Краевые задачи для обобщенного модифицированного уравнения влагопереноса и разностные методы их численной реализации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прикладная математика & Физика, 2020, там, 52, № 2, С. 128 138.

УДК 517.952 001 10.18413/2687-0959-2020-52-2-128-138

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ ВЛАГОПЕРЕНОСА И РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ИХ ЧИСЛЕННОЙ

РЕАЛИЗАЦИИ

М. X. Бештоков

(Статья представлена членом редакционной коллегии А. П. Солдатовым)

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН. г. Нальчик, 360000, Россия

Е-таШЬевЫ'.окоу- murat.Oyaiidex.ru

Аннотация. Рассмотрены начально-краевые задачи с условиями первого и третьего рода для обобщенного модифицированного уравнения влагоперепоса с дробной по времени производной. На равномерной сетке построены разностные схемы, аппроксимирующие эти задачи. Для решения этих задач в предположение существования регулярного решения получены априорные оценки в дифференциальной и разностной формах. Из этих оценок следуют единственность и непрерывная зависимость решения от входных данных задачи, а также сходимость со скоростью О (к2 + т2).

Ключевые слова: Краевые задачи, априорная оценка, модифицированного уравнение влагоперепоса, дифференциальное уравнение дробного порядка, дробная производная Капуто.

Для цитирования: Бештоков М. X. 2020. Краевые задачи для обобщенного модифицированного уравнения влагоперепоса и разностные методы их численной реализации. Прикладная математика & Физика, 52(2): 128 138. Б01 10.18413/2687-0959-2020-52-2-128-138.

BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THE GENERALIZED MODIFIED MOISTURE TRANSFER EQUATION AND DIFFERENCE METHODS FOR THEIR

NUMERICAL IMPLEMENTATION

M. KH. Beshtokov

(Article submitted by a member of the editorial board A. P. Soldatov)

Institute of Applied Mathematics and Automation KBSC RAS, Nalchik, 360000, Russia

E-mail: beshtokov-murat.Byaiidex.ru Received May 28, 2020

Abstract. Initial boundary value problems with conditions of the first, and third kind for a generalized modified moisture transfer equation with a time-fractional derivative are considered. Difference schemes approximating these problems are constructed on a uniform grid. To solve these problems, assuming the existence of a regular solution, a priori estimates in differential and difference forms are obtained. Erom these estimates follow the uniqueness and continuous dependence of the solution on the input, data of the problem, as well as convergence with the speed O(h2 + t2).

Key words: Boundary Value Problems, a Priori Estimation, Modified Moisture Transfer Equation, Fractional Order Differential Equation, Caput.o Fractional Derivative.

For citation: Beshtokov M. KH. 2020. Boundary value problems for the generalized modified moisture transfer equation and difference methods for their numerical implementation. Applied Mathematics & Physics, 52(2): 128 138 (in Russian).

DOI 10.18413/2687-0959-2020-52-2-128-138.

1. Введение. Псевдопараболическими уравнениями в математической литературе последнего времени называют уравнения вида

щ — Лщ — Ви = /(х,

где А и В операторы второго или более высокого порядка по пространственным переменным [Свешников. Алынин. Корпусов. Плетнер. 2007]. Вопросы, связанные с влагопереносом в почво-грунтах. приводят к псевдопараболическим уравнениям [Чудновский. 1976. с. 137].

Локальные и нелокальные начально-краевые задачи для такого вида уравнений, как линейных, так и нелинейных, в цилиндрической области Q = G х (0, T), G С Д", изучены достаточно хорошо (см., например, [Турбин, 2013; Шергин, Пятков, 2014; Юлдашев, 2016; Юлдашев, 2017; Lyubanova, 2017]).

Многие ученые стали в последнее время изучать уравнения, содержащие дробные производные по временной и пространственным переменным, в связи с тем, что в рамках классической теории дифференциальных уравнений целочисленных порядков многие процессы и явления окружающей среды не поддаются описанию, так как имеют свойство нелокальности и нелинейности как по пространству, так и по времени. Такие явления и процессы обычно описывают с помощью теории дробного исчисления и встречаются они в механике, физике при описании сложных систем различной природы [Gao, Sun, Sun, 2015; Cui, 2013; Gao, Sun, Zhang, 2014; Pang, Sun, 2012; Calcagni, 2012].

Работы [Pimenov, Hendy, 2016a; Pimenov, Hendy, 20166; Pimenov, 2018] посвящены исследованию различных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка с эффектом запаздывания по времени. В физическом аспекте понятия память, последействие, запаздывание, наследственность считаются очень близкими.

