CC BY
21Проблема стабилизации нелинейных объектов типа «Качели»
О.А. Вотрина, К.Н. Мелешкин ФБГОУ ВО НГТУ, Новосибирск, Россия
Аннотация: В работе представлена основная информация о колебательных нелинейных объектах типа «Качели» и известных способах их стабилизации. Рассматривается основное известное применение данного вида объекта -моделирование походки человека. Выделены основные преимущества существующих способов стабилизации. На основе приведенного анализа известных подходов планируется разработка более универсального способа стабилизации объекта «Качели». Ходьба человека имеет несколько фаз, в том числе и переходных. Это осложняет моделирование и стабилизацию такой системы. Стабилизация каждой фазы имеет свою область устойчивости и дополнительные ограничения, накладываемые на модель при действии внешних сил.Анализ существующих литературных источников позволил выявить преимущества и недостатки каждого из этих привед енных выше способов стабилизации. Так, плюсом применения линейной обратной связи с насыщением является то, что она позволяет подавить неустойчивую моду системы. В то же время при максимизации области притяжения становится возможным получение обширной области устойчивости стабилизированной системы. Плюсом подхода расчета регулятора обратной связи при помощи карт Пуанкаре является то, что анализ перемещения системы робота позволяет при стабилизации наиболее точно соблюсти «натуральную» походку человека.
Ключевые слова: модельный объект «Качели»; качели «СИСО»; моделирование ходьбы; регулятор; система стабилизации.
ВВЕДЕНИЕ
Среди множества технических устройств выделяется класс объектов, имеющих высокую степень колебательности. Такие системы менее качественны, нежели их аналоги с низким уровнем колебательности. При действии внешних сил объект не отрабатывает возмущения, и требования к качеству переходного процесса не выполняются. В связи с этим для таких объектов актуальной является проблема их стабилизации. В последние годы в отечественной и иностранной литературе появилось множество публикаций, посвященных стабилизации различных маятниковых систем с высоким уровнем колебательности [1-5].
Одной из таких маятниковых систем является нелинейный объект типа «Качели», который. имеет несколько интерпретаций, исходя из отличий конструкции объекта и, следовательно, самой модели.
Объект «Качели», состоящий из маятника с грузом, подвешенного на тонкой нити, используется в биомедицине при моделировании движений коленного сустава, а также при моделировании походки человека [8, 14-15]. В работе [8] используют такой объект в совокупности с системой перевернутого маятника, а также двойного перевернутого маятника для моделирования движения разных частей тела.
Одним из вариантов колебательного объекта являются «Качели СИСО» (от англ. «seesaw») [6], которые представляют собой сегмент цилиндра, причем его цилиндрическая поверхность касается опорной поверхности (рис. 1).
Такой вид качелей рассматривают как составной объект «Каретка-качели» [7]. Две
каретки, свободные в движении по рельсам, установлены на вершину платформы качелей (рис. 2). Сложность объекта заключается в том, что он имеет несколько степеней свободы и неустойчивую основу. Такой вид объекта используется для тестирования сейсмической устойчивости зданий и различных конструкций. а I
\
\
\
\
\
\
Рис. 1. Объект «Перевернутый маятник, установленный на качелях СИСО»
Рис. 2. Объект «Каретка-качели»
В работах [9-12, 16, 17, 18, 19] рассматривают объект в виде подвешенного маятника с грузом применимо к движению двуногого робота с семью степенями свободы. Такое представление моделирует коленное соединение, которое перемещается от одной опорной фазы к другой, при этом благодаря заранее заданной траектории движение можно сделать более точным и стабильным.
1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОХОДКИ ЧЕЛОВЕКА С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКОВОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрим подробнее один из возможных алгоритмов моделирования походки человека [8]. Приводится описание задачи, когда движение имеет место в воображаемой
вертикальной плоскости, которая проходит спереди назад и делит объект на левую и правую части. При этом фаза опоры на две точки подразумевается мгновенной, а влияние перемещения верхних конечностей не учитываются. На основании симулирования человеческой походки (включая силы, которые действуют на конце опорной ноги в фазе перемещения с одной опорой) получена информация о моментах, которые приложены к коленным, тазобедренным и голеностопному (для опорной ноги) суставам по ходу перемещения.
