CC BY
7
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ.
2022. № 4-1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES
Научная статья УДК 519.63
doi: 10.18522/1026-2237-2022-4-1-4-9
УСТОЙЧИВОСТЬ И СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ, АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ НЕЛОКАЛЬНУЮ КРАЕВУЮ ЗАДАЧУ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ ВЛАГОПЕРЕНОСА С ПРОИЗВОДНЫМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
Мурат Хамидбиевич Бештоков
Институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук, Нальчик, Кабардино-Балкарская Республика, Россия beshtokov-murat@yandex.ru
Аннотация. Изучается краевая задача для нагруженного уравнения влагопереноса с двумя дробными производными Герасимова - Капуто разных порядков (а, в), переменными коэффициентами и нелокальным граничным условием интегрального вида. На равномерной сетке построена разностная схема порядка аппроксимации 0(h2 + т2) при а = @ и 0(h2 + T2-maxia,P}) при а Ф Исследование проводится методом энергетических неравенств. При различных соотношениях между порядками дробных производных а и в для решения поставленной нелокальной краевой задачи получены априорные оценки в разностной трактовке, из чего следуют единственность решения поставленной задачи, непрерывная и равномерная зависимость решения от входных данных, а также сходимость решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы.
Ключевые слова: уравнение влагопереноса, дробная производная Герасимова - Капуто, нелокальная краевая задача, разностные схемы, априорная оценка
Для цитирования: Бештоков М.Х. Устойчивость и сходимость разностной схемы, аппроксимирующей нелокальную краевую задачу для нагруженного уравнения влагопереноса с производными дробного порядка // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2022. № 4-1. С. 4-9.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY4.0). Original article
STABILITY AND CONVERGENCE OF A DIFFERENCE SCHEME APPROXIMATING A NONLOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A LOADED MOISTURE TRANSFER EQUATION WITH FRACTIONAL ORDER DERIVATIVES
Murat Kh. Beshtokov
Institute of Applied Mathematics and Automation, Kabardino-Balkarian Scientific Center, Russian Academy
of Sciences, Nalchik, Kabardino-Balkarian Republic, Russia
beshtokov-murat@yandex.ru
© Бештоков М.Х., 2022
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
Abstract. We study a boundary value problem for a loaded moisture transfer equation with two Gerasimov-Caputo fractional derivatives of different orders (а, в), variable coefficients, and a nonlocal integral boundary condition. On a uniform grid a difference scheme of order of approximation 0(h2 + т2) for a = P and
0(h2 + T2-^ax{a,P}) for
a Ф P is constructed. The study is carried out by the method of energy inequalities. For different ratios between the orders of fractional derivatives а and в, for solving the posed nonlocal boundary value problem, a priori estimates in the difference interpretation are obtained, from which the uniqueness of the solution of the posed problem, the continuous and uniform dependence of the solution on the input data, and the convergence of the solution of the difference problem to the solution of the original differential problem at a rate equal to the order of approximation of the difference scheme.
Keywords: transfer equation, Gerasimov-Caputo fractional derivative, nonlocal boundary value problem, difference schemes, a priori estimate
For citation: Beshtokov M.Kh. Stability and Convergence of a Difference Scheme Approximating a Nonlocal Boundary Value Problem for a Loaded Moisture Transfer Equation with Fractional Order Derivatives. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2022;(4-1):4-9. (In Russ.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).
Введение
Нагруженными дифференциальными уравнениями в литературе [1-3] принято называть уравнения, содержащие в коэффициентах или в правой части какие-либо функционалы от решения, в частности значения решения или его производных на многообразиях меньшей размерности.
Неклассичность рассматриваемой в работе задачи заключается в том, что вместо первой производной по времени уравнение содержит производную дробного порядка в смысле Герасимова - Капуто, уравнение является нагруженным, граничное условие содержит интеграл по пространственной переменной. Исследование таких задач представляет интерес с точки зрения как построения общей теории дифференциальных уравнений, так и приложений, причем приложений в математическом моделировании и математике.
Численным методам решения краевых задач для различных уравнений диффузии посвящены работы [4-7], уравнению влагопереноса - [8, 9]. В работах [7, 8] получены результаты, позволяющие, как и в классическом случае (при a=1), применять метод энергетических неравенств для нахождения априорных оценок краевых задач для уравнения дробного порядка в дифференциальной и разностной трактовках.
Настоящая работа является продолжением серии работ автора в этом направлении [6, 8, 9].
