Сеточные методы решения нелокальных краевых задач для уравнения конвекции-диффузии дробного порядка е вырождением Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

УДК 519.63

DOI 10.18413/2075-4639-2019-51-3-347-365

СЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ ДРОБНОГО

ПОРЯДКА С ВЫРОЖДЕНИЕМ

GRID METHODS FOR SOLVING NONLOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THE CONVECTION-DIFFUSION EQUATION OF FRACTIONAL ORDER WITH DEGENERATION

M.X. Бештоков, В.А. Водахова

M.KH. Beshtokov, V.A. Vodakhova

Институт прикладной математики pi автоматизации КБНЦ РАН Россия , 360000, г. Нальчик, ул. Шортаттова, 89А Institute of Applied Mathematics and Automation KBSC RAS, 89-A Shortanova St., Nalchik, 360000, Russia

Кабардино-Балкарский государственный университет Россия, 360000, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173. Kabardino-Balkarian State University, 173 Chernyshevskogo St., Nalchik, 360000, Russia

E-mail: beshtokov-murat@yandex.ru, E-mail: vodahova@yandex.ru

Аннотация

В работе исследуются нелокальные краевые задачи для уравнения конвекции-диффузии дробного порядка с вырождением. Основной результат работы заключается в получении методом энергетических неравенств априорных оценок в дифференциальной pi разностной трактовках для решения рассматриваемых задач. Из полученных оценок следуют единственность pi устойчивость решения относительно начальных данных pi правой часта, а также сходимость приближенного решения к точному решению рассматриваемой дифференциальной задачи.

Abstract

In this paper we study nonlocal boundary value problems for the convection-diffusion equation of fractional order with degeneration. The main result of the work is to obtain by the method of energy inequalities a priori estimates in differential and difference interpretations for solving the problems under consideration. From the obtained estimates, the uniqueness and stability of the solution with respect to the initial data and the right part, as well as the convergence of the approximate solution to the exact, solution of the differential problem under consideration, follow.

Ключевые слова: нелокальные краевые задачи, априорная оценка, разностная схема, уравнение конвекции-диффузии, дифференциальное уравнение дробного порядка, дробная прортз-водная Капуто.

Key words: nonlocal boundary-value problem, a priori estimate, difference scheme, the equation of convection-diffusion differential equation of fractional order, Caputo fractional derivative.

Введение

Нелокальными задачами принято называть такие задачи, в которых вместо обычных точечных («локальных») граничных условий задаются условия, связывающие значения искомого решения и (или) его производных в различных точках границы, либо же в точках границы и в каких-либо внутренних точках. К первым работам с неклассическими граничными условиями относятся, по-видимому, работы [Canon J.R. 1963], [Камынин Л.А. 1964] и [Чудновский А.Ф. 1969], [Чудновский А.Ф. 1976]. Современное естествознание^ в основном физические приложения, требовали дальнейшего развития неклассических краевых задач и. в первую очередь, задач с нелокальными условиями. Различные классы нелокальных задач для дифференциальных уравнений с частными производными изучались в работах [Бицадзе A.B. 1984]. [Водахова В.А. 1983], [Водахова В.А. 2008], [Гулин A.B. и др. 2001], [Ионкин H.H. 1977], [Нахутпев A.M. 1978].

Особый интерес в теории дифференциальных уравнений представляют краевые задачи с интегральными условиями, которым и посвящена данная статья. В работе [Кожанов А.И. 2004] рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения

Lv(u) = ut - uxx - vUxxt + c(x,t)u = q(x,t)

с краевыми условиями

u(0,t) = a(t)u(1,t) + f h(t,r)u(1,r)dr, 0 <t<T, (*)

J 0

ux(l,t) = 0, 0 <t<T, u(x, 0) = u0(x), 0 < x < 1.

Заметим, что в одной из рассматриваемых нами в данной работе нелокальной задаче содержится нелокальное граничное условие интегрального вида (*).

В настоящее время стало очевидным, что при решении многих задач в физике, биологии часто встречаются среды и системы, которые хорошо интерпретируются как фракталы, примерами которых могут служить полимерные материалы [Бэгли Р.Л.. Товик П. Дж. 1984]. сильно пористые среды [Динариев О.К). 1990]. К первым работам по теории дифференциальных уравнений дробного порядка следует отнести работы L. O'Shaughnessy. S. Mandelbrojt [O'Shaughnessy L. 1918], [Mandelbrojt S. 1925]. При решении таких задач возникла необходимость изучения краевых задач для дифференциальных уравнений с дробной производной [Мальтттаков A.B. 1992]. [Шефер Д.. Кефер К. 1988]. В монографиях [Самко С.Г. и др. 1987], [Нахутпев A.M. 2000] дан достаточно полный обзор работ. пос вященных дифференциальным уравнениям дробного порядка. Уравнениям переноса в средах с фрактальной геометриеи посвящены ряд интересных работ [Чукбар К.В. 1995], [Кочубей А.Н. 1990], [Нигматуллин P.P. 1992].

Настоящая работа посвящена численным методам решения нелокальных краевых задач для уравнения конвекции-диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами с вырождением. Методом энергетических неравенств получены априорные

оценки в дифференциальной и разностной трактовках для решения рассматриваемых задай. Из полученных оценок следуют единственность и устойчивость решения относительно начальных данных и правой части. В силу линейности рассматриваемых задач эти неравенства позволяют утверждать, что приближенное решение сходится к точному решению рассматриваемой дифференциальной задачи.

Численным методам решения краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка посвящены работы [Алиханов A.A. 2010]. [Alikhanov А. А. 2015], [Таукено-ва Ф. И.. Шхануков-Лафитпев М. X. 2006], [Б е inтоков М.Х. 2018 а]. [Беттттоков М.Х. 20191. [Б е in токов М.Х. 2018 б]. В работе [Алиханов A.A. 2010] получены результаты, позволяющие применять метод энергетических неравенств для получения априорных оценок краевых задач для уравнения дробного порядка в дифференциальной и разностной трактовках, как и в классическом случае (а = 1). В работе [Alikhanov А. А. 2015] предложен новый разностный аналог дробной производной Капуто, аппроксимирующий дробную производную Капуто с порядком O(t3-а). Работы [Б е in то ко в М.Х. 2018 а], [Беттттоков М.Х. 2019], [Беттттоков М.Х. 2018 б] посвящены численным методам решения различных краевых задач для уравнения влагопереноса дробного порядка. Получены априорные оценки решений рассматриваемых задач в дифференциальной и разностной трактовках.