В качестве механической модели шагающего человека рассмотрен плоский пятизвенный антропоморфный механизм (рис. 3). Он состоит из пяти звеньев — корпуса АВ и двух одинаковых двузвенных ног. Каждая из ног состоит из бедра (DF1 в опорной ноге и DF2 — в переносимой) и голени (OF1 в опорной ноге и BF2 — в переносимой). Звенья механизма соединяются одно с другим шарнирами (суставами). Коленные (в точках F1 и F2), тазобедренные (в точке В) и голеностопные (в точках О и В) суставы считаются одноосными шарнирами, оси которых перпендикулярны продольной (сагиттальной) плоскости — плоскости чертежа. Поскольку
трение в суставах человека мало, то, пренебрегая им, шарниры механизма полагаем идеальными. Такая модель представляет собой многозвенный перевернутый маятник на подвижной опоре.
-уууу/Л X
Рис. 3. Плоский пятизвенный антропоморфный механизм, моделирующий движение человека
Для получения уравнений движения плоского пятизвенного антропоморфного механизма использовались уравнения Лагранжа II рода. Приняв семимерную матрицу-вектор
(1)
где -Гв, yD — координаты тазобедренного сустава D, за вектор-столбец обобщенных координат, уравнения плоского движения пятизвенника были записаны в матричной форме [8]:
5 .г г - г.-: г - .г г: = :..- ■ (2)
где
|| sinzt ||=|| 0,1,sinр,sinа,sinа2,sin Д,sinД ||г,
(3)
11^11= ПОГ (4] В (¿) - матрица кинетической энергии, дЛ -ускорение свободного падения, зависящих от гравитации (д - ускорение свободного падения); w - вектор-столбец 7x7 сил и моментов сил, приложенных к системе, включая суставные моменты в тазобедренных (Мк^, Mfc2). коленных М-,) и голеностопном (Ms для опорной ноги) суставах, развиваемые человеком при движении, а также компоненты Rx, Ну силы реакции опоры в стопе опорной ноги. Матрицы
5 г г а - г имеют порядок 7x7.
Согласно [14, 15], положения центра масс человека и тазобедренного сустава при выполнении шага практически совпадают и движутся по подобным траекториям. В одноопорной фазе шага опорная нога остается практически прямой, т.е. точка D тазобедренного сустава движется по части окружности радиуса, равного сумме длин бедра и голени (рис. 4, траектория fD) [14].
Рис. 4. Иллюстрация к алгоритму задания движения конца переносимой ноги, точка В
Описание движения корпуса в одноопорной фазе шага выглядит следующим образом:
ф = СО-к БШр,
(5)
где = — ф - угол отклонения корпуса от
вертикали, g - ускорение свободного падения, & -расстояние от центра масс до тазобедренного сустава.
Здесь на значение вычисляемых моментов и реакций достаточно сильно влияет изменение угла наклона корпуса. Корпус рассмотрен как опрокинутый маятник с центом масс, находящимся на расстоянии & от тазобедренного сустава.
Поскольку отклонение корпуса от вертикали ф достаточно мало (2-4 градуса), то можно рассматривать линеаризованную модель
(6)
При этом предполагается, что уравнение движения точки Б по траектории / представляет собой уравнение движения свободного
перевернутого математического маятника, или, с другой стороны, однозвенного объекта «Качели» [13].
2. СТАБИЛИЗАЦИЯ ПРИ ПОМОЩИ ЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ С НАСЫЩЕНИЕМ
Рассмотрим случай стабилизации
перевернутого маятника, установленного на качелях типа СИСО (пресс-папье) в его верхнем неустойчивом положении равновесия [6]. Обозначена плоская задача, при этом ось вращения перевернутого маятника расположена в плоскости симметрии сегмента на его плоской поверхности. Управлением в системе является момент, создаваемый двигателем в оси вращения маятника, величина которого ограничена. Такая система представляет собой простейшую модель человека, стоящего на СИСО при допущении, что человек моделируется стержнем.
