CC BY
42
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №2_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.927.2
Б.Алиев|, Г.Х.Джураева РАЗНОСТНЫЙ АНАЛОГ МЕТОДА ПРОГОНКИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЁННЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЁРТОГО ПОРЯДКА
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 26.11.2012 г.)
Излагается разностный аналог метода прогонки для нахождения решений предельной задачи для сингулярно-возмущённых обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка с малым параметром при старших производных, которые близки к решению задачи для предельного (невозмущённого) уравнения.
Ключевые слова:разностная схема -метод прогонки - предельная задача - сингулярное возмущение —малый параметр.
1. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение г ё4у(х,е) ё2у(х,е) . . .. .
Ьу = е—+—+ Яу(х,е) = /(х), х е[0,1] (1)
ах ах
с предельными условиями
у(0,е) = у(1,е) = 0, (2)
d2 v( x, £)
dx2
= f(0), d4>(*£)
dx
x=0
= f (l), (3)
x=l
где £ - малый параметр, Я = const > 0 .
Согласно [1], семейство задач (1)-(3) является семейством сингулярно-возмущённых задач для эволюционного уравнения второго порядка
d2z(x)
Lz = + Я2 z( x) = f (x), x e [0, l ] (4)
dx
с предельными условиями
z(0) = z(l) = 0, (5)
и их решение v(x,£) при £ ^ 0 сводится к решению z(x) задачи (4)-(5).
Адрес для корреспонденции: Джураева Нигора Хайруллоевна. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
Как известно, любое дифференциальное уравнение описывает процесс лишь приближенно. Поэтому какие-то факторы, влияние которых на исследуемый процесс предполагается "малым", сводятся к изучению зависимости решения дифференциальных уравнений от малых параметров. В математической постановке прикладных задач (см. стр. 52 в [2] или [3]) возникает вопрос изучения поведения решений задач (1)-(3) при значениях коэффициентов, характеризуемых "малыми" параметрами.
В [4-7] рассматривается вопрос нахождения приближённых решений возмущённого разностного уравнения второго порядка и краевых задач для сингулярно-возмущённых обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, которые близки к решению задачи для предельного (невозмущённого) уравнения. Аналогично этим публикациям настоящая работа посвящена нахождению приближённого решения и исследованию его поведения для сингулярно-возмущённых обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка.
2. В области [0, /] введём равномерную разностную сетку
Ч ={(** ): ** = к ■ к, к = , к = 0,1,2,-,
Далее, на каждом внутреннем узле (хк) (к = 1,2,—,N — 1) сеточной области юк задачу (1)-(3) аппроксимируем следующей разностной краевой задачей:
„ ик —2 — 4ик—1 + К — 4ик+1 + ик+2 ,П ,ЛИк —1 — 2ик + ик+1 . „ ик —1 — 2ик + ик+1 . Л 2 _ , 8--+ (1 — Р)--+ Р-^2-+ АПк = ./к , (6)
(к = 1,2,—,N — 1), щ = у(хк,е), (к = 0,1,2,-,N) щ = 0, % = 0, (7)
Щ) — 2и + и = /0 = /(0), %—2 — 2/U2N—1 + % = Л = /(I). (8)
к к
Теорема 1. При р = 8 а и р ■ (1 — р) = 8^Х2 разностная схема (6)-(8) аппроксимирует семейство задач (1)-(3) с точностью 0(к2) в класс решений С (б)(0,1) уравнения (4) с условиями (5).
Теорема легко доказывается с помощью разложения по формуле Тейлора. В самом деле, пользуясь этим разложением
чМ—1У тк ё'и(х ) и(X ± т ■ к) = и(хк ) + £ ---+ 0(к ) (9)
при т = 1, 2 и учитывая, что сумма и(хк + т ■ к) + и(хк — т ■ к) содержит только чётные степени относительно к , получаем написанную разностную задачу (6)-(8) для (1)-(3).