1. Постановка нелокальной краевой задачи А

В цилиндре QT = {(x,t) :0 < x < l, 0 < t < T} рассмотрим следующую нелокальную краевую задачу

1 д ( ди\ du

90tu = — dx (xm k(x,t) dxj + r(x,t) — - q(x,t)u + f (x,t), 0 <x<l, 0 <t < T, (1)

lim xmk(x, t)ux(x, t) = 0 , 0 < t < T , (2)

-k(l, t)ux(l,t) = ß(t) f xmu(x,t)dx — ß(t), 0 < t < T, (3)

J о

u(x, 0) = u0(x) , 0 < x < l ,

0 < Co < k(x,t) < ci, \r(x,t),Tx(x,t),kx(x,t),q(x,t) ,ß(t)\ < c2, 0 < m < 2 , (5)

t

1 Г uт (x, т)

datu = -) J —dT , — дробная производная в смысле Капуто порядка а,

о

где 0 < а < 1 [Самко С.Г. и др. 1987], ci}i = 0,1, 2 — положительные числа.

При x = 0 ставится условие ограниченности решения \u(0,t)\ < то, которое эквивалентно условию (2), равносильному в свою очередь тождеству k(x,t)ux(0,t) = 0

r(0, t), q(0, t), f(0, t) конечны. -

тттение, обладающее нужными по ходу изложения производными. Будем также считать, что коэффициенты уравнения и граничных условий удовлетворяют необходимым по ходу изложения условиям гладкости, обеспечивающим нужный порядок аппроксимации разностной схемы.

По ходу изложения будем также использовать положительные постоянные числа Mi, i = 1, 2,..., зависящие только от входных данных рассматриваемой задачи. Справедливы следующие [Алиханов A.A. 2010] утверждения.

Лемма 1. Для любой абсолютно непрерывной на [0,Т] функции v(t) справедливо неравенство

V(t)d&v(t) > 2d&v2(t), 0 < а < 1.

Лемма 2. Пусть неотрицательная абсолютно непрерывная функция y(t) удовлетворяет для почти всех t из [0.Т] неравенству

daty(t) < ciy(t) + c2(t), 0 < а < 1, где ci > 0, c2(t)—суммируемая на [0,Т] неотрицательная функция. Тогда

y(t) < y(0)Ea(cita) + r(a)Eaa(cita)D-tac2(t) ,

n ж n

где Ea(z) = } —--, Eaß(z) = у —-- — функции Миттаг-Леффлера.

г(ап +1) ' г(ап + ß)

n=0 v ' n=0

2. Априорная оценка в дифференциальной форме

Для получения априорной оценки решения задачи (1)-(4) в дифференциальной форме умножим уравнение (1) скалярно на xmu:

(д"и,хти^ = ((;xmkux)x,u) + (rux,xm u) — (qu,xmu^ + f,xm u) , (6)

где u,vj = fo uvdx, = ||u||2, где u, v заданные на [0, l] функции.

Преобразуем интегралы, входящие в тождество (6), пользуясь неравенством Коши с £ [Самарский A.A. 1983, стр. 100] и Леммой 1:

(dau,xmu) > ^(xm,dau2) > -d&nxmum, (?)

(^(xmkux)x,^ = j u(xmkux^J dx = xmukux\l0 — j xmku2xdx, (8)

( \ c2 fl m fl m m c2 m (rux,xmuj < -2 (x22u)2dx + e / (x42ux)2dx < e!xI2ux||0 + -pHx^uHO . (9)

^ ' 4e Jo Jo 4e

— (qu,xmu^ = — xmqu2dx < c2^xmu||0 , (10)

1 и m 1 и m ..r) 1

4e Hx t f no < - Hxт u|2 + 2

Принимая во внимание преобразования (7)-(11), из (6) находим

f,xmu) < eHxm u|2 + Te Hxm f ||2 < 2 Hxm u|2 + 1 Hx m f ||0. (11)

-ÖOtHxmu|2 + co||xmux|2 < xmukux\lo + e^xmuxHO + MtHxmu|0 + - Hxm f ||0 . (12)

Преобразуем первое слагаемое в правой части (12) с учетом (2),(3) хтпкпх\10 = Гп(1,г)^(г) — в(Ь) [ хтп(х, =

ю

А

= Гр(Ь)п(1,Ь) — 1тв(Ь)и(1,Ь) I хтп(х,г)йх < М2п2(1,Ь) + 1 ц2(Ь) +

./о 2

^ хтп(х,Ь^ 2 < е\\хт Пх\\0 + МЦ\хт пно + 2 ■ (13)

С учетом (13), из (12) получаем 1

2 д0\хт п\\2 + со\х т Пх \ \0 < е\\хт пх\\20 + М1\\хт п\\2 + МБ(\\хт /\\0 + . (14)

При е = 2 из (14) находим

адхтп\0 + \\хтПх\ \0 < Мб\\хтп\0 + М7(\\хт/\\0 + Л)). (15)

Тогда, применяя к обеим частям (15) оператор дробного интегрирования получим

\\х т п\\2 + В-Пх т Пх \ \0 < МО-Пх т п\0 + \\х т /\\2 (Ь)) + \\х т П0(х)\0) . (16)

С помощью Леммы 2 из (16) получим априорную оценку

\\хтп\0 + О-а\\хтПх\ \0 < М{в-а{\\хт/\\2 + АЬ)) + \\хтП0(х)\0) , (17)

М-

г

(4), Б—ап = гТОГ / и~тУ--а — ДР0бньш интеграл Римана-Лиувилля порядка а, 0 < а < 1. 0 ( т _ _

Теорема 1. Если к(х,Ь) Е С 10(Ят), г(х,Ь),д(х,Ь), /(х,Ь) Е С(Ят), п(х,Ь) Е С2'0(Ят) ПС*'0(Ят), дап(х,Ь) Е С(Ят) и выполнены условия (5), тогда для решения п(х,Ь) задачи (1)-(4) справедлива априорная оценка (17), откуда следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части в смысле нормы \\х^п\\1 =

\\х т п\\2 + Б-а\\х т пх\\1

3. Устойчивость и сходимость разностной схемы

Для решения задачи (1)-(4) применим метод конечных разностей. Построим монотонную схему второго порядка точности, содержащие односторонние производные, учитывающие знак г(х, Ь). Для этого рассмотрим вместо уравнения (1) следующее уравнение с возмущенными коэффициентами

дыи = ^т (хтк(х,Ь)пЛ + г(х,Ь)пх — яп + /(х,Ь), (18)

хт х

1 о 0.5к\т\ „

где к = 1 + о, о = —к--разностное число геинольдса.

