РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА СТАБИЛИЗАЦИИ МОДЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ "ВРАЩАЮЩИЙСЯ МАЯТНИК" Текст научной статьи по специальности «Математика»

Разработка алгоритма стабилизации модельной системы «вращающийся

маятник»

Стажилов И.В. ФГБОУВПО НГТУ, Новосибирск, Россия

Аннотация: В данной статье обсуждается возможность решения задачи стабилизации неустойчивой электромеханической системы «вращающийся маятник». Показывается схематическое представление исследуемой системы, приводятся нелинейные

дифференциальные уравнения, описывающие её поведение. Осуществляется переход к упрощенной модели, для которой проводится исследование основных качественных свойств. Разрабатывается алгоритм стабилизации, позволяющий обеспечить на выходе процессы требуемого качества. Проводится

моделирование замкнутой системы в программной среде ЫийиЪ 8гти1тк.

Ключевые слова: вращающийся маятник, модель, исследование, стабилизация.

ВВЕДЕНИЕ

На практике зачастую возникают проблемы при управлении движением различных электромеханических систем. Для формирования желаемого режима в большинстве случаев рекомендуется строить закон управления, чаще всего с обратной связью. В случае с классом нелинейных объектов синтез автоматических систем представляется достаточно сложной задачей. Наибольшую трудность вызывает построение алгоритма управления для систем с неустойчивыми или находящими на границе устойчивости вырожденными движениями, процессы в которых развиваются произвольным образом и, в конечном итоге, могут привести к потере работоспособности всей системы в целом. В таких случаях применяется подход, заключающийся в предварительной коррекции подсистемы вырожденных движений при помощи введения в ней отрицательных обратных связей [1-3]. После чего, можно формировать алгоритм управления для обеспечения желаемых свойств по выходной переменной объекта.

Данная статья посвящена решению проблемы стабилизации модельной системы «вращающийся маятник», которую можно рассматривать как успешную лабораторную идеализацию груза, подвешенного на канате подъемного крана.

Обсуждаемый объект управления

представляет собой груз (1), подвешенный на нерастяжимой нити (2). Нить прикреплена к вращающейся руке (3), которая в свою очередь жестко соединена со стержнем (4), способным

вращаться в диапазоне 360° в обе стороны под действием управляющего воздействия.

Схематическое представление системы «вращающийся маятник» представлено на рис. 1.

Рис.1. Система «вращающийся маятник»

1. ОПИСАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ «ВРАЩАЮЩИЙСЯ МАЯТНИК» И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА

Динамика объекта может быть описана с помощью следующих уравнений:

(7+ М12)( в-фат в соя в) + Мгфсоа в + т

+Кв + Ы(М + —)яп в = 0, ,1Ч

2 (1) Мг1 ¿соя в - Мг1 в1 ят в + 2(7р + т12) фяп в соя в +

+(7 + тг 2 + Мг 2 + (7 р + т12)зт2 в)ф = и.

Здесь в - угол отклонения груза (выходная переменная), ф - угол поворота вращающейся руки (выходная переменная), и -прикладываемый момент (входная переменная), I - длина нити, М - масса груза, 7р - момент

инерции груза, г - радиус (длина) вращающейся руки, т - масса вращающейся руки, 7 - момент инерции вращающейся руки, g - ускорение силы тяжести, Я - коэффициент затухания колебаний

груза.

Сделав в (1) замену переменных:

a = Jp + Ml2,

b = J + Mr2 + mr2, c = Mrl,

(2)

m

'= lg + (M + -),

и допустив с целью упрощения, что

р2 = 0, в2 = 0, в-(р = 0, получим следующую систему уравнений: \ав + cpcos в + R0 + d sin в = 0, [ctfcos в + (b + a sin2 в)р = U.

(3)

Для системы «вращающийся маятник» накладываются следующие дополнительные ограничения на ресурс прикладываемого к системе управления:

U е [-Umax5 Umax], (4)

и ограничения на диапазон углов поворота вращающейся руки:

je[-jmax, jmax ] • (5)

Задача синтеза, которую необходимо решить для данного объекта это приведение угла отклонения груза от вертикали к нулевому значению с одновременной стабилизацией координаты вращающейся руки в ограниченном диапазоне углов в соответствии с условиями:

ilim 9(t) = 0,

j t®¥ (6)

jHrnj(t) G [-jmax,jmax ] ,

при выполнении требований по быстродействию

*

к переходному процессу в системе (tn < tn), где

*

tn - желаемое время переходного процесса.

2. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ СИСТЕМЫ ПО ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ МОДЕЛИ

Перед выбором алгоритма стабилизации системы «вращающийся маятник» необходимо убедиться, что задача синтеза в постановке (6) для модели (3) будет иметь решение.

На первом этапе исследуем свойства объекта управления по его линейной модели. Если допустить, что мы имеем дело с углами отклонения груза от вертикали в диапазоне ± 5°, и разложить sin и cos в ряды Тейлора[4], мы получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений, описывающих поведение объекта «вращающийся маятник» в рабочей точке:

bd „ bR

в =

c - ab dc

-в + -

c - ab cR

в + -

c

c2 - ab a

-U,

(7)

ab

ab

,2

c

ab

-U.

Перейдем к описанию модели объекта в переменных состояния. В качестве компонент вектора состояния были выбраны следующие величины:

^=0, х2 = (9, х3 = <р, х4 = ф. (8)

В результате уравнения состояния примут следующий вид:

bd

c - ab dc

-x, +-

bR

c2 - ab

x+

c

c2 - ab

-U,

(9)

cR

c2 - ab 1 c2 - ab 2 c2 - ab

U,

yi = X1, y2 = X3.

Рис.2. Структурная схема системы «вращающийся маятник»

2

2

c

c

Х1 = Х2

a

хв4

Структурная схема объекта управления «вращающийся маятник», соответствующая уравнениям (9), представлена на рис.2.

Найдем множество равновесных состояний [5] системы, для чего приравняем производные в правой части (9) к нулю.

0 = х-,

0 =

Ъё

-х +

ЪЯ

х +-

с2 -аЪ 1 с2 -аЪ 2 с2 - аЪ

и,

0 = х

4'

ёс сЯ а

с2 аЪ 1 с2 аЪ 2 с2 аЪ

(10)

и,

у1 = х1, у2 = Х3-

Решив эту систему относительно неизвестных, получим состояния равновесия:

х° = 0,

х20 — -—и ^ х20 — 0 при и — 0,

2 Ъё 2 И '

х30 - любое, х0 — 0.

(11)

Таким образом, для модели (9) задача стабилизаций груза в нуле разрешима, так как эта точка принадлежит множеству равновесных состояний объекта, при этом угол ф может иметь любое значение.

С целью выбора алгоритма управления определим относительную старшую производную объекта. Под относительной старшей производной понимаем производную от у, которая явно зависит от управления и эта зависимость не вырождена [5]. Для определения относительной старшей производной по углу отклонения груза от вертикали необходимо последовательно дифференцировать первое уравнение выхода (9).

у1 = х1 = х2,

У1 = х2 = с2 с тт

+ ~2-й и.

с2 - аЪ

Ъё

-аЪ

х1 +" 2

ЪЯ

-аЪХ2 + (12)

На основании (12) можно утверждать, что относительной старшей производной системы «вращающийся маятник» является вторая. Таким образом, если задаться желаемым уравнением:

вв = ^ (у, у), (13)

то оно будет реализуемо во всех точках.

Поскольку порядок относительной старшей производной меньше порядка объекта, то в нем есть вырожденные движения. Порядок подсистемы вырожденных движений

определяется как разница порядков объекта и относительной старшей производной и в данном случае равен двум. Реализация уравнения (13)

предполагает наличие устойчивых вырожденных движений.

Для выделения подсистемы вырожденных движений рассматривается следующая система уравнений:

[У = х1 = 0 [ у — х2 — 0.

Подставим (14) в (9), получим:

(14)

х = 0,

с

и,

х2 с2 -аЪ

х3 — х4,

• = а х4 =-~с2-аЬ

(15)

и,

у1 = х1, у2 = х3 .

Подсистема вырожденных описывается уравнениями:

х4 = - 2

с2 - аЪ

-и.

движений

(16)

Таким образом, подсистемой вырожденных движений является подсистема «вращающаяся рука» и поскольку она линейная, ее легко проверить на устойчивость. Корни характеристического уравнения подсистемы (16) имеют значения:

1 — 0, 1 — 0 ,

поэтому она находится на границе устойчивости[5].

Это ограничивает применение для данного объекта практически любого из известных методов синтеза, особенно в случае, когда стоит задача не только обеспечить требование по стабилизации угла отклонения груза от вертикали, но и требование по стабилизации координаты вращающейся руки в ограниченном диапазоне.

3. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА СТАБИЛИЗАЦИИ МОДЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ «ВРАЩАЮЩИЙСЯ МАЯТНИК»

В работе [6] были разработаны рекомендации по выбору алгоритма стабилизации системы «вращающийся маятник» с учетом ее особенностей.