В начале рассмотрим первую краевую задачу (4)-(5). Воспользовавшись трёхточечным шаблоном (х — к, X, X + к), построим для неё разностную краевую задачу на сетке б)н
ЬЪ2Ъ =1 [г(х — И) — 2г(х) + г(х + И)] + Л2г(х) = /(х), г(х0) = 0, г(хы) = 0 . (10) И
Пользуясь разложением функции 2(х) по формуле (9), нетрудно показать (см. стр. 67-69 в [8]), что погрешность аппроксимации в этом случае имеет вид
И2 -4 г Ьг — ь^ = к- - ^+0(И4). 12 ах
Отсюда видно, что погрешность аппроксимации оператора Ьг — /, оператором ЬИгИ - /И на решении 2(х) исходной задачи есть 0(И2), если /И аппроксимирует / со вторым порядком. Однако можно выбрать / таким образом, что схема имела четвёртый порядок аппроксимации. В частно-
сти, взяв / = / +----—, то есть положив / — / = 0( И2), имеем
к2 ( а4 2 а2 / ^
(Ь2 — /) — (Ьи2И — /) = (Ьг — Ьк2к) + / — /) = — — + + 0(И4) = 0(И4).
12 ^ ах ах )
а4г а2/ л а2г , л
так как —— +--— = 0 в силу уравнения —- + / = 0 .
-х -х -х
Теперь рассмотрим задачу (1)-(3). Выберем пятиточечный шаблон, состоящий из точек (х — 2И, х — И, х, х + И, х + 2И), и определим ЬкУк — / . Пользуясь формулой (10) для , напишем
выражение для ЬИУИ:
£ 1 ЬкУк = — [ у( х — 2И) — 4 у( х — И) + 6у( х) — 4 у( х + И) + у( х + 2И)] + — [у( х — И) — 2у( х) + у( х + И) ] + И И
+ Л2у( х) = /и (х).
Можно легко показать, что оператор Ьу, определённый на шаблоне (х — 2И, х — И, х, х + И, х + 2И), аппроксимирует оператор Ьу с четвёртым порядком на классе функций С(6)(0,1) .
Теперь переходим к доказательству устойчивости разностной схемы (6)-(8). С этой целью разностное уравнение (6) с условиями (7)-(8) приведём к виду
аик+2 + Ьик+1 + Сик + Ьик—1 + аик—2 = /к , к = 2Л..Я — 2 , (11)
.. и2 2и1 + и0 _ 4- 2им—1 + им — 2 _ / /10ч
Ы0 = им = 0, = /0, = (12)
£ 4£ — И2 б£ — 2И2 + ИАЛ2 где введены обозначения: а = —■; Ь =---—; с =---
д д И4 И4 И4
Разностные уравнения (11) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений
Ви = /,
где и = (и, и, иы_!), / = (/, /,/ы_!) , В = {Ъ.. } - пятидиагональная симметричная матрица с
элементами
Ъ = [о5у + Ъ(5у_1 + 5у+у) + а(5у_2 + бу+2)} (г,] * 1, г ■] * (г-I)2). 0 при |/ - Д < 2,
Здесь = \
[1 при \г - Д > 2.
Матрица В положительно определена, поэтому она имеет обратную матрицу В-. Тогда
и = В-■/.
Для решения краевой задачи (11)-(12) можно использовать следующий метод исключения (см. [3-4]), называемый аналогом метода прогонки. Положим
Я =
ик-1- (2 - к а(е))ик + ик=1
к 1„2
к2
и подставим в (11), в результате находим
*■Я 1 2К2к + Кк 1 + Р(е) = Л
к2
Неопределённые коэффициенты а(е) и Р(е) определяются из следующих соотношений:
(е^а(е) + Р(е) = 1, [а(е) Р(е) = Я2.
2А2
Откуда Р(е) = 1 - еа(е), а(е) =
(13)
1 + л/1 - 4еЯ2
В результате приходим к необходимости решать следующую задачу:
Як 1 - (2 - к2р(е))Як + Як+1 = к2/к, к = 1,2,-, N -1,
Ко = /о, Я = ЛN .
Решение задачи (13) имеет вид:
Як =Ъ+А+1 + &+1, к = N -1, N - 2, - ,2,1;
щ = 0, щ = 0, ъ+1 = 1 -, к = 1,2,-, N-1; (14)
2 - к Р(е) + Щ
£ - к2 /
£ = /о, £ = fN, £к+1 = , к = 1,2,-, N -1.