На равномерной сетке дифференциальной задаче (1)-(4) поставим в соответствие разностную схему порядка аппроксимации О^(Н2 + т2)/^ :

кАы3+„ У г

X

К ( т _ (°) т \ Хг-0.5аг Ух,г

т п_У^Л + Ь—_ (Х.т . ,__,

Ух + Хт \Хг-0.5Пг ух,г 1 + „ т I Х

?) + Хт (х+о^+Уф} - ¿3У(а) + Ф_, (19)

копЩх,о)

(а) = — Уо + ¿оу0а)) - к, г е шт, х = о, (20)

т

N

Км пN у{х% = в ^ хту^ъ + 0.5hdN уN + 0.5НАы.+1у yN - Ц2 , х = N

г=о

у(х, о) = ио(х), х е , г = о

(21) (22)

Т 1—а _ Л

где + у = ттт-^ З^у?- дискретный аналог дробной производной Капуто

3+а Г(2 — а)

порядка а, 0 < а < 1 [АНкЬапоу А. А. 2015]

(а,°) 1—а (а,°)

по = а , П\ —

1—а / \ 1—а

I + а) - (I - 1 + а) , I > 1,

а

а = 1-- , 2

Ь

(а,°) _

1

2а

а)2—а - (I - 1 + а)

2-а

(I + а)1—а + (1 - 1 + а)

1—а

1> 1

г-\ (а,а) (а,а)

при j = 0, со = по ; 'п{оа'а) + Ь[а'а), 8 = 0 , при 3> 0, с(а1) = ^ ¿а'а) + ь(3+а1) - ь?а'а), 1 < 8 < 3 - 1

<,в+1

п(а,а) - ь(а1), 8 = j

0, п 0.5Н

с(а,1) (8 + а) — а > 0, п_ = к(хг—о.5,г_+°), Ь

1а

в = к в3+1,

— ±_+1 к гг.

гг

3+1

т

ф_о, Ц2 = к ¡!_+а + 05Нф

N

у

(1)

аУ

_+1 + (1 - а)у_= г(1,г) = гN° > 0, г = г+ + гГо = г(0,г) = т_+а < 0,

Кг = 1 +

т(т - 1)Н2 .

{

24х2

кгд_+1, г = 0N д_+а, г = 0N.

I = 1N - 1, г = 0.5(г + \г\) > 0, г— = 0.5(г - \г\) < 0,

Фг =

(

Кг!_+1, г = 0N

¡_+1, г = 0N.

п

{0.5Н)г = 0,

кг

1 + Яг

0.5Н\гг\кг Яг = -;-, ко

1

кг

г-о.5

1+

о.5к\тр\

(т+1)а1

го < 0, \г\ = г+ - г

у = у + У, у = у_уг

у - У

У = У_ = у(хг,г_), г* = г_+°.

к

0.5Нт

1 1 +1

1 + 0.5Н

кМ-0.5

1

Перепишем задачу (19)-(22) в операторной форме

(

KAj У = )у(ст) + Ф, y(x, 0) = uo(x),

(23)

= Ki, x e Wh,

K = <

1, x = 0,l;

Ki = 1 +

m(m — 1)h2 —

24x2

Ф

Ф = (x,t) e WhT,

= (m±i) ф 0.5h

ф± = ök ^ x = l;

)ß1, x = 0,

t* = P±i/2,

A(tj±a )y(a)

Mt^)yf = K feo.5ajyg) + — (x^ajyg) +

V / x xim \ /

x

b±j ( j (a)\ j + xm Vxi±0.5ai±iyx,i J — di y

j JK

A (CT) (m+ 1)(Koaiyx0— m±r л-у0 ) =---

0.5h

x=0

knамy'xN + ßyl yf1 h + 0.5hdNyN

i=0

N

»i

M

A±yNCT)

0.5h

x=l.

Справедливы следующие леммы.

y(t)

Wт, справедливо неравенство

1

y^AjУ > ^^ (у2).

Лемма 4 [Б ein ТОКОВ М.Х. 2019]. Предположим, что неотрицательные последова~ тельности yj,<vj,j = 0,1, 2,... удовлетворяют неравенству

At3+„yj < Aj + \2yj + ф, j > 1,

где Ai > 0,A2 > 0— константы, тогда существует такое т0, что если т < т0, то

yj±i < 2 у0 +

y

ta \

j max фМ Ea(2At*), 1 < j < jo,

Г(1 + а) o<j<<j

те A2

где Ea(z) = тту;—~—v — Функция Миттаг-Леффлера, A = Ai +

k=0 T(1 + kа) . 2 + 2i-a'

Введем скалярное произведение и норму в следующем виде:

N-i N N

= ^2 uvh, (u,^ = (l,u2^ = ||u||2, (u,v =^2 uVi h, \\u]\2 = ^ u2h.

i=i i=i i=i

Найдем теперь априорную оценку, для этого умножим (23) скалярно на хту(а\ тогда получим

(хА^ у,хту

ту(а)

(Л(_+а )у(1),хту(1)] + (Ф,хту(1) Оценим суммы. ВХОДЯЩИ 6 в (24). с учетом Леммы 3:

(кА-^у,хту(а)] > (К, А&(хту) (к(1_+а )у(а\хту(1] = (Л 4

+( ь—_{хт— о.5п_ у1) ,у(а)) + {ь+_ (хт+0.5п_+1 уХЦ) ,у(а)) - ^_ ,хт(у(а))2)

(24)

(25)

,хту(а)) +0.5НА+у(^)хту(^) = (к(хт—о.5п_ у^) ,У(а)) +

г=о

= - х-пух ', (кук" /)xJ + + КNпNУ^' УХхN1 ^ - - Кох'о.5п1Ух,оУо' - хПРУр^ ^У(1п - 0.5hхmdN (у^т +

г=о

-хтуЧ?^ пNyíа1,)N + в^ У(1)п +0.5hdNy(а)) = -(хтПгуХа), (ку^)

т)

+ (ь—_ХтПг,уХа)у(11*)) + (ь+_хТ+о.5П_+1,уХа)У(а^ - ^,хт(у(а))2)

Преобразуем слагаемые в правой части (26)

(хтПгуХа), (ку(1))х] = (хтПгуХа), к-ху(1\ + Пгк(— 1), (у^)2

(26)

(

хтпу1(а) К. У!(а)

> хтпгух ', кхУ

+

(хтПгк, (у(1))2

(хтпу{ха\ кху(а)

1 + НМ1

+ (ь—_хтПг,у(а)уха)) + (ь+_хт+о.5П_+1,Уха)У(а)) <

< е||хту^]\1 + МЩхту(а)]\о.

