CC BY
22О некоторых свойствах системы «двухзвенный перевернутый маятник
на тележке»
Саблина Г.В. ФГБОУВПО НГТУ, Новосибирск, Россия
Аннотация. Обсуждается возможность решения задачи стабилизации неустойчивой
электромеханической системы «двухзвенный перевернутый маятник на тележке» Показывается схематическое представление исследуемой системы, и приводятся нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие ее поведение. Исходя из предположения, что система может быть стабилизирована только при начальных углах отклонения маятника менее пяти градусов, осуществляется переход к упрощенной модели, для которой проводится исследование основных качественных свойств.
Ключевые слова: двухзвенный перевернутый маятник, модель, исследование, стабилизация.
ВВЕДЕНИЕ
Возникшая в механике проблема стабилизации объектов типа «перевернутый маятник» получила свое развитие в теории автоматического управления, поскольку такие объекты можно рассматривать как успешные лабораторные идеализации неустойчивых электромеханических систем.
В течение последних десятилетий задача прошла несколько этапов развития, начиная с теоретических исследований, и заканчивая аппаратным внедрением систем стабилизации на базе мощных современных микропроцессорных средств. Появилось большое число отечественных и иностранных публикаций, посвященных разработке
алгоритмов стабилизации данного объекта. Это объясняется тем, что в настоящее время значительно расширился класс реальных объектов управления, имеющих аналогичную математическую модель. Останавливаясь лишь на некоторых, можно назвать космическую отрасль, где с точки зрения перевернутого маятника можно рассматривать модель ракеты при взлете [1] или солнечные батареи искусственных спутников. В энергетике своеобразной интерпретацией перевернутого маятника может служить модель управления скоростью реакции в ядерном реакторе [2-4]. В кибернетике к подобной модели можно свести описание шагающих роботов, которые в иностранной литературе получили название «biped walking machines» [5-9].
1. ОПИСАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
МОДЕЛИ СИСТЕМЫ
В работе будет рассмотрена более сложная конструкция перевернутого маятника, которую условно назовем «двухзвенный перевернутый маятник на тележке». Данная конструкция представляет собой подвижную тележку с двумя физическими маятниками, закрепленными один на другом при помощи шарнира, причем конец нижнего маятника также шарнирно закреплен на тележке.
Схематическое представление системы показано на рис.1. Здесь ( - угол отклонения первого маятника от вертикали, (2 - угол между первым и вторым маятником, ^ -прикладываемая управляющим двигателем сила, хс - перемещение тележки, т1- масса первого маятника, т2- масса второго маятника, М - масса тележки, Ь1 - длина первого маятника, Ь2 - длина второго маятника, g - ускорение силы тяжести.
У
L, у
"с < ñ ш,д
X
F Мд Г) i о
Рис. 1. Двухзвенный перевернутый маятник на тележке
Исследуемый объект управления
описывается системой нелинейных
дифференциальных уравнений [10]:
h1 ■ xc + h 2 ■ & ■ cos в1 + h3 ■ ( &1 + &2) ■ cos( в1 + 62) --h2 ■ ■ sin 61 -h3 ■ (& + 62)2 ■ sin( 01 + 62) = F, h2 ■ xc ■ cos 6*1 + h4 ■ &&1 + h 5 ■ ( &&1 + &2) ■ cos 6*2 --h5 ■ (& + 62)2 ■ sin 62 -h6 ■ sin 61 = 0, h3 ■ xc ■ cos( 61 + 62) + h7 ■ ( &1 + &2) + h5 ■ & ■ cos 62 + +h5 ■ 612 ■ sin 62 -h8 ■ sin(61 + 62) = 0.
где hi-h8 - параметры объекта, имеют
следующие значения: h1= M+m1+m2, h2=m1 ■ l1+m2■L1, h3= m2■ l2, h4=m1 ■l12+m2■L12+J1, h5=m212■L1, h6=mj ■ l1 g+m2■L1 g, h7=m2 ■ l2+J2, hg= m212 g. J1 и J2 - моменты инерции маятников, lj=Lj/2 и l2=L2/2.