Предложено формировать общее управление на систему как сумму двух составляющих:

и — и1 + и2, (17)

где и1 - составляющая, позволяющая при помощи введения отрицательных обратных связей предварительно скорректировать вырожденную подсистему «вращающаяся рука», сделав ее устойчивой, и2 - составляющая

с

х3 х4

а

управления, которая будет сформирована для

стабилизации угла отклонения груза от вертикали.

Для формирования и предлагается

использовать пропорционально -

дифференциальный (ПД) регулятор [7] в

обратном канале и сформировать закон управления вида:

и = крф + кф , (18)

где кр - коэффициент пропорциональной составляющей, ка - коэффициент дифференциальной составляющей определяются методом подбора.

Для формирования составляющей управления и2 с целью стабилизации угла отклонения груза от вертикали, предлагается использовать метод локализации (ПЛ-метод)[8]. При этом закон управления будет иметь вид:

и2 = К (Р ( 0, 0)-в), (19)

где К - коэффициент усиления, Р- уравнение желаемой динамики, которое задается, исходя из требований к качеству переходного процесса. Так как относительной старшей производной системы «вращающийся маятник» является вторая, то уравнение желаемой динамики может быть

линейным уравнением типа:

в = Р = -а1 в - а00. (20)

4. ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР РАСЧЕТА И РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

В Табл. 1 представлены численные значения объекта управления «вращающийся маятник».

Таблица 1

Параметр Значение Ед. изм.

М, масса груза 0.1 кг

1, длина маятника 1 м

.1р, момент инерции маятника 0.02 кг-м2

т, масса вращающейся руки 1 кг

г , длина вращающейся руки 0.5 м

Я, коэффициент затухания колебаний 0.1 кг/с

■], момент инерции вращающейся руки 0.25 кг -м2

Требование к качеству переходного процесса следующее:

*п £ 3 С.

На рис. 3 представлена схема моделирования замкнутой системы при следующих численных параметрах регулятора:

а0 = 15, а1 = 3, ка = 14, кр = 4,К = 1.

Рис.3. Структурная схема замкнутой системы с регулятором

На рис. 4. представлены переходные процессы по углу отклонения груза от вертикали и углу отклонения вращающейся руки в разомкнутой системе.

: -Угол отклонения груза -Угол отклонения вращающейся руки

: :

u

: Л Л j \J : V

v M Г

............ V

Рис.4. Переходные процессы в системе без регулятора при отклонении груза на величину 5 градусов

-Угол отклонения груза

Рис.5. Переходные процессы в системе с регулятором при отклонении груза на величину 5 градусов

-Uffl |

-5-1-1-1-'-1-

О 0.5 1 1.5 2 2.5 3

1

Рис. 6. Переходный процесс по управляющему воздействию при начальном отклонении груза на

величину 5 градусов

На рис. 5 и 6 представлены переходные процессы по углу отклонения груза от вертикали,

углу отклонения вращающейся руки и управляющему воздействию в замкнутой системе с регулятором.

Полученные графики переходных процессов позволяют сделать вывод о том, что в замкнутой системе удается добиться требуемых свойств как по углу отклонения груза от вертикали, так и по углу отклонения вращающейся руки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной статье была рассмотрена возможность решения задачи стабилизации модельной системы «вращающийся маятник». Приведены нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие поведение данной системы, и сформулирована задача синтеза. Осуществлен переход к линеаризованной модели, для которой проведен анализ ее основных качественных свойств. Предложен алгоритм стабилизации системы с учетом особенностей ее математической модели. Приведены результаты моделирования замкнутой системы в среде Matlab Simulink, подтверждающие работоспособность предложенного алгоритма стабилизации. В дальнейшем предполагается численная оптимизация регуляторов по методам, разработанным в публикациях [9-11].

ЛИТЕРАТУРА

[1] Саблина Г.В. Разработка и исследование методики стабилизации объекта управления «каретка-маятник: Автореф. дис. канд. техн. наук. -Новосибирск, 2000 г.

[2] Саблина Г.В., Ходакова Д.И. Исследование математической модели системы «подвешенный груз». / Сб. науч. тр. НГТУ. - Новосибирск, 2009. -Вып. 2(56). - с. 11-18.

[3] Саблина Г.В., Ходакова Д.И. Разработка алгоритма стабилизации системы «подвешенный груз»./Сб. науч. тр. НГТУ. - Новосибирск, 2009. - Вып. 3(57).