Постановка нелокальной задачи
В замкнутом прямоугольнике = {(x. t): 0 < x < I, 0 < t < Т} рассмотрим следующую задачу:
-q(x, t)u(x0. t) + f (х. t).0 < x < 1.0 < t <T. (1)
u(0, t) = 0.0<t<T. (2)
—П(I. t) = J P(x. t)u(x. t)dx — ^(t). 0 < t < T. (3)
u(x. 0) = u0(x). 0 <x <1. 0 <c0< k(x. t). y(x) < c1. (4)
|q(x.t)|.|r(x.t)|.|rx(x.t)|.|fcx(x.t)I.IP(x.t)l <^2, (5)
d^tu = 1 J dz - дробная производная в смысле Герасимова - Капуто порядка у,
0 < у < 1; x0 - произвольная точка интервала [0.1].
В дальнейшем будем предполагать, что решение задачи (1 )-(4) существует и обладает нужными по ходу изложения производными. Будем также считать, что коэффициенты уравнения
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1
ISSN 1026-2237BULLETINOFHIGHEREDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
и граничных условий удовлетворяют необходимым условиям гладкости, обеспечивающим нужный порядок аппроксимации разностной схемы.
Обозначим через Mt (i = 1,2,...) положительные постоянные числа, зависящие только от входных данных исходной задачи и не зависящие от шагов сетки h и т.
Устойчивость и сходимость разностной схемы
Для решения задачи (1)-(4) применим метод конечных разностей. В замкнутом прямоугольнике @т введем равномерную сетку шПт = х шт, где = {xt = ih, i = 0, N, h = I/N}; щ = { tj = }T, j = 0,1.....j0, т = T/jo}.
На равномерной сетке шПт дифференциальной задаче (1)-(4) поставим в соответствие разностную схему порядка аппроксимации О (h2 + т2) при а = 3 и О (h2 + T2-max{a,P}) при а Ф ¡3:
д a y = J (aj„(rT)\ _i_ _i_ h-j„j„(ff) л. h+jJ л,М
у = xj (ajy^l . + Д^+а(ПУ*)хл + b-jajyff + b+jа{+1У^
-dj (yï?x- + y^hx+0) + <pj, (x, t) e (6)
y(0, t) = 0, te шт, x = 0, (7)
XNaNy^ + Дач+а(уыУх.ы)) = ИоЫ^ +
+0,5h (д atj+ayN + 4 (y^x- + y^x*)) -H,x = l, (8)
y(x, 0) = u0(x), x e
т1-У
где = Хд=о - дискретный аналог дробной производной Герасимова -
Капуто порядка у, 0 <у <1, обеспечивающий порядок точности 0(т3-г) при а = 1 0(т2-г) - при а = 0,5 [7];
Х1а < Хо < х1о+1' х- = Х10+2 Х' х+0 = = + 0,5к(р}м, при 1>1,
M = ai-y, а(г'а) = (1 + а)1-У -(1-1 + а)1-У,
bi =^~y[(l + °)2-Y -(1-1 + *)2-y] -1[(l + o)1-a + (1-1 + *)1-Y], при j = 0,
L o ao ,
ra(Y,a) + b(Y'a), s = 0;
при ] > 0 с™ = ^ а™ + - Ь(/'а\ 1<5<]-1-
^'а)-Ь(+'а), 8=},
с<у.о) > (5 + а)-у >0'а = 1-\ если а = р;а = 0Д если а Ф р,
а[ = Нъ-о&Ъ+Лм = Л(.х1-0'5)'ь^±} = ' Р'1 =
г(х, Ь}+а) = г+(х, Ь}+а) + г-(х' Ь}+а), 1г(х' ^+а)1 = г+(х, Ь}+а) - г-(х'
г+(х,Ъ+а) = О^х^) + НхЛ1+а)1) > 0'
г-(хЛ]+а) = 0'5(г(хЛ]+а) - 1г(хЛ]+а)1) < 0'
У(а) = ау^1 + (1- а)У= Ч(х1Л+а),а(+1^ = а^
Х(х' 1) = 1+1х ^; К(х' ^ = - разностное число Рейнольдса.
Априорную оценку решения разностной задачи (6)-(8) найдем методом энергетических неравенств. Для этого введем скалярные произведения и норму в следующем виде:
V] = ЩъА (и'и] =|| и]^ (и' V) = й =
Умножим теперь (6) скалярно на у(а^:
a
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
i+ay, yW) = (x Ыа))х, У(а)) + (*StJ+e(Y<yjc)x. У(а)) + (9)
+ ( b-ayi°\y(*>) + (ь+аЮуМуЫ) - (d( (у£\ + y&xfi.y™) + (p,y(ff)).
