CC BY
18Исследование реального скользящего режима в модельной системе «перевернутый
маятник»
Сажин А. И., Саблина Г.В. ФГБОУВО НГТУ, Новосибирск, Россия
Аннотация. Рассматривается возможность решения задачи стабилизации неустойчивой электромеханической системы «перевернутый маятник». Приводятся дифференциальные уравнения, описывающие поведение данной системы, и осуществляется переход к ее линеаризованной модели. Для линейной модели разрабатывается процедура
организации скользящего режима, которая позволяет обеспечить на выходе автоколебания заданной амплитуды и частоты. Проводится моделирование
замкнутой системы с различными видами исполнительного механизма: идеальное реле, реле с зоной нечувствительности и реле с гистерезисом.
Ключевые слова: перевернутый маятник, неустойчивая система, скользящий режим, автоколебания.
ВВЕДЕНИЕ
Данная статья посвящена решению задачи стабилизации перевернутого маятника, которая является интересной как в теоретическом, так и в прикладном отношении, о чем свидетельствуют многочисленные отечественные и иностранные публикации [1-5]. Неослабевающий интерес к данной проблеме лишь подтверждает тот факт, что еще не решены все вопросы, которые, как правило, возникают в ее рамках. Предложенные ранее способы стабилизации перевернутого маятника в основном ориентированы на получение и использование линейных математических моделей данного объекта, что не всегда позволяло получить желаемые свойства в замкнутой системе. Например, не удавалось обеспечить качественную работу в условиях действия различного рода возмущений.
Наличие у большинства объектов с моделью «перевернутого маятника» релейного
исполнительного зачастую определяет выбор разрывного алгоритма стабилизации на основе метода скользящих режимов [6].
Так как идеальных реле не существует, и все исполнительные механизмы обладают либо гистерезисом, либо зоной нечувствительности, особый интерес представляет расчет реального скользящего режима и исследование влияния не
идеальностей на параметры автоколебательных движений в системе.
1. ОПИСАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА
Система управления «перевернутый маятник» представляет собой однородный стержень (маятник), шарнирно закрепленный на подвижной каретке, способной перемещаться в плоскости оси закрепления под действием силы, прикладываемой управляющим двигателем.
Схематическое представление системы показано на Рис. 1. Здесь ф(1) - угол отклонения маятника от вертикали (выходная переменная), и(1) - прикладываемая сила (входная переменная), s(t)-перемещение каретки, т1 - масса каретки, ^ -коэффициент трения каретки, J - момент инерции маятника относительно центра тяжести, Ь -расстояние между осью и центром тяжести маятника, т2 - масса маятника, g - ускорение силы тяжести, И(() и Ц7) - горизонтальная и вертикальная силы реакции у оси маятника.
Трение учитывается только при движении каретки, трение оси маятника не учитывается.
Рис. 1. Система управления «перевернутый маятник»
Из литературы известно, что поведение данной системы может быть описано следующими нелинейными дифференциальными уравнениями [7]
g 1 j(t) - L sin j(t) + L7§(t)cos j(t) = 0,
mjs(t) = U(t) - Fs(t),
(1)
где L - эффективная длина маятника, вычисляемая по формуле
L' =
J + m2L m2L
2
(2)
J - момент инерции маятника относительно центра тяжести
J = -
m?L
3
(3)
Далее будем рассматривать математическую модель объекта «каретка-маятник», учитывая следующие дополнительные ограничения на ресурс прикладываемого к объекту управления
U е [
"U min, U max
(4)
и на диапазон перемещения каретки
s е ["smin, smax ]• (5)
Для упрощения дальнейшего описания введем следующие обозначения:
F 1 1
— = a2, g = a4, — = b2, -7 = ci. (6) mi mi L
Тогда (1) перепишется следующим образом:
j(t) - a4c1 sin j(t) + c1 s (t)cos j(t) = 0.
s (t) = -a2s(t) + b2U(t).
(7)
Структурная схема системы «перевернутый маятник», соответствующая уравнениям (7), представлена на Рис. 2. Очевидно, данную подсистему можно разделить на две подсистемы: подсистема «каретка» и подсистема «маятник».
Рис. 2. Структурная схема системы управления «перевернутый маятник»
Задачей синтеза является приведение угла отклонения маятника от вертикали к нулевому значению с одновременной стабилизацией координаты каретки в ограниченном диапазоне в соответствии с условиями:
lim j(t) = 0, t®¥
lim s(t) = Г—sm
(8)
при выполнении требования по быстродействию к переходному процессу в системе
2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Для начала проверим условия разрешимости поставленных задач синтеза, перейдя к рассмотрению линейной модели объекта, как это зачастую делается в литературе [7].
