Устойчивость и сходимость монотонных разностных схем, аппроксимирующих краевые задачи для интегро-дифференциального уравнения с дробной по времени производной и оператором Бесселя Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N. 3, 2021 Электронный журнал, рег. Эл. N ФС77-39410 от 15.04.2010 ISSN 1817-2172

http://diffjournal, spbu. ruf e-mail: jodiff@mail.ru

Численные методы

Устойчивость и сходимость монотонных разностных схем, аппроксимирующих краевые задачи для интегро-дифференциального уравнения с дробной по времени производной и оператором Бесселя

З.В. Бештокова, М.Х. Бештоков Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН

Аннотация. Изучены краевые задачи для интегро-дифференциального уравнения с дробной по времени производной и оператором Бесселя. Для решения рассматриваемых задач получены априорные оценки в дифференциальной трактовке, из чего следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части. Для численного решения краевых задач построены монотонные разностные схемы с направленными разностями и для них доказываются аналоги априорных оценок, приводятся оценки погрешности в предположений достаточной гладкости решений уравнений. Из полученных априорных оценок в разностной форме следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части, а также в силу линейности разностных задач сходимость со вторым порядком по параметрам сетки. Предложен алгоритм приближенного решения краевой задачи с условием третьего рода, проведены численные расчеты тестового примера, иллюстрирующего полученные в работе теоретические результаты, касающиеся сходимости и порядка аппроксимации разностной схемы.

Ключевые слова: краевые задачи, дробная производная Герасимова-Капуто, априорная оценка, монотонные схемы, интегро-дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение дробного порядка.

1 Введение.

Важное теоретическое и практическое значение имеет построение математических моделей, учитывающих фрактальные свойства различных сред и явлении природы, которые описываются с помощью дифференциальных уравнений дробного порядка. В [?]-[?] дан достаточно полный обзор работ, посвященных дифференциальным уравнениям дробного порядка. Монография [?] посвящена качественно новым свойствам операторов дробного интегро-дифференцирования и их применению к дифференциальным уравнениям дробного порядка.

В настоящей работе приводится численное исследование решения трехмерного интегро-дифференциального уравнения с дробной по времени производной в смысле Герасимова-Капуто порядка а

д^п = Ьп + /(х,г), (х,г) е Ят, (0.1)

где

3

Ьп = ^^ Ьап, х = (х\,х2,х3),

^1 в=1

д дп дп

Ьяп = —\к3(х,г) —) + та(х,Ь) — + у р.?(х,г,г)п(х,т)(т.

Переходя к цилиндрической системе координат (т,р,г) в случае, когда решение п = п(т) не зависит ни от г, ни от р (имеет место осевая симметрия)

х=т

1 , Г1

д0агп = -(тк(т,{)пЛ + Н(т,1)пг + р(т,1,т )п(т,т )(т + / (т,1),

т ^ Л

а в случае сферической симметрии уравнение (0.1) принимает вид:

д^п = \(т2к(т,1)пг^ + Н(т,1)пг + I р(т,1,т)п(т,т)(т + /(т,1).

'о

где

к(т,1) = к1(х,1) = к2(х,1) = к3(х,1), Н(т,1) = Н1(х,1) = Н2(х,1) = Н3(х,1), ((т,1) = (1(х,1) = (2(х,1) = (3(х,1)

т

переменных х1? х2, х3.

Численным методам решения краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка посвящены работы [?] - [?], работы [?]-[?] - для уравнения Аллера дробного порядка, а [?], [?] нелокальным краевым задачам для уравнения псевдопараболического типа с оператором Бесселя.

1. Постановка задачи.

В замкнутом прямоугольнике QT = {(x,t) :0 < x < l, 0 < t < T} рассмотрим краевую задачу для интегро-дифференциального уравнения с дробной по времени производной в смысле Герасимова-Капуто порядка«

d^u = Xxmdx ^xmk(x,t)dU^ + r(x,t)dU + J^ P(x,t,T)u(x,T)dr + f (x,t),

0 < x < l, 0 < t < T, (1.1)

lim xmk(x, t)ux(x, t) = 0, 0 < t < T, (1.2)

u(l,t) = 0, 0 < t < T, (1.3)

u(x,0) = u0(x), 0 < x < l, (1.4)

где

0 < co < k(x,t) < ci, |r(x,t),rx(x,t),kx(x,t),p(x,t,r)| < C2, (1.5) t

dotu = rd—a) f Ut-т)" — дробная производная в смысле Герасимова-Капуто

( a) o ( т)

порядка а, 0 <а< 1 Q, i = 0,1, 2— положительные ч пела, 0 < m < 2.

x=0

|u(0,t)| < то, которое эквивалентно условию (1.2), равносильному в свою очередь тождеству k(0, t)ux(0, t) = 0 [?], если функции r(0, t), р(0, t), f (0,t) конечны.