Под стабилизацией в положении равновесия данного объекта понимается удержание обоих маятников в строго вертикальном положении при помощи управляющего воздействия, формируе-мого двигателем тележки. При этом сама тележка не может неограниченно перемещаться, то есть ее движение должно быть ограничено заданным диапазоном.
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
МАТЕМАТИЧСКОЙ МОДЕЛИ
СИСТЕМЫ
Возможность удержания данной системы в положении равновесия зависит от начальных углов отклонения маятников от вертикали. Очевидно, будет невозможным выровнять и удерживать маятники в строго вертикальном положении, если первоначальные углы отклонения слишком велики. На первом этапе исследования допустим, что система может быть стабилизирована только при начальных углах отклонения \0\< 5° Такое допущение позволяет линеаризовать математическую модель (1) в заданном диапазоне углов. Выполнить линеаризацию можно путем разложения sin и cos в модели (1) в ряды Тейлора с учетом только первых членов ряда разложения. При этом будут справедливы следующие соотношения:
коэффициентов в (5) вычисляется по формуле:
sinq = q, cosq = 1, в1 = о.
(2)
Подстановка (2) в уравнения (1) позволяет получить следующую систему линейных дифференциальных уравнений:
к\ ■ хс + (к2 + ^з)- 01 + къ -02 = Р, к2 ■ хс + (к4 + к5) ■ 01 + к5 ■ 02 = к6 ■ 01, (3)
кз- хс + (к5 + ку> 01 + ку 02 = к8^01 + 02).
Перегруппируем уравнения (3) для линейного и двух угловых ускорений х с, 01 и в2 . Получим представление системы в векторно-матричном виде:
h1 h 2 + h3 h3" x c 'f
h2 h4 + hj hj 01 = h6 01 . (4)
h3 hj + hy h7 02. hg (01 + 02).
Запишем систему (4) относительно ускорений, для чего умножим левую и правую часть этой системы на обратную матрицу коэффициентов. Получим:
x c - h1 h2 + h3 h3" -1 " F
01 = h2 h4 + hj hj h6 01 . (j)
02. h3 hj + h7 h7 h (01 +02).
Учитывая, что обратная
матрица
adj(H )=
H—1 =-
h4 -h7 - h2 h3 ■ hj - h2 h2 hj + h2 ■ h7 -
1
det(H)
adj(H),
h3 ■ hj — h2 ■ h7 h2 hj —h3 ^4 h1 h7 -h3 h2 h3 -h1 hj
h2 h + h3 — hi ^4 + hi hj —
—h3 ■ h4 — h2 ■hj —hi ■ hj — hi ■ hj -h^ —h2 h
det(H)=h1 ■h4 -h7 - h1 ■h52 — h2 -h7 + 2 ■ h2-h3-Н5 — h32 -h4, систему (j) можно представить в виде:
xc W1 W2 W3 -F '
01 = W2 W4 Wj h6 01 .(6)
02. W3 — W2 wj — W4 W6 — wj hg ■ (01 + 02).
Значения параметров представлены в Табл. 1.
Таблица 1
модели
(6)
Параметр Значение Параметр Значение
Wj h4 — hj w4 h1 - hj
det(H) det(H)
W2 h3■hj — h2 ■h7 w5 h2 ^3 — h1 ■ hj
det(H) det(H)
w3 h2 ■hj —h3 ■h4 W6 h1 ^4 — h2
det(H) det(H)
Перепишем (6) в виде системы дифференциальных уравнений:
xc = W1 ■ F + W2 ■кб ■в + W3 ■ hg ■ в + W3 ■ hg ■ 02, в = W2 ■F + W4 ■hfa 0 + wj ■hg 0 + wj ■ hg ■62, 02 = (W3 - W2)^ F + (wj - W4)- h6 0 + (W6 - wj)^ ■ hg ■01 + (w6 -wj)■ hg 02.
(7)
Введем для коэффициентов модели (7) новые обозначения: а11 = W2 ■ к6 + ■ к8, а12= ■ к8, а2\= ^4 ■ кб + ■ к8, а22= ■ к8, а3А=^5 - ^о) ■ кб + (^б - W5) ■ к8, а32=^б - w5) ■ к8, Ь= Wl, Ь2=
Ь3 = W3 - W2, и= Р.
