КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА ДРОБНОГО ПОРЯДКА С ЭФФЕКТОМ ПАМЯТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2022. Т. 26, № 4. С. 607-629 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d https://doi.org/10.14498/vsgtu1942

EDN: AUKCBX

УДК 519.642.2

Краевые задачи для уравнения соболевского типа дробного порядка c эффектом памяти

М. Х. Бештоков

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН,

Россия, 360000, Нальчик, ул. Шортанова, 89 а.

Аннотация

Изучены краевые задачи для одномерного интегро-дифференциаль-ного уравнения соболевского типа с граничными условиями первого и третьего родов с двумя операторами дробного дифференцирования а и ß разных порядков. Построены разностные схемы порядка аппроксимации 0(h2 + т2) при а = ß и 0(h2 + тпри а = ß. С помощью метода энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках, откуда следуют существование, единственность, устойчивость, а также сходимость решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы. Проведены численные эксперименты, иллюстрирующие полученные в работе результаты.

Ключевые слова: уравнение соболевского типа, дробная производная, эффект памяти, разностные схемы, априорная оценка, устойчивость и сходимость.

Получение: 15 июля 2022 г. / Исправление: 19 ноября 2022 г. / Принятие: 16 декабря 2022 г. / Публикация онлайн: 29 декабря 2022 г.

Дифференциальные уравнения и математическая физика Научная статья

© Коллектив авторов, 2022 © СамГТУ, 2022 (составление, дизайн, макет)

3 ©® Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования

Бештоков М. Х. Краевые задачи для уравнения соболевского типа дробного порядка c эффектом памяти // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2022. Т. 26, № 4. С. 607-629. EDN: AUKCBX. DOI: 10.14498/vsgtu1942. Сведения об авторе

Мурат Хамидбиевич Бештоков А https://orcid.org/0000-0003-2968-9211 кандидат физико-математических наук, доцент; ведущий научный сотрудник; отд. вычислительных методов; e-mail: [email protected]

Введение. Среди неклассических уравнений математической физики [1] обширную область составляют псевдопараболические уравнения [2]

Lut = Ми.

Уравнения такого вида известны еще как вырожденные уравнения [3], уравнения соболевского типа [4], уравнения, не разрешенные относительно старшей производной [5] и даже уравнения не типа Коши—Ковалевской [6, 7]. Систематическое исследование уравнений такого рода началось с середины прошлого века в работах С. Л. Соболева. Термин «уравнения соболевского типа» ввел в обиход Р. Е. Шоуолтер (R. E. Showalter) [8,9]. В работе [10] рассматривается линейное уравнение более общего вида

(Л — А)щ = аАи,

моделирующее динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещиновато-пористой среде, которое является моделью процесса влагопереноса в почве [11-13] и процесса теплопроводности в среде с двумя температурами [14].

При решении многих задач физики, механики, биологии часто встречаются среды и системы, которые хорошо интерпретируются как фракталы, примерами последних могут служить сильно пористые среды, к каковым, например, можно отнести почвогрунт. Решение различных задач для таких сред приводит к краевым задачам для дифференциальных уравнений с дробной производной. Дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка являются обобщением уравнений с частными производными целочисленного порядка и вызывают большой теоретический и практический интерес. Так, в работе [15] предложены и исследованы математические модели водного режима в почвогрунтах с фрактальной структурой. В основе этих моделей лежат уравнения соболевского типа с дробной по времени производной.

В настоящей работе изучены краевые задачи для одномерного интегро-дифференциального уравнения соболевского типа с двумя операторами дробного дифференцирования а и ß разных порядков и краевыми условиями первого и третьего родов. Построены разностные схемы порядка аппроксимации 0(h2 + т2) при а = ß и 0(h2 + т2-max(«>ß}) при а = ß. С помощью метода энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках, откуда следуют единственность, устойчивость, а также сходимость решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы.

Численным методам решения краевых задач для различных уравнений дробного порядка посвящены работы [16-21]. В работах [16-18] получены результаты, позволяющие, как и в классическом случае (а = 1), применять метод энергетических неравенств для нахождения априорных оценок краевых задач для уравнения дробного порядка в дифференциальной и разностной трактовках. В работах [19,20] изучаются краевые задачи для различных нагруженных дифференциальных уравнений целочисленного и дробного порядков.

Настоящая работа является продолжением серии работ автора в этом направлении [18-22].

1. Постановка задачи. В замкнутом прямоугольнике

= {(х, г): о ^ ж ^ I, о ^ г ^ т}

рассмотрим следующую задачу для уравнения соболевского типа с эффектом памяти

™ 9 Л, ,9и\ а д ( , .ди\ .ди

- д(х,г)и(х,г) + р(х,г,т)и(х,т)йт + /(х,г), о <х<1, о ^ Т, (1) Jо

и(о, г) = и(1, г) = о, о < í < т, (2)

и(х, о) = и0(х), о ^ х ^ I, (3)

где

о < со ^ к(х,г), г](х) ^ с\] \д(х,1)\, \т(х,1)\, \тх(х,1)\, \кх(х,1)\, \р(х,1,т)\ < С2, о < г < I, ()

7 1 Г ит(х,т) и = —-- --—

^ и.^. I ч I

йт

0 Г(1 - 7)Уо (г - т)Г — дробная производная в смысле Герасимова—Капуто [23, 24] порядка 7,

о < 7 < 1.

В дальнейшем будем предполагать, что задача (1)—(3) имеет единственное решение, обладающее нужными производными. Будем также считать, что коэффициенты уравнения и граничных условий удовлетворяют необходимым условиям гладкости, обеспечивающим нужный порядок аппроксимации разностной схемы.

Обозначим через М\, М2, ... положительные константы, зависящие только от входных данных исходной задачи.

2. Априорная оценка в дифференциальной форме.

Теорема 1. Если

к(х,г) е С 1'0(Ят), ф) е С2[о,1], г(х,$, д(х,г), р(х,г), /(х,г) е С&т),

и(х,1) е С2,0(Ят) п С1,0(Ят), д&и(х,1) е С(Ят), д&иххЫ) е С(Дт)

и выполнены условия (4), то для решения задачи (1)-(3) справедливы следующие априорные оценки:

1) в случае, когда а > Р:

N12 < м^^у1|0 + 1М®)110),

где Ы2 = N12 +

2) в случае, когда а = /3:

N12 < М2(Б-Ц/1|2 + Цио(х)Ц0 + Н(Х)Ц2), где N12 = |М|0 + К12;

3) в случае, когда а < [3:

N12 < мэре? II/110 + Н(х)\\0),

где ЦuЦ23 = ||ил||0 + £-(^-а)|М1о.

