ТРЕТЬЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ КАПУТО Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика и математическое моделирование. 2020. №3. С. 52-64.

DOI: 10.24108/mathm.0320.0000222

© Бештоков М. X., Худалов М. 3., 2020.

Математика h Математическое

моделирование

Сетевое научное издание

http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911

УДК 519.63

Третья краевая задача для нагруженного уравнения теплопроводности с дробной производной Капуто

Бештоков Μ. X.1’*, Худалов М. З.2

'Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, Нальчик, Россия 2Северо-Осетинский государственный университет им. К.Л. Хетагурова, Владикавказ, Россия

* [email protected]

Исследуется третья начально-краевая задача для нагруженного дифференциального уравнения теплопроводности с дробной производной Капуто. Для решения поставленной задачи в предположении существования точного решения в классе достаточно гладких функций методом энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках. Полученные неравенства означают единственность решения и непрерывная зависимость решения от входных данных задачи. В силу линейности рассматриваемой задачи эти неравенства позволяют утверждать сходимость приближенного решения к точному решению со скоростью O (h2 + τ2). Построен алгоритм численного решения поставленной задачи.

Ключевые слова: Нагруженное уравнение; краевая задача; априорная оценка; уравнение конвекции-диффузии; дифференциальное уравнение дробного порядка; дробная производная Капуто

Представлена в редакцию: 08.07.2020, исправлена: 07.08.2020.

Введение

В последнее время при описании различных математических моделей физических процессов широко используется дробно-дифференциальное исчисление [1,2, 3]. В связи с этим большое внимание уделяется дифференциальным уравнениям с частными производными дробного порядка, которые являются обобщением уравнений с частными производными целочисленного порядка. При этом возможны различные постановки. В настоящей статье рассматривается третья начально-краевая задача для нагруженного дифференциального уравнения теплопроводности дробного порядка.

Нагруженными дифференциальными уравнениями в литературе принято называть уравнения, содержащие значения решения или его производных на многообразиях меньшей размерности, чем размерность области определения искомой функции [4]. В работах A.M. Нахушева отмечается практическая и теоретическая важность исследований нагруженных

дифференциальных уравнений. Одним из методов приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений является предложенный A.M. Нахушевым метод редукции интегро-дифференциальных уравнений к нагруженным дифференциальным уравнениям. В работе [4] впервые указана связь нелокальных задач с нагруженными уравнениями. Нелокальные задачи типа Бицадзе-Самарского для уравнений Лапласа и теплопроводности эквивалентно редуцированы к локальным задачам для нагруженных дифференциальных уравнений. Нагруженным дифференциальным уравнениям посвящены работы [4, 5, 6].

Численным методам решения локальных и нелокальных краевых задач для различных уравнений дробного порядка посвящены работы [7, 8, 9, 10, 11]. В работах [7, 8, 9] получены результаты, позволяющие, как и в классическом случае (а = 1), применять метод энергетических неравенств для нахождения априорных оценок краевых задач для уравнения дробного порядка в дифференциальной и разностной трактовках. В настоящее время широко используются численные методы решения нагруженных уравнений в частных производных целочисленного и дробного (пористые среды) порядков, поскольку аналитические методы решения оказываются невозможными.

Структура данной работы следующая. В первой части ставится третья начально-краевая задача для нагруженного дифференциального уравнения теплопроводности с дробной производной Капуто порядка а. Во второй части работы получена априорная оценка решения в дифференциальной форме. Из полученной оценки следует единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части. В третьей части рассматривается разностная схема, аппроксимирующая поставленную задачу. Получена априорная оценка в разностной форме. Доказана единственность, устойчивость и сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи со скоростью равной порядку аппроксимации разностной схемы. В четвертой части построен алгоритм численного решения поставленной дифференциальной задачи.