Учитывая (27) ,(28), из(26) находим

(27)

(28)

(Л(г_+а)у(а) ,хту

а) хтУ(а)

< --

1

1 + НМ1

(хтПгК, (у^)2] - (хт у(а))2) +

+ф т у^мо+мв2\\хт у(а) ]\2 + (хт - хтпNУ{N)y{хаl - Кохга^Уй

N

х

г=о

Ф,хту(а)

гвухту^п - 0.5Нхт dn у^)2.

гт У1(а)

Учитывая преобразования (25)-(30), из(24) получим

НК, А" (хту)2] +-1-Нхтпгк, (у1 )2

\2 У! \ 1 + НМЛ г

= | ф,хту(а)+0.5Нф+хт = (ф,хт у{а)) + хт^а

<

(29)

1

< е\\хту^]\0 + М\ту(ст)]\0 — ^,хт(у(ст))2) + (¡¿т — хт)У^кмаму^м —

N

—х™^ Я0аух1 + (ф, хту(а)) + У^хт(и2 — хтУ^Ь — 0.5Мм У. (31)

г=0

Преобразуем четвертое, пятое и седьмое слагаемые в правой части (31) с учетом (20).(21):

(-т т\ (ст) (ст) т (ст) (ст) ,

хм — хм) Ум кмамУхМ — х0.5У0 к0а1Ух,0 +

м

+хтУр(^хтУ(ст)ь—о.5МмУ%)) = (¿т—хт) ум

м

112хтУ^п—ОМм уМ —

г=0

м

—0.5^+° ум

+ хМу(^)

12 — ¡3^2 хту(ст)ь — О.ЪНйм ум

г=0

т ( ст)

х0.5У0

0.5к , (ст)

0-5Н Ла +-—ды+а У0—^1

г=0 м

1Ш

4у0 ) +

т

(ст) т

ум хм

112— хту(т)п—0.ЬНймуР —0.5кум)(хт—хт)Ьм+<гум

i=0

т (ст)

х0.5У0

0.5к (ст)

_«0У0 — 11

м

т

т

0^5к хт у(ст) Да у < хт. (ст) ¿■тру.(ст)\'у хту.(ст)к

х0.5у0 А0Ь+° у0 < ¿м^2ум — ¿мРум Xi У

i=0

—0.шм ¿т {у^У — хт., т++Ь ^ (у0ст))2+хт^5иу0ст)—

_к{^.т_ хт\ да у2__к хт да у2

4 ^¿м хм) д0г+ ум 4(т + ^ х0.5д0г+у0 •

к

4(т + 1)'

(32)

Учитывая (32). перепишем (31):

'к

2, (х^ У)2

+

1

1 + кМ1

(¿тагя, (у^)2

+

к

т \а „,2

4(т + 1)

хт А

хп

Уо + к {¿т — хт) АаЫ]+аум < еруШ + М\?У(ст)]\2 —

0.5^04

0 4

м 05Ь

(хт у(ст))2) — ¿тЗу^т. хту^ь—о•5кdN¿m (у^)2—хт5 ^ ^(у0ст))2+

г=0

+(ф, хту(стЛ + ¿т 12ум+хт.511у0ст) •

(33)

Учитывая,что х1т_05 > 6хт> преобразуем некоторые слагаемые в (33):

, д^ (х22у)2] +4 (¿т — хт) даь+„ум > , (х22у)2) + кхт-оМ».ум >

М

1, (х ^ У)2 +

-11 да

2 \ ' 0г+

0.5к а

+—даг (х 2

12 0Ь' + °

0.5к

^м ум)2 > 1^(1, даь+„ (х ^ у)2)+

12 0гз+° 1 12

(т \ 2 1 / . 1 . ^ |,тП1о

хТ Ум) > йК1, Даг^ (х ^ У) . > 12^+°\\х Т У2

0

1, если т = 0,т > 1

Мз

{

1/2, если т Е (0,1), к < к0 =

12x2

т(1-т) '■

N

(Ч (хт у- хт хТу(а)ь - о.^ хту?)2 - ^ ¿о(у0а))2+

г=0

+( Ф,хту^) + хт КуУ+хт^ <

< е\\хтуШ + М!(\\хту(°% + (хЫ])2) + М5{\\хтф\\* + ¡А + . (35) Перепишем (33) с учетом (34).(35):

\\хту]\1+\\хтУ^О < еМ6\\хтуХЧО+М\\хтУ(а)]\2+М8(\\хтф\\0+¡2+¡2) , (36)

т т т 2

где \\хту}\1 = \\х?у]\2 + (х025уо) . Выбирая е = из получаем:

\\хтУ]\2 + \\хтУ^Ш < М9\\хтУ^Х + Мю(\\хтф\\0 + ¡2 + ¡2). (37)

Перепишем (37) в другой форме:

\\хтУ]\1 < МЪ\\хту3+1]\2 + М2\\хтУ3]\2 + Ми(\\хт<р\\2 + ¡2 + ¡2). (38)

На основании Леммы 4 из (38), получаем:

\\хту3+1]\2 < м(\\\хтУ°]\2 + \т*\\2 + ¡2 + ¡2)^ , (39)

где М - положительная постоянная, не зависящая от к и т. Справедлива следующая

Теорема 2. Пусть выполнены условия (5). Тогда существуют такие к0,т0, что если к < к0,т < т0, то для решения разностной задачи (19)-(22) справедлива априорная оценка (39), из чего следуют единственность и устойчивость решения разностной схемы (19)-(22) по начальным данным и правой части.

