РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА АППРОКСИМАЦИИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ АЛЛЕРА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ.

2023. № 4

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 4

Научная статья УДК 519.63

doi: 10.18522/1026-2237-2023-4-13-17

РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА АППРОКСИМАЦИИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ АЛЛЕРА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Мурат Хамидбиевич Бештоков

Институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук, Нальчик, Кабардино-Балкарская Республика, Россия beshtokov-murat@yandex.ru

Аннотация. Изучена начально-краевая задача для одномерного уравнения Аллера с переменными коэффициентами и граничными условиями первого рода. Исследуемая задача описывает процессы передачи тепла в гетерогенной среде, переноса влаги в почвогрунтах, фильтрации жидкости в трещиновато-пористых средах. Для её численного решения построена разностная схема высокого порядка точности - четвертого порядка точности по h и второго порядка точности по т. Методом энергетических неравенств получена априорная оценка решения в разностной трактовке. Из этой оценки следуют единственность и устойчивость решения по правой части и начальным данным. При предположении существования точного решения исходной дифференциальной задачи в классе достаточно гладких функций, а также в силу линейности рассматриваемой задачи из полученной априорной оценки следует сходимость решения построенной разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы.

Цель и научная новизна работы - получение новой численной схемы повышенного порядка аппроксимации при решении задачи Дирихле для уравнения Аллера с переменными коэффициентами.

Ключевые слова: уравнение Аллера, задача Дирихле, разностные схемы, схемы повышенного порядка точности, априорная оценка в разностной форме, устойчивость и сходимость разностных схем

Для цитирования: Бештоков М.Х. Разностная схема повышенного порядка аппроксимации для уравнения Аллера с переменными коэффициентами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2023. № 4. С. 13-17.

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0). Original article

DIFFERENCE SCHEME OF HIGHER ORDER OF APPROXIMATION FOR THE ALLER'S EQUATION WITH VARIABLE COEFFICIENTS

Murat Kh. Beshtokov

Institute of Applied Mathematics and Automation, Kabardino-Balkarian Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Nalchik, Kabardino-Balkarian Republic, Russia beshtokov-murat@yandex. ru

Abstract. The initial boundary value problem for the one-dimensional Aller 's equation with variable coefficients and boundary conditions of the first kind is studied. The problem under study describes the processes of heat transfer in a heterogeneous environment, moisture transfer in soils, and fluid filtration in fractured porous media. To numerically solve the problem posed, a difference scheme of high order of accuracy was constructed -fourth order of accuracy in h and second order of accuracy in t. Using the method of energy inequalities, an a priori estimate of the solution in a difference treatment is obtained. From this estimate it follows that the solution is unique and stable with respect to the right-hand side and initial data. Under the assumption of the existence of an exact solution to the original differential problem in the class of sufficiently smooth functions, and also due to

© Бештоков М.Х., 2023

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 4

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 4

the linearity of the problem under consideration, the obtained a priori estimate implies that the solution of the constructed difference problem converges to the solution of the original differential problem at a rate equal to the order of approximation of the difference scheme.

The goal and scientific novelty of the work is to obtain a new numerical scheme of a higher order of approximation when solving the Dirichlet problem for the Aller's equation with variable coefficients.

Keywords: Aller's equation, Dirichlet problem, difference schemes, schemes of higher order of accuracy, a priori estimate in difference form, stability and convergence of difference schemes

For citation: Beshtokov M.Kh. Difference Scheme of Higher Order of Approximation for the Aller's Equation

with Variable Coefficients. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2023;(4):13-17. (In Russ.).

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).

Введение

Известно, что вопросы передачи тепла в гетерогенной среде [1], переноса влаги в почво-грунтах [2; 3, с. 137], фильтрации жидкости в трещиновато-пористых средах [4, 5] приводят к дифференциальному уравнению в частных производных гиперболического типа третьего порядка (уравнение Аллера).

Важной задачей вычислительной математики является построение и исследование разностных схем высокого порядка точности, аппроксимирующих уравнения математической физики. В последнее время для их построения используются компактно-разностные схемы повышенных порядков точности, записывающиеся на стандартных для данного уравнения шаблонах [6-8].

Цель и научная новизна работы - получение новой численной схемы повышенного порядка аппроксимации при решении задачи Дирихле для уравнения Аллера с переменными коэффициентами. Методом энергетических неравенств получена априорная оценка в разностной форме, из которой следуют единственность и устойчивость решения по правой части и начальным данным, а также сходимость решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью 0(h4 + т2).