Уравнения кинетической, потенциальной энергий сил тяжести и работа на возможном перемещении сил, действующих в соединительном шарнире отражены в следующем виде:
Г = 7Ф ._■ - т.'-'- ^ ..-. - .-.- (7) П - ■"...' }. - ■ ::■:- - ■ - - (8) = ;■..;.-.-(9)
Ф(ф) = + г2 + р2 - 2Ягс05<р) -I- М(Е2 +-
- 2ДКсозф)
(10)
г = - ::: (11)
Далее получено уравнение движения в форме Лагранжа II рода в матричном виде:
■-■■■; - -г ■■■ г - --"■■:■; = - (12)
где q =
Жч:) =
Мр$ а. ф) I
<р) Ф&-) I
О
—М£[йе!>1 а + ИЕт (ср — к)]
(5? — от) I (МА +- тг)Лк№ ф I
В допущении того, что углы наклона ф и а на протяжении всего периода движения малы, была получена линеаризованная модель
рассматриваемой системы.
Одной из естественных проблем человека, стоящего на качелях, является возвращение в состояние равновесия, когда появляются сильные отклонения от него. Другими словами, очевидно предположить, что человек стремится максимизировать область начальных возмущений, которые можно преодолеть. В [6] предлагается спроектировать управление, стабилизирующее
равновесие системы (рис. 1). В процессе работы был сформирован закон управления, который обеспечит максимальную область притяжения. Под областью притяжения понимается множество начальных состояний, из которых система асимптотически приближается к началу координат.
Для такой системы был использован способ, описанный ранее [13], построен регулятор, стабилизирующий неустойчивое вертикальное положение перевернутого маятника и горизонтальное положение платформы с
максимальной областью притяжения.
Неустойчивую моду системы было решено подавить при помощи управления в виде обратной связи. При учете данного ограничения на управление вместо линейной обратной связи следует рассматривать линейную обратную связь с насыщением. Итоговый закон управления максимизирует область притяжения системы, и в этом смысле оптимален.
Наряду с вышесказанным приводится доказательство того, что чем больше в системе маятника с подвижной точкой подвеса коэффициент усиления, тем быстрее стремится к нулю величина выхода [13]. Также показано, что при наличии запаздывания в цепи обратной связи коэффициент усиления не может быть слишком большим, иначе система может потерять устойчивость. Запаздывание возникает из-за задержек в контуре управления, а также при поступлении информации с датчиков. Вопрос об оценке допустимого запаздывания в цепи обратной связи весьма важен в задаче стабилизации всякого неустойчивого объекта, поскольку уже при небольшом запаздывании стабилизация такого объекта может оказаться невозможной. Для решения вопроса об устойчивости системы с управлением при наличии чистого запаздывания в цепи обратной связи достаточно рассмотреть уравнения движения с линейной обратной связью. Такой подход к синтезу обратной связи может быть применен к системам, степень неустойчивости которых равна единице.
В дополнение, рассматривается полная нелинейная модель маятника с неподвижной точкой подвеса и доказывается, что состояние равновесия может быть достигнуто при любом начальном состоянии с помощью ограниченного по абсолютной величине управления.
3. УПРАВЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИМ ДВИЖЕНИЕМ
Рассмотрим задачу управления плоским перемещением пятизвенного двуногого робота по лестнице с заданными длиной и высотой ступени [9], аналогичную модели, предложенной в [8].
В данной работе представлено решение задачи обеспечения периодического движения по лестнице двуногого пятизвенного робота с коленями. Предложен векторный выход, на основе которого построена нормальная форма системы, описывающей поведение робота на фазе одноопорного движения [9]. Получены управления, обеспечивающие движение робота по лестнице в соответствии с заданными характеристиками: из множества решений системы, описывающей модель шагания двуногого робота с коленями, было выделено единственное, так как в произвольный момент времени Ь, принятый за начальный, были заданы условия для координат тела и угловых скоростей. Полученное решение х (^ t0, х0) будет удовлетворять всем
требованиям, заданным при конструировании управления: за конечный момент времени угол наклона туловища приблизится к траектории движения таза и конца опорной ноги станут параболическими, положение таза зафиксируется посередине между концами ног.