В данном случае, если допустить, что углы отклонения маятника от вертикали находится в диапазоне ±5°, и разложить sin и cos в ряды Тейлора [8]
j3
sin j= j—+
» j,
(10)
i M7
cos j = 1—^ +
Y 2
»1,
(11)
s
2
то, подставляя в (7) только первые члены, получим совокупность линейных
дифференциальных уравнений, которые описывают поведение системы «перевернутый маятник» в рабочей точке
Фа) - а^а)+сдо=о, §(1) = -а 215(1) + Ь2и(1). ( )
Посмотрим, разрешима ли задача синтеза для данного объекта в постановке (1.8). Рассмотрим множество состояний равновесия, для чего перейдем к описанию объекта в переменных состояния. Выберем в качестве переменных состояния следующие
' Х1(1) = §(1), Х2(1) = ¿(1),
-1 (13)
Хз(1) = §(1) + с-1ф(1), Х4(1) = ¿(1) + С-ф (1)
в силу того, что с одной стороны это описание уже известно из литературы [7], с другой - это просто удобно. Здесь третья координата, представляет собой линейную аппроксимацию перемещения точки маятника, находящейся на расстоянии эффективной длины от оси. В дальнейшем будем называть ее перемещением маятника.
Уравнения состояния будут иметь вид
Х1 = Х2,
Х 2 =-а2Х2 + Ь2и, • Х 3 = Х4, (14)
Х 4 = а 4С1 (х з — Х1),
у = Ф = с^Хз - Х1).
Прежде чем выбирать подходящий метод синтеза, необходимо убедиться, что задача синтеза в постановке (1.8) для модели (2.5) является разрешимой. Соответствующий анализ был проведен в [9], где было показано, что множество равновесных состояний системы таково, что поставленная задача синтеза может быть решена. Система «перевернутый маятник» является неустойчивой, полностью управляемой, и не полностью наблюдаемой. По измеряемому выходу можно восстановить все координаты состояния, кроме координаты каретки х1(1)=§(1).
Также показано, что относительной старшей производной системы [1о] является вторая, и ее порядок не равен порядку объекта. Из чего следует, что система «перевернутый маятник» обладает подсистемой вырожденных движений [11]. Показано, что данной подсистемой является подсистема «каретки» и она находится на границе устойчивости [10]. Это ограничивает применение для синтеза данного объекта практически любого из известных методов, особенно в случае, когда стоит задача не только обеспечить требование по стабилизации угла маятника, но и требование по
стабилизации координаты каретки в ограниченном диапазоне. Поскольку координата каретки принадлежит подсистеме вырожденных движений, любое незначительное изменение параметров объекта может привести к тому, что процессы по этой координате выйдут за пределы устойчивости. Это в свою очередь может привести к тому, что вся система потеряет работоспособность.
3. ОРГАНИЗАЦИЯ СКОЛЬЗЯЩЕГО РЕЖИМА ДЛЯ СТАБИЛИЗАЦИИ СИСТЕМЫ «ПЕРЕВЕРНУТЫЙ МАЯТНИК»
Для того чтобы правильно решить поставленную задачу синтеза, предлагается поступить следующим образом. В работе [9] показано, что по измеряемой выходной переменной j(t) = у(1) можно восстановить все переменные состояния, кроме координаты каретки s(t) = Xj(t). Если технически с помощью специального датчика есть возможность отдельно измерять эту координату, то весь вектор состояния будет доступен измерению. Это позволит с помощью введения отрицательных обратных связей предварительно скорректировать вырожденную подсистему «каретка», сделав ее устойчивой. Затем можно переходить к формированию управления на
модифицированный объект, используя при этом один из методов синтеза нелинейных систем.
Большинство реальных объектов с математической моделью «перевернутого маятника» имеют релейный исполнительный механизм. То есть, управление, которое прикладывается к объекту, может принимать только одно из двух возможных значений: +Umax или -Umax. Это обстоятельство определило выбор метода синтеза, на основе которого была разработан алгоритм стабилизации данного объекта. Предлагается организовать в системе скользящий режим и сформировать управление вида:
U = U sign S (x), (15)
где U - максимальный уровень размаха реле, который допускается технически, S(x) -поверхность скольжения, причем:
Г+U, S(x) > 0, U = \ (16)
[-U, S(x) < 0.