При доказательстве теоремы 1 будут использованы следующие леммы.

Лемма 1 [16]. Для любой абсолютно непрерывной на [0,Т] функции у(Ь) справедливо неравенство

у(Ь)д^) > 1 д&о2(1), 0 < а < 1.

Лемма 2 [16]. Пусть неотрицательная абсолютно непрерывная функция у(Ъ) удовлетворяет для почти всех £ из [0, Т] неравенству

дыУ(1) < с1У(1)+ с2(I), 0 < а < 1, где с1 > 0, с2^) —суммируемая на [0,Т] неотрицательная функция. Тогда у(1) < У(0)Еа(с1Г)+Г(а)Еа!а(с1Г)В-асо(1),

где Еа(г) = ^ Цап+Ц, Е»Лг) = т{ап+^) — функции Миттаг—Леффле-

п=0 п=0

ра.

Доказательствотеоремы 1. Для получения априорных оценок решения задачи (1)-(3) в дифференциальной форме воспользуемся методом энергетических неравенств. Введем для этого скалярное произведение и норму в виде

(и,у) = / иьйх, (и,и) = ||«|| 0

ии0,

где и, V — заданные на [0,/] функции.

Умножим теперь уравнение (1) скалярно на и:

(д&и,и) = ((ких)х,и) + (дЦг(^(х)их)х,и) + (гих(х,г),и) —

(■д(х,£)и,и) + (/ р(х,Ь,т)и(х,т)йт,^ + (/(х,Ь),и). (5)

Входящие в тождество (5) интегралы преобразуем и оценим, пользуясь неравенством Коши с е [16], [26, с. 100] и леммой 1:

^ 1 (1,д&и°) = 1 ади0; (6)

г1 I г I

((ких)х,и) = I и(ких)хйх = иких — ки2хйх; (7)

]0 0 ^0

(д'ы(щх)х,и) = i ud0t('qux)xdx = udßt(r]ux) J о

< ud0t(Wx)

I А

- v(x)ux dßtu xdx ^ о

оо i

Vdot(ux)2dx; (8)

{rux,u) = ruuxdx ^ ~r I u2dx + e v%,dx ^ M4(£)||«||° + £||«x||°; (9) Jо 4£ Jо Jо

-(q(x,t)u,u) < С2У«Уо; (10)

p(x,t,r)u(x,t)dT,u^j = J uj p(x,t,r)u(x,t)drdx ^

1 / 1 / [t \2 < 2lNlO + \2,\l p(x,t,T)u(x,T)dTi

/0

1

< -

+ (1, p2(x,t,r)dr u2(x,t)drj ^ 2

r 1 1

(M = J fudx < 2llulO + 2Mi 112

< 2Ы2 + м5 yo

2 N-iiO + 2 llJ ll 0'

Odr; (11)

(12)

Учитывая преобразования и неравенства (6)—(12), из (5) c учетом (2) находим

1

1

2dotlHü + 2dotJQ V(ux)2dx + соlMl2 <

< e|MO + Мб(е)Н\о + м7 Hl Odr + -у Ш (13)

Выбирая е = Со/2, из (13) получаем

д$м\2 + dot f v(ux)2dx + lluxll20 <M8yu||2 + M9 f Ци\\20dr + MwЦ/lß. (14) J 0 J 0

1. Рассмотрим случай, когда a > ß. Применяя к обеим частям неравенства (14) оператор дробного интегрирования D-ta, получаем

dr +

et

2 + D-a-ß)lluxllO ^MnD-talu\\O + MuD-ta ичюс

J 0

+ Ml3 (D-taUfll2 + (x)UO)' (15)

Преобразуем второе слагаемое в правой части (15) следующим образом:

D-ta

Odr =

dr

T(a)Jо (t - т)1-»

Ods =

1

2

о

о

2

ü

2

t

t

ü

t

t

т

1

ü

ü

1 [* II 112л Г 1 ^ II 112 ( (* - Г)"

Г(а)Л" ио Л ^ - т)1"« Г(«Ьо

1 Г* 1 Г*

1 I ' - — ч2 _ 1 П _\а||„. II2,

=

аГ(о) I (* " = Г(;Т1) - *»"М2* <

Итак, получаем

< 1 Г (* - ^ШЬ^ < тв"« 2

< аг(а).1о $ - г)1 " « < аП"М°-

[*ы&т < -ВДМЮ- (16)

Учитывая преобразование (16), из (15) получаем

1М12 + л-^НихНо < МмВДЫ!о + ^дац/ н2 + Кино)- (17) На основании леммы 2 из (17) находим априорную оценку

1М12 < ^дац/но + Нио(ж)Но)- (18)

2. Рассмотрим случай, когда а = 0. Применяя к обеим частям неравенства (14) оператор дробного интегрирования И"", получаем

N12 + 1Ы1§ < М162 + МпО"а I* ци\\2йт +

■)о

+ М18(^"«н/но + 1Мж)Но + К(^)но^ (19)

На основании леммы 2 из (19) с учетом (16) находим априорную оценку

нМ!2 < миф"«!!но + !Мж)ц2 + н«о(®)н§)- (20)

3. Рассмотрим случай, когда а < 0. Применяя к обеим частям неравенства (14) оператор дробного интегрирования И"*3, получаем

ЫЮ + о"13" а)ци\\2 < М2о^"о +

+ М21^"3 Лм|о^г + М22Р0"3н/н2 + Ци'оШо,)- (21)

о

В силу условия (2) справедливо неравенство [25]

N12 <

Тогда из (21) с учетом (16) получаем

ыо + о"3"а)ци\\о < М2з^о?КИ2 + М22(П"3н/н2 + К(*)И2)- (22)

На основании леммы 2 из (22) находим априорную оценку

N13 < М24№3н/н2 + К(®)И§). (23)

Из полученных априорных оценок (18), (20), (23) следуют единственность и устойчивость решения по правой части и начальным данным. □

3. Устойчивость и сходимость разностной схемы. Для решения задачи (1)—(3) применим метод конечных разностей. В замкнутом прямоугольнике Ят введем равномерную сетку

йнт = йН X йт,

где

йь = {хг = гН, г = о, 1,...,М, Н = 1/И}, й т = [Ь] = зт, з = о, 1,..., зо, т = Т/зо}.