Использование уравнений Лагранжа II рода позволило получить систему уравнений, описывающую поведение робота на фазе одноопорного движения:
Г.;;-:.;;;-:.; = _г.. (13)
4= (.41-Чз1'Чаз-4*1-ЧаУ (14)
где Б(д) — симметрическая положительно определенная матрица пятого порядка, е)]-квадратная матрица пятого порядка, О(д) — вектор обобщенных сил тяжести, В — матрица коэффициентов при управлении:
(15)
Недостаток построенной модели заключается в том, что невозможно заранее, зная лишь начальное условие х^о) = хо, предсказать поведение робота в последующие моменты времени: может оказаться, что условие перемены роли ног выполнится раньше, чем наступит момент t = а это значит, что построенное управление и не успеет стабилизировать движение системы.
Рис. 5. Полученная последовательность состояний робота при периодическом движении по лестнице
Для устранения указанного недостатка было построено периодическое решение системы, для которого в качестве начальных условий были установлены значения вектора х в момент перед ударом ноги о поверхность.
4. СПОСОБ ПУАНКАРЕ ДЛЯ СТАБИЛИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим решение задачи обеспечения стабилизации движения двуногой модели робота, перемещающегося по горизонтальной плоскости [10]. Дифференциальные уравнения,
описывающие рассматриваемую систему
(полученные при помощи метода Лагранжа) в фазе переноса ноги с тремя степенями свободы:
05 -н + С(.9) = ВДк (16) где у = («1-и2У. б = (А, 0г, 3Э)Г: 91
параметризуют опорную ногу, 02 - ногу в воздухе, а 0з - корпус.
В данной работе было предложено использовать способ сечений Пуанкаре для разработки контроллера в обратной связи, обеспечивающего стабилизацию положения робота. Применение полного способа требует расчета дискретно-временной карты, что является очень затруднительным для заданного объекта. Предлагается использовать сходящиеся обратные связи в определенном конечном промежутке времени для приведения туловища и качающейся ноги к известным функциям опорной ноги и, тем самым, свернуть размерность изображения карты Пуанкаре в одномерное множество.
В ходе работы было также показано, что нулевая динамика двуногой модели робота не является инвариантной под моделью воздействия. Такая инвариантность может быть восстановлена за счет регулирования с высоким коэффициентом усиления [10].
5. ПИ-РЕГУЛЯТОР И РЕГУЛЯТОРА ПЕРЕХОДА
Обозначим задачу проектирования регуляторов для стабилизации модели плоского двуногого робота с дефицитом одного из управляющих параметров [16], дифференциальные уравнения динамической системы которой показаны в [12]. Было отмечено, что выбранная методика позволяет создавать регуляторы для получения перемещения робота с несколькими дискретными скоростями ходьбы с гарантированной стабильностью во время переходов фаз опорных ног. Также появляется возможность регулировать среднюю скорость ходьбы робота до непрерывных значений.
Для перехода от фазы перемещения к фазе стабильного стоячего положения был создан ПИ-регулятор на основе событий, который управляет параметрами выхода для достижения перемещения робота на непрерывных скоростях и помогает поддерживать желаемый ритм ходьбы. Использование данного подхода позволило замедлять робота до тех пор, пока у него не осталось достаточно энергии для следующего шага, тем самым остановить его. Разработка регулятора основана на гибридной нулевой динамике. Переход от одного контроллера экспоненциальной стабильности к другому осуществлялся с помощью контроллера перехода.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основе проведенного анализа применения и способов стабилизации системы «Качели» было выявлено, что наиболее применима данная модель в рамках имплантации коленного сустава человека и моделировании коленного сустава двуногого
шагающего робота. Осложняет моделирование и стабилизацию такой системы тот факт, что ходьба человека имеет несколько фаз, в том числе и переходных. Стабилизация каждой фазы имеет свою область устойчивости и дополнительные ограничения, накладываемые на модель при действии внешних сил.