Пусть и(х,г) — решение задачи (1)-(4), у(хг,г+) = у3 — решение разностной задачи (19)-(22). Для оценки точности разностной схемы (19)-(22) рассмотрим разность = у+ - и?, где и? = и(хг ). Тогда, подставляя у = г + ив соотношения (19)-(22), получаем задачу для функции г:

гг = хт(хТ-о.а+ хт (хт-о.5а3гХс,г>) + (хт-о.5а3+1гх,^ -$, (40)

х л ^ ' X х л ^ ' х л ^ '

Коа^о) = го + ¿ог^ - г Е шТ, х = 0 , (41)

N

KNaNz%N = xfzfh + 0.5hdNzN] + O.5hA0tj+^zn - v2 , x = N, (42)

- LST "ATI! А Г / - _ 1 > I . / . II —t— II . ///; ДГ / —t— I I . 1 / / / \ „ . / ЛГ -

i=0

z(x, 0) = 0, x e wh, t = 0 , (43)

где Ф = h2+T2 j, v1 = O(h2 + т2), v2 = O(h2 + т2) — погрешности аппроксимации

дифференциальной задачи (1)-(4) разностной схемой (19)-(22) в классе решений u = u(x,t) задачи (1)-(4).

Применяя априорную оценку (39) к решению задачи (40)-(43), получаем неравенство

||xzj+% < M max (\\xm ' ||2 + v? + v22) , (44)

0<j'<j V /

где M — положительная постоянная, не зависящая от h и т. Отсюда вытекает априорная оценка

||xzj+1]|? < M max UxVj' ||0 + v? + v22) , (45)

o<j'<j V /

где M — положительная постоянная, не зависящая от h и т.

Из априорной оценки (45) следует сходимость решения разностной задачи (19)-(22) к решению дифференциальной задачи (1)-(4) в смысле нормы ||xzj+1]|1 на каждом слое так, что если существуют такие h0^0, то при h < h0,т < т0 справедлива априорная оценка

Hx(vj+1 - uj+1)]|i < M{h2 + т2) .

4. Постановка нелокальной краевой задачи Б и априорная оценка в дифференциальной форме

Рассмотрим следующую нелокальную краевую задачу для уравнения (1). Заменим условие (3) условием вида

-k(l, t)ux(l,t) = p(t)u(0,t) + J p(t, т )u(0, т d - n(t), в l< C2. (46)

0

Для получения априорной оценки решения умножим (1) скалярно на xmu. Тогда, учитывая преобразования (7)-(12), из (6) получим

2d^Wxmu||0 + C0||xmUx||0 < xmukux|0 + eWxmUx|0 + M!Wxmu|0 + 2 Wxf f ||2 • (47)

Преобразуем первое слагаемое в правой части (47)

t

xmukuxl0 = lmu(l,t)(^(t) - в (t)u(0,t) -J p(t, т )u(0, т )dт) =

0

= lm^(t)u(l,t) - lme(t)u(l, t)u(0, t)-

t

г

-1ти(1,г) Jр(г,т)и(о,т)&т < 2ц2(г) + М^и2(1,г) + и2(о,г)^ р(г,т)и(о,т<

о

г

< е\\х22их\\0 + М1\\х22и\\0 + I (ее1\\х22их\\20 + М11 \\х22и\о)&т + 1ц2(г). (48)

о

Учитывая (48), из (47) при е = 4 получим:

да\\х22и\\2 + \\х22их\\0 < М5\\х22и\\0+

+М%1I \\х^и\\0&т + еМ^ \\х22их]\0&т + М8(\\х^f \\* + ц2(г)) . (49)

оо

Применяя к обеим частям (49) оператор дробного интегрирования Б-га, из (49) находим:

\\х22и\\0 + Б-а\\х22их\\20 < М5Б-а\\х22и\\0 + М?[ \\х22и\\20&т+

о

+е1 М7Б-* I \\х22их\\0&т + м/(\\х22 f \\2 + ц2(1)) + \\х22щ(х) ^ о

Преобразуем второе слагаемое в правой части (50) следующим образом: Г \\х22и\\0&т = Л 1_п Г \\х22и\\20&8 =

(50)

ю Г(а) и о (г - 1) а J о

Г(а)}о (г - т)1

г Гг Й^ 1 Гг (+ г

1 ^ = гЫ vий(-^[)

ГМЛ -(г - т"»о 1 Гг 1

1 ¡У \ и 2 ,, ъ . 1

1&5

(г - з)а\\хТи\\1&8 = ' (г - т)а\\хТи\\о&т <

аГ(а) ' и Г(а + 1) ]о

1 Гг (г - т)\\х22и\\о&т Т х2 2

< аГ(а)1 (г - т)1-а < аБог \\х 2 ^ .

Итак, получаем:

Гг Т

Б-а \\х22и\\о&т < тВ-\\х22и\\о . (51)

ио а

а

С помощью (51) из (50) при е1 = находим

2Т М±7

.. "г .. о . ,, , т .. о

\\х^и\\о + Б-га\\хтих\\2 <

< МюБ-Цх22и\\2о + Ми(п-°(\\х22f \\о + ц2(г)) + \\х22ио(х)\\^ . (52)

г

г

г

На основании Леммы 2 из (52) находим априорную опенку

\\хт«110 + тих\\2 < М(Б—а(\\хт/12 + /2(1)) + \\хт«о(х

(53)

где положительное число, зависящее только от входных данных задачи (1), (2), (46), г

(4), Б—а и = га) I — дробный интеграл Римана-Лиувилля порядка а, 0 < а < 1.

о ( т)

Справедлива следующая

Теорема 3. Если к(х,г) Е С 1'0(ЯТ), т(х,г),д(х,г), /(х,Ь) Е С®т), и(х,Ь) Е С2'0(дт) ПС1,0 (Qт^, да«(х,г) Е С^т) и выполнены условия (5), (46), то для решения и(х,Ь) задачи (1), (2).( 10).( 1) справедлива априорная опенка (53), из чего следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части в смысле нормы \\хт«\\2 = \\хти\\0 + Б—а\\хт«X .

5. Устойчивость и сходимость разностной схемы На равномерной сетке Шьт дифференциальной задаче (1),(2),(46),(4) поставим в соответствие разностную схему порядка аппроксимации О ^^:

3 „,(аЛ йК,(а) I

у* = хтх-о.а У5) х+—(хГо.а уф)+ь-т (хт+о.5 - ¿г уГ+ф , т

(а) 0.5Н

—оа1 ух,0 -

0.5к з

Уо + ¿¿у0а) — /1, г Е Шт, х = 0,

т +1 т +1

(55)

аИу(ам = вУоа) + ^ р*УоТ + 01)ЫкУ(м + Ум — /2, х = (56)

«=о

у(х, 0) = и0(х), х Е , г = 0 . (57)

Перепишем задачу (54)-(57) в операторной форме:

У = Л(гз+а )у(а) + Ф, у(х, 0) = «о(х) ,

(58)

к

1,

г, х Е шн, _

1, х = 0,1,

г* = р+1/2,

к*

_ т(т — 1)к2 —

1 +--. . , , Ф

24х

2

Ф = фг, (х,г) Е ШНТ ; Ф- = (0.Ък)—1(т + 1)/1, х = 0 Ф+ = (0.5к)—1/2, х = I,

(х

Л(гз+а )у(а) =

—(тт аУ(аЛ +

хт\хг—0.5аг Ух,г ] +

7—3

+ Ь_ (хт а3 У(а)

+ \хг-0.5аг У.