Обычная процедура организации скользящего режима предполагает формирование уравнения поверхности скольжения в виде линейного дифференциального уравнения порядка (l - 1), где l - порядок относительной старшей производной объекта. И для того, чтобы обеспечить желаемые процессы по выходной переменной (углу отклонения маятника от вертикали), в нашем случае достаточно было бы задать уравнение поверхности первого порядка.
Необходимость стабилизировать внутреннюю вырожденную подсистему привела к разработке модифицированной процедуры организации скользящего режима [9].
Предлагается выбирать уравнение поверхности, ориентируясь не на порядок относительной старшей производной, а на полный порядок объекта. В данном случае это уравнение поверхности третьего порядка, которое позволит использовать в законе управления, в том числе и обратные связи по координатам состояния вырожденной подсистемы «каретка».
Сформируем его в виде
где
Б(х) = ^ + Б2
р1 =-У1х1 -У 2х
2
(17)
(18)
выбирается с целью стабилизации вырожденной подсистемы, а
р2 = -У3х3-У4х4
(19)
выбирается с целью стабилизации угла маятника.
Коэффициенты: У1, у2, у3 и у4определяют движение системы по поверхности скольжения, их подробный расчет приведен в [9].
Далее в соответствии с известной процедурой расчета скользящего режима с помощью эквивалентного управления [6] доопределяются уравнения в режиме скольжения, находится уровень полки реле и, при котором возникает устойчивый скользящий режим.
Для оценки недоступных измерению переменных состояния предлагается использовать два фильтра оценки состояния второго порядка с одинаковыми передаточными функциями:
Wфl(p) = ^Ф2(р) = -г-2-, (20)
тФр2 + 2ёТф р+1
поскольку, как уже было сказано, при формировании поверхности скольжения потребуется весь вектор состояния.
В выражении (20) Тф - постоянная времени фильтра, ё- коэффициент демпфирования.
Постоянная времени фильтра выбирается на основе известного [10] соотношения
Тф < 0.1^
(21)
где 1п - желаемое время переходного процесса в системе. Коэффициент демпфирования выбирается из расчета
ё = 0.5 +1, (22)
для обеспечения желаемой степени колебательности процессов.
4. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ СО СКОЛЬЗЯЩИМ РЕЖИМОМ
Структурная схема замкнутой системы с регулятором в скользящем режиме при использовании операции «расщепления» фильтра оценки состояния [10] представлена на Рис. 3. Организованный таким образом закон управления позволил структурно выделить в замкнутой системе контур быстрых движений (на Рис. 3. обозначен пунктирной линией), в котором при выходе на скользящий режим будет происходить локализация проявления нелинейностей (которые имеются в реальном объекте) и внешних возмущений, действующих на объект.
Рис. 3. Структурная схема системы с регулятором в скользящем режиме с «расщепленным фильтром»
Характерным состоянием равновесия данного контура, как известно, являются автоколебания, наличие которых приводит к появлению автоколебательных процессов на выходе системы. В работе [9] получены зависимости амплитуды и частоты выходной координаты - угла отклонения
маятника от вертикали от постоянной времени фильтра внутреннего автоколебательного контура, когда в качестве исполнительного механизма использовалось идеальное реле. Это позволило выделить диапазон работоспособности системы по амплитуде и частоте колебаний
маятника и работать внутри этого диапазона.
Разработанная система стабилизации «перевернутого маятника была смоделирована в среде МаЙаЬ БтиИпк для численных значениях параметров исследуемого объекта, приведенных в Таблице 1.
Таблица 1
Параметр Значение Ед. изм.
а2 10 с -1
±С1 ±1.5 м
±а4с1 ±14.7 с-2
У2 10 кг-1
а 0.55
Тф 0.045 с
1/Тф 4.94х102 с-2
2а/Тф 24.44 с -1
и 0.5 Н
71 -12 -2 кг X с2
7 з 16.08 -2 кг X с2
7 4 4.2 кг X с 1
В этой же таблице приведены рассчитанные значения параметров фильтров оценки состояния, коэффициентов поверхности скольжения и уровня полки реле. На Рис. 4. представлена схема моделирования замкнутой системы со скользящим режимом. На Рис. 5 представлены результаты моделирования системы со скользящим режимом с идеальным реле.