Анализ существующих литературных источников позволил выявить преимущества и недостатки каждого из этих приведенных выше способов стабилизации. Так, плюсом применения линейной обратной связи с насыщением является то, что она позволяет подавить неустойчивую моду системы. В то же время при максимизации области притяжения становится возможным получение обширной области устойчивости стабилизированной системы. Плюсом подхода расчета регулятора обратной связи при помощи карт Пуанкаре является то, что анализ перемещения системы робота позволяет при стабилизации наиболее точно соблюсти «натуральную» походку человека. Таким образом, синтезированная система будет обеспечивать плавность движений и устойчивость во время фаз перехода с одной опорной ноги на другую.
На основе приведенного анализа известных подходов в дальнейшем предлагается разработать более универсальный способ стабилизации объекта «Качели» для повышения устойчивости при перемещении коленного сустава, а также математическую модель, учитывающую все нелинейности и ограничения, накладываемые на объект.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Востриков А.С., Французова Г.А. Теория автоматического регулирования: учеб. пособие. -Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. - 364с.
[2] Саблина Г.В., Ходакова Д.И. Исследование свойств модельной системы «вращающийся маятник». Сб. науч. тр. НГТУ. Новосибирск, 2009. Вып. 3(57). С. 25-32.
[3] Zhmud, V., Liapidevskiy, A. Real time digital superhigh accuracy vibrations measurements: Methods, devices and mathematical modeling for the metrology. Proceedings of the IASTED International Conference on Modelling, Identification and Control. 2010. с. 343-347.
[4] Саблина Г.В. Об одном подходе к синтезу модельной системы "подвешенный груз". Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП-2014): тр. 12 междунар. конф., Новосибирск, 2-4 окт. 2014 г.: в 7 т. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2014. Т. 7. С. 68-71. ISBN 978-1-4799-6019-4.
[5] G. V. Sablina, I. V. Stazhilov, A. I. Sazhin.Synthesis of double inverted pendulum on the cart system on the sliding modes method basis. International Siberian conference on control and communications (SIBCON-2015): proc., Omsk, 21-23 May, 2015. Omsk: IEEE, 2015. 5 p. ISBN 978-1-4799-7102-2.
[6] K.V. Gugaev, P.A. Kruchinin, A.M. Formalskii.A model of maintaining balance by a person on the seesaw. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. Received 5 February 2016.
[7] J. Lin, S.-Y. Guo, Julian Chang. Fuzzy coordinator compensation for balancing control of cart-seesaw system. Journal of Sound and Vibration. 2011.
[8] Колесникова Г.П., Формальский А.М. Об одном способе моделирования походки человека. Инженерный журнал: наука и инновации, 2014, вып. 1. 05.02.2014. URL: http://engjournal.ru/catalog/eng/teormech/1181 .html
[9] А. П. Крищенко, С. Б. Ткачев, Д. А. Фетисов. Управление плоским перемещением двуногого пятизвенного робота по лестнице. ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Естественные науки". 2006. № 1.
[10] Grizzle J.W., Abba G., Plestan F. Asymptotically Stable Walking for Biped Robots: Analysis via Systems with Impulse Effects. IEEE Trans. On Automatic Control. - 2001. - V. 46, № 8. - P. 51-64.
[11] Westervelt E.R., Grizzle J.W., Koditschek D.E. Hybrid Zero Dynamics of Planar Biped Walkers // IEEE Trans. on Automatic Control. - 2003. -V. 48, № 1. - P. 42-56.
[12] Plestan F., Grizzle J.W., Westervelt E.R., Abba G. Stable walking of a 7-DOF biped robot. IEEE Trans. Robotics and Automation. - 2003. -V. 19, № 4. - P. 653-668.
[13] Формальский А.М. Управление движением неустойчивых объектов. - M.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. - 232 стр. ISBN 978-5-9221-1460-8.
[14] Ирвинг П. Герман. Физика организма человека. Долгопрудный: издательский дом «Интелект», 2011, 992 с.