Ь+з

+ „.т (хг+0.5аЗ+1уХ,гМ ¿1У

(т +1)( —оа1уй — т+1 ¿оу0а)

0.5к

х = 0;

+ ву0а) + Е р1уОт + 0мм уN в=0

( )

( )

Л+у

( ) N

0.5к

-, х = I.

Введем скалярное произведение и норму в следующем виде:

N N

(и,ь = ^^ игугн, \\и] \о = ^^ и2к, н

{

0.5к, г = М,

. . . . .к, г = N.

г 1 г 1

Умножим (58) теперь скалярно на хту(а\ тогда получим

[яА^г,+„У, хту

т (а)

[к(г++а )у(а),хту(а)] + (Ф,хту(а)

(59)

Повторяя рассуждения (24)-(38), из (59) после несложных преобразований получаем

Аа<+а \\х22У]\1 + \\Г22У^Го < м^ \\х22уЖт + М2\\х22У(а)]\1+

+Мг£ \\

8=о

8=о

х?у\^ + М^\\х22 ф\\о + ¡¡1 + ,

(60)

\\х ™ у]\\ = \\х 2 у]\° + (х^уо) .

Оценим первое слагаемое в правой части (60). для этого перепишем (60) в другой форме:

\\х22У^]?2 < М^ \\х22уЖт + Б

(61)

8 о

где Б = М2\\х 2 у^]\\ + М3^ \\х 2 у]\^т + \\х 2 + ¡¡2 + . С помощью Леммы 4

8 о

[Самарский А.А.. Гулин А.В. 1973, стр.171] из (61), находим:

\\х22^]\о < м5б.

Учитывая (62). из (60) находим

¿а,+„ \\х22 у]\1 + \\х22 у^а)]\о <

(62)

< М6\\х22У(а)]\2 + \\х22уШ + М8£ (\\х22ф8\2 + ¡1 + ¡2)Г. (63)

8 о 8 о

На основании Леммы 4 из (60). получим:

\

\\х22 ^ % < М9[ \\х22 у° ]£ + Г1+7-) тахГ £ \\х22 У]\2от + ^ (>22 Ф8\\2о + ¡1 + ¡2

8=о

Г(1 + а) о<+'<+

8=о

Введя обозначение д+ = тах \\ у] \о из (64) получим

о<+'<+

д3+1 < М9

га

Г(1 + а)

£ д8т + МюВ*

(64)

(65)

8=0

ta j' / \ Fi = II®f y°Wl + ^rr—, Ä- E (>f v'WO + ß + f

1(1 + а) 0<з'<з^ \ J

4 ' s=0

На основании Леммы 4 [Самарский A.A.. Гулин A.B. 1973, стр.171] из (65) получаем априорную оценку

llx?< M| Ixf y°]|? + —^ max V (||x?ф'||§ + ß + f |, (66)

(IIxf yX + — Е (llx f фЮ + ß + ti) f)

Г(1 + а) о<з'<33-

где М — положительная постоянная, не зависящая от к и т.

Справедлива следующая

Теорема 4. Пусть выполнены условия (5), (46) тогда существуют такие к0,т0, что если к < к0,т < т0, то для решения разностной задачи (54)-(57) справедлива априорная оценка (66), из чего следуют единственность и решения разностной схемы (54)-(57) по начальным данным и правой части.

Пусть и(х,г) — решение задачи (1), (2), (46), (4) у(хг,Ь^) = у3 — решение разностной задачи (54)-(57). Для оценки точности разностной схемы (54)-(57) рассмотрим разность г3 = у1 — и", где и3 = и(х^,Ьз). Тогда, подставляя у = г + ив соотношения (54)-(57), получаем задачу для функции г:

=xto.azxj)x+b~m (xto.5-z^)+xm (^iAi) -dizp+*>, (67)

ra) 0.5h a 0.5h . /a) _

Koaizx,0 =-zo +-—rdozo - t ^ шт, x = 0, 68

m + 1 j+CT m +1

з

-KNümzXN = ßz^Qa) + PSzSf + 0.5hdNzff + 0.5hAatj+iyzn - v2, x = N, (69)

°0 "Г о

«=о

(х, 0) = 0, х е шн, г = 0, (70)

где Ф = О^н +т ^, и1 = О (к2 + т2), щ = О (к2 + т2) — погрешности аппроксимации дифференциальной задачи (1), (2), (46), (4) разностной схемой (54)-(57) в классе решении и = и(х,г) задачи (1), (2), (46), (4).

Применяя априорную оценку (66) к решению задачи (67)-(70), получаем неравенство

I|x29zi+1]|2 < M max, Е (llxf «o + "2 + 4) f , (71)

o<j < j

s=o

М— к т

Отсюда вытекает априорная оценка

1|хг^+1]|0 < М тах^ 0^12 + ^2 + 4)т. (72)

0<з'<3 V /

3=0

где М — положительная постоянная, не зависящая от к и т.

Из априорной опенки (72) следует сходимость решения разностной задачи (54)-(57) к решению дифференциальной задачи (1), (2), (46), (4) в смысле нормы \\хгз+1]|0 на каждом слое так, что если существуют такие т0, к0, то прп т < т0,к < к0, справедлива априорная опенка

Замечание. Полученные в данной работе результаты справедливы и в случае, когда условие (3) заменяется условием вида:

В работе исследованы нелокальные краевые задачи для уравнения конвекции-диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами с вырождением. Методом энергетических неравенств получены априорные опенки в дифференциальной и разностной трактовках для решения рассматриваемых задач. Из полученных оценок еле-дуют единственность и устойчивость решения относительно начальных данных и пра~ вой части, а также сходимость решения разностной задачи к решению соответствующей дифференциальной задачи.

1. Алихаттов А. А. 2010. Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка. Дифферент!,, уравнения. 46(5):660-666.