Предположим, что решение задачи (1.1) — (1.4) существует и обладает нужными по ходу изложения производными, коэффициенты уравнения и граничных условий удовлетворяют необходимым по ходу изложения условиям гладкости, обеспечивающим нужный порядок аппроксимации разностной схемы.

Походу изложения будем также использовать Mi = const > 0, i = 1, 2,..., зависящие только от входных данных рассматриваемой задачи.

2 Априорная оценка в дифференциальной форме

Для получения априорной оценки решения задачи (1.1) - (1-4) в дифференциальной форме умножим уравнение (1.1) скалярно на хтп:

(д£п,хтп^ = ((хткпх)х,п) +

+ (тпх,хтп) + рп(т,хтп^ + ^¡,хтп^, (2.1)

о

где = /0 пу(х, = ||п||2, где п,у — заданные на [0,/] функции.

Преобразуя интегралы, входящие в тождество (2.1), с помощью неравенства Коши с леммы 1 [?], после несложных преобразований с учетом (1.2) из (2.1) получим

Г *

^ ^ , , 171 , , О II 7П I I О II 7П I I О I и т I I О , II т ^ I I О / Ч

д0*|х "2 п||2 + ||х "2 пх ||0 < М11х "2 п||0 + М2 ||х "2 п||0(т + М3||х "2 /1|2. (2.2)

Л

Применяя к обеим частям (2.2) оператор дробного интегрирования а, получим

.. " ,,2 _а и " II 2 _а I I " 1|2

11х2 п||2 + Б0*а||х2 пх||2 < М]В—аЦх2 п|2+

+М2Б—^ 11х22п||2(т + М^Б—а||х"2!||2 + ||х"2по(х)||2). (2.3)

Второе слагаемое в правой части (2.3) оценим так

/ и " ||2 7 1 [ (т [ II " I I 2 7

0— х2 п\\пит = ч ---— х2 п\\о ав =

Л " Г(а^о (г — т)1—^о " |0

1 [и " и^7 Г (т 1 [ / " ,, 2 ,

= , х2 п 2ав ---— = ^ ч (г — вгп х2 п\\2ав <

Г(а)^ " ||0 Л (г — т)1—а аВДЛ ( ) " ||0 <

1 11х"2п|2(г — т) 1 Т а.. т ||2 < ч V ||0\.-¿ат < -Б—Лх"2п||°.

0

Итак, получаем

аГ(а)1 (г — т)1—« ' < а ||Л "||0'

/ ||х"2п|0(т <-а||х"2п10. (2.4)

./0 а

С учетом (2.4) из (2.3) находим

. гп ,, о _ ,, 221 119

|х2 п||0 + 2 пх||0 <

< МаБ—а|х"2п|0 + М^Б—а||х12/1|2 + ||х"2п>(х) ||0). (2.5)

С помощью леммы 2 [?] из (2.5) получаем следующую априорную оценку

II m .. о ^ л ,, m .. о Л ,, ,, m / чмОл / ч

yxmu||2 + D—a||xmи*||0 < аУхmf ||2 + Ухmuo(x)y0J , (2.6)

где M = const > 0, зависящая только от входных данных задачи (1.1)-(1.4), t

D—au = гот f /t_u;d)'i-a — дробный интеграл Римана-Лиувилля порядка«,0 < o ( т т

а < 1.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (1.5), тогда для решения и(х,£) задачи (1.1)-(1.4) справедлива априорная оценка (2.6), из чего следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части.