Исследованию краевых задач для различных уравнений Аллера посвящены работы [9-11].

Постановка задачи

В замкнутом прямоугольнике QT = {(х, t):0 < х < I, 0 <t < Т} рассмотрим следующую задачу:

"ut = k(t)j£ + Aj^-q(x,t)u(x,t) + f(x,t),0 <x<l, 0<t<T, u(0, t) = u(l, t) = 0, 0<t<T, (1)

u(x, 0) = u0(x), 0 < x < I, где 0 < c0 < k(t) < c1, A = const > 0, |q(t)| < c2,

u(x,t)eC6'3(QT), k(t),q(t)eC1[0,T], f(x,t)eC2'1(QT). (2)

Устойчивость и сходимость разностной схемы

Для решения задачи (1) применим метод конечных разностей. Для этого на равномерной сетке = дифференциальной задаче (1) поставим в соответствие разностную схему

порядка аппроксимации 0(h4 + т2), где = {х( = ih, i = 0,N, h = шт = {tj = jz,

j = 0,1,...,jo', т = T/jo}.

l l

WhVt = 2 aYxx + Ayxxt - 2 dWhY + Mh<p, (3)

Yl = Yi = 0, j = 0,1.....jo, y(Xi,0) = Uo(Xi), i = 0,1.....N, (4)

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 4

ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONALINSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURALSCIENCE. 2023. No. 4

где =±(yj+i + Wyj + yj_i)=yj +!^.yJix.t i = 1.....N-i

Yj+1 = (yj+1+yj), aj = k(t.+^, dj = q(t+1) <р{=г(х0Ь.+ 2).

Теорема 1. Пусть выполнены условия (2). Тогда существует такое т0, что если т < т0, то для решения разностной задачи (3), (4) справедлива априорная оценка

\\yi+1 \\1+\\у1+1]Ц + Ц,=0 (\\У1+1]12О+\\УШТ<М(\\У0 \\1+\\У0]Ц + Ъ),=о W<pi' \\20т), (5) где M = const > 0, не зависящая от h и т.

Доказательство. Априорную оценку найдем методом энергетических неравенств. Введем скалярные произведения и норму (u,v) = Y?:—1 uivih, (u,v] = YJi=1 uivih,

(u,u) = (1,u2) =\\ и \\0. Справедлива

Лемма [12, c. 120]. Для всякой функции у(х), заданной на равномерной сетке = ixi = ih, i = 0,1,..., N, x0 = 0,xN = 1} и обращающейся в нуль при х = 0 и х = I,

h2 2 2 I2 2

справедливы оценки — \\ <\\ У - \\ УхШ.

Получим некоторые вспомогательные неравенства с учетом леммы

(y.Mhy) = (у,у + ^2Ухх) = (У,У) - (1,^2(Ух)2) < (1,У2-1У2) < (1,^У2) = 3\\У\\ 1о,

(л ( , h2 \2\ /„ 2 , 2h2 , h4 2 \ /„ 2 2h2 , л2 , h4 2 \

(1, (у + йУ**) ) = (1,У2+ —УУХХ + —4yàx) = (1,У2-—(Ух)2 + —аУ2ХХ).

Рассмотрим справедливое неравенство

(1,У2-§Ш2) < (1,(У + £У**)2) < (1,У2+ШУ2Х). (6)

На основе приведенной выше леммы из (6) получаем

(1,у2)-2(1,у2) < (i,(y + h2yxx)2) < (1,у2)+9(1,у2).

Итак, имеем

3\\у\\2<\\^у\\2<12\\у\\2. (7)

Найдём априорную оценку методом энергетических неравенств. Умножим уравнение (3) скалярно на Y = у] + у]+1:

(У, HhVt) = 1 (aYxx, Y) + A(yxxt, Y)-± (dMhY, Y) + Y). (8)

Преобразуем слагаемые, входящие в (7), с учетом (6) и леммы: (Y,Khyt) = (yj+1 + yi,yt + ^Уы) = (yj+1 + yj,yt) +

+ (yJ+1+yJ>h2y™) = (yJ+1+yJ,1T(yJ+1-yJ)) --(yt1 + у*, 1 (yt1 -y^ = (\y \2)t - hT2(\\ y*]l2)t > > (\\ y \\2)t -3(\\y \\2)t =2(\\y \\2)t; 2(aY™, Y) = -l(a, (Y*)2]; A(yXxt, Y) = -A(yxt> Y,] = A (1 (yi+1 - y>), (yi+1 + yi)] =

= -№Ы+1)2-Ы)2)]<-со(\у*]12)*

-1 (d-HhY, У) = -1 (dY, Y)-h4 (dY, Yxx) = -\(d, Y2) + g (d, (Yx)2] < < f \\ Y \\2о+ h^2 \\ Y2] \2<C-^\\Y \\2O+ f \\ Y \\2< \\ Y \\2; (Hh<p, Y)<±\\Y \\2+ 2 \\ \\2.