На равномерной сетке шьт дифференциальной задаче (1)-(3) поставим в соответствие разностную схему порядка аппроксимации 0(Н2 + т2) при а = @ и 0(Н2 + т2 " тах{«,3}) при а = 0:

^ У = ^ «У^У)х,г + (ЪУ,)х,г + у™ + -

.7+1/2

^+ £ у!т + , (х, I) е шКт, (24) «=о

У^ = # = о, (25)

у(х, о) = ио(х), (26)

где

т1"7 7 / \

Л7 V = Т V г(1,а)и3 У = Г(2 - 7) 7"8 У*

— дискретный аналог дробной производной Герасимова—Капуто порядка 7, о < ^ < 1, обеспечивающий порядок точности [17] 0(т3 "7) при а = 1 - 7/2, и 0(т2 "7) при а = 1/2;

а^ = а1"7, а((Ъа) = (I + а)1"7 - (I - 1 + а)1 "7, I > 1;

ь\7,а) = ^^[(I+*)2"7-(I-1+^)2"7] -1 [(I + *)1оа + (1 -1+^)107], I > 1;

со7,<7) = ао7,<7) при з = о;

с!7,<7) = < а.

,о7,ст) + Ь^, 8 = о,

Ч + Ь^) - Ь{7,а), 1 < з < 1 - 1,

а. - о] , в = з, при з > о;

а = 1 - ^/2 при а = @ и а = 1/2 при а = $;

> -(8 + а)"7 > о;

2

а;

±7 _ г±\х,1.+а)

7 = к(х*_ 1/2Л'+а), Ъ = Я(Хг-1/2^ Ъ±= ^ ,^3+'7) , р. = /(Хг,1]+а^

г(х, = г+(х, Ь+)+г (х, ^+а), | г(х, = г+(х, ^+а) — г (х, ь+);

r+(X, г^+а) = 2 г^+а) + \r(X, )|) ^ 0,

r-(X, ) = 1 {r(X, ) — \r(X, )|) < 0;

у(-) = ау^+1 + (1 — а) у3, % = д(х., +а), а(+1) = аш;

У' у'г = ¿Г у'Т + !ф0 + ^ + ¿+1/2), г=[ Т/% 8 = 0,3,1 + 1/2 "к ¿Г 2 ( ), г, 8 = 0,2,2 + 1/2

Р1з = Р(хЬ , Ъ+а), Х(Хг, )

1 + ЩХг, г^+а)'

разностное число Рейнольдса. Введем следующие скалярные произведения и нормы:

N -1

(и, V) = у и^Н, (и, и) = (1,и2) = |Н|о;

г=1

(и, и] = ^ ЩУ^Н, Н = < г. = (и, и] = (1,и°] - ""-112

%=1 \

и I = 11110.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (4), тогда существует такое малое т0 = т0(с0, с1г с2,а,а), что если т < т0, то для решения разностной задачи (24)-(26) справедливы следующие априорные оценки:

1) в случае, когда а > Р:

||у*+Ч0 <^(11 у0^ + Ю);

2) в случае, когда а = [3:

|| У3+1Ш <М2 01 у0Ш + тах ||ф' ||2),

0</т

где ||у| | 2 = | |У| | 0 + | |Уш]|2; 3) в случае, когда а < [3:

¡¿ЧЮ <щ\\уЧ21 + та* ||ф'"|Ю).

0т'т

1

При доказательстве теоремы 2 будут использованы следующие леммы. Лемма 3 [17]. Для любой функции у(Ъ), заданной на сетке шт, справедливо неравенство

У(<т)Л«.+ау > ±Лы3+„(У2).

Лемма 4 [18] Предположим, что неотрицательные последовательности у7, (р77, ,] = о, 1, 2,..., удовлетворяют неравенству

Л«ь+у < А1У+1 + \2У7 + ^, 1,

где А1, А2 —неотрицательные константы. Тогда существует такое то, что если < о, то

у7+1 < 2(уо + т) 1 <К *ь

где А = А1 + А2/(2 + 21о«).

Доказательство теоремы 2. Априорные оценки решения задачи (24)-(26) найдем методом энергетических неравенств. Умножим (24) скаляр-

но на у(а):

у,у(а)) = Ыау^х, У(а)) + (Л«ь+а Ых)х,У(а)) + {Ъ~ау^), у(а)) +

7+1/2

£ р3у3г, у(а)) + (<р, у(а)). (27) «=о '

Входящие в тождество (27) суммы преобразуем и оценим, пользуясь леммой 3:

(Л^у,у(а)) > ЬЮ; (28)

Ыау^у^) =ХаУ{°)У(а)\" - (ау^, (ХУ(а))х] =

= -(ах*, у^уЫ] - (ах("1), (У^)2] <

< - {аХх, у{°]у(а)] - {1+1Нщ) Ы, (У^)2]; (29)

(Л3Ш+ (-уух)х, у(а)) = У((7)Л3щ+а (тух) \о - Ь, У^Л3Ш]+а (Ух)] <

< -(2, Л3ь+а(ух)2] < -|Л3ь+а нУх]\2о; (30)

-(^(а),у(а)) < с2ну^но; (31)

/7 + 1/2 \ 1 / 1 (] + 1/2 \2\

(Е у(а)) < 1 н^но л ^РвУ'V ) <

+1/2 +1/2 1 ■ »)в2- (1, Е А- Е У2?)

V с—0 4=0 '

11 у(0)| | 0 + <

2'

з=0 з=0

1 +1/2 < 1 | |У(а) | | 2 + М5 У ||уЮт; (32)

=0

(м,у(а)) < 1||у^т + 1||М10. (33)

Учитывая преобразования и неравенства (28)-(33), из (27) получим

2л^+ст| |У| | 2 + м6||у^ю + с2л^+лу,^ <

< У^] + Г ау¡Г), У^) + (Ь+а(+1)у(^),у(^)) +

3+1/2 .