Alihanov А.А. 2010. Apriornye ocenki reshenij kraevyh zadach dlya uravnenij drobnogo poryadka [Priori Estimates for Solutions of Boundary Value Problems for Fractional-Order Equations]. Differenc. uravneniya. 46(7):949—961.

2. Беиттоков M.X. 2018. Локальные pi нелокальные краевые задачи для вырождающихся pi певырождатощртхея псевдопараболических уравнений с дробной производной Римапа-Лиувилля. Дифферетщ. уравнения, 54(6):763-778.

Beshtokov М.Н. 2018. Lokal'nye i nelokal'nye kraevye zadachi dlya vyrozhdayushchihsya i nevyrozhdayu- shchihsya psevdoparabolicheskih uravnenij s drobnoj proizvodnoj Riiriana-Liuvillya [Local and Nonlocal Boundary Value Problems for Degenerating and Nondegenera-ting Pseudoparabolic Equations with a Rieiriann-Liouville Fractional Derivative]. Differenc. uravneniya, 54(6) :758-774.

3. Бепттоков M.X. 2019. Краевые задачи для нагруженных псевдопараболических урав-

нений дробного порядка pi разностные методы их решения. Известия высших учебных

заведений. Математика, Известия вузов. Математика 63(2):3—12.

Beshtokov М.Н. 2019. Kraevye zadachi dlya nagruzhennyh psevdoparabolicheskih uravnenij

drobnogo poryadka i raznostnye rrietody ill resheniya [Boundary-Value Problems for Loaded

Pseudoparabolic Equations of Fractional Order and Difference Methods of Their Solving].

Russian Mathematics. 63(2):1—10.

||x(yj+1 - uj+1)]|0 < M(h2 + т2).

6. Заключение

Список литературы References

4. Беиттоков М.Х. 2018. К краевым задачам для вырождающихся псевдопараболических уравнений с дробной производной Герасимова - Капуто. Известия вузов. Математика, 62(10) :3—16.

Beshtokov М.Н. 2018. К kraevym zadacham dlya vyrozhdayushchihsya psevdoparabolicheskih uravnenij s drobnoj proizvodnoj Gerasirriova - Kaputo [To Boundary-Value Problems for Degenerating Pseudo-parabolic Equations With Gerasiinov-Caputo Fractional Derivative]. Russian Mathematics, 62(10) :1—14.

5. Бицадзе А.В. 1984. К теории нелокальных краевых задач. ДАН СССР. 277(1):17—19. Bicadze A.V. 1984. К t.eorii nelokal'nyh kraevyh zadach [On the theory of nonlocal boundary value problems]. DAN SSSR. 277(1):17-19.

6. Бэгли Р.Л., Товик П. Дж. 1984. Дифференциальное исчислетите, основанное тта производных дробного порядка - новый подход к расчету конструкций с вязко-упруг»™ демпфированием. Аэрокосмическая Т6ХНИК&. 2(2):84-93.

Behgli R.L., Tovik P. Dzh. 1984. Differencial'noe ischislenie, osnovannoe na proizvodnyh drobnogo poryadka-novyj podhod k raschetu konstrukcij s vyazko-uprugim dempfirovaniem. Aehrokosmicheskaya tekhnika [Differential calculus based on fractional order derivatives a new approach to the calculation of structures with viscoelast.ic damping]. 2(2):84-93.

7. Вод ахова В.A. 1983. Задача Гурса для обобщенного уравнения влагопереттоса. Сборник научных трудов (межведомственный) «САПР и АСПР в Мелиорации». Нальчик. КБГУ. 74-80.

Vodahova V.A. 1983. Zadacha Gursa dlya obobshchennogo uravneniya vlagoperenosa [The Goursat problem for a generalized equation of moisture transfer]. Sbornik nauchnyh t.rudov (rnezhve- domstvennyj) "SAPR i ASPR v Melioracii". Nalchik. KBGU. 74-80.

8. Вод ахова В.A. 2008. Об одной ттелокальттой задаче типа задачи Битщдзе - Самарского для нагруженного уравнения с кратными характеристиками. Вестттик КБГУ. Серия Математические пауки. Нальчик: Кабардино-Балкарский Госуттнверситет. 5:26-31. Vodahova V.A. 2008. Ob odnoj nelokal'noj zadache t.ipa zadachi Bicadze - Samarskogo dlya nagruzhennogo uravneniya s kratnymi harakteristikami [On a non-local problem of the Bitsadze-Samaraskii type for a loaded equation with multiple characteristics]. Vestnik KBGU. Seriya Matematicheskie nauki. Nalchik: Kabardino-Balkarskij Gosuniversit.et. 5:26-31.

9. Гулитт А.В., Иотткптт Н.И., Морозова В.A. 2001. Об устойчивости ттелокальттой двумерной разностной задачи. ДУ. 37(7): 926-932.

Gulin А.V., Ionkin N.I., Morozova V.A. 2001. Ob ustojchivosti nelokal'noj dvumemoj raz-nostnoj zadachi [On the stability of a non-local two-dimensional difference problem]. DU. 37(7): 926-932.

10. Динариев О.Ю. 1990. Фильтрация в трещиноватой среде с фрактальной геометрией трещин. Изв. АН СССР. сер. МЖГ. 5:66-70.

Dinariev O.YU. 1990. Fil't.raciya v treshchinovatoj srede s frakt.al'noj geometriej treshchin [Filtration in a fissured medium with fractal geometry of cracks]. Izv. AN SSSR. ser. MZHG. 5:66-70.

11. Иотткитт Н.И. 1977. Решение одттой краевой задачи в теории теплопроводности с нелокальными краевыми условиями. ДУ. 13(2): 294-304.

Ionkin N.I. 1977. Reshenie odnoj kraevoj zadachi v t.eorii teploprovodnosti s nelokal'nymi kraevymi usloviyami [Solution of a boundary value problem in the theory of thermal conductivity with nonlocal boundary conditions]. DU. 13(2):294-304.

12. Камынин Л.А. 1964. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с ттеклассиче-скими граничными условиями. ЖВМ pi МФ. 4(6): 1006-1024.

Kamynin L.A. 1964. Ob odnoj kraevoj zadache teorii teploprovodnosti s neklassicheskimi granichnymi usloviyami [On a boundary value problem in the theory of thermal conductivity with non-classical boundary conditions]. ZHVM i MF. 4(6):1006-1024.

13. Кожанов А.И. 2004. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности pi Аллера. ДУ. 40(6):763-774.