В настоящей же работе в случае операторов А и В второго порядка для модифицированного уравнения влагопереноса с переменными коэффициентами и дробной по времени производной в смысле Капуто, будут исследоваться первая и третья краевые задачи.

Приближенным методам решения краевых задач для различных уравнений дробного порядка посвящены работы автора [Бештоков, 2018а; Бештоков, 20186; Бештоков, 2019; Бештоков, Водахова, 2019].

2. Постановка первой краевой задачи. В прямоугольнике QT = {(x, t) : 0 < x < l, 0 < t < T}

рассмотрим первую краевую задачу для обобщенного уравнения влагопереноса

™ д (,, . дм\ „а д ( . .дм\ дм

d°íM = дХ ( k(x, t) дх ) + д(м дХ (,П(х) дХ,) + r(x,t) дХ - q(x,t)u + f (x,t),

0 < x < l, 0 < t < T, (1)

м(0, t) = м(1, t) = 0, 0 < t < T, (2)

m(x, 0) = uo(x), 0 < x < l, (3)

где

0 < co < k(x, t), n(x), q(x, t), rx(x, t) < ci, |r(x,t)|, |kx(x,t)|< c2, k(x, t) G C 1'0(Qt), n(x) G C1 [0, l], r(x, t), q(x, t), f (x,t) G C(Qt),

u(x, t) G C 2'O( Qt) n CQt), d0°tu(x,t) G C (Qt ), (4)

t

dotu = Г(1-а^ "t-X')"1 — дробная производная Капуто порядка а, 0 < а < 1, cj, i = 0,1, 2 = const > 0.

Далее предполагается, что дифференциальная задача (1)-(3) имеет единственное решение, обладающее нужными по ходу изложения производными.

В работе будем использовать обозначения Mj = const > 0, i = 1, 2,..., которые зависят только от входных данных рассматриваемой задачи.

3. Априорная оценка в дифференциальной форме.

Теорема 1. Пусть условия (4) выполнены, тогда для решения задачи (1) (3) справедлива оценка

IMlWl(O'i) + DoTH^'D < М(Ч-Л|/1|0 + |M*)|lWi(0'0),

t

где M = const > 0, зависит только от входных данных за дачи (1)-(3), D-taM = гтО) / (t_U-1l-a —

( ' o ( '

дробный интеграл Рима на - Лиувилля порядка а, 0 < а < 1, ||м||^ i(0 ¡) = ||м||0 + ||мх |2.

Доказательство. Получим априорную оценку решения задачи (1)-(3) в дифференциальной форме. Для этого умножим уравнение (1) скалярно на и:

(дщм,м) = ((кмж)ж,м) + (доДпмж^м) + (гмх,м^ — ^м,^ + /,м), (5)

где ^а, bj = JO' abdx, ^а, aj = ||а||2, — скалярное произведение и норма, где a, b - заданные на [0,1] функции.

Пользуясь леммой [Алиханов, 2010], получим

1

2

8gtu,u) > ^ (l,önV) = -öOtlMI2

J0tu

70t||u||0.

((ku.,.,.) = /u^.d* = uku.|0 - l kuXdx,

(d?,(,x,x,u) = [ u*W/. = udfl(,u.),0 - 0 ^.dx <

l fl

< ud0í(nux)|ó - 2 Jo ndot(ux)2dx.

(rux.u^ = J ru.udx = 2ru2|0 - — J r.u2dx < 2ru2|0 - C0IM|2.

(6) (7)

(qu.Uj = j qu2dx > co|u|0. f.u) = j fudx < £||u||0 + Mi(e)|/12.

(8) (9) (10) (ll)

Принимая во внимание преобразования (6)-(11), из (5) находим

ll

»Hg + 2Уо nd0°t(u.)2dx + 2c0|u.|0 + 3c0|u|0 <

< 2и(киж + dOt(n«*)) |o + ru2|0 + 2£||u||2 + Mi(e

Выбирая £ = c0, из (12) с учетом (2) получаем

öo°tIMl0 + /l ndat(u.)2dx + ||u|2 + ||u.||0 < M2|f ||0.

0

Применяя к обеим частям (13) оператор дробного интегрирования из (13) находим

Ци||^(о,о + ^ЛМ^о.о < М(ад/1|2 + ||ио(х)||^!«,,о

(l2)

(l3)

(14)

где M = const > 0, зависит только от входных данных задачи (1)-(3).

Из (14) следуют единственность и непрерывная зависимость решения от входных данных задачи

(1)-(3).