+ М5 У ||y||2оf + M7||y(°)||0) + |ф||2. (34) «=0

Оценим первое, второе и третье слагаемые в правой части (34) с помощью неравенства Коши с :

— {аХх, у^уМ] + (Ъ~ а, у^у^) + (Ь+а(+1)у(^) ,у(^)) <

Ну^Ш + Ms(e)|| у^Ю. (35)

Из (34) с учетом (35) при е = М6/2 находим

Л£.,1 |у| | 0 + | ШЮ + | |]|2 <

| | У | | 0 + Лг+е | | Ух] |0 + | | Ух ] |0

3+1/2

<M9||y(-)||0 + М10 У ||уЮf + Mll|М10. (36)

| | У|'2~

«=0

Учитывая, что

т + 1 ¡2. 1

2

3 + 1/2 з

Е | | у11 2? = Ё!| У311 2? + 2т 11 у311 0,

«=0 «=0 перепишем (36) в другой форме:

11 У 11 0 + | | у^ю < мъа у^+х + мы у 110 + МцР, (37)

где ^ = £ пI0f+||М0.

«=0

1. Рассмотрим случай, когда а > @. На основании леммы 4 из (37) получаем

| | У3+1 | | 0 <М1^||у0||0 + шах (¿>'||2? + ||М'|ю)). (38)

Учитывая, что

max. ¿| I У" |1 2f < E maxj | Vе |1 2 f < E max | | Уs |1 2т

s=0 i'=0 i'=0

и вводя обозначение = max 11 | | 2, из (37) получим

°<з'<з

з

93+1 < M15 E 5V + М^, (39)

s=0

где Ff = ||y°||° + m^№'112.

°<j' <3

На основании Леммы Гронуолла [27, стр.171] из (38), (39) получаем априорную оценку

| | V*+1 | | 2 <M!7(|I у°||° + m^ № ||°). (40)

°<з' <з

2. Рассмотрим случай, когда a = 0. В силу леммы 4 из (37) с учетом (40) получаем

| | У3+1 | | 1 <МИ(|| V°||? + °niax.| № ||°). (41)

°<j' <3

3. Рассмотрим случай, когда a < 0. В силу (25), неравенства ||уЦ° < < 212 | |Ух]12 и леммы 4 из (37) получаем

| | ytX <MigOlу°||? + maX.|^Н°). (42)

°<з' <3

Из полученных априорных оценок (40)—(42) следуют единственность и устойчивость решения разностной схемы (24)—(26) по начальным данным и правой части, а также сходимость решения разностной задачи (24)—(26) к решению дифференциальной задачи (1)-(3) так, что существует такое т°, что при т < т° справедливы следующие оценки:

1) | | yj+1 - uj+1f° < Mi7(h2 + T2-max{a'fi}), когда a> 0;

2) | | yi+1 -u?+1Hl < Mis(h2 + t2), когда a = 0;

3) | | У^+1 - u^+% < M19(h2 + T2-max{a'P}), когда a < 0,

где M17, M1S, M19 — не зависящие от h и т положительные константы.

4. Постановка краевой задачи с граничным условием третьего рода и априорная оценка в дифференциальной форме. Второе краевое условие в (2) заменим условием третьего рода. Тогда вместо (2) имеем

u(0, t) = 0, -П(1, t)=0(t)u(l, t) -v(t), (43)

где

ЦЗ(t)| < C2, n(x, t) = k(x, t)ux + rfdgtux. (44)

Теорема 3. Если

k(x, t) eC1'°(QT), T](x) eC^O, I], qs(x, t), f(x, t) eC(QT),

и(х, I) е С2,0 (Ят) ПС 1,0(Ят), д&и(х, I) е С (Ят), д&ихх(х, I) е С (Ят)

и выполнены условия (4), (44), то для решения задачи (1), (43), (3) справедливы следующие априорные оценки:

1) в случае, когда а > Р:

| | и\\ 1 тм^аи ||0 + ц2(t)) + I Ых)| |0);

2) в случае, когда а = [3:

| | и\\2 < М2(0-а(УЮ + Л)) + |М®)||0 + |№)||0);

3) в случае, когда а < [3:

| | «II2 тмз^ (у Ю + ц2(t)) + | ^(х) |0).

Доказательство. Повторим преобразования (6)-(12). После некоторых несложных преобразований из (5) получаем неравенство

1 1 г1

1 1 Г1

N10 + ^^ Г](их)2(1 X + сс|Ы|0 <

0 I

< иП(х, 1)

+ е\\их | | 2 + МА(е)М20 + М51 М^т + 2||/||0. (45) 0 ¿0 2

Оценим первое слагаемое в правой части (45) с учетом (43):

иП(х, 1)

= п(1, г)и( I, г) = и(1, г)^) — р (ь)и(1, г)) = = — (3(г)и2(1, г) + у(г)и(1, г) < Мби2(1, г) + 1р2{ъ) <

тм^М|2 + е|Ы|2 + (46)

Из (45) с учетом (46) при = 0/2 находим

г1

N12 + д& п(их)2йх +|Ы|2 < 0

<М8Ы0 + Мя Г |МЮ^ + Мю{\\/|Ю +Ц2(I)). (47) 0

1. Рассмотрим случай, когда а > Применяя к обеим частям неравенства (47) оператор дробного интегрирования И-", получаем

| | и\\0 + D-ot(a-fi)|К||2 <

тмцодм|2 + мюв-а I ||и||00^ +

0

0

+ М1з{о-?ш|Ю + ц2(1)) + |К(®)|Ю). (48) На основании леммы 2 из (48) с учетом (16) получаем априорную оценку

| | и\\ 1 < ми^аа ю+ц2а)) +1 ых)| ю). (49)

2. Рассмотрим случай, когда а = 0. Применяя к обеим частям неравенства (47) оператор дробного интегрирования И-", получаем

| | и\\2 + 11 их11 2 < М^-^|и||0 + М1бО-а С |М| 1<1т +

■)0

+ ми(в-аШ||0 + ц2(1)) + |Ых^|0 +1к(®)||2). (50)

На основании леммы 2 из (50) с учетом (16) получаем априорную оценку

| | и\\2 < м^^аа ю++1 ых)| ь +1 к^ ю). (51)

3. Рассмотрим случай, когда а < 0. Применяя к обеим частям неравенства (47) оператор дробного интегрирования И-, получаем

| | их11 0 + D-ot(fi-a)||и||2 <

г- г

<Ml9D^}| М12 + М20Б- |М| 00^ +

0

+ М21&- (||/1|0 + ^20)) + 1К (®)| Ю). (52)