Kozhanov A.I. 2004. Ob odnoj nelokal'noj kraevoj zadache s peremennymi koehfficientairii dlya uravnenij teploprovodnosti i Allera [On a nonlocal boundary value problem with variable coefficients for the heat equation and the Aller equation]. DU. 40(6):763-774.

14. Кочубей A.H. 1990. Диффузия дробного порядка. Дифферетщ.уравнения. 26(4):660-670. Kochubej A.N. 1990. Diffuziya drobnogo poryadka [Fractional order diffusion]. Differenc. uravneniya. 26(4) :660-670.

15. Малыттаков А.В. 1992. Уравнения гидродинамики для порртстых сред со структурой по-рового пространства, обладающей фрактальной геометрией. ИФЖ. 62(3):405-410. Mal'shakov А.В. 1992. Uravneniya gidrodinamiki dlya poristyh sred so strukt.uroj porovogo prostranstva, obladayushchej fraktal'noj georrietriej [Hydrodynamic equations for porous media with pore space structure having fractal geometry]. IFZH. 62(3):405-410.

16. Нахуптев A.M. 1978. Нелокальная задача и задача Fvpca для нагруженного уравнения гиперболического типа pi pix приложения к прогнозу почвенной влаги. ДАН СССР. 242(о):1008—1011.

Nahushev A.M. 1978. Nelokal'naya zadacha i zadacha Gursa dlya nagruzhennogo uravneniya giperboli- cheskogo t.ipa i ill prilozheniya k prognozu pochvennoj vlagi [Non-local problem and the Goursat. problem for the loaded equation of hyperbolic type and their applications to prediction of soil moisture] DAN SSSR. 242(5):1008-1011.

17. Нахуптев A.M. 2000. Элементы дробного ртсчргслетшя pi pix прршенетшя. НИИИ ПМА КБ-НЦРАН, Нальчртк, 272 с.

Nahushev A.M. 2000. Elementy drobnogo ischisleniya i ill primeneniya [Elements of fractional calculus and their applications]. NIII PMA KBNCRAN, Nal'chik, 272 s.

18. Нр1гматуллр1п P.P. 1992. Дробный ртптеграл pi его фртзртческая рттерпретатцга. ТМФ, 90(3):354-368.

Nigmatullin R.R. 1992. Drobnyj integral i ego fizicheskaya interpretaciya [Fractional integral and its physical interpretation ]. TMF, 90(3):354-368.

19. Самарскртй A.A. 1983. Teoppra разностных схем. Наука, M., 416 с.

Samarskij А.А. 1983. Teoriya raznostnyh skhein [Theory of difference schemes]. Nauka, M., 416 s.

20. Самарскрш А.А., Гулип А.В. 1973. Устойчртвость разностных схем. М.: Наука, 1973. 415 с. Samarskij A.A., Gulin A.V. 1973. Ustojchivost' raznostnyh skhein [Stability of difference schemes]. M.: Nauka, 415 s.

21. Самко С.Г., Кртлбас А.А., Марртчев О.И. 1987. Интегралы pi прортзводпые дробного порядка pi некоторые pix прртложетшя. Mpiiick. 121 с.

Sarnko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. 1987. Integraly i proizvodnye drobnogo poryadka i nekot.orye ill prilozheniya [Fractional Integrals and Derivatives and Some of Their Applications] Minsk. 121 s.

22. Таукепова Ф.И., Шхапуков-Лафиптев М.Х. 2006. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка. Ж. вычисл. матем. pi матем. физ. 46(10) :1871—1881.

Taukenova F.I., Shkhanukov-Lafishev М.Н. 2006. Raznostnye rrietody resheniya kraevyh za-dach dlya differencial'nyh uravnenij drobnogo poryadka [Difference methods for solving boundary value problems for fractional differential equations]. Corriput. Math. Math. Phys.46(10): 1785-1795.

23. Чудповскрш А.Ф. 1969. Некоторые корректртвы в постановке pi рептетпш задач тепло- pi влагоперепоса в почве. Сб. трудов АФИ. 23: 41-54.

Chudnovskij A.F. 1969 Nekot.orye korrekt.ivy v post.anovke i reshenii zadach t.eplo- i vlagope-renosa v pochve [Some adjustments in the formulation and solution of problems of heat and moisture transfer in the soilj. Sb. t.rudov AFI. 23:41-54.

24. Чудповскрш А.Ф. 1976. Теплофртзртка почв. M.: Наука. 352 с.

Chudnovskij A.F. 1976. Teplofizika pochv [Theririophysics of soils]. M.: Nauka. 352 s. (in Russian).

25. Чукбар К.В. 1995. Стохастршескрш перепое pi дробные прортзводные. ЖЭТФ. 108. 5(11): 1875-1884.

Chukbar K.V. 1995. Stohasticheskij perenos i drobnye proizvodnye [Stochastic transfer and fractional derivatives]. ZHEHTF. 108. 5(11):1875-1884.

26. Шефер Д., Кефер К. 1988. Фракталы в фртзртке. Труды 6-го Междупар. сршпоз. по фракталам в фртзртке, 62-71.

Shefer D., Kefer К. 1988. Frakt.aly v fizike [Fractals in physics]. Trudy 6-go Mezhdunar. sirripoz. po fraktalairi v fizike, 62-71.

27. Alikhanov A.A. 2015. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation. Journal of Computational Physics. 280:424-438.

28. Canon J.R. 1963. The solution of the heat equation subject to the specification of energy. Quart. Appl. Math. 21(2):155-160.

29. Mandelbrojt. S. 1925. Sulla generalizzazione del calcolo clelle variazione Att.i Reale Accad. Naz. Lincei. Rend CI. sei., fis. mat. e natur. Ser. 6(1)451-156.

30. O'Shauglmessy L. 1918. Problem 433. Amer. Math. Month. 25:172-173.

Ссылка для цитирования статьи Reference to article

Бепттоков M.X., Водахова В.A. 2019. Сеточные методы рептетшя нелокальных краевых задач для уравпетгая копвекнрш-дртффузрш дробного порядка с вырождетшем. Научные ве-домострт Белгородского государственного утптерерттета. Серрш: Математртка. Фртзртка. 51 (3): 347-365. Doi: 10.18413/2075-4639-2019-51-3-347-365.

Beshtokov М.КН., Vodakhova V.A. 2019. Grid methods for solving nonlocal boundary value problems for the convection-diffusion equation of fractional order with degeneration. Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathematics. Physics. 51 (3): 347-365 (in Russian). Doi: 10.18413/20754639-2019-51-3-347-365.