4. Устойчивость и сходимость разностной схемы. Решим задачу (1)-(3) с помощью метода конечных разностей. Для этого дифференциальной задаче (1)-(3) поставим в соответствие на равномерной сетке разностную схему то вторым порядком точности по h и т:

A jУ = ajy.T)

(ajyXT)) + A^ Ш + ajy,, + a^y.^1 - djу(т) + ¿j. (x.t) e . (15)

V / x,i \ / x,i

y0T) = yNT) = 0.

y (x. 0) = u0(x),

(16) (17)

1 j

где ДОij+<jy = г(2-а) S cj-'^yS _ дискретный аналог дробной производной Капуто порядка a, 0 <

s = 0

a < 1 [Alikhanov. 2015].

(а,т) _ 1—a Áa,v)

añ = a

1-a

= l + a - l - 1+ a . l > 1

1-a

b

(a,T) _ _1

2- a

2-с

(l + a)2—a - (l - 1+ a)

при j = 0. c

(l + a)1—a + (l - 1+ a)

1-с

l > 1.

(a,T) _ „(a,T). = a0 ;

при j > 0, cSa'ff)

o0a'T) + bi+f - bSa'ff), 1 < s < j - 1, oj^ - Ь<а'т), s = j,

oj = , Yi = n(xi-0.5), bj = ¿¿j), v? = +j+T

f (xi,t?+T), a = 1 - -,

> (в + а)-а > 0, у(ет) = + (1 - аУ, ^ = ¿(х^^).

Теорема 2. Пусть условия (4) выполнены, тогда существует такое т0, что если т < то, то для решения разностной задачи (15) (17) справедлива оценка

||^+1||^(0,0 < М (||у0Н^21(0,1) + '"о) .

где M = const > 0, не зависящая от h и т.

Доказательство. Найдем методом энергетических неравенств априорную оценку в разностной форме, для этого введем скалярные произведения и норму в следующем виде:

N-1

N

(и, v) ^^ Mivih, (w,v] ^^ Mivih, (w,w) = (1,u2)

i=i

i=i

Умножим теперь (15) скалярно на у(ст) :

у,уМ) = (к^^у^) + ,У(<т)) + (Ь^,^^

+ (б+ а^у^У^) - (^,У(<т)) + Преобразуем суммы, входящие в тождество (18), с учетом (16) и леммы [АИкЬапоу, 2015]

1

(дш3+. > äi1, Aj (y2));

(18)

(19)

N

аУг

< - ОКг ,Уг У

(T), (ку(т)Ь (т) у ( t )_ 1

= - oKg,yXT)y(T)

(ШМ) Io", (yx<T))2J;

Ag^(тУг)ж,У(<т)) = y(T)Aat,+.(ТУ*)IN - M^Aj(y*)

0í,+ llySJI0;

^(-1), (уГ)2

<

<-(f, A j (Уг)

2

<

<-C0 A?

dy(<T),y(<T)) > co|y(T)|0;

v,y(T)) <£||y(T)||0 + ¿Ivlo.

(20)

(21) (22) (23)

Принимая во внимание преобразования (19)-(23), из (18) находим

1, A j(У2)) + (T^hM^ (aK (yXff))2] + coA j Ы|2 < —

,Уг У4

+ (b-oy*T),y(T)) +

+(b+o(+()yXT),y(T)) -c0i|y(T)|0 + £||y(T)||2 + ¿м2.

(24)

Выбирая £ = C0, из (24) находим

A

0í,-

l|y|0 + C0AaÍ3+^||y*J|2 + M2||y*T)]|2 + C0|y(T)|0 < -(oKx^y^] + (b-o,y*T)y(<T)) +

+ (b+o(+1)y(T) ,y(T)) + Мз ||v||2.

2

u

0

0

a

Преобразуем первое, второе и третье слагаемые в правой части (25). Тогда получим

— (ах, ^у^] + (б-а,^^) + (б+а^у^ < М4 (||у(ст)||2 + ||уГ]|2). (26)

Учитывая (26), из (25) получаем

Д«,.+<7llyHW2i(o,o) + l^IIW21(0'0) < MslKyW21(0'0) + MelMlo, (27)

где ||yyW2i(0,i) = yyy0 + lly®]|2.

Перепишем (27) в другой форме

IIylW2i(0'0) < Mf I|yj+1HW2i(0'0 + Mf||yjIlW1(0,0) + Mg|Ml0. (28)

На основании леммы 3 [Бештоков, 2018] из (28) получаем

||yj+1|lW2i(0'i) < M^||y0HW2i(0'0) + 0m=ax. '||2j , (29)

где M = const > 0, те зависящая от h и т.

Из (29) следуют единственность и непрерывная зависимость решения от входных данных задачи (15)-(17), а также в силу линейности задачи (1)-(3) сходимость со скоростью O(h2 + т2).