краевую задачу для нагруженного дифференциального уравнения теплопроводности с дробной производной Капуто порядка а

1. Постановка третьей начально-краевой задачи

В прямоугольнике QT = {(x,t): 0 < x < l, 0 < t < T} рассмотрим третью начально-

0 < x < l, 0 < t < T; (1)

k(0,t) ux(0, t) = βι(t) u(0, t) - μι(ή; -k(l, t) Ux(l, t) = β2(t) u(l, t) - μ2(t); u(x, 0) = u0(x), 0 < x < l,

(2)

(3)

(4)

где

0 < Со < k(x,t) < c 1, |q(x,t)|, |r(x,t)|, |rx(x,t)|, |kx(x,t)|, |βι|, |в2І < С2, (5)

d0> =

1 r uT (x, τ)

Γ(1 — α) (t — τ )α

άτ —

дробная производная в смысле Капуто порядка α, 0 < α < 1, ci = const > 0, i = 0, 1, 2.

В дальнейшем будем предполагать, что решение задачи (1)-(4) существует и обладает нужными по ходу изложения производными.

По ходу изложения будем также использовать Mi = const > 0, i = 1, 2, ..., зависящие только от входных данных рассматриваемой задачи.

2. Априорная оценка в дифференциальной форме

Теорема 1. Если k(x,t) Є C 1,0(QT), r(x,t), q(x,t), f (x,t) Є C(QT), u(x,t) Є C2,0(QT) П П C1,0(QT), d0>(x,t) Є C(QT) и выполнены условия (5), то для решения задачи (1)-(4) справедлива априорная оценка

u

+ D0ta\\ux

I2 < Ιο —

M

Ώ~α

Do t

Ilf 110 + μ2 (t) + ^2(t) + \uo(x)\0

2

0

где M = const > 0 зависит от входных данных задачи (1)-(4); Cn,m(QT) — класс функций, имеющих непрерывные на QT производные до порядка n по x и m по t включительно.

Доказательство. Для получения априорной оценки решения задачи (1)-(4) в дифференциальной форме умножим уравнение (1) скалярно на u:

(д0tu, u) = ((kux)x, u + (rux, u) — (qu(xo,t), u^ + (f, u),

(6)

где

(a, b) = J abdx, ||a||2 = (a, a)

0

для заданных на [0, 1] функций a и b.

Преобразуем интегралы, входящие в тождество (6), используя неравенство Коши с ε, леммой 1 [7]:

(g0>, u = - udx uT(χ,τ)(t — τ) αάτ;

0t Γ(1 — α)

00

^Otu u) > 2(1, d0tu2) = 1 d0t\u\0;

і

((kux ) x , u^ J u( kux ) x dx ukux 0 C0\| ux II 0 ;

0

і 2 і l

(rux, u) = J ruux dx — c2 J u2dx + ε J u2xdx — ε\ux\0 + M|||u||0;

(7)

(8) (9)

(10)

— (qu(x0,t),u) = —J qu(x0,t)udx = —u(x0,t) qudx <

о 0

< eu2(x0,t) + — qudx < e|ux||0 + Mf||u

1 11 (f, u) = fudx < 2INI2 + 2II2·

2

10;

Учитывая преобразования (7)-(12), из (6) c учетом (2) находим

2 dotlMI2 + C0|ux|2 < ukux 0 + e|ux|0 + Ml К + M2 Ilf II2

Оценим первое слагаемое в правой части (13):

0

(12)

(13)

ukux

k(l,t) ux(l,t) u(l,t) — k(0, t) ux(0, t) u(0, t) =

= u(l,t){jl2(t) — β2 (t) u(l,t)j + u(0,t){jiı(t) — βι (t) u(0, t) ^

= — β2(t) u2(l,t) + μ2(t) u(l,t) — βι (t) u2(0,t) + μι(ί) u(0,t) <

< MJu2(0,t) + u2(l,t)) + 2(μ?0Ο + μ2θθ) <

2

< εΙΚ 110 + M4 HuH0 + 2(^2(t) + μ2Μ)· (14)

Учитывая (14), из (13) получим

1

2 doillullo + c0 Η ux Η о < 2eIux!0 + M"! Ilull0 + Мз(IIf 110 + μı(t) + μ2(^) ·

(15)

C0

Выбирая ε = -, из (15) находим

d0tllull° + lluxНо < M7HuH0 + Μδ(llf 110 + μι(t) + ^(t))· (16)

Применяя к обеим частям неравенства (16) оператор дробного интегрирования D—α, на основании леммы 2 [7] находим искомую априорную оценку:

N10 + Doi“lluxllo < M(D0t“(llf 110 + μ2(^ + ^(t)) + IMx)ll0)j (17)

где M = const > 0 зависит от входных данных задачи (1)-(4).