3 Устойчивость и сходимость разностной схемы

На равномерной сетке дифференциальной задаче (1.1)-(1.4) поставим в соответствие монотонную разностную схему с порядком аппроксимации

O

h2+

к Aj V = xm (хГ—o,a + jm (x*—o.5«i V#) +

b+j 2 fxm (x*+o.5aj+ivi^) + ^ jVs ^ + , (x,t) e , (3.1)

х* s=0

0 2

к°а1У(ж,()) = тТг(А°^У0 - X) рО,^) - е , х = 0, (3.2)

у^ = 0, £ е , х = /, (3.3)

у(х, 0) = и0(х), х е £ = 0, (3.4)

2_а 7 ( )

где ау = Г(2-а) — дискретный аналог дробной производной в

в=0

смысле Капуто порядка а, 0 < а < 1 [?], обеспечивающий порядок точности 0(т 3—а),

= {¿7 = ^т, ^ = 0,1, ...,т, тт = Т}, ^ = {хг = г^, г = 0,1,..., Ж, = /}, = ^ х = {(х^,), х е £ е },

2

x

(а,а)

а0 = а

Ъ(а,а) =

1

1—а а{а,а) = , а1 =

(I + а)2—а — (I — 1 + а)

1—а / \ 1—а

/ + а) — / — 1 + а , I > 1, а = 1

2а

2-а

1

(I + а)1—а + (1 — 1 + а)

1— а

а ~ 2 ,

, I > 1,

при з = 0, с0 = ау0 ;

а0а'а) + &1а'а), в = 0, при з > 0, с^ = { ¿а>а) + Ъ^ — Ъ[а>а), 1 < в < з — 1,

а{ра) — в = з,

Ка) > —а(в + а)—а > 0, а\ = к(хг_0.5,г^'+а), Ъ± = ^г

1а

— ±7+а

кгт±

с. > 2

у(о) = ауз+ + (1 — а у ^ = т(1,г) = > 0, т0 = т(0,г) = т0< 0

т

= т+ + т—, т+ = 0.5(т + |т|) > 0, т— = 0.5(т — |т|) < 0, „ —(— — 1)-2 -——--

_ 1 1 , ^ = 0,м | 0.5-, г = 0,

К = 1 + ^ , Рг,в = = < » ■ - П =

Я+а, г = 0,^

-,г = 0,м,

0.5—тг1кг

Кг. = —;-, К =

1

кг

■г-0.5

1+

0.5%о| (т+1)а1

■, т0 < 0, |т| = т+ — т , хт = х™ 0 5,

0.5-

V =

-+1

Р0, у = У + У, у = ш3+1, ш = Ш—Ш, У = У1 = у(хг,^), г* = г1+а.

т

1 л 0.5-Ы

к = --—, К = —---разностное число Рейнольдса,

1 + К

к

1—1

У^ V= V8т + 0.5т (V0 + V1 + V1

1\ \0.5т, з = 0,—, — + 1,

2 , т =

в=0 в=1 Введем скалярные произведения и норму:

N—1

п^^ = пгуг-, (1,п2) = ||п|2, ^1,п

г=1

т, з = 0,—, — + 2.

N

= ||пх ]|0, (1,п

г=1

Найдем теперь априорную оценку, для этого умножим (3.1) скалярно на

хтуП .

КА0+ у, хту(а)^ = (к(хт_0.5а1 ш^)^) + (ъ—1 хт_0.5а1 +

2

2

7+2

+ (Ь+7 х£о.5<1УЙ?,У(а)) + ( Е хтУ(а)) + (<лхту(а)

в=0

(3.5)

Справедлива следующая [?]

Лемма 3. Для любой функции у(¿), определенной па сетке й)т, справедливо неравенство

у(а)А0%+(Т У > (у2).

Оценим суммы, входящие в (3.5), с учетом леммы 3:

КА ^у,хту(а)) > М^2, А ^(хту)2) > УхтуУ2,

(3.6)

к(хт—о.5«7 уХа))ж,уи) = кхт—о.5«7 уЖа)у(а)

N 0

N 0

хт0.5«У^, (КУ(СТ))5

т 7 (а) (а)

= ххг_0.5«'у( )уХ; )

хтакх ,уХ^а)У(а)

— (х£0.5«К( —1), (уХа))2

<

< хт0.5У(а)ка'уХа)

N

+ еЦх т уГ]|0 + МЩхт у<а>||0 — М4|хт уГ]|2 (3.7)

Ь—7 хт а7у(а) У(аМ + ( Ь+7 хт «7 У(а) у(а) ^ <

7 У(а) у(а)

< еЦхтуХа)]|0 + МЦхту(а)||2.