В результате получим модель:
хс = ац 01 + а12 02 + Ь1 ■и,
'01 = а 21 01 + а 22 ■ 02 + Ь2 ■и, (8)
02 = а31 01 + а32 02 + Ь3 ■и,
которая описывает поведение системы «двухзвенный перевернутый маятник на тележке» в диапазоне углов отклонения маятников от вертикали \0 \<5°
3. ИССЛЕДОВАНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
СИСТЕМЫ
Перейдем к представлению модели (8) в пространстве состояний, для чего выберем следующие переменные состояния:
х1 — xc, x2 — Xc, x3 — X4 — X5 — &2' X6 — ¿2-
Запишем уравнения (8) в форме Коши:
(9)
*1 — х 2,
х2 — — «ц • лз — аl2 • х5 + ¿1 • U,
¿3 — х 4,
■ ¿4 ——а21 • хз — а22 • ¿5 + ¿2 • и, (10)
х5 — х6'
х6 ——а31 • х3 — а32 • х5 + Ь3 •и, . У1 — х1' У 2 — х3' У 3 — х5-
Одним из основных режимов работы системы управления является равновесный (статический) режим, при котором переменные состояния с течением времени не меняются, а все производные координат состояния равны нулю. Равновесное состояние системы наступает после завершения переходных процессов [11]. Для того чтобы понять, будет ли система (10) находиться в равновесном режиме, когда углы отклонения маятников равны нулевым значениям, найдем для нее множество реализуемых равновесных состояний. Приравняем все производные в (10) к нулю, получим:
I о
¿1 — произвольное, |х 0 — 0,
о а
х2 — 0, 0
х5 — 0,
0
х3 — 0, 0
х6 — 0.
(11)
Поскольку точки х3=0, х5=0 и отрезок [—х1тах, + х1тах ] принадлежат множеству равновесных состояний (11), то обсуждаемая задача стабилизации углов отклонения маятников от вертикали и стабилизация каретки в ограниченном диапазоне для линейной модели системы (10) имеет решение.
Исследуем систему на устойчивость управляемость, наблюдаемость. Матрица собственных свойств А и вектор управляющих воздействий В системы (10) имеют следующий вид:
А —
"0 1 0 0 0 0
0 —«11 0 0 —«12 0
0 0 0 1 0 0
0 —« 21 0 0 —« 22 0
0 0 0 0 0 1
0 —«31 0 0 —«32 0
В — [0 Ь1 0 Ь2 0 ь3 ]
т
(12)
(13)
Предполагаем, что в исследуемой системе имеется возможность измерения при помощи специальных датчиков, как углов отклонения маятников, так и координаты тележки. В этом случае матрица выходных переменных С системы (10) будет иметь следующий вид:
С —
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
Запишем и проанализируем
характеристическое уравнение [11]исследуемой системы:
р1—А)—р6 + «11 р5 + (—«22 — «23 — а33) р4 + +(—а22 а11 + «2Г«13 + «2Г«12 + «31 «13 — —а11 а33 — а23 «11 )Р3 + (—«32 «23 + «22 «33 )Р2 + (15) +(«22 «11 •«33 + «12 •«31 •«23 —«21 «12 •«33 + +«21 •«32 «13 — «31 •«22 •«13 — «32 «23 •«11)р — 0
Поскольку коэффициенты уравнения (15) связаны с реальными физическими параметрами исследуемой системы, проанализировав их, можно сделать вывод о том, что в уравнении (15) при любых значениях параметров будут присутствовать отрицательные коэффициенты. Таким образом, не выполняется необходимое условие устойчивости линейных систем[11]. Поэтому система «двухзвенный перевернутый маятник на тележке» является неустойчивой.
Известно, что объект полностью управляем и наблюдаем тогда и только тогда, когда матрицы управляемости
Р — Г В, А • В,..., А""1 • В
'•в ]
и наблюдаемости (где п -порядок системы)
N — [С, С • А,
, С • Ап—1]т
имеют полный ранг [11].