Из оценки (17) следуют единственность и устойчивость решения задачи (1)-(4) по правой части и начальным данным. Теорема доказана.

3. Устойчивость и сходимость разностной схемы

На равномерной сетке ωΗτ дифференциальной задаче (1)-(4) поставим в соответствие разностную схему порядка аппроксимации O(h2 + τ2):

ΔΜ,+σy=κ (aj)x,i + b-jajy%) +b+jal+ıy^i— dj (у^Ч- +У( (<T-+ix++) +Ά j (xi,tj) ЄωΚτ, (18)

^іЙ = β1 y0CT) + °-5h( Δ&.+σ У0 + d0(yl0CT)xoo + y(0+ıx+)) — Уъ -κΝ aN y{°N = β2 y{N + 05h{ Δα++σ yN + dN (y(0r)x00 + yi0+-ıxi0)) — У2,

y(x, 0) = u0 (x), x Є Шн,

(19)

(20) (21)

0

1-α З

т (α,σ) s

Δα У =

oij+σy γ(2 - a) S=o'3-s

Σ(α,σ) s

сЗ-,)Уі —

дискретный аналог дробной производной Капуто порядка α, 0 < α < 1, обеспечивающий порядок точности 0(т3-α) [8];

ωτ = {tj = jT, j = 0,1,..., m, тт = T}; uh = {xi = ih, i = 0,1,..., N, Nh = l};

ωhr X ωτ { (xi ,tj )· xi є ωh, tj є ωτ} .

Коэффициенты разностной схемы вычисляются по формулам

а0

0α,σ) = σι-α, α(α,σ) = (і + σ)ι-α - (і - 1 + σ)1-α, ı > і

ύασ

1

2 — a

(l + σ)2-α - (l - 1 + σ)

2—α

1

(l + σ)1-α + (l - 1 + σ)

1α

, l > 1,

• · r ( x · tj+σ)

aj = Ц^-о^^), bj = ,, ^ ·+σ,, dj = d(Xi,tj+σ),

^j = f (Xi,tj+σ), μı(tj+σ) = μι (tj+σ) + 0.5h<^o, μ2^+σ) = μ2 (tj+σ) + 0.5h^N,

X,

i0

Xio+1 x0 + x0 xii

, xio =

h

x,-'„ = -----------;—-, У(,) = σyЗ+1 + (1 - σ)уЗ,

h

α

где σ =1 - 2.

Коэффициенты cr дискретного аналога производной Капуто вычисляются согласно

(α,σ) (α,σ)

правилу: cQ = aQ при j = 0 и

a0

(α,σ) (α,σ)

0 + b1 ,

s = 0;

c

(α,σ)

= α!α,σ) + Cf - b^, 1 < s < j - 1;

ys+1

α(α,σ) _ ιία,σ)

aj bj ,

s = j,

при j > 0. Отметим условия, которым удовлетворяют введенные переменные:

1 — α

Δα,σ) > _____

Cs > 2

(s + σ) α > 0, xio < xo < xio+1,

r0 = гО3^ = r(0,t) < 0, rN = Γ3+σ) = r(l,t) > 0.

2

Перепишем (18)-(21) в операторной форме:

Δ^+„ y = A(tj+„ )у(,) + Φ, (22)

y(x, 0) = uo(x), x є Wh,

где

л-уО,) 'i Μ

A(tj+« )У(<,) = λ уГ ; Φ = ^1 * Κ1 ;t

; κ =

Λ+»Νσ), κΝ

д - (σ) KoaiyXo - ejVoa> - O.bhdiiy^x- + уЦ_іж+)

Λ Уо = ĞT5h

АУ(,) = Ki(ayia))x,i + b ayia) + b+a(+1)yXj) - ^у^χίο + у(0+1х+),

,(σ) j' ,(σ)