5. Постановка третьей краевой задачи и априорная оценка в дифференциальной форме. Рассмотрим третью краевую задачу для уравнения (1)

in(0,t) = ei(t)u(0,t) - Mi(t), (30)

\-n(Z,t)= e2(t)u(1,t) - M2(t), ( )

где

0 < C0 < < ci, q, rx, kx| < C2, n(x,t) = k(x,t)ux + dat(nux). (31)

Теорема 3. Пусть условия (4), (31) выполнены, тогда для решения задачи (1), (30), (3) справедлива оценка

NlW2i(0'i) + DoTlKll0 < M(D0r(ll/Il2 + M2(t) + м2(t)) + IM^l^o),

где M = const > 0, зависит только от входных данных задачи (1),(30),(3). Доказательство. Умножим уравнение (1) скалярно на и:

(д^м,«) = + ^d0t(nux)x,^ + (rux,u^ - (qu,u) + /, uj. (32)

Преобразуем третье и четвертое слагаемые в правой части (32)

fl гo м

■2^ ■ «XdxC^fllull2

(гиж,и^ =1 гии^х < С2 У и2йх + С2 У < С2 (||и||о + ||иж||о) . (33)

— ^ди,и^ = —J ди2^х < С2||и||2. (34)

С учетом преобразований (6)-(8),(11),(33),(34) из (32) находим

1 »Но + 111 ^(иж)2^х + о|К||§ < иП(х,*)|0 + М1 (||и||2 + |К||§) + Мо|/10. (35) Оценим первое слагаемое в правой части (35)

иП(х,г)|о = П(/,г)и(/,£) — П(0,г)и(0,г) = и(/,г)^2(г) — в2(г)и(М)) +

+и(0,£)(^1(£) — в1(^)и(0,4^ = — в2^)и2(/,£) + ^(¿)и(/,£) — в^и2^) + ^(¿)и(0,£) <

< Мз(и2(0,¿) + и2(м)) + 2(м2(*) + м2м) < М4(|иНо + НихН2) +1 (м2(*) + м2(*)). (36)

Учитывая (36), из (35) получим

1 №||2 + 1 М^х + |К||0 < М5|и|^21(0,1) + Ме(||/1|0 + £?(*) + м2(*)). (37)

Применяя к (37) оператор дробного интегрирования Д04а, получаем

|М|^(0,о + £оЛКН2 < мдам^1(0,0+ +М7(я0Г(||/1|2 + м2(^) + м2(*)) + |М*)||^(0,о). (38)

На основании леммы [Алиханов, 2010] оценим первое слагаемое в правой части (38). Пусть = = |Kx,t)||W21(0,í), тогда получаем

ОДМ^,«) < М8(^-2а(|/10 + + м2(*)) + |М*)||^(0,о). (39)

В силу того, что для любой неотрицательной функции #(£), интегрируемой на [0, Т], справедливо неравенство

¿ОТМг,-а Г(2а)

то из (38) с учетом (39) и (40) находим оценку

D-t g(t) D-í°g(t), (40)

||M|W2i(0'i) + D—ЛК||0 < M(D0°(||/12 + £?(t) + M2(t)) + |M0(x)|W2i(0'i^, (41)

где M = const > 0, зависит только от входных данных задачи (1),(30),(3).

Из (41) следуют единственность и непрерывная зависимость решения от входных данных задачи (1), (30), (3).

6. Устойчивость и сходимость разностной схемы. Дифференциальной задаче (1), (30), (3) поставим в соответствие па равномерной сетке разностную схему со вторым порядком точности по h и т:

j У = jaj yH , + ^ j ..М- j .М

Aot,-+CTУ = K (ajx j + A^^x) x j + b—j ajyg + b+jа^уЦ — djyg + , (x, t) e , (42)

KoaiyX'O + Agtj+^YiyX'^ = /?iy(ff) + 0.5hAjyo — £i, t e , x = 0, (43)

— (knawyXbTiv + Aot3.+^7NУх^)) = /?2y(j) + 0.5hAat3+^yw — £2, t e , x = 1, (44)

y(x, 0) = Mo(x), x e Wft, (45)

где

/3i(tj+ff) = ^i(tj+CT) + 0.5hd0, /?2 (tj'+ст) = &(tj+<7) + 0.5hdN, £i(tj+CT) = £i (tj+CT) +0.5h^o, £2 (tj+CT) = £2 (tj'+ст) +0.5h^w,

j

Aati+jy = r(2—a) S cj0;)y| ^ дискретный аналог дробной производной Капуто порядка а, 0 < а <

s=0

1.