В силу условия и(0, Ь) = 0 справедливо тождество

гх

и(х, Ь) = / их(х, Ь)г!х. 0

Тогда

(гх \ 2 гх

j их(х, 1)йх\ и1(х, Ъ)<1х <I I и2(х, Ь)г!х. (53

0

Интегрируя обе части (53) по ж от 0 до/, получаем неравенство 11«||2 < l2| ^^ |0. Тогда из (52) с учетом (16) получаем

| | их 11 0 + D-t(|3-a)|М10 <

< МпО-^К||2 (||/|Ю + ^2^)) + 1К(®)|Ю). (54)

На основании леммы 2 из (54) находим априорную оценку

| | и\\2 < М24№(||/|Ю +Ц2т + |Мх^Ю). (55)

Из полученных априорных оценок (49), (51), (55) следуют единственность и устойчивость решения по правой части и начальным данным. □

5. Устойчивость и сходимость разностной схемы. На равномерной сетке Whr дифференциальной задаче (1), (43), (3) поставим в соответствие разностную схему порядка аппроксимации 0(h2 + т2) при а = [ и порядка 0(h2 + T2-maxi»,n) при а = [:

a&+.V = X¡+ (+ b-^vS + -

3+1/2

- ^ + e ásvtf + ti, (x, t) e uh,r, (56) y(0, t)=0, te WT, X = 0, (57)

- {XNaNy{^N + A%tj+a(/jNyx,N)) =

w j+1/2

N + 2h ^

1 / j+1/2 \ = Py(N + 1M Аы3+„ yN - E pN,S yN f) - Д X = l, (58

^ s=0 '

у(х, 0)=ио(х), х е (59)

где рз = Рз + 2Ь(13м, / = / + .

Теорема 4. Пусть выполнены условия (4), (43). Тогда существует такое малое то = т0(с0, с1, с2,а,а), что если т т т0, то для решения разностной задачи (56)-(59) справедливы следующие априорные оценки:

1) в случае, когда а > Р:

IIУ]|0 У0]12 + тж(\\<р]10 + ц2));

2) в случае, когда а = Р:

'S+412 УУ0]\2 + тax(\\^' ]|2 +Д2)),

О^З'^З

где \у]|2 = \\у]|0 + IУЖ;

3) в случае, когда а < Р:

1Ы1о тМ3(\\у0]12 + тах(Ц^']|о + )).

от т

Доказательство. Найдем априорную оценку методом энергетических неравенств. Для этого умножим уравнение (56) скалярно на у. Тогда, принимая во внимание преобразования (28)-(33), получаем

(А£, у,уV) +М4\\у^]|2 + ? А3 \\ у^2 т

т (xía¿a) +A3h+a(1гу-х))у(°Х + М5\\y{a)]\l + (b-3a¡y^, у(°)) +

уЗ + 1/2 s

+ (р+Ч+1 V$, У(а)) - (dy{a),y{a)) + Е P*ySf> y{a)) + fo y(a)). (60)

^ s=0 '

Преобразуем первое слагаемое в правой части (60) с учетом (57), (58):

+ <+„ (НУ,))v(a)\0N = (x>^N + <+„ (liVx,N=

3+1/2

» + 2hfN - ßy(N - 2hdyN - 2h\ A0t+„yN - E 'PN,sySNT )

V „_n /

(n)

N

<

l, 3 „ (n) l, , (n) 1 „

h[ U5tj+a yN -

^ s=0

< -1 hy^yN + M6(e)Wy(n% + £\ly^ + M7(e)»2 +

1 1 1 3+1/2

+ 1 hyPvN - 1 hd(yN])2 + 2hyN E ^уЬT- (61)

s=0

Из (60) с учетом (61) при e = M4/2 находим

y,y(a)] + MrWу^]?0 + f<+jЫ12 <

< M8\\y(n% + (b.raivg, y(a)) + (b+3^L+1y^,y(n)) -

,3+1/2 Л

l .2

{dîy(n),y(n)] + ( E PsySf, y(a) + 2»2 + b>V(tr)]- (62

s=0

Из (62) после несложных преобразований с учетом неравенства Коши с получим

ль^ | у]|0+лi]+^ | ыю+| | у^ю <

3+1/2

< МэШУ^Ю + М10 Е IIУ]|2оf + Mll(||м]|2o + /л2). (63) Перепишем (63) в другой форме:

ЛI2/Ш + л£,+„|I ЫЮ < мы^]|2 + МЫ^]|0 + МиР, (64)

s=0

где ^ = ¿IIy]|lf+||м]|0 + ^2.

«=0

1. Рассмотрим случай, когда а > 0. На основании леммы 4 из (64) с учетом (16) получаем

</+% ^m15(\\yo]i2+0max3(Ê\\y]i2f+\ но+»2 )). (65)

Тогда, повторяя рассуждения (39), (40), из (65) находим оценку

IIУ]10 <М16(||у0]12о + + V2))- (66)

2. Рассмотрим случай, когда а = 0. В силу леммы 4 из (64) с учетом (40) получаем

IУШ]12 <М17(||У0]Ц + тах(|М10 (67)

о<г ^

3. Рассмотрим случай, когда а < 0. Из (64) с учетом (39), (40) и неравенства ||у^]12 < 212||¿^Ш получаем

Д^ ||у]|2 + Ш12 < М?8 и+1 ]|2 + М?9 Ш2 + МиР. (68) На основании леммы 4 из (68) находим

|| Уш] 12 < М22{Цу°] |2 + ] 12 + V2)) - (69)

Из полученных априорных оценок (66), (67), (69) следуют единственность и устойчивость решения разностной схемы (56)—(59) по начальным данным и правой части, а также сходимость решения разностной задачи (56)—(59) к решению дифференциальной задачи (1), (43), (3) так, что существует такое го, что при т ^ то справедливы следующие оценки:

1) У+1 - у?+1]12 < М1б{к2 + т2-тах{а^У), когда а > 0;

2) ||Уэ+1 - и^ЦЦ < Мп(Н2 + т2), когда а = 0;

3) Ы+1 - иШ+1]12 < М2о{Ь2 + т2-тах{а^У), когда а < 0,

где М16, М17, М2о — не зависящие от к иг положительные константы.