(σ) - d(y(οσ)χ-ο + У(0+: j (σ) - (σ)

Д+ (σ) -KNaNyXjv - β2УІУ - 0.5hdN(Уі0 xİ0 + y(0+1x+0)

yN = 0.5h ,

2

+

Ψ = hμı, Ψ =

_Л , 0.5h|rо|λ-1 _Л , 0.5h|ri|λ-1 / , 0.5h|rw|λ-1

k0.5 kN-0.5

Теорема 2. Пусть выполнены условия (5). Тогда существует такое τ0, что при τ < τ0 для решения разностной задачи (18)-(21) справедлива априорная оценка

1 [yj+1]|2 < M( |[у0]|0 + 0тах( |ψ'Ш + μ? + ^2)),

где M = const > 0 не зависит от h и τ.

Доказательство. Умножим (22) скалярно на у(,):

Δ0ί,+σ у, у

(σ)

Aft+σ)у(,), У(<,)

+

Ф,у(,)

(23)

где

N

N

[u, v] = ΣMiVihi, |[u]|? = [u, u], (u, v] =^3 UiVih; h

i=0

i=1

0.5h, i = 0, N; h, 0 < i < N.

Левая часть (23) оценивается следующим образом:

1 г

Δ0ί,+σ у, у<·

2

> - 1, Aj (у2)

(24)

Оценим первую сумму правой части:

A(tj+,)у(,), у(,)] = (A(ij+,)у(,), у(,)) +0.5hy0,)A-у0,) + 0.5hyNr)A+yNr) =

к(ауХ,))х,у(,)) + ^-ayX<j), у(,)^ + (^A+^yX^y^) - (d(yİ0,) х-0 + У(0+1 х+ ),у(,)) +

+ к0а1уХ°0)у0,) - (у0,))2 - 0.5hd^у10,)х-0 + У(0+1 х+0

(σ)

у0)-

- KNaNyX=,Nу№ - (y(,))2 - °.5hdN (Уг(0,)х-0 + УЙ-1х++) У^ =

- (ayX^, (ку(,))x] + (b-a, yX'V^) + (b+a(+1), yX,)y(,)) -

+ yi0+1 х+0 ), У^і - βί (У0,))2 - β2 (yN,))2. (25)

2

Преобразуем правую част (25). Сначала первые три слагаемых:

(ауХ?>, (ху(?>)*] + (Ь-а, уГу(?>) + (b+ а(+1), у<?>у(?>)

,(σ>

— ('ах(_1>, (уХ?>)2

(σ> (?>

ακχ, уХ У >

< -

+ (Га, уГу(?>) + (Ь+а(+1>, у<?>у(?>) <

κα

1 + hMı

, (у?)2

?||у?>Ш + Mf|[y(?>]|0, (26)

затем оставшиеся три:

d(y'o?>xio + y(?>ıx+0t у(?>] — Й(У0?>)2 - β2(yN?>)2 < 2(».(0?>Xİ0 + Лунxî+)2 +

(d, !/(?>f - Й(yi?>)2 - β(yN?>)2 < б||уГ>Ш + M|| [у(?>]|0. (27) Учитывая (26), (27), из (25) находим

1

+ 2

ЛУ+?)у(?>, у(?>I < -Ms|y^>]|0 + в||уГ>Ш + M4%(?>]|

(28)

Далее,

Ф, у(?>] = (φ, у(?>) + O.5hy0?>^ + 0.5hy(?>^+ = |φ у(?>] + μ^0?> + μ2yj?> <

< Є\\уі')]|0 + M5 |[y(?>]|0 + Me(|[φ]|2 + μ12 + μ22 Принимая во внимание преобразования (24)-(29), из (23) находим:

Δοί,·+σ |[у]|2 + НуХст) ]|0 < ^M7|yXCT) ]|0 + M8|[y(?>]|2 + M^ |[φ]|0 + μ2 + μ2

Выбирая ε = , из (30) получаем:

Δα

0tj + a I

г|[у]|0 + 11уХ^]|2 < ^О^Ш + Mıı(|[φ]|2 + μι + μ2) · На основании леммы 7 [9] из (31) находим априорную оценку:

|[уі+1]|2 < M(|[у0]|2 + max(|y']|0 + μ1 + μ2)

V 0<i'<i

где M = const > 0 не зависит от h и τ. Теорема доказана.