Перепишем (42)-(45) в операторном виде

Aj У = Л(?+т )y(T) + Aj ¿(t)y + ф, y(x, 0) = U0(x), x € Wh,

(46)

где

Лy(T) = к(oyXT)) + b-oy*T) + b+o(+1)yiT) - dy(T), г = 1, N - 1,

Л(?+т )y(T) =

Л„,(т) - ,A „r,,(T)\ Z,-oy(T) Л-У(т) = ' —yXT0_- ^ ), г = 0,

/т) _ к001Ух,0 - /31Уо

5(h) 5 (t)

л+ (т) -knoN- /52У°т ) . Ar

Л+Улг = -:-, г = N,

yN 0.5h , ,

0.5h

¿yi = (Yiys ) , г = 1,N - 1, f v = Vi, г = 1, N - 1,

- I 2 ( X ) - \ 2

¿У = <| ¿-У0 = , г = 0, Ф=<^ v = |£1, г = 0,

¿+yN = - h (YNy*,^ г = N, fv+ = h M2, г = N,

к =

к=

1 + 0

к0 =

1+

kn =

1+

0.5h|r| ' 1k

0.5h|ro |

ko. 5

0.5h|rN |

kw-0.5

. Г0 < 0. = tj+1/2.

. rN > 0.

Теорема 4. Пусть условия (4), (31) выполнены, тогда существует такое т, что если т < то то для решения разностной задачи (42), (45) справедлива оценка

|[yj+1]lWi(0,i) < ^l[y0]lW(0,i) + (l[¿j']10 + + <«2)j.

где M = const > 0, не зависящая от h и т.

Доказательство. Умножим (46) теперь скалярно на y(f) :

Aj y.y(T)

Л(*д-+т )y(T).y(T)

+

+

Ф.у(т)

(47)

n 10.5h i = 0 N N

где [u.v] = ujVj^,. Й = < _ ' ' ' [u.u] = [1.u2] = | [u] 10. (u. v] = щv¿h.

i=1

=0 l^h.i = 0. N.

Оценим суммы, входящие в (47)

Aj y.y(T)

1

> -- 2

1 Aj (y2)

(48)

Л(*д+т)y(T).y(T^ = (Л(4д+т)y(T).y(T)) + 0.5hy0T^—y0T) + 0^т)Л+у№ = (к^,.. y(<T)) + + (b—ay,T).y(T)) + (b+a(+1)y.T).y(T)) - (dy(T).y(T)) + ^y.^ - Ä^)2 - knaNy£Ny^-

-Ä(yNT),2 = - (ay,T). (*y(T))x] + (b—a.y,T)y(T^ + (b+a(+1). y.T)y(T))

T).y(T) -

-A(y0T))2 - Ä^2

N

Преобразуем слагаемые в правой части (49)

ay

(т)

(ку(т), J + (b— a.y^T)y(T^ + (6+a(+1).y.T)y(T^ = -

1). (yXT) )2

aKs.y!,<T) y(T)

(49)

+

+ (b— a.y^T)y(T^ + (b+a(+1).y.T)y(T^ < -(

) y(T)) — «, (y°T))2 _ Ä, (y(T))2 = -

( ка

1 + hM1'

. (y?)2] + M1(|[y(T)]|0 + ||yibT)]|§). (50)

.y- I - A(y(T))2 - Ä(yNT))2 = - (dy(<T).y(<T)) - 0.5hd0(y0T))2 - 0.5hdN (yNT))2 - A(y0T))2-

—в2(у^СТ))2 = — (уИ)2] — в1(уост))2 — в2(у^СТ))2 < М^|[у(т)]|2 + ||у<т)]| Учитывая (50),(51), из (49) находим

А(^+т )у(т) ,у(т)

<-мз||у,т)]|0 + M4

Aj ^y.y(T)

i + НуПЮ.

Aj ¿y. y(TM + 0.5hy0T) Aj y0 + 0.5hyNT)Aatj+^ ¿+y.

N

y^T). Aa

0t,-

r (7¿y®)

(y.)2

< C0

< - 2 A0t3+

|y®]|o-

Ф. y(T) = y(T)) + 0.5hy0T V + 0.5hyNT)¿+ = y(T)] + M1 y0T) + M2yNT) <

,у

< М5(|[у(т)]|2 + Цу^Ю) + М6(|[^]Ю + м12 + ^Л. Принимая во внимание преобразования (48)-(54), из (47) находим

2 (Т) 2 (Т) 2

Aj|[y]|W(0,i) + M3|y,T)]|0 < M7|[y(T)]|Wi(0,i) + M6(|[¿]|0 + м1 + м2

(51)

(52)

(53)

(54)

2

где |[yJIW2i(0,í) = Ну]|2 + l|y®]|5.