□

6. Алгоритм численного решения краевой задачи (1), (43), (3).

Для численного решения задачи (1), (43), (3) приведем разностную схему (56)-(59) к расчетному виду. Тогда уравнение (56) приводится к следующему виду:

,,з+1 п п,з+1 1 п п,з+1 — т?з

где

Агу— - Сгу'г+1 + ВгУ+ = -Р(, г = 1,Ы - 1, (70)

А = таКга3 + л - тЪоЬ- Заи

1 — ¿М

Вг = та^ч^ + ъ+1 + тка Ь+Заг+Ъ

-1—а„ (а,а)

-

С = Аг + Вг + к2 ° + так2 £,

Р? = Агу1-1 - Сгу3г + ВгУ1+1 + к2т^г - к

-1—а

3-1

Т(2 - а)

ЕС. ^-у() +

в=о

1-ß 3-1

+ тТ^—^Т, c?-? ((7i+1 yi+i)S+1 - (7i+iVi+i)S)

T(2 -ß) S=o 3-

^ ß 3 -1

£4-л ((7i+7m) yi)s+i - ((Ъ+ъ+_) Угу) +

Г(2 -ß) s=0

1-ß 3-1 3+1/2

+ r22—ß-) £ ¿-Л^у-)S+1 - (™-1)S) + Th2 E ^T,

1(2 ß ) s=0 s=0

. . T1-ß c(ßn) _.

Äi = T(l - a)K>al - JiY(ï-Orpy - Th(l - t)b- 3ai,

T1-ß c(ß.n)

Bi = t(1 - а)кга?+1 - ji+1 Г(2 -Oß) + Th(l - a)b+3ai+b

T1-a Ja>n)

Ci = Äi + Bi - h2 -Oa) + T(l - a)h2d3-

Краевые условия (57), (58) принимают вид

Уо = 0, (71)

yN = ку N -1 +/, (72)

где

_1-ß (ß,n).

f T со Л

\T(TKNaN + IN Г(2 _ß) ) X

, . T1-ß c(ß,n) _ i T1-a c(a,n) ,-1

X [TTKNa3N + ^(--ß) + ThTß3 + 2 h2 ^T^J

» = ihT - (l - t)hTßyN -

,1-ß Jß,n)

- T(l - t) kn aN ( y3N - yN-0 + ( yNN - Ум-1) +

T и cO Г(2 -ß)

1-aÄa,n) 1 _1-a 3-1

2' T ^ lh 2

+1h2 «N - 2h2 g ^(yNi1 - * ) -

1-ß 3-1 1 3+1/2

T E ((™ )S+1 - ЫУ3)s) + 1th2 E ^NT +

- - У f . II' V/W ff/W 1 —

Г(2 - ß3-s W<n»n ) kin»nS j 2

v s=0 s=0

1-ß 3-1 \ + T^^J)^ ^ ((™/N-1)S+1 - ЫУ3-1)S ) J X

х (га^аЪ + 7W-^2—+ + TY(2—a)~)

Таким образом, с учетом (70)-(72) разностная схема (56)-(59) приводится к трехдиагональной системе линейных алгебраических уравнений, решение которой легко находится известным методом прогонки.

7. Численный эксперимент. Коэффициенты уравнения и граничных условий задачи (1), (43), (3) подберем таким образом, чтобы точным решением задачи была функция и(х, t) = xt3ех.

Ниже в таблице приведены максимальное значение погрешности (z = = у—и) и порядок сходимости (Order of convergence) в норме | [■ ] |о при различных значениях параметров а = 0.01, 0.5, 0.99, P = 0.01, 0.5; 0.99 и уменьшении размера сетки, когда h = т. Погрешность уменьшается в соответствии с порядком аппроксимации. Порядок сходимости будем определять по формуле OC = log2 , где z1 и z2 — погрешности, соответствующие шагам 0.5h, h.

Результаты численного эксперимента [The numerical experiment results]

а P h max \[zз]|o 0<j<m Order of convergence, |[ ■ ]|0

0.01 0.01 1/20 0.004995188

1/40 0.001244028 2.0055

1/80 0.000310374 2.0029

1/160 0.000077512 2.0015

0.5 1/20 0.007588088

1/40 0.001930506 1.9748

1/80 0.000495150 1.9630

1/160 0.000128319 1.9481

0.99 1/20 0.007131222

1/40 0.001794538 1.9905

1/80 0.000455417 1.9784

1/160 0.000117345 1.9564

0.01 0.5 1/20 0.010134180

1/40 0.002815421 1.8478

1/80 0.000805897 1.8047

1/160 0.000238188 1.7585

0.5 1/20 0.006797725

1/40 0.001693782 2.0048

1/80 0.000422395 2.0036

1/160 0.000105412 2.0026

0.99 1/20 0.009807660

1/40 0.002746763 1.8362

1/80 0.000794954 1.7888

1/160 0.000238462 1.7371

a [ h max |[zJ]|o 0<j<m Order of convergence, |[ • ]|0

0.01 0.99 1/20 0.008818458

1/40 0.002305232 1.9356

1/80 0.000627402 1.8774

1/160 0.000182676 1.7801

0.5 1/20 0.008932556

1/40 0.002366377 1.9164

1/80 0.000653947 1.8554

1/160 0.000193130 1.7596

0.99 1/20 0.008009633

1/40 0.002000081 2.0017

1/80 0.000499586 2.0013

1/160 0.000124819 2.0009

Заключение (Выводы). В настоящей работе рассмотрены краевые задачи для интегро-дифференциального уравнения соболевского типа с краевыми условиями первого и третьего родов с двумя операторами дробного дифференцирования a и [ разных порядков. Построены разностные схемы порядка аппроксимации 0(h2+т2) при a = [ и 0(h2 + T2-maxia,l3}) при a = [. С помощью метода энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках при различных соотношениях a и [, откуда следуют единственность, устойчивость, а также сходимость решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы. Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею. Авторский вклад и ответственность. Автор несет полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

Библиографический список

1. Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: НГУ, 1983. 84 с.

2. Ting T. W. Parabolic and pseudo-parabolic partial differential equations // J. Math. Soc. Japan, 1969. vol.21, no. 3. pp. 440-453. DOI: https://doi.org/10.2969/jmsj/02130440.