(29)

(30)

(31)

(32)

Из оценки (32) следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части.

Пусть n(x, t) —решение задачи (1)-(4), у(х, tj) = уі —решение разностной задачи (18)-(21). Для оценки точности разностной схемы (18)-(21) рассмотрим разность zj = уі — п\, где nj = u(xj,tj). Тогда, подставляя у = z + п в соотношения (18)-(21), получаем задачу для функции z:

Δ

ο

0tj + a

z

Xі (ajzX?> )x,i + b- jajzx,i + aj+izX?> — (z(o?>X-0 + zi?+ıx+ ) + Ψ , (хУ) Є Wh,r,

j 0

Zİ0+1Xİ0) У>

κ0α1ζΧ?> = β z0?> + 0·5^Δ°^.+σ z0 + d0(z(0?>xİ0 + zi0+1xî0 ^ — ^1> κΝ aN ζΧσ)Ν = β z(?> + zN + (z(0?>x-0 + z(0?+ix0 )) — ^2

z(x, 0) = 0,

(33)

(34)

(35)

(36)

где Ψ = O(h2 + τ2), />1 = O(h2 + τ2), z>2 = O(h2 + τ2) — погрешности аппроксимации

дифференциальной задачи (1)-(4) разностной схемой (18)-(21) в классе решении u = u(x, t) задачи (1)-(4).

Применяя априорную оценку (32) к решению задачи (33)-(36), получаем неравенство

1 [zj+1] |0 < M max 1 [ψ/] |0 + и{2 + j

0<j' <j

(37)

где M = const > 0 не зависит от h и τ.

Из априорной оценки (37) следует сходимость решения разностной задачи (18)-(21) к решению дифференциальной задачи (1)-(4) в смысле нормы |[zj+1]|0 на каждом слое так, что существует такое τ0, что при τ < τ0 справедлива оценка

|[yj+1 — uj+1 ]|0 < M(h2 + τ2).

Замечание. Полученные в данной работе результаты справедливы и в случае, когда уравнение (1) имеет вид:

д ( du \ du p

ÖotU = dx k(x,t) dxx + r(x,t) dxx — J2 Qs(x,t) u(xs,t) + f (x,t), 0 <x<l, 0 <t < T, если потребовать выполнения условия |qs| < c2.

4. Алгоритм численного решения

Для численного решения задачи (1)-(4) приведем разностную схему (18)-(21) к расчетному виду. Тогда уравнение (18) приводится к следующему виду:

Aiyj+11 — Ciyj+1 + Biyi+l — h2™dj yj+1xi0 + yj0+11 x+ = — Fi, і = 1, N — 1, (38)

где

1-α (α,σ)

Ai = τσκ!aj — τhσbi jai, Bi = τσκ^aj+1 + τhσb+3ai+1, Ci = Ai + Bi + h

2τ c0

Γ(2 — α)

Λ-α j-1

Fj = AAiyj-1 — CCiyj + BBiyj+1 + Ιι2τ<φ\ — h2 —--------г ^ cj-:)(ys+1 — ys) —

Γ(2 — a) s=j

’j-sWi Ui

2 j j' - j ^+

— τ(1 — u)h dj yj0x- + yj0+1x+ AAi = τ (1 — σ)κ3ία3ί — τ^1 — σ)b-3 ai, BBi = τ (1 — σ)κ3ί a3i+1 + τ^1 — σ)^+3 ai+1

Λ-α (α,σ)

τ - c

CCi = AAi + BBi — h2 ——

Γ(2 - α)

Краевое условие (19) принимает вид

Уо = ^иУ1 + κ12 Уі0 + ^1эУі0+1 + βı,

(39)

Kil

з

τσκ0α\

h2 τ1-αο(α’σ)

τσκ0α1 + σΗτβΙ + —

κ12

-0.5 ά0σΗτ (xi0+1 — x0)

ο

h2 τ 1-αβ(α’σ)