На следующем этапе было проведено моделирование замкнутой системы для случая реле с зоной нечувствительности. Переходные процессы представлены на Рис. 6.
Далее было проведено моделирование замкнутой системы для случая реле с гистерезисом. Переходные процессы
представлены на Рис. 7.
Анализ полученных переходных процессов позволяет сделать вывод о том, что наличие у релейного исполнительного механизма зоны нечувствительности в системе «перевернутый маятник» не влияет на значения параметров автоколебаний (амплитуды и частоты) выходной координаты - угла отклонения маятника от вертикали, а также координаты каретки.
Рис. 4. Схема моделирования замкнутой системы
Рис. 5. Переходные процессы по управляющему воздействию, координате каретки и углу маятника (идеальное реле)
Рис. 6. Переходные процессы по управляющему воздействию, координате каретки и углу маятника (реле с зоной нечувствительности)
Включение в систему релейного исполнительного механизма с гистерезисом приводит к увеличению значения амплитуды и уменьшению значения частоты автоколебаний, как по углу отклонения маятника, так и по координате каретки.
Рис. 7. Переходные процессы по управляющему воздействию, координате каретки и углу маятника (реле с гистерезисом)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной статье обсуждались вопросы организации скользящего режима в модельной системе «перевернутый маятник». Проводилось моделирование замкнутой системы со скользящим режимом для случая идеального реле, а также для случаев наличия в релейном исполнительном механизме не идеальностей в виде зоны нечувствительности и гистерезиса. Проведенные эксперименты показали, что на параметры автоколебаний в исследуемой системе наличие зоны нечувствительности не влияет, тогда, как наличие гистерезиса приводит к увеличению амплитуды и уменьшению частоты автоколебаний маятника.
В дальнейшей работе планируется получить аналитические соотношения для расчета амплитуды и частоты автоколебаний маятника при использовании в качестве исполнительного механизма реле с гистерезисом и реле с зоной нечувствительности и тем самым подтвердить полученные экспериментальные результаты. Также планируется проектирование регулятора методом численной оптимизации, например, так, как описано в [12-14].
ЛИТЕРАТУРА
[1] Формальский А.М. Управление движением неустойчивых объектов-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012.-232 с.
[2] Дружинина О.В. и др. Моделирование и построение алгоритма стабилизации перевернутого маятника. Динамика сложных систем -XXI век. 2012 г., №4, стр. 7478.
[3] Саблина Г.В., Дроздова О.Н. Исследование и синтез системы «двойной перевернутый маятник на тележке»//
Матер. VIII международной н. т. конференции Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП)». Новосибирск, Изд-во НГТУ, 2006, Т7, с.249-252.
[4] Eugene I. Butikov. On the dynamic stabilization of an inverted pendulum. St. Petersburg State University, St. Petersburg, Russia. Received 21 June 2000; accepted 19 January 2001. http://butikov.faculty.ifmo.ru/Oscillations/Inverted Pendulum.p df
[5] Андриевский Б.Р., Гузенко П.Ю., Фрадков А.Л. Управление нелинейными колебаниями механических систем методом скоростного градиента.// Автоматика и Телемеханика. - М: Наука, 1996.
[6] Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. - М: Наука, 1981.
[7] Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. - М: Мир, 1977.
[8] Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.-13-е изд., исправленное. - М.: Наука, 1986.
[9] Саблина Г.В. Разработка и исследование методики стабилизации объекта управления «каретка-маятник»: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. - Новосибирск, 2000 г.
[10] Востриков А.С., Французова Г.А., Гаврилов Е.Б.Теория автоматического регулирования: Учеб. пособие -Новосибирск, Изд-во НГТУ, 2008, 476 с.
[11] Смагина Е.М. Вопросы анализа линейных многомерных объектов с использованием понятия нуля системы. -Томск: Издательство Томского университета, 1990.
[12] Modern key techologies in automatics: Structures and numerical optimization of regulators. Zhmud, V., Yadrishnikov, O., Poloshchuk, A., Zavorin, A. 2012. Proceedings - 2012 7th International Forum on Strategic Technology, IFOST 2012.
[13] The design of the feedback systems by means of the modeling and optimization in the program vissim 5.0/6. Zhmud, V., Liapidevskiy, A., Prokhorenko, E. 2010. Proceedings of the IASTED International Conference on Modelling, Identification and Control. PP. 27-32.