[15] Капанджи А.И. Функциональная анатомия. Нижняя конечность. Т. 2. Москва, ЭКСМО, 2010, 352 с.
[16] Westervelt E.R., Grizzle J.W., Canudas de Wit C. Switching and PI Control of Walking Motions of Planar Biped Walkers. IEEE Transactions on Automatic Control, V. 48, N. 2, Febr. 2003.
[17] Chevallereau C., Abba G., Aoustin Y., Plestan E., Westervelt F., Canduas-de Wit C., Grizzle J. RABBIT:
A testbed for advanced control theory / IEEE Control Systems Magazine, vol. 23, no. 5, pp. 57-79, October 2003.
[18] Chevallereau C., Westervelt E.R., Grizzle J.W. Asymptotically stable running for a five-link, four-actuator, planar bipedal robot. International Journal of Robotics Research, vol. 24, no. 6, pp. 431- 464, June 2005.
[19] Morris B., Grizzle J.W. A restricted Poincar'e map for determining exponentially stable periodic orbits in systems with impulse effects: Application to bipedal robots. Proceedings of the IEEE International Conference on Decision and Control, Seville, Spain, Dec. 2005, pp. 4199^206.
r
I - J
к__/
Ольга Алексеевна Вотрина,
аспирант кафедры Автоматики НГТУ. Область научных интересов: анализ и синтез регуляторов для колебательных объектов. Автор 7 научных работ.
E-mail: olga votrina@mail.ru
Кирилл Николаевич
Мелешкин, аспирант кафедры Автоматики НГТУ. Область научных интересов: анализ и синтез регуляторов для колебательных объектов. Автор 5 научных работ.
E-mail: kmeleshkin@mail.ru
Статья получена 18 ноября 2019 г.
The Problem of Nonlinear "Seesaw" Objects Stabilizing
O.A. Votrina, K.N. Meleshkin Novosibirsk State Technical University.
Novosibirsk, Russia
Abstract: This paper provides the main information about nonlinear oscillatory "Seesaw" objects and known techniques of their stabilizing. The well-known application of mentioned object type, which is the human gait simulation, is discussed in this paper. Basic advantages of existing stabilizing methods are highlighted. The developing of more versatile technique for "Seesaw" object stabilizing is intended based on the provided analysis of known approaches. Walking a person has several phases, including transitional. This complicates the modeling and stabilization of such a system. The stabilization of each phase has its own stability region and additional restrictions imposed on the model under the action of external forces. An analysis of existing literature has revealed the advantages and disadvantages of each of these stabilization methods described above. So, the advantage of using linear feedback with saturation is that it allows you to suppress the unstable mode of the system. At the same time, when maximizing the attraction region, it becomes possible to obtain an extensive stability region of a stabilized system. A plus of the approach of calculating the feedback regulator using Poincare maps is that the analysis of the movement of the robot system allows for the most accurate stabilization of the human gait during stabilization.
Key words: "Seesaw" model object; seesaw; gait simulation; regulator; stabilizing system.
REFERENCES
of scientific works of NSTU. Novosibirsk, 2009. Vol.3(57). p. 25-32.
[1] Vostrikov A.S., Frantsuzova G.A. Control Theory: [3] Zhmud, Liapidevskiy, A.. Real time d^tal super-Study Guide / Vostrikov A.S., Frantsuzova G.A. - high accuracy vibrations measurements: Methods, NSTU - Novosibirsk, 2003. - 364 p. devices and mathematical modeling for the metrology
[2] Sablina G.V., Hodakova D.I. Study of the properties / Proceedings of the IASTED International of the model system "rotating pendulum" / Collection Conference on Modelling, Identification and Control.
- 2010. c. 343-347
[4] Sablina G.V. About one method of model system "Suspended mass" synthesis / Actual problems of electronic instrument engineering (APEIE-2014) : 12th international conference Novosibirsk, 2-4 Oct. 2014: 7 Vol. - Novosibirsk : NSTU, 2014. - Vol. 7. -p. 68-71. - 100 p. - ISBN 978-1-4799-6019-4, ISBN 978-5-7782-2516-9.