1

Из (55) на основании леммы 3 [Бештоков, 2018] находим оценку

|[yj+1]lW(0,0 < ^l[y0]lW(0,i) + j ']1о + м1 + м2)) , (56)

где M = const > 0, те зависящая от h и т.

()

(42), (45), а также в силу линейности задачи (1), (30), (3) сходимость со скоростью O^h2 + т2j.

7. Алгоритм приближенного решения разностной задачи, аппроксимирующей третью краевую задачу для обобщенного модифицированного уравнения влагопереноса.

Приведем разностную схему (42)-(45) к расчетному виду для приближенного решения. Тогда уравнение (42) приводится к следующему виду

Aiyj+1 - Cj + Biyj+l = -Fj, i = VN-T, (57)

где

т 1-ac(«,ff) т 1-ас(а,ст)

= тст^aj + Yi a) - Tha6rj^ = тст^'aj+1 + Yi+1 Г(2 _0a) + Thab+jai+b

т 1-ac(«,ff)

Ci = A + Bi + h2 ——j- + Tah2dj, i i + i + Г(2 - a) + i,

т1-a j-1 , N

Fj = AAj - CQyj + BBiyi+1 + h2^j - h2—-- £ cj-;)(ys+1 - y?)+

+ 1(2 - a) j

0

Л-а

j-1

+ Г(Т2-а) £ c5-'^((Yi+1yi+1)S+1 - Ь+Ш+О') -

1-а j-1

-Г(2 - a) £ ((Yi + Yi+1)yi)s+1 - ((Yi + Yi+1-yi)^ +

1—а J^1

+ Г(Т2- a- £ (Yiyi-1)S+1 - (Yiyi-1)^,

т 1-ас(а,^)

AAi = т(1 - aj - Yi Г(2 -a- - Th(l - a)6-Ja<,

т 1-ас(а,^)

BBi = т(1 - a)xjaj+1 - Yi+1 Г(2 -0a- + Th(1 - a)6+jai+1,

т 1-ас(а>^)

CCi = AAi + BBi - h2 0 . + т(1 - a)h2dj. Г(2 - a)

Краевое условие (43) принимает вид

y0 = K1y1 + м1, (58)

где

т

^ т^к0а1 + Y1 Г(2-0а)

к1 ! ; _ (а.о-) ~ ; _ (а.о-) ,

~ . т 1-ac(a,T) т 1-ac(a>T)

/1 = /11 hr - (1 - a)hr/31y? + т(1 - a)x001(y? - y?) - Y1 „,0 0 , (y? - У0) + 0.5h2 0 У0-

raK0o1 + Y1 r(2-°a) + ahTßi + 0.5h2 r(2-°a)

Г(2 - ap01 ' Г(2 - a)

1-a ?-1 1-a ?-1 , ) -0.5h2 Г(2-0) g Cí-T)(ys+1 - У5) + Г(Ьо) g (Y1y1)s+1 - W) -

1—a 1

Г(2 - a) g (Y1y0)S+1 - (Y1y0)S)

т 1-ac(a,T) __т 1-ac(a>T)

W1+Y1 +ahTßj+0.5h2

Краевое условие (44) принимает вид

= -1 + М2, (59)

где

т 1-ас( а + Г(2-0а)

К2 1 Т1-аС( " пТ 1-аС( " ,

«V + 7^ Г(2-0а) + + Г(2-0а)

М2 =

„ • • T 1-ac(a,CT)

- (1 - - т(1 - «N- i) + YW 0 , - i) +

1(2 — а)

T 1-ac(a'^) T 1-a j-1

+0М2 ^f-0—0)"»» — ^ а) E c<-'.:)(,W+1 — sN) —

1-a j-1

Г(2 — а) ^ (— +

1-a j-1

+ Г(2 — а) ^^YWyw-1)s+1 — (ynyw-1)s)

0

h2 t 1-ac(a'ff) I

T 1-a c( a ' Cl

«W + Yw Г(2 — а) +

+ahT/3j +

j h ' co

2 Г(2 - а) _ '

Таким образом, с учетом (57)-(59), решение разностной схемы (42)-(45) можно найти методом прогонки.

8. Заключение. В работе исследованы начально-краевые задачи с условиями первого и третьего рода для обобщенного модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной. На равномерной сетке построены разностные схемы, аппроксимирующие эти задачи. Для решения этих задач в предположение существования регулярного решения получены априорные оценки в дифференциальной и разностной формах. Из этих оценок следуют единственность и непрерывная зависимость решения от входных данных задачи, а также сходимость со скоростью 0(^2 + т2).

Список литературы

1. Алиханов А. А. 2010. Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка. Дифференц. уранвения, 46(5): 660-666.