(3.8)

7+2

7+2

(Ер7,?у?т,хту(а)) < (2,(хту(а))2 + (Ер7,-хтУ?т) ) < 1 Ухту(а)У2+

в=0

в=0

1 2

7+2

Л„ ^112-

в=0

+ (1, Е(р5)2- Е(хт у? )2-) < 2 Ухт У(а)У0 + М^ ух 2 г НОТ.

7+2

в=0

.,х'Уа>) < 2Ухту(а)У2 + 2Ухт*И2. Учитывая преобразования (З.б)-(З.Ю) , из (3.5) находим

(3.9)

(3.10)

1А"

3 + & 1

хтУУ2 + М4УхтУ¿Ь^)]10 < хту(а)кау.

/ж

N

+

+2еЦхтуХьа)]|0 + М|Ухту(а)У0 + М7 ^ Ухту

т 0..о_ 1И т мО

"2 От + - х 2 12

в=0

2

0

(3.11)

0

0

Преобразуем первое выражение в правой части (3.11), тогда получим

тту (а)кау^]

N ( Л ( Л

0 = —х0.5ш0 к0а1шх,0 =

_ т

= —х0.5у0

Г 0.5- 3+1

Аа^ У0 — р0,8у0^ — V

V— + п 0 ^-Г0,5

в=0

1+1

= хО^'М — хот5ш0",А£)+, Ш0 + ^^ У0" £ Р0,«У0- < М2+

^ ' в=0

(" ( \ \ 2 0 5- /Ж \ 2 х-. / " \ 2

х02.5У0а)) — 2(—+ 1) А0«^+Дх02.5У^ + Мю£ (х025ш!) т. (3.12)

' в=0

Учитывая (3.12), из (3.11) получаем

А ^ ||хтУ||? + ||х12шхь^'] 12 < еМп||хту^Ш + М{2Цхту(-)П2+

+М13 X 11х12У5||2т + Мм (11х12+ V2), (3.13)

в=0 / " \ 2

где ||х2 у Пт = 11х2 у ||0 + (^х02.5yоJ . Выбирая £ = 2М И3 получаем

А&„„||х?ш||2 + ||х¥®хг>] 10 <

< М15|хТУ^по + М16X ||х^у'Цт + аЦ||хТр||0 + V2). (3.14)

в=0

Учитывая, что

X (|хТ У5|0 + (хо^5У0) ) т =

в=0

1 2 2 = X (|х?У5||° + (х0.5Уо) )т + 0.5т (|х"2у11|2 + (хо^5ш0) )

в=0

перепишем (3.14) в другой форме

А0%+(7||х?ш|2 < М^||хту1+1|? + МГ9||хТу11|1 + М20¥>. (3.15)

7

7 11 т ? 112 — II т ц2 2

где г7 = Ух2 УчЦт + Ух 2 +

в=0

На основании леммы 7 [?] из (3.15) получаем

Ухту7+1У2 < М2Л Ухту0У1 + тах ' |. (3.16)

у 0<7'<7 I

где М21 - положительная постоянная, не зависящая от Н и т. Из (3.16) получим

Ухту7+1У2 < М22 Ухту0У2 + тах ( У^ Ухту?У2Т+ Ухт<рЦо + ) ). (3.17)

V 0<7 7')

Введя обозначение д7 = та^ Ухту7'Щ, из (3.17) получим

77

97+1 < М23 Е 9?Т + М24^7' < М25 Е 9+ М24^7', (3.18)

в=0 в=0

где Fj = ||xmv0yl + max (||xm^||q + ).

0<j'<j V /

На основании леммы 4 (см.[17, стр.171]) из (3.18) получаем

Ухту7+1 У2 < М^Цхту0У1 + та*. (Ухтр7'У2 + . (3.19)

где М - положительное постоянное, не зависящее от Ь и т. Справедлива следующая

Теорема 2. Пусть выполнены условия (1.5), тогда существуют такие Н0, т0, что если Н < Н0,т < т0, то для решения разностной задачи (3.1)-(3.4) справедлива априорная оценка (3.19).

Из оценки (3.19) следуют единственность и устойчивость решения разностной схемы (3.1)-(3.4) по начальным данным и правой части.