[5] Synthesis of double inverted pendulum on the cart system on the sliding modes method basis / G. V. Sablina, I. V. Stazhilov, A. I. Sazhin // International Siberian conference on control and communications (SIBC0N-2015) : proc., Omsk, 21-23 May, 2015. -Omsk: IEEE, 2015. - 5 p. - ISBN 978-1-4799-71022.
[6] A model of maintaining balance by a person on the seesaw /K.V. Gugaev, P.A. Kruchinin, A.M. Formalskii //Journal of Applied Mathematics and Mechanics. Received 5 February 2016
[7] Fuzzy coordinator compensation for balancing control of cart-seesaw system. /J. Lin, S.-Y. Guo, Julian Chang // Journal of Sound and Vibration. Accepted 5 August 2011
[8] G.P. Kolesnikova, A.M. Formalskii. About one way of the human gait simulation / Engineering journal: Science and Innovations, 2014, vol.1 05.02.2014. URL:
http://engjournal.ru/catalog/eng/teormech/1181.html
[9] Control of the biped 5-link robot flat movement on stairs / A. P. Krishhenko, S. B. Tkachev, D. A. Fetisov // ISSN 1812-3368. Vestnik MSTU im. N.Je. Baumana. Ser. "Natural Sciences"- 2006 - № 1
[10] Grizzle J.W., Abba G., Plestan F. Asymptotically Stable Walking for Biped Robots: Analysis via Systems with Impulse Effects // IEEE Trans. On Automatic Control. - 2001. - V. 46, № 8. - P. 51-64.
[11] Westervelt E.R., Grizzle J.W., Koditschek D.E. Hybrid Zero Dynamics of Planar Biped Walkers // IEEE Trans. on Automatic Control. - 2003. -V. 48, № 1. - P. 42-56.
[12] Plestan F., Grizzle J.W., Westervelt E.R., Abba G. Stable walking of a 7-DOF biped robot // IEEE Trans. Robotics and Automation. - 2003. -V. 19, № 4. - P. 653-668.
[13] A. M. Formalsky. Control of the Nonlinear objects' movement - M.: fizmatlit, 2012. - 232 p. - ISBN 978-5-9221-1460-8.
[14] Irving P. German. Human body physics. Dolgoprudnyj: publishing house «Intelekt», 2011, 992 p.
[15] Kapandzhi A.I. Functional anatomy. Lower limb. -Moscow, EKSMO. -2010. - V. 2. - 352 p.
[16] Westervelt E.R., Grizzle J.W., Canudas de Wit C. Switching and PI Control of Walking Motions of Planar Biped Walkers// IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 48, NO. 2, FEBRUARY 2003.
[17] Chevallereau C., Abba G., Aoustin Y., Plestan E., Westervelt F., Canduas-de Wit C., Grizzle J. RABBIT: A testbed for advanced control theory / IEEE Control Systems Magazine, vol. 23, no. 5, pp. 57-79, October 2003.
[18] Chevallereau C., Westervelt E.R., Grizzle J.W. Asymptotically stable running for a five-link, four-actuator, planar bipedal robot / International Journal of Robotics Research, vol. 24, no. 6, pp. 431-464, June 2005.
[19] Morris B., Grizzle J.W. A restricted Poincar'e map for determining exponentially stable periodic orbits in systems with impulse effects: Application to bipedal robots / Proceedings of the IEEE International Conference on Decision and Control, Seville, Spain, Dec. 2005, pp. 4199-4206.
Olga Alekseevna Votrina,
graduate student of the Department of Automation NSTU. Research interests: analysis and synthesis of regulators for oscillatory objects. The author of 7 scientific papers.
О
E-mail: olga votrina@mail.ru
Kirill Nikolaevich Meleshkin,
graduate student of the Department of Automation NSTU. Research interests: analysis and synthesis of regulators for oscillatory objects. The author of 5 scientific papers.
E-mail: kmeleshkin@mail.ru
The paper has been received on 18/11/2019.
© AUTOMATICS & SOFTWARE ENGINERY. 2019, № 4 (30)
24
