innovations/grants_for_students/239548.php (дата обращения: 06.10.2016).