3. Favini A., Yagi A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces. New York: Marcel Dekker, 1999. 336 pp. DOI: https://doi.org/10.1201/9781482276022.

4. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007. 736 с.

5. Demidenko G.V., Uspenskii S.V. Partial Differential Equations and Systems not Solvable with Respect to the Highest-Order Derivative. Boca Raton: CRC Press, 2003. 632 pp. DOI: https://doi.org/10.1201/9780203911433.

6. Lions J. L. Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires [Some Methods for Solving Nonlinear Boundary Value Problems] / Etudes mathematiques. Paris: Gauthier-Villars, 1969. xx+554 pp. (In French)

7. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Москов. унив., 1984. 296 c. EDN: QJLPYJ.

8. Showalter R. E. The Sobolev equations I// Appl. Anal., 1975. vol.5, no. 1. pp. 15-22. DOI: https://doi.org/10.1080/00036817508839103.

9. Showalter R. E. The Sobolev equations II// Appl. Anal., 1975. vol.5, no. 2. pp. 81-99. DOI: https://doi.org/10.1080/00036817508839111.

10. Баренблатт Г. И., Желтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах// ПММ, 1960. Т. 24, №5. С. 852-864. EDN: OXMSGT.

11. Hallaire M. Le potentiel efficace de l'eau dans le sol en régime de dessèchement // C. R. Acad. Sci., Paris, 1962. vol.254. pp. 2047-2049.

12. Hallaire M. On a theory of moisture-transfer // Inst. Rech. Agronom., 1964. vol. 3. pp. 60-72.

13. Чудновский А. Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976. 353 с. EDN: RHLSCT.

14. Chen P. J., Gurtin M. E. On a theory of heat conduction involving two temperatures// J. Appl. Math. Phys. (ZAMP), 1968. vol.19, no. 4. pp. 614-627. DOI: https://doi.org/ 10.1007/BF01594969.

15. Беданокова С. Ю. Уравнение движения почвенной влаги и математическая модель вла-госодержания почвенного слоя, основанная на уравнении Аллера // Вестн. Адыгейск. гос. ун-та. Сер. 4. Естеств.-математ. техн. науки, 2007. Т. 4. С. 68-71. EDN: KBXDEN.

16. Алиханов А. А. Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка// Диффер. уравн., 2010. Т. 46, №5. С. 658-664. EDN: MSQVJX.

17. Alikhanov A. A. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation // J. Comp. Phys., 2015. vol.280. pp. 424-438. EDN: UEGJJB. DOI: https://doi.org/10.1016/ j.jcp.2014.09.031.

18. Бештоков М. Х. Устойчивость и сходимость разностных схем, аппроксимирующих краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений соболевского типа дробного порядка// Диффер. уравн., 2021. Т. 57, №12. С. 1665-1681. EDN: RNNAJS. DOI: https://doi.org/10.31857/S0374064121120098.

19. Beshtokov M. Kh. The third boundary value problem for loaded differential Sobolev type equation and grid methods of their numerical implementation // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng., 2016. vol. 158, 012019. EDN: YVCYFN. DOI: https://doi.org/10.1088/1757-899X/ 158/1/012019.

20. Бештоков М. Х. Краевые задачи для вырождающихся и невырождающихся уравнений соболевского типа с нелокальным источником в дифференциальной и разностной трактовках// Диффер. уравн., 2018. Т. 54, №2. С. 249-266. EDN: YQYGVT. DOI:https:// doi.org/10.1134/S0374064118020115.

21. Бештоков М. Х., Водахова В. А. Нелокальные краевые задачи для уравнения конвекции-диффузии дробного порядка // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2019. Т. 29, №4. С. 459-482. EDN: DKSEVD. DOI: https://doi.org/ 10.20537/vm190401.

22. Бештоков М. Х. Метод Римана для решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. №4(33). С. 15-24. EDN: RVARQN. DOI: https://doi.org/ 10.14498/vsgtu1238.

23. Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent—II // Geophys. J. Intern., 1967. vol.13, no. 5. pp. 529-539. DOI: https://doi.org/10.1111/j. 1365-246X.1967.tb02303.x.

24. Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения // ПММ, 1948. Т. 12. С. 251-260.

25. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.

26. Самарский A. A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 616 с.

27. Самарский A. A., Гулин A. B. Устойчивость 'разностных схем. М.: Наука, 1973. 416 с.

Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki

[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2022, vol. 26, no. 4, pp. 607-629

d https://doi.org/10.14498/vsgtu1942

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print)

MSC: 65L05, 65N12, 65R20

Boundary value problems for Sobolev type equations of fractional order with memory effect

M. Kh. Beshtokov

Institute of Applied Mathematics and Automation

of Kabardin-Balkar Scientific Centre of RAS,

89 a, Shortanova st., Nal'chik, 360000, Russian Federation.

Abstract

Boundary value problems are studied for a one-dimensional Sobolev type integro-differential equation with boundary conditions of the first and third kind with two fractional differentiation operators a and ß of different orders. Difference schemes of the order of approximation 0(h2 + t2) for a = ß and 0(h2 + T2-max{a^}) are constructed for a = ß. Using the method of energy inequalities, a priori estimates are obtained in the differential and difference interpretations, from which the existence, uniqueness, stability, and convergence of the solution of the difference problem to the solution of the original differential problem at a rate equal to the order of approximation of the difference scheme follow. Numerical experiments were carried out to illustrate the results obtained in the paper.

Keywords: Sobolev type equation, fractional derivative, memory effect, difference schemes, a priori estimate, stability and convergence.

Received: 15th July, 2022 / Revised: 19th November, 2022 / Accepted: 16th December, 2022 / First online: 29th December, 2022

Competing interests. I have no competing interests.

Authors' contributions and responsibilities. The author assumes full responsibility for the submission of the final manuscript in print. I approve the final version of the manuscript.

Funding. The research has not received funding.