2. Бештоков М. X. 2018. Локальные и нелокальные краевые задачи для вырождающихся и невы-рождающихся псевдопараболических уравнений с дробной производной Римана - Лиувилля. Дифференц. уравнения, 54(6): 763-778.

3. Бештоков М. X. 2018. К краевым задачам для вырождающихся псевдопараболических уравнений с дробной производной Герасимова - Капуто. Известия вузов. Математика, 62(10): 3-16.

4. Бештоков М. X. 2019. Краевые задачи для нагруженных псевдопараболических уравнений дробного порядка и разностные методы их решения. Известия высших учебных заведений. Математика, Известия вузов. Математика, 63(2): 3-12.

5. Бештоков М. X., Водахова В. А. 2019. Сеточные методы решения нелокальных краевых задач для уравнения конвекции-диффузии дробного порядка с вырождением. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика, 51(3):347-365.

6. Свешников А. А., Алынин А. Б., Корпусов М. О. Плетнер Ю. Д. 2007. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М., Физматлит, 736.

7. Чудновский А. Ф. 1976. Теплофизика почв. М., Наука, 352.

8. Турбин М. В. 2013. Исследование начально-краевой задачи для модели движения жидкости Гершель - Балкли. Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика, 2: 246-257.

9. Шергин С. Н., Пятков С. Г. 2014. О некоторых классах обратных задач для псевдопараболических уравнений. Математические заметки СВФУ, 21(2): 106-116

10. Юлдашев Т. К. 2016. Нелинейное интегро-дифференцпальное уравнение псевдопараболического типа с нелокальным интегральным условием. Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1: Математика. Физика, 1(32): 11-23.

11. Юлдашев Т. К. 2017. Нелокальная краевая задача для неоднородного псевдопараболического интегро-дифференциального уравнения с вырожденным ядром. Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1: Математика. Физика, 1(38): 42-54.

12. Alikhanov А. А. 2015. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation. Journal of Computational Physics, 280: 424-438.

13. Lyubanova A. Sh. 2017. The inverse problem for the nonlinear pseudoparabolic equation of filtration type, J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 10(1): ! 15.

14. Gao G. H., Sun H. W., Sun Z. Z. 2015. Stability and convergence of finite difference schemes foraclass of time-fractional sub-diffusion equations based oncertain superconvergence. J. Comput. Phys., 280: 510-528.

15. Cui M. 2013. Convergence analysis of high-order compact alternating direction implicit schemes for the two-dimensional time fractional diffusion equation. Numer. Algorithms, 62: 383—409.

16. Gao G. H., Sun Z. Z., Zhang H. 2014. A new fractional numerical differentiation formula to approximate the Caputo fractional derivative and its applications. J.Comput. Phys., 259: 33—50.

17. Pang H. K., Sun H. W. 2012. Multigrid method for fractional diffusion equations. J. Comput. Phys., 231: 693—703.

18. Calcagni G. 2012. Geometry of Fractional Spaces. Adv. Theor. Math. Phys., 16(2): 549—644.

19. Pimenov V. G., Hendy A. S. 2016. An implicit numerical method for the solution of the fractional advection-diffusion equation with delay. Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, 22(2): 218-226.

20. Pimenov V. G., Hendy A. S. 2016. Fractional analog of crank-nicholson method for the two sided space fractional partial equation with functional delay. Ural Math. J., 2(1): 48—57.

21. Pimenov V. G. 2018. Numerical methods for fractional advection-diffusion equation with heredity. J. Math. Sci. (N. Y.), 230(5): 737-741.

References

1. Alihanov A. A. 2010. Apriornye ocenki reshenij kraevyh zadach dlya uravnenij drobnogo poryadka [Priori Estimates for Solutions of Boundary Value Problems for Fractional-Order Equations] Differenc. uravneniya, 46(7): 949—961.

2. Beshtokov M. H. 2018. LokaPnye i nelokal'nye kraevye zadachi dlya vyrozhdayushchihsya i nevyrozh-dayushchihsya psevdoparabolicheskih uravnenij s drobnoj proizvodnoj Rimana-Liuvillya [Local and Nonlocal Boundary Value Problems for Degenerating and Nondegenerating Pseudoparabolic Equations with a Riemann-Liouville Fractional Derivative] Differenc. uravneniya, 54(6): 758-774.

3. Beshtokov M. H. 2018. К kraevym zadacham dlya vyrozhdayushchihsya psevdoparabolicheskih uravnenij s drobnoj proizvodnoj Gerasimova-Kaputo [To Boundary-Value Problems for Degenerating Pseudo- parabolic Equations With Gerasimov-Caputo Fractional Derivative] Russian Mathematics, 62(10): 1-14.