κ13 —

2 Γ(2 — α)

—0.5 ά0σΗτ (x0 — xi0)

τσκ0α1 + σhτβ1 +

0

2 Γ(2 — α)

τσκ0α\ + σΗτβ\ +

h2 τ 1-α>’σ)

0

2 Γ(2 — α)

μ1

μ1 h-τ — (1 — σ)^τβ1^0 + τ (1 — σ)χ0α1(»1 — у0) +

h2 τ 1-αο0α’σ)

h2 τ1-α 3-1

h2

2 Γ(2 — α)

+

У0

2 Γ(2 — α) S=

τ Σ cj-î) <»0+1 — »0) — If τ(1 — σ)ά^χ, 0 Уіо + x+ Уіо+А

) s=0 2

X

X

τσκ0 α1 + σhτβ3 + —

h2 τ1-αβ0α’σ) 1-1

2 Γ(2 — α)

Краевое условие (20) принимает вид

Ум = κ21 Ум -1 + K22»i0 + к23»іо+1 + μ2, где

(40)

K21

τσκΜ αΜ

τσκΜ αΜ + σhτβ2 +

h2 τ1-α>’σ)

κ22

—0.5άΜ σΛ,τ (xi0+1 — χ0)

0

2 ' 2 Γ(2 — α)

τσκΜ αΜ + σΛ,τβ2 +

h2 τ 1-α>>σ)

0

2 ' 2 Γ(2 — α)

κ23

—0.5άΜ σhτ (x0 — xi0+1)

τσκΜ αΜ + σΛ,τβ2 +

h2 τ 1-α>>σ)

0

2 Γ(2 — α)

μ2

μ2^-τ — (1 — σ)hτβ2yΜ — τ (1 — σ)κΜ αΜ (»Μ — »Μ-1) +

h2 τ 1-αο0α’σ) 2 Γ(2 — α)

■»Μ-

1-α j-1

h2

2 Γ(2 — α) S=0 Μ

Условия устойчивости метода прогонки

h2

Σ ε(-σ)(»Μ+1 — УΜ) — уτ (1 — σ)άΜ (x°0 Уі0 + x+0 УІ0+1)

X

X

τσκΜ αΜ + σhτβ2 +

h2 τ 1-αε0α’σ)

1

2 Γ(2 — α)

Ai — 0, Bi — 0, Ci > |Ai| + |Bi1, І — 1, N —1, κ11 < 1, κ21 < 1

выполнены при σ — 0.

Таким образом, с учетом (38)-(40) разностная схема (18)-(21) приводится к следующей системе линейных алгебраических уравнений:

аіУ3+11 — сіУі3+1 + віуі'++11 — h2™âi(y30+1x-0 + У30+11 x+) — —, i — 1 N—1;

У0 — κ11»1 + K12»i0 + к1зУі0+1 + μ*11,

»Μ — κ21»Μ-1 + к22Уі0 + к23Уі0+1 + /2Ъ

y(x, 0) — U0(x).

(41)

Решение системы (41) будем искать в виде

Уі — аі+1Уі+1 + βί+1 Уі0 + Yi+1 Уі0 +1 + δi+l, * — 0, N— 1. (42)

Найдем теперь аг, βί, γί, Φ, i — 1, N.

Из условия (39) следует, что

а1 — К1Ь β1 = κ12, Yi — κ13, δ1 — у11.

Подставляя в (38)

Уі — аі+1Уі+1 + βi+lУi0 + Yi+1yi0+1 + δί+1, Уі-1 — аіУі + βiУi0 + YiУio+1 + δί.

получаем

Ві

аі+1

Сі Аіаі

_ АіВі - Н2тапіХІ0

Ді+1

AiYi - К2таііХ+;0

'7і+1 , δϊ+1

Сі - Аіаі

Сі Аіаі

Fj + АА

Сі Аіаі

(43)

Выразим неизвестные Уі, i — 0, N, через Уі0, Уі0+1 следующим образом:

Уі — НіУі0 + ТіУі0+1 + фі.