Матрица управляемости системы (10) имеет
вид:
Р —
" 0 ¿1 0 —¿1 — d 2 0 d 9
¿1 0 —¿1 — d 2 0 d 9 0
0 ¿2 0 —d 3 - d 4 0 ¿10
¿2 0 —d 3 - d 4 0 ¿10 0
0 ¿3 0 —d 5 — d 6 0 ¿11
[¿3 0 —d 5 — d 6 0 ¿11 0
(15)
где
¿1 — «ц^, d2 — «^3, dз — «2^2, d4 —«22^,
¿5 — «3^2, ¿6 — «32^, ¿7 — ¿3 +d 4, ¿8 —¿5 +d 6,
¿9 — «"¿7 + «^¿8, ¿ю — «21^7 + a22d8, ¿11 — «31^7 +«32d8.
Очевидно, что матрица (15) имеет полный ранг, значит, система является полностью управляемой.
Матрица наблюдаемости не приведена из-за ее большого размера (18 х 6), однако расчетным путем установлено, что она также имеет полный ранг, значит система (10) является полностью наблюдаемой.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной статье рассмотрена возможность решения задачи стабилизации неустойчивой электромеханической системы «двухзвенный
1 1
перевернутый маятник на тележке».
Выполнено преобразование математической модели к форме, удобной для исследования ее собственных свойств. Показано, что преобразованная система является
неустойчивой, полностью управляемой и наблюдаемой. Найдено множество реализуемых равновесных состояний системы и сделан вывод о том, что задача стабилизации маятника в вертикальном положении является разрешимой.
ЛИТЕРАТУРА
Mc. Graw-Hill, N-Y,
[1] Elgerd O. Control systems theory.-1967.
[2] Kiss J., Bokor J., Edelmayer A., Soumeldis A. An open system approach to change detection and failure monitoring of complex plant: the NPP experience. In SMORN-VII. Proc. of the International symposium on nuclear reactor surveillance and diagnostics.-Avidnon, 1995, Vol. 2.
[3] Kiss J., Soumeldis A., Bokor J. Applying artificial neural networks in nuclear power plant diagnostics. In SMORN-VII. Proc. of the International symposium on nuclear reactor surveillance and diagnostics. - Avidnon, 1995, Vol. 1.
[4] Soumelidis A., Bokor J., Gaspar P., Edelmayer A. A user-friendly environment for designing signal processing based failure monitoring in nuclear power plant. In Automation'95 with international participation. -Budapest, 1995, Vol.2.
[5] Bale R. Design and simulation of a biped walking machine. Master's degree, Engineering program.- Australian National University, 1994.
[6] Hemani H., Golliday C. The inverted pendulum and biped stability. Math. Biosci, 34, 1977, pp. 95-110.
[7] Hemani H., Weiwer F., Koozekanani S. Some aspects of the inverted pendulum problem for modeling of locomotion systems. IEEE Trans. Automatic Control AC-18, 1973, pp. 658-661.
[8] Jensfelt P. Sensory processing for control of walking robot. Master's Thesis. Dept. Signals, Sensors and Systems. Royal Institute of Technology.-Stockholm, 1997.
[9] Kieffer J., Bale R. Walking viability and gain synthesis for
novel class dynamically-simple biped walking machines. Informatica, 17, 1993, pp. 145-155.
[10] Саблина Г.В., Дроздова О.Н. Исследование и синтез системы «двойной перевернутый маятник на тележке»// Матер. VIII международной н. т. конференции Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП)». Новосибирск, Изд-во НГТУ, 2006, Т7, с.249-252.
[11] Востриков А.С., Французова Г. А., Гаврилов Е.Б. Теория автоматического регулирования: Учеб. пособие -Новосибирск, Изд-во НГТУ, 2008, 476 с.
Саблина Галина Владимировна, кандидат технических наук, доцент кафедры автоматики Новосибирского государственного технического университета. Область научных интересов - разработка алгоритмов стабилизации электромеханических колебательных систем с
неустойчивыми вырожденными движениями. Автор и соавтор более 40 научных и учебно-методических работ.
Email: g_sablina@ngs.ru
About some properties of double-link inverted pendulum on the cart system
Galina SABLINA
Abstract: The possibility of stabilization problem decision of unstable electromechanical double-link inverted pendulum on the cart system is discussed. The schematic representation of observable system is pictured and the nonlinear differential equations which describes of this system behavior are presented. The transition to reductive model is realized and the research of its main qualitative properties is executed.
Key words: double-link inverted pendulum, model, research, stabilization.