4. Beshtokov M. H. 2019. Kraevye zadachi dlya nagruzhennyh psevdoparabolicheskih uravnenij drobnogo poryadka i raznostnye metody ih resheniya [Boundary-ValueProblems for Loaded Pseudoparabolic Equations of Fractional Order and Difference Methods of Their Solving] Russian Mathematics. 63(2): 1-10.

5. Beshtokov M. H., Vodakhova V. A. 2019. Setevyye metody resheniya nelokal'nykh krayevykh zadach dlya uravneniy konvektsii-diffuzii drobnogo poryadka s vyrozhdeniyem [Grid methods for solving nonlocal boundary value problems for the convection-diffusion equation of fractional order with degeneration]. Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathematics. Physics, 51(3): 347-365.

6. Sveshnikov A. A., Alshin А. В., Korpusov M. O. Pletner Yu. D. 2007. Lineynyye i nelineynyye uravneniya sobolevskogo tipa. [Linear and nonlinear Sobolev type equations] M., Fizmatlit, 736.

7. Chudnovskij A.F. 197C. Teplofizika pochv [Thermophysics of soils] M., Nanka, 352.

8. Ttirbiri M. V. 2013. Isslcdovaniye nachal'no-krayovoy zadachi dlya modeli dvizheriiya zhidkosti Gorshol'-Balkli [Investigation of the initial-boundary value problem for the Herschel-Balkley fluid motion model] Bulletin of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics, 2: 246 257.

9. Shergin S. N., Pyatkov S. G. 2014. O nekotorykh klassicheskikh zadachakh dlya psevdoparaboliches-kikh nravneniy [On some classes of inverse problems for pscndo-parabolic equations]. Matcmaticheskiyc zametki SVFU, 21(2): 106 116.

10. Ynldashev T. Iv. 2016. Neliricyrioc integro-differentsialnoe nravnenie psevdoparabolicheskogo tipa s nelokalnym integralnym nsloviem [Nonlinear Integro-Differential Equation of Psendoparabolic Type With Nonlocal Integral Condition]. Vestnik Volgogradskogo gosndarstvennogo nniversiteta. Seriya 1, Matematika. Fizika [Science Journal of Volgograd state university. Mathematics. Physics] 1(32): 11 23.

11. Ynldashev T. Iv. 2017. Nelokal'naya krayevaya zadacha dlya neodnorodnogo psevdoparabolicheskogo integrirovaniya s difforontsial'nyni nravneniyem s vyrozhdennym yadroni [Nonlocal boundary valne problem for a nonhomogeneons psendoparabolic-type integro-differential equation with degenerate kernel] Vestnik Volgogradskogo gosndarstvennogo nniversiteta. Seriya 1, Matematika. Fizika [Science Journal of Volgograd state university. Mathematics. Physics], 1(38): 42 54.

12. Alikhanov A. A. 2015. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation. Journal of Computational Physics, 280: 424 438.

13. Lyubanova A. Sh. 2017. The inverse problem for the nonlinear psendoparabolic equation of filtration type, J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 10(1): 4- 15.

14. Gao G. H., Sun H. W., Sun Z. Z. 2015. Stability and convergence of finite difference schemes foraclass of time-fractional sub-diffusion equations based oncertain snperconvergence. J. Compnt. Phys., 280: 510 528.

15. Cui M. 2013. Convergence analysis of high-order compact alternating direction implicit schemes for the two-dimensional time fractional diffusion equation. Nnmer. Algorithms, 62: 383- 409.

16. Gao G.H., Sun Z.Z., Zhang H. 2014. A new fractional numerical differentiation formula to approximate the Capnto fractional derivative and its applications, J.Compnt. Phys. 259: 33- 50.

17. Pang H.K., Sun H.W. 2012. Mnltigrid method for fractional diffusion equations, J. Compnt. Phys., 231: 693- 703.

18. Calcagni G. 2012. Geometry of Fractional Spaces. Adv. Theor. Math. Phys., 16(2): 549- 644.

19. Pimenov V. G., Hendy A. S. 2016. An implicit numerical method for the solution of the fractional advection-diffnsion equation with delay. Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, 22(2): 218 226.

20. Pimenov V. G., Hendy A.S. 2016. Fractional analog of crank-nicholson method for the two sided space fractional partial equation with functional delay /'/' Ural Math. J., 2(1): 48- 57.

21. Pimenov V. G. 2018. Numerical methods for fractional advection-diffnsion equation with heredity. J. Math. Sci. (N. Y.)„ 230(5): 737 741.

Получена 28.05.2020

Бештоков Мурат Хамидбиевич кандидат физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН ул. Шортанова, 89А, г. Нальчик, 360000, Россия E-mail: beshtokov-mm'at¿¡yandex.ш