Учитывая полученные преобразования, из (8) находим

(\\ y \\2)t + (\\ yx]l2)t+\\ Yx]\2 <M1\\Y \\2+M2 \\ HhV \\2. (9)

Здесь и далее Mi, i = 1,2,..., - положительные постоянные числа, зависящие только от входных данных рассматриваемой задачи.

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 4

ISSN 1026-2237BULLETINOFHIGHEREDUCATIONALINSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURALSCIENCE. 2023. No. 4

Просуммируем (9) по / от 0 до j, умножив обе части на т. Получим

\\y]+1 \\2o+\\yi+1]l2o + ï/p=o WYA<

< MllJj'=0 \\У\\22? + М2(Ц,=2 \\Mh<p\\22T+\\y2\\22+\\y2]l2). (10)

Преобразуем первое слагаемое в правой части (10) с учётом неравенства (а + b)2 < а2 + Ь2:

4=2 \\ У\\2^ = TJj'=2 \\ У]'+1 + У]' \\2*<2 4=2 (\\ у]'+1 \\2 +\\ У]' \\2)* = = 2 4=2 \\ yj+1 \\2? + 2 4=2 \\ yj \\2>т = 2 4+Д \\ yj \\2 т +

+2!],=2 \\ У} \\2 т = 2 \\ yj+1 \\2+ 2 \\ у2 \\2+4?/г=1 \\ yj \\22 т . (11)

Учитывая (11), из (10) находим

(1 - 2М1Т) \\ у} + 1 \\2 +\\ yi+^ti + Яр=2 \\ Y,]I2T <

<М1$1=2 \\у\\2т + М2$1=2 \\^П^\\2^+\\У2\\22+\\У2]12). (12)

1

Выбирая т < т0 = из (12) находим

\yj+1 f2+\yi+1]l2 + lJjf=2 \\YA<

<M2lJjl=2 \\y\\2* + M3(ï/Jl=2 \\Mhy\\22T+\\y2 \\22+\\y2]l2). (13)

Из (13) на основании разностного аналога леммы Гронуолла [13, с. 171] и (7) находим оценку (5), из которой следуют единственность решения разностной задачи (3), (4), а также непрерывная зависимость решения задачи от входных данных. В (5) M = M^e^2-1).

Пусть и(х, t) - решение задачи (1); y(xi, tj) = у?- решение разностной задачи (3), (4). Для оценки точности разностной схемы (3), (4) рассмотрим разность z( = у- — uf, где uf = u(xi, tj). Подставляя у = z + и в соотношения (1), получаем задачу для функции z

KhZt = ! aZXx + AzXxt — 2 dKhZ + ЩУ, Zl = Z^ = 0, z(xb 0) = 0, (14)

где У = О (h4 + т2) - погрешности аппроксимации дифференциальной задачи (1) разностной схемой (3), (4) в классе решений и = и(х, t) задачи (1).

Применяя оценку (5) к решению задачи (14), получаем неравенство

\\ ZÎ+1 \\2 +\\ zl+1]l22 + Tjj,=2 \\ Z^T < M4Yjy=2 \\ HhV \\2 т, (15)

где M = const > 0, не зависящая от h и т.

Из априорной оценки (15) следует сходимость решения разностной задачи (3), (4) к решению дифференциальной задачи (1) в смысле нормы \\ zJ+1 \\2 на каждом слое так, что существует такое т2, что при т <т2 справедлива оценка \\ у}+1 — и}+1 Н^ M(h4 + т2), где

\\ ZJ+1 \\2 = \\ ZJ + 1 \\2 +\\ zl+^+ïi.^ \\ Z^T.

Заключение

Получена априорная оценка в разностной форме, означающая единственность решения и его непрерывную зависимость от входных данных задачи. В предположении существования точного решения в классе достаточно гладких функций, а также в силу линейности рассматриваемой задачи это неравенство позволяет утверждать сходимость приближенного решения к точному решению со скоростью О (h4 + т2).