Differential Equations and Mathematical Physics Research Article

© Authors, 2022

© Samara State Technical University, 2022 (Compilation, Design, and Layout) 9 ©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this article in press as:

Beshtokov M. Kh. Boundary value problems for Sobolev type equations of fractional order with memory effect, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2022, vol. 26, no. 4, pp. 607-629. EDN: AUKCBX. DOI: 10.14498/vsgtu1942 (In Russian). Author's Details:

Murat Kh. Beshtokov & € https://orcid.org/0000-0003-2968-9211

Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Leading Researcher; Dept. of Computational Methods; e-mail: [email protected]

References

1. Vragov V. N. Kraevye zadachi dlia neklassicheskikh uravnenii matematicheskoi fiziki [Boundary Value Problems for Nonclassical Equations in Mathematical Physics]. Novosibirsk, Novosibirsk State Univ., 1983, 84 pp. (In Russian)

2. Ting T. W. Parabolic and pseudo-parabolic partial differential equations, J. Math. Soc. Japan, 1969, vol.21, no. 3, pp. 440-453. DOI: https://doi.org/10.2969/jmsj/02130440.

3. Favini A., Yagi A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces. New York, Marcel Dekker, 1999, 336 pp. DOI: https://doi.org/10.1201/9781482276022.

4. Sveshnikov A. G., Al'shin A. B., Korpusov M. O., Pletner Yu. D. Lineinye i nelineinye uravneniia sobolevskogo tipa [Linear and Nonlinear Equations of the Sobolev Type]. Moscow, Fizmatlit, 2007, 736 pp. (In Russian)

5. Demidenko G.V., Uspenskii S.V. Partial Differential Equations and Systems not Solvable with Respect to the Highest-Order Derivative. Boca Raton, CRC Press, 2003, 632 pp. DOI: https://doi.org/10.1201/9780203911433.

6. Lions J. L. Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires [Some Methods for Solving Nonlinear Boundary Value Problems], Etudes mathematiques. Paris, Gauthier-Villars, 1969, xx+554 pp. (In French)

7. Petrovsky I. G. Lektsii po teorii obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii [Lectures on the Theory of Ordinary Differential Equations]. Moscow, Moscow Univ. Press, 1984, 296 pp. (In Russian). EDN: QJLPYJ.

8. Showalter R. E. The Sobolev equations I, Appl. Anal., 1975, vol.5, no. 1, pp. 15-22. DOI: https://doi.org/10.1080/00036817508839103.

9. Showalter R. E. The Sobolev equations II, Appl. Anal., 1975, vol.5, no. 2, pp. 81-99. DOI: https://doi.org/10.1080/00036817508839111.

10. Barenblatt G. I., Zheltov Yu. P., Kochina I. N. Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks [strata], J. Appl. Math. Mech., 1960, vol.24, no. 5, pp. 1286-1303. EDN: VSOXSF. DOI: https://doi.org/10.1016/0021-8928(60)90107-6.

11. Hallaire M. Le potentiel efficace de l'eau dans le sol en régime de dessèchement, C. R. Acad. Sci., Paris, 1962, vol.254, pp. 2047-2049.

12. Hallaire M. On a theory of moisture-transfer, Inst. Rech. Agronom., 1964, vol. 3, pp. 60-72.

13. Chudnovsky A. F. Teplofizika pochv [Soil Thermal Physics]. Moscow, Nauka, 1976, 353 pp. EDN: RHLSCT.

14. Chen P. J., Gurtin M. E. On a theory of heat conduction involving two temperatures, J. Appl. Math. Phys. (ZAMP), 1968, vol.19, no. 4, pp. 614-627. DOI: https://doi.org/ 10.1007/BF01594969.

15. Bedanokova S. Yu. The equation of soil moisture movement and mathematical model of moisture content of the soil layer based on the Hallaire's equation, Vestn. Adygeisk. Gos. Univ. Ser. 4. Estestv.-Matemat. Tekhn. Nauki, 2007, vol.4, pp. 68-71 (In Russian). EDN: KBXDEN.

16. Alikhanov A. A. A priori estimates for solutions of boundary value problems for fractional-order equations, Diff. Equat., 2010, vol.46, no. 5, pp. 660-666. EDN: MXDCPJ. DOI: https:// doi.org/10.1134/S0012266110050058.

17. Alikhanov A. A. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation, J. Comp. Phys., 2015, vol.280, pp. 424-438. EDN: UEGJJB. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jcp. 2014.09.031.

18. Beshtokov M. Kh. Stability and convergence of difference schemes approximating boundary value problems for loaded Sobolev-type fractional differential equations, Diff. Equat., 2021, vol.57, no. 12, pp. 1685-1701. EDN: NMCDYV. DOI: https://doi.org/10.1134/ S0012266121120132.

19. Beshtokov M. Kh. The third boundary value problem for loaded differential Sobolev type equation and grid methods of their numerical implementation, IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng., 2016, vol. 158, 012019. EDN: YVCYFN. DOI: https://doi.org/10.1088/1757-899X/ 158/1/012019.

20. Beshtokov M. Kh. Boundary value problems for degenerating and nondegenerating Sobolev-type equations with a nonlocal source in differential and difference forms, Diff. Equat., 2018, vol.54, no. 2, pp. 250-267. EDN: UXTRVT. DOI: https://doi.org/10.1134/ S0012266118020118.

21. Beshtokov M. Kh., Vogahova V. A. Nonlocal boundary value problems for a fractional-order convection-diffusion equation, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 2019, vol.29, no. 4, pp. 459-482 (In Russian). EDN: DKSEVD. DOI: https://doi.org/10.20537/ vm190401.

22. Beshtokov M. Kh. Riemann method for solving non-local boundary value problems for the third order pseudoparabolic equations, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2013, no. 4(33), pp. 15-24 (In Russian). EDN: RVARQN. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1238.

23. Caputo M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent—II, Geophys. J. Intern., 1967, vol.13, no. 5, pp. 529-539. DOI: https://doi.org/10.1111/j. 1365-246X.1967.tb02303.x.

24. Gerasimov A. N. Generalization of linear deformation laws and their application to problems of internal friction, Appl. Math. Mech., 1948, vol.12, pp. 529-539.

25. Ladyzhenskaya O. A. The Boundary Value Problems of Mathematical Physics, Applied Mathematical Sciences, vol.49. New York, Springer-Verlag, 1985, xxx+322 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4757-4317-3.

26. Samarskii A. A. Teoriia raznostnykh skhem [Theory of Difference Schemes]. Moscow, Nauka, 1983, 616 pp. (In Russian)

27. Samarskii A. A., Gulin A. B. Ustoichivost' raznostnykh skhem [Stability of Difference Schemes]. Moscow, Nauka, 1973, 416 pp. (In Russian)