Преобразуя суммы, входящие в тождество, с учетом (7) и [7, лемма 1], получим
(x(ay^)x, У(а)) = xay^yV lN - (ay(a\ (ХУ(=
= xayfy(&)ft - (ax„y!f)y(ff)] - (ax(-1), (yУf¥] < < xay^y^ - (ax^V^] -(^(ax, ; (10)
(4tj+a(yy*)x,y(a)) = y(a)4tj+M^ - М'Ч^М <
<y(a)4tj+a(Yyêl%-Ci; 4tj+a\\y,]H
Принимая во внимание преобразования (10), из (9) получаем
(л^У,y(ff)) + Ml \\ y£ff)] 12 + f A%tJ+a \\y*]l20<e \\ у£>] 12 +
+ (xlay^ + Л^Ш^У^ + M2(e) \\ y(ff)]|2 + (b-a{y^,y(ff)) +
+ (b+ai+iyg.y™) - (d{ (УСЧ+У^К)^) + (P,y(ff)). (11)
Преобразуем первое слагаемое в правой части (11)
(¿ayf + Л^у))у(°Г0 = (xiaygH + =
= fr + 2pi- - 2 (ЛК«У" - d* (у?*- + у$1*фу$° <
< -0,5ку*а)Лащ+ау* + M3(£) \\ у(^]Ц + е \\ у^]120 + M^(Е)р2 +
yN Л2Ч+ау* + м3(.........12
+ 05hy^pjN + 0,5hy*a)dN (yWx- + у$1*+). (12)
У* PN + 0,5hyN dN (yio x<- + У ^л* —,
Учитывая (12) при £ = —, из (11) находим
(л^уУ°)]+М1\\у£)]12 + с2л\\УхМ22 <
и У У(ст)]10 + (Ь-а}у£,у(?)) + (Ь+а1+1у£,у^) (й{ (у£\+у$1х+).у(°)]+\1л2 + (<р,у(&)\ (13)
Из (13) после несложных преобразований с учетом неравенства Коши получим
А II у]И + Уу*]И+\\ у^Ш < М5 у у(^]Ц + М6(\\ (р]120 + и2). (14)
Перепишем (14) в другой форме
А У у]Ц + У у^Ц < М? У у1+1]Ц + М? У у)]Ц + М6(У р]\2 + II2). (15)
1. Рассмотрим случай, когда а > р. Тогда на основании [8, лемма 7] из (15) получаем
У у]\2 < М9(\\ у2]12 + тах(\\ р})\2+^2)), (16)
2<] '< '
где У у2]\2=У у2]\2 + Уу|]\2.
2. В случае, когда а = р,из (15) получаем
Wy]\i<Mi0(\\y°]\i+ max U (pi']\2+И2)). (17)
2<] <] v '
3. В случае, когда а < P, из (15) с учетом (7) и неравенства \\ y(ff)]\2 < 2l2 \\ y^]\2 [10] получаем
A atj+rT \ y]\0 + \ Ух]\2 < Mil \ y^hH + Mi2(\\ p]\20 + И2). (18)
На основании [8, лемма 7] из (17) находим
\\Ух]Ц<М12(\\У2]Ц+ max Up) ]l2 + р2)). (19)
2<] <) v '
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1
ISSN 1026-2237BULLETINOFHIGHEREDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
Теорема. Пусть выполнены условия (5). Тогда существует такое малое т0 = т0(с0,с1, с2, а, а), что если т < т0, то для решения разностной задачи (6)-(8) справедливы априорные оценки: (16) - в случае, когда а > р; (17), когда а = р; (19), когда а < р.
Из полученных априорных оценок (16), (18) следуют единственность и устойчивость решения разностной схемы (6)-(8) по начальным данным и правой части, а также сходимость решения разностной задачи (6)-(8) к решению дифференциальной задачи (1)-(4), тогда существует такое т0, что при т < т0 справедливы оценки:
1) в случае, когда а> р:\\ yj+1 - W+^fà < M(h2 + T2-max{aM);
2) в случае, когда а = ¡:\\ yj+1 - uj+1]l2 < M (h2 + т2);
3) в случае, когда а<р:\\ yj*1 - uj+1]l2 < M(h2 + T2-max{a.P}), где M - const > 0, не зависящая от h и т.