- С. 33-40.

[4] Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.-13-е изд., исправленное. - М.: Наука, 1986.

[5] Востриков А.С., Французова Г.А. Теория автоматического регулирования: Учеб. пособие -Новосибирск, 2003.

[6] Саблина Г.В., Ходакова Д.И. Исследование свойств модельной системы «вращающийся маятник»./Сб. науч. тр. НГТУ. - Новосибирск, 2009. - Вып. 3(57).

- С. 25-32.

[7] Изерман Р. Цифровые системы управления. -М.: Мир, 1984.

[8] Востриков А.С. Синтез нелинейных систем методом локализации. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1990.

[9] Modern key techologies in automatics: Structures and numerical optimization of regulators. Zhmud, V., Yadrishnikov, O., Poloshchuk, A., Zavorin, A. 2012. Proceedings - 2012 7th International Forum on Strategic Technology, IFOST 2012.

[10] The design of the feedback systems by means of the modeling and optimization in the program vissim 5.0/6. Zhmud, V., Liapidevskiy, A., Prokhorenko, E. 2010. Proceedings of the IASTED International Conference on Modelling, Identification and Control. PP. 27-32.

[11] V. Zhmud, O. Yadrishnikov. Numerical optimization of PID-regulators using the improper moving detector in cost function. Proceedings of the 8-th International Forum on Strategic Technology 2013 (IFOST-2013), vol. II, 28 June - 1 July. Mongolian University of Science and Technology, Ulaanbaator, Mongolia. IEEE organized. 2013. P. 265 - 270. http://www.must.edu.mn/IFOST2013/

Стажилов Иван Владимирович,

магистрант кафедры автоматики.

Email: [email protected]

Development of Stabilization Algorithm of «Rotating Pendulum» Modeling System

Ivan Stazhilov

Abstract: In this article the possibility of stabilization problem decision of unstable «Rotating Pendulum» electromechanical system is discussed. The schematic representation of observable system is pictured and the nonlinear differential equations which describes of this system behavior are presented. The transition to reductive model is realized and the research of its main qualitative properties is executed. Modeling the closed-loop system in Matlab Simulink program environment is spent.

Key words: rotating pendulum, model, research, stabilization.

REFERENCES

[1] Sablina G.V. Development and research of methods of stabilization of control "carriage-pendulum": Authoreferate of dissertation for science degree of

Cand. Technical Sciences (PhD). Novosibirsk, 2000.

[2] Sablina G.V., Hodakova D.I. Investigation of a athematical model of the system "suspended load". Collection of scientific works of NSTU. Novosibirsk, 2009. - Vol. 2 (56). p. 11-18.

[3] Sablina G.V., Hodakova D.I. Development of an algorithm to stabilize the system "suspended load". Collection of scientific works of NSTU. Novosibirsk, 2009. - Vol. 3 (57). p. 33-40.

[4] Bronstein, I.N., Semendyaev K.A. Handbook of mathematics for engineers and students of higher technical educational institutis, 13th ed., Revised. M .: Nauka, 1986.

[5] Vostrikov A.S., Frantsuzova G.A. Control Theory: Proc. Guide - Novosibirsk, 2003.

[6] Sablina G.V., Hodakova D.I. Study of the properties of the model system "rotating pendulum". Collection of scientific works of NSTU. Novosibirsk, 2009. Vol.3(57). p. 25-32.

[7] Izerman R. Digital control systems. M .: Mir, 1984.

[8] Vostrikov A.S. Synthesis of nonlinear systems by method of localization. Novosibirsk: Publishing House of the NSTU, 1990.

[9] Modern key techologies in automatics: Structures and numerical optimization of regulators. Zhmud, V., Yadrishnikov, O., Poloshchuk, A., Zavorin, A. 2012. Proceedings - 2012 7th International Forum on Strategic Technology, IFOST 2012.

[10] The design of the feedback systems by means of the modeling and optimization in the program vissim 5.0/6. Zhmud, V., Liapidevskiy, A., Prokhorenko, E. 2010. Proceedings of the IASTED International Conference on Modelling, Identification and Control. PP. 27-32.

[11] V. Zhmud, O. Yadrishnikov. Numerical optimization of PID-regulators using the improper moving detector in cost function. Proceedings of the 8-th International Forum on Strategic Technology 2013 (IFOST-2013), vol. II, 28 June - 1 July. Mongolian University of Science and Technology, Ulaanbaator, Mongolia. IEEE organized. 2013. P. 265 - 270. http://www. must. edu.mn/IFOS T2013/