Список источников

1. Рубинштейн Л.И. К вопросу о процессе распространения тепла в гетерогенных средах // Изв. АН СССР. Сер. геогр. 1948. Т.12, № 1. С. 27-45.

2. Аллэр М. Эффективный потенциал воды при высыхании почвы // Термодинамика почвенной влаги. Л.: Гидрометеоиздат, 1966. C. 325-360.

3. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976. 352 с.

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 4

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 4

4. Баренблат Г.И., Желтое Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикладная математика и механика. 1960. Т. 25, № 5. С. 852-864.

5. Дзекцер Е.С. Уравнения движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах // Докл. АН СССР. 1975. Т. 220, № 3. С. 540-543.

6. Толстых А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэродинамики. М.: Наука, 1990. 230 с.

7. Lele S.K. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution // J. of Computational Physics. 1992. Vol. 103, № 1. Р. 16-42.

8. Sun Z.Z. On the compact difference scheme for heat equation with Neuman boundary conditions // Numer. Methods Partial Diff. Eqns. 2009. Vol. 25. Р. 1320-1341.

9. Бештоков М.Х. Метод Римана для решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка // Вестн. Самарского гос. техн. ун-та. Физ.-мат. науки. 2013. № 4 (33). С. 1524.

10. Бештоков М.Х. Краевые задачи для нагруженных псевдопараболических уравнений дробного порядка и разностные методы их решения // Изв. вузов. Математика. 2019. № 2. С. 3-12.

11. Бештоков М.Х. Численное исследование начально-краевых задач для уравнения соболевского типа с дробной по времени производной // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 2019. Т. 59, № 2. С. 185202.

12. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 656 с.

13. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 415 с.

References

1. Rubinshteyn L.I. On the question of the process of heat propagation in heterogeneous media. Izv. ANSSSR. Ser. Geogr. 1948;12(1):27-45. (In Russ.).

2. Aller M. Effective water potential when soil dries. Thermodynamics of soil moisture. Leningrad: Gidrometeoizdat Publ.; 1966:325-360. (In Russ.).

3. Chudnovskiy A.F. Soil thermophysics. Moscow: Nauka Publ.; 1976. 352 p. (In Russ.).

4. Barenblat G.I., Zheltov Yu.P., Kochina I.N. On the basic concepts of the theory of filtration of homogeneous fluids in fractured rocks. Prikladnaya matematika i mekhanika = Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1960;25(5):852-864. (In Russ.).

5. Dzektser E.S. Equations of motion of groundwater with a free surface in multilayer media. Dokl. AN SSSR = Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR. 1975;220(3):540-543. (In Russ.).

6. Tolstykh A.I. Compact difference schemes and their application in problems of aerodynamics. Moscow: Nauka Publ.; 1990. 230 p. (In Russ.).

7. Lele S.K. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution. Journal of Computational Physics. 1992;103(1):16-42.

8. Sun Z.Z. On the compact difference scheme for heat equation with Neuman boundary conditions. Numer. Methods Partial Diff. Eqns. 2009;25:1320-1341.

9. Beshtokov M.Kh. The Riemann method for solving non-local boundary value problems for pseudopara-bolic equations of the third order. Vestn. Samarskogo gos. tekhn. un-ta. Fiziko-matematicheskie nauki = Journal ofSamara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences. 2013;(4):15-24. (In Russ.).

10. Beshtokov M.Kh. Boundary-value problems for loaded pseudoparabolic equations of fractional order and difference methods of their solving. Russian Mathematics. 2019;63(2):1-10.

11. Beshtokov M.Kh. Numerical analysis of initial-boundary value problem for a Sobolev-type equation with a fractional-order time derivative. Comput. Math. andMathem. Phys. 2019;59(2):175-192.

12. Samarskiy A.A. Theory of difference schemes. Moscow: Nauka Publ.; 1983. 656 p. (In Russ.).

13. Samarskiy A.A., Gulin A.V. Stability of difference schemes. Moscow: Nauka Publ.; 1973. 415 p. (In Russ.).

Информация об авторе

М.Х. Бештоков - кандидат физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник. Information about the author

M.Kh. Beshtokov - Candidate of Science (Physics andMatematics), Associate Professor, Leading Researcher.

Статья поступила в редакцию 24.05.2023; одобрена после рецензирования 03.07.2023; принята к публикации 30.10.2023. The article was submitted 24.05.2023; approved after reviewing 03.07.2023; accepted for publication 30.10.2023.