2 - к р(е) + Щ
Пользуясь найденной сеточной функцией Як , из задачи
Щ-1" (2 " = h2Rk, к = 1,2,—, N-1, щ = 0, ^ = 0
находим решение задачи (1)-(3) в виде
щ = Pk+iщ+i + Чк+i, k = N -1N - 2, —, 2,1;
Pi = 0, Pn = 0, Pk+1 = ,2 ' -, к = 1,2, —, N -1; (15)
2 - h a(s) + Pk
2
q = 0, 4n = 0, 4k+1 , k = 1,2, —, N-1.
2 - h a(s) + Pk
Покажем, что формулы (14) и (15) имеют смысл. Рассмотрим разность |2-h2ß(s) + ||-1 > 1 -h2 |ß(s)| + |||> 0. Поскольку ß(e) * 0, то |2-h2ß(s) + ||> 0 , то есть
I I 1 , h2
|+1 =1-г — 1, если s удовлетворяет неравенству s —— . Аналогичное утверждение
1 1 |2 - h2ß(s) + ik| 6
имеет место для , Pt и qk .
Так как при s ^ 0 ß(s) ^ 1, a(s) ^ ЛЛ для любого собственного числа матрицы B , то
решение задачи (11)-(12) щ (s) стремится к zi - решению задачи (10) при s ^ 0 .
h2
Теорема 2. При выборе параметров P, s, h из условия s — — и P = s а для разност-
6
ной схемы (11)-(12) имеет место сходимость lim v(хк ,s) = z(xk) .
Поступило 26.11.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Алиев Б., Джураева Г.Х. - ДАН РТ, 2012, т.55, №2, с.109-113.
2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1986, 288 с.
3. Латтес Р., Лионс Ж.Л. Метод квазиобращения и его приложения. - М.: Мир, 1970, 507 с.
4. Джураеа Г.Х. - Вестник Таджикского национального университета. Серия естественных наук, 2009, №1(49), с.47-49.
5. Алиев Б., Джураева Г.Х. - ДАН РТ, 2010, т.53, №6, с.432-436.
6. Джураева Г.Х. -Тр. VII Всерос. научн. конф. с междунар. участием, ч. 3. Дифференциальные уравнения и краевые задачи. - Самара: СамГТУ, 2010, с.92-95.
7. Джураева Г.Х. - Материалы междунар. конф., посвящ. 20-летию XVI сессии Верховного Совета Республики Таджикистан и 60-летию д.ф.м.н., профессора Сафарова Д.С. -Курган-Тюбе, 6 октября 2012 г., с.34-36.
8. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука. 1983, 616 с.
Б.Алиев, Г.Х.Ч,ураева
ШАБЕХИ ФАРЦИИ МЕТОДИ ГУЗАРОНИШ БАРОИ МУОДИЛАХОИ СИНГУЛЯРЙ-ОШУБИИ ДИФФЕРЕНТСИАЛИИ ОДИИ ТАРТИБИ ЧОРУМ
Донишго^и миллии Тоцикистон
Барои ёфтани халли такрибии масъалаи худудии муодилаи сингулярй-ошубии диффе-рентсиалии одии тартиби чорум схемаи фаркй муоина шудааст. Ин схема масъаларо аппракси-матсия намуда, пан^нуктавй аст ва матрисааш мусбат мебошад. Бо истифодаи шабехи методи гузарониш барои чунин схемахо нишон дода шудааст, ки халли ин схема ба халли масъалаи фаркй, ки он аз масъалаи фаркии сохташуда хангоми ба нул баробар будани параметр хосил мешавад, наздик аст.
Калима^ои калиди: схемаи фарцй - усули гузарониш - масъалаи уудудй - ошуби сингуляри - пара-метри хурд.
B.Aliev, G.Kh.Dzhuraeva THE DIFFERENCE ANALOGY OF TRANSFER METHOD FOR SINGULAR INDIGNANT ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION OF FOURTH ORDER
Tajik National University For the finding approximate solution of limiting problem for singular indignant ordinary differential equations of fourth order five point difference schemes is constricted. Using the analogy of transfer method for such schemes it is shown that under striving of parameter to zero converge to solution of difference sheme which come of when the parameter is equal to zero.
Key words: difference sheme - method of transfer - limiting problem - singular indignant - smole parameter.