[14] V. Zhmud, O. Yadrishnikov. Numerical optimization of PIDregulators using the improper moving detector in cost function. Proceedings of the 8-th International Forum on Strategic Technology 2013 (IFOST-2013), vol. II, 28 June - 1 July. Mongolian University of Science and Technology, Ulaanbaator, Mongolia. IEEE organized. 2013. P. 265 - 270. http://www.must.edu.mn/IFOST2013/
Сажин Андрей Игоревич, магистрант кафедры автоматики Новосибирского государственного технического университета
Email: andrewsajin@gmail.ru
Саблина Галина Владимировна,
кандидат технических наук, доцент кафедры автоматики Новосибирского государственного технического университета. Область научных интересов -стабилизация электромеханических колебательных систем с неустойчивыми вырожденными движениями. Автор и соавтор более 40 научных и учебно-методических работ. Email: sablina@corp.nstu.ru
Research of the Real Sliding Mode in "Inverted Pendulum" Model System
Andrew Sazhin, Galina Sablina
solution of unstable electromechanical system "inverted pendulum" is considered. The differential equations describing behavior of this system are given and transition to its linearized model is performed. Procedure of the organization of the sliding mode which allows providing at the exit of self-oscillation of the set amplitude and frequency is developed for linear model. Modeling of the closed system with different types of the executive mechanism is carried out: the ideal relay, the relay with a zone of tolerance and the relay with a hysteresis.
Keywords: inverted pendulum, unstable system, sliding mode, self-oscillations.
REFERENCES
[1] Formal'skii A.M. Motion control of unstable objects M.: FIZMATLIT, 2012.-232 p.
[2] O. Druzhinina et al. Modeling and Building of Algorithm for the Stabilization of the Inverted Pendulum. The dynamics of complex systems -XXI century. 2012, №4, pp. 74-78.
[3] Sablina G.V., Drozdov O.N. Research and synthesis of system "double inverted pendulum on a cart". Collection of papers of VIII International Sci.-Techn. Conference Actual problems of electronic instrument (APIE)". Novosibirsk, Publishing House of the NSTU, 2006 V.7 p.249-252.
[4] Eugene I. Butikov. On the dynamic stabilization of an inverted pendulum. St. Petersburg State University, St. Petersburg, Russia. Received 21 June 2000; accepted 19 January 2001. http://butikov.faculty.ifmo.ru/Oscillations/Inverted Pendulum.p df
[5] Andrievskii B.R., Gouzenko P.Yu., Fradkov AL Control of nonlinear oscillations of mechanical systems by methof of speed gradient. Automation and Remote Control. - Moscow: Nauka, 1996.
[6] Utkin V.I. Sliding modes in problems of optimization and control. - Moscow: Nauka, 1981.
[7] Kvakernaak X., Sivan R. Linear optimal control systems. -Moscow: Mir, 1977.
[8] Bronstein, I.N., Semendyaev K.A. Handbook of mathematics for engineers and students of higher technical educational institutis, 13th ed., Revised. - M .: Nauka, 1986.
[9] Sablina G.V. Development and research of methods of stabilization of control "carriage-pendulum": Authoreferate of dissertation for science degree of Cand. Technical Sciences (PhD). - Novosibirsk, 2000
[10] Vostrikov A.S., Frantsuzova G.A., Gavrilov E.B. Theory of automatic control: Proc. Guide - Novosibirsk, Publishing House of the NSTU, 2008, 476 p.
[11] Smagina E.M. Questions of analysis of linear multidimensional objects using the concept of zero of the system. - Tomsk: Tomsk University Publishing House, 1990.
[12] Modern key techologies in automatics: Structures and numerical optimization of regulators. Zhmud, V., Yadrishnikov, O., Poloshchuk, A., Zavorin, A. 2012. Proceedings - 2012 7th International Forum on Strategic Technology, IFOST 2012.
[13] The design of the feedback systems by means of the modeling and optimization in the program vissim 5.0/6. Zhmud, V., Liapidevskiy, A., Prokhorenko, E. 2010. Proceedings of the IASTED International Conference on Modelling, Identification and Control. PP. 27-32.
[14] V. Zhmud, O. Yadrishnikov. Numerical optimization of PIDregulators using the improper moving detector in cost function. Proceedings of the 8-th International Forum on Strategic Technology 2013 (IFOST-2013), vol. II, 28 June - 1 July. Mongolian University of Science and Technology, Ulaanbaator, Mongolia. IEEE organized. 2013. P. 265 - 270. http://www.must.edu.mn/IFOST2013/
Abstract. The possibility of a stabilization task