Заключение
Рассмотрена нелокальная краевая задача для одномерного по пространству нагруженного уравнения влагопереноса с переменными коэффициентами и двумя операторами дробного дифференцирования Герасимова - Капуто разных порядков аир. На равномерной сетке построена разностная схема порядка аппроксимации 0(h2 + T2) при а = р и О (h2 + T2-max{a,P}) при а Ф р. При различных соотношениях между порядками дробных производных а и в для решения поставленной нелокальной краевой задачи получены априорные оценки в разностной трактовке, из чего следуют единственность решения поставленной задачи, непрерывная и равномерная зависимость решения от входных данных, а также сходимость решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы.
Список источников
1. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения // Диф. уравнения. 1983. Т. 19, № 1. С. 86-94.
2. ДженалиевМ.Т. О квадратичном функционале в задаче Коши для нагруженного дифференциально-операторного уравнения первого порядка // Диф. уравнения. 1995. Т. 31, № 12. C. 2029-2037.
3. Cannon J.R., Yin N.M. On a class of nonlinear nonclassical parabolic problems // J. Différent. Equat. 1989. № 79. P. 266-288.
4. Головизнин В.М., Киселев В.П., Короткий И.А., Юрков Ю.И. Некоторые особенности вычислительных алгоритмов для уравнений дробной диффузии. М.: Ин-т проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, 2002. 57 с.
5. Алиханов А.А., Березгов А.М., Шхануков-Лафишев М.Х. Краевые задачи для некоторых классов нагруженных дифференциальных уравнений и разностные методы их численной реализации // Журн. вы-числ. математики и мат. физики. 2008. Т. 48, № 9. С. 1619-1628.
6. Бештоков М.Х., Водахова В.А. Нелокальные краевые задачи для уравнения конвекции-диффузии дробного порядка // Вестн. Удмуртского ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2019. Т. 29, вып. 4. С. 459-482.
7. Alikhanov A.A. A New Différence Scheme for the Time Fractional Diffusion Equation // J. of Computational Physics. 2015. № 280. P. 424-438.
8. Бештоков М.Х. Численное исследование начально-краевых задач для уравнения соболев^ого типа с дробной по времени производной // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2019. Т. 59, № 2. С. 185202.
9. Beshtokov M.Kh. The third boundary value problem for loaded differential Sobolev type equation and grid methods of their numerical implementation // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 2016. Vol. 158, № 1. P. 1-6.
10. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 656 с.
References
1. Nakhushev A.M. Loaded equations and their applications. Dif. uravneniya = Differential Equations. 1983;19(1):86-94. (In Russ.).
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ.
2022. № 4-1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
2. Dzhenaliyev M.T. On a quadratic functional in the Cauchy problem for a loaded first-order differential operator equation. Dif. uravneniya = Differential Equations. 1995;31(12):2029-2037. (In Russ.).
3. Cannon J.R., Yin N.M. On a class of nonlinear nonclassical parabolic problems. J. Different. Equat. 1989;(79):266-288.
4. Goloviznin V.M., Kiselev V.P., Korotkiy I.A., Yurkov Yu.I. Some features of computing algorithms for the equations fractional diffusion. Moscow: Nuclear Safety Institute RAS Press, 2002. 57 p. (In Russ.).
5. Alikhanov A.A., Berezgov A.M., Shkhanukov-Lafishev M.Kh. Boundary Value Problems for Certain Classes of Loaded Differential Equations and Solving them by Finite Difference Methods. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2008;48(9):1581-1590.
6. Beshtokov M.Kh., Vodakhova V.A. Nonlocal boundary value problems for a fractional-order convection-diffusion equation. Vestnik Udmurtskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye nauki = The Bulletin of Udmurt University. Mathematics. Mechanics. Computer Science. 2019;29(4):459-482. (In Russ.).
7. Alikhanov A.A. A New Difference Scheme for the Time Fractional Diffusion Equation. Journal of Computational Physics. 2015;(280):424-438.
8. Beshtokov M.Kh. Numerical analysis of initial-boundary value problem for a Sobolev-type equation with a fractional-order time derivative. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2019;59(2):175-192.
9. Beshtokov M.Kh. The third boundary value problem for loaded differential Sobolev type equation and grid methods of their numerical implementation. IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 2016;158(1):1-6.
10. Samarskiy A.A. Theory of difference schemes. Moscow: Nauka Publ.; 1983. 656 p. (In Russ.).
Информация об авторе
М.Х. Бештоков - кандидат физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник. Information about the author
M.Kh. Beshtokov - Candidate of Science (Physics and Matematics), Associate Professor, Leading Researcher.
Статья поступила в редакцию 30.06.2022; одобрена после рецензирования 14.07.2022; принята к публикации 15.11.2022. The article was submitted 30.06.2022; approved after reviewing 14.07.2022; accepted for publication 15.11.2022.