Найдем Нм, Тм, Фм. Учитывая условие (40), а также равенства

Ум — Нм Уі0 + Тм Уі0+1 + Фм , Ум-1 — aw Ум + βΝ Уі0 + Yn Уі0+1 + δΝ,

(44)

получаем

κ21 βΝ + κ22 κ21Υ N + κ23 κ21δΝ + у21

НМ — , ТМ — , φΝ —

1 — К21ам 1 — К21ам 1 — к^ам

Теперь найдем Ні, Ті, Фі. подставляя (44) в (42), получаем

Ні — аі+1Ні+1 + ^+ц Ті — аі+1Ті+1 + Yi+1, фі — аі+1Фі+1 + Ф+Ц * — N—1, °. (45)

Выразим Уі0, Уі0+1 через Ні, Ті, Фі. Полагая

Уі0 Ні0 Уі0 + Ті0 Уі0+1 + фі0 , Уі0+1 Ні0+1Уі0 + Ті0+1Уі0+1 + Фі0+1,

получаем

— Ні0+1фі0 + Фір+1(1 — Ні0) — Ті0 + фі0

Уі0 + 1 , Уі 0 Уі0 + 1 +

(1 - Ні0)(1 - Ті0+1) - Ті0Ні0+1 1 - Ні0 1 - Ні0

Из (44), (46) находим решение Уі системы (41).

(46)

Заключение

В работе исследована третья начально-краевая задача для нагруженного дифференциального уравнения теплопроводности с дробной производной Капуто, а также разностная схема, аппроксимирующая эту задачу на равномерной сетке. Для поставленной задачи, в предпо-

ложении существования точного решения в классе достаточно гладких функций, получены априорные оценки в дифференциальной и разностной формулировках. Из полученных оценок вытекает единственность и непрерывная зависимость решения задачи от входных данных. В силу линейности рассматриваемых задач эти неравенства позволяют утверждать сходимость приближенного решения к точному решению со скоростью O(h2 + τ2).

Список литературы

1. Oldham K.B., Spanier J. The fractional calculus: theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order. N.Y.: Academic Press, 1974. 234 p.

2. Miller K.S., Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. N.Y: Wiley, 1993. 366 p.

3. Podlubny I. Fractional differential equations. San Diego: Academic Press, 1999. 340 p.

4. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19, №. 1. С. 86-94.

5. Будак В.М., Искендеров А.Д. Об одном классе обратных краевых задач с неизвестными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1967. Т. 176, №. 1. С. 20-23.

6. Krall A.M. The development of general differential and general differential boundary systems // Rocky Mountain J. of Mathematics. 1975. Vol. 5, no. 4. Pp. 493-542. DOI: 10.2307/44236063

7. Алиханов A.A. Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, №. 5. С. 658-664.

8. Alikhanov A.A.A new difference scheme for the time fractional diffusion equation // J. of Computational Physics. 2015. Vol. 280, no. 1. Pp. 424-438. DOI: 10.1016/i.icp.2014.09.031

9. Бештоков M.X. К краевым задачам для вырождающихся псевдопараболических уравнений с дробной производной Герасимова — Капуто // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. 2018. №10. С. 3-16. Режим доступа: https://www.elibrary.ru/download/ elibrary_35489206_98749978.pdf (дата обращения 19.08.2020).

10. Бештоков M.X., Эржибова Ф.А. К краевым задачам для интегро-дифференциальных уравнений дробного порядка // Математические труды. 2020. Т. 23, №. 1. С. 16-36. DOI: 10.33048/mattrudy.2020.23.102

11. Beshtokov M.Kh., Khudalov M.Z. Difference methods of the solution of local and nonlocal boundary-value problems for loaded equation of thermal conductivity of fractional order// Stability, control and differential games. Cham: Springer, 2020. Pp. 187-201. DOI: 10.1007/978-3-030-42831-0_17

12. Самарский А.А. Теория разностных схем: учеб. пособие. 3-е изд. М.: Наука, 1989. 616 c.

Mathematics and Mathematical Modeling, 2020, no. 3, pp. 52-64.

DOI: 10.24108/mathm.0320.0000222

© Beshtokov M. Kh., Khudalov M. Z., 2020.

Mathematics і Mathematical Modelling

Electronic journal

http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911

The Third Boundary Value Problem

for a Loaded Thermal Conductivity Equation

with a Fractional Caputo Derivative

Beshtokov M. Kh.1*, Khudalov M. Z.2

institute of applied mathematics and automation, Kabardino-Balkarian scientific center of RAS, Russia 2North Ossetian State University, Vladikavkaz, Russia

* [email protected]

Keywords: Loaded equation, boundary value problem, a priori estimation, diffusion-convection equation, fractional differential equation, Caputo fractional derivative

Received: 08.07.2020, Revised: 07.08.2020.

Recently, to describe various mathematical models of physical processes, fractional differential calculus has been widely used. In this regard, much attention is paid to partial differential equations of fractional order, which are a generalization of partial differential equations of integer order. In this case, various settings are possible.

Loaded differential equations in the literature are called equations containing values of a solution or its derivatives on manifolds of lower dimension than the dimension of the definitional domain of the desired function. Currently, numerical methods for solving loaded partial differential equations of integer and fractional (porous media) orders are widely used, since analytical solving methods for solving are impossible.

In the paper, we study the initial-boundary value problem for the loaded differential heat equation with a fractional Caputo derivative and conditions of the third kind. To solve the problem on the assumption that there is an exact solution in the class of sufficiently smooth functions by the method of energy inequalities, a priori estimates are obtained both in the differential and difference interpretations. The obtained inequalities mean the uniqueness of the solution and the continuous dependence of the solution on the input data of the problem. Due to the linearity of the problem under consideration, these inequalities allow us to state the convergence of the approximate solution to the exact solution at a rate equal to the approximation order of the difference scheme. An algorithm for the numerical solution of the problem is constructed.

References

1. Oldham K.B., Spanier J. The fractional calculus: theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order. N.Y: Academic Press, 1974. 234 p.

2. Miller K.S., Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. N.Y.: Wiley, 1993. 366 p.

3. Podlubny I. Fractional differential equations. San Diego: Academic Press, 1999. 340 p.

4. Nakhushev A.M. Loaded equations and their applications. Differential Equations, 1983, vol. 19, no. 1, pp. 74{81.

5. Budak B.M., Iskenderov A.D. A class of inverse boundary value problems with unknown coefficients. Doklady Akademii nauk SSSR [Doklady Akademii Nauk SSSR], 1967, vol. 176, no. 1, pp. 20{23 (in Russian).

6. Krall A.M.The development of general differential and general differential boundary systems. Rocky Mountain J. of Mathematics, 1975. vol. 5, no. 4, pp. 493{542. DOI: 10.2307/44236063

7. Alikhanov A.A. A priori estimates for solutions of boundary value problems for fractional-order equations. Differential Equations, 2010, vol. 46, no. 5, pp. 660{666. DOI: 10.1134/ S0012266110050058

8. Alikhanov A.A.A new difference scheme for the time fractional diffusion equation. J. of Computational Physics, 2015, vol. 280, no. 1, pp. 424M38. DOI: 10.1016/i.icp.2014.09.031

9. Beshtokov M.Kh. To boundary-value problems for degenerating pseudoparabolic equations with Gerasimov-Caputo fractional derivative. Russian Mathematics, 2018, vol. 62, no. 10, pp. 1M4. DOI: 10.3103/S1066369X18100018

10. Beshtokov M.Kh., Erzhibova F.A. To boundary value problems for integro-differential equations of fractional order. Matematicheskie Trudy [Mathematical Proc.], 2020, vol. 23, no. 1, pp. 16{36. DOI: 10.33048/mattrudy.2020.23.102 (in Russian).

11. Beshtokov M.Kh., Khudalov M.Z. Difference methods of the solution of local and nonlocal boundary-value problems for loaded equation of thermal conductivity of fractional order. Stability, control and differential games. Cham: Springer, 2020. Pp. 187{201. DOI: 10.1007/978-3-030-42831-0_17

12. Samarskij A.A. Teoriia raznostnykh skhem [Theory of difference schemes]: a textbook. 3rd ed. Moscow: NaukaPubl., 1989. 616 p. (in Russian).