Пусть и(х,^) — решение задачи (1.1) — (1.4), у(х*,£7-) = у7-решение разностной задачи (3.1) — (3.4). Для оценки точности разностной схемы (3.1) — (3.4) рассмотрим разность 27 = у7 — 7 где и7 = и(х*,£7-). Тогда, подставляя у = 2 + и в соотпошения (3.1) — (3.4), получаем задачу для функции

_д а К / т 7 (а) А Ь ^ ( т 7 (а)\

Као^-+(72 = хт!х*—0.5«2ж ) + хтIх*—0.5«2ж,г ) +

/у>" ^ \ " /Т» /у> " 1

Oj i ^ ' x J./^

(xr+0.5«i+izi^) + Е + Ф7, (x, t) G ШЛ>Т, (3.20)

" s=0

(Ajzo - Е PWf) - V, t G ш, x = 0, (3.21)

(a) . X ^ 7 s-

X0«1z(x,0) = mnlA j Z0 — E P0,sZO~

s=0

zNa) = °, t G ш, x = /, (3.22)

z(x, 0) = 0, x G шь, t = 0, (3.23)

где Ф = O ( h2+T^, v = O (h2 + т- погрешности аппроксимации дифференциальной задачи (1.1) — (1.4) разностной схемой (3.1) — (3.4) в классе решении u = u(x,t) задачи (1.1) — (1.4).

Применяя априорную оценку (3.19) к решению задачи (3.20) — (3.23), получаем неравенство

||xmzj+1||? < M max Ф7'||2 + v2) , (3.24)

0<j '<j V /

где M - положительная постоянная, не зависящая от h и т.

Из априорной оценки (3.24) следует сходимость решения разностной задачи (3.1) — (3.4) к решению дифференциальной задачи (1.1) — (1.4) в смысле нормы ||x^zj+1||2 на каждом слое так, что если существуют такие r0,h0, то при т < т0, h < h0 справедлива априорная оценка

||xm (yj+1 — uj+1) ||i < M||xm—111 (h2 + т2) < M (h2 + т2) ,

где M = const > 0, не зависягцая от h и т.

4 Постановка третьей краевой задачи и априорная оценка в дифференциальной форме

Рассмотрим краевую задачу для уравнения (1.1) с условием третьего рода. Для этого заменим условие (1.3) условием вида

= в- МО, 1в1< С2. (4.1)

Для получения априорной оценки решения умножим (1.1) скалярно на хти. Тогда, учитывая преобразования (2.2)-(2.6), получим

1 0а и т ц2 11 т и^ т 7 |1 11 т ■ ■ 2

2 %||х2 и||о + со уж2 || < х мкмж|0 + е||х2 их||о+

Дифференциальные уравнения и процессы управления, IV. 3, 2021 Гг 1

»-.-—м т ,, о ^ г I .. т м О 1м тлМо

+Ы[\\х и\\2 + М2 Уж "2 и\\0(т + - Уж -2 /1|0. (4.2)

Л 2

Преобразуем первое слагаемое в правой части (4.2)

жтикиж|0 = Ги(1,г)(^(г) - в&)и(1,г)) = г^(г)и(1,г)-

-lme(t)u2(l,t) < e\\x^ux\\l + M3e\\xтu\\0 + ^(t). (4.3)

Учитывая (4.3), из (4.2) при £ = -0 получим

г\а II m ||0 II m ||0 II m ||0

ды\\х 2 u\\o + \\x 2 Ux \\0 < M4\\x 2 u\\0 + -t

+M5 I \\xmu\\ldr + M6(\\xmf\\0 + , (4.4)

Применяя к обеим частям неравенства(4.4) оператор дробного интегрирования D-ta, на основании леммы 2 [?] из (4.4) находим априорную оценку

.. m ,, 2 _all m 112

\\x2 u\\0 + D0ta\\x2 ux\0 <

< M(Do-a(\xmf \\0 + ^2(t)) + \\xmuo(x)\0), (4.5)

где M = const > 0, зависящее только от входных данных задачи (1.1), (1.2), (4.1), (1.4).

Справедлива следующая

Теорема 3. Если выполнены условия (1.5) тогда для решения u(x,t) задачи (1.1), (1.2),(4.1),(1.4) справедлива априорная оценка (4.5).

Из оценки (4.5) следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части.

5 Устойчивость и сходимость разностной схемы

На равномерной сеткейьт дифференциальной задаче (1.1),(1.2),(4.1),(1.4) поставим в соответствие разностную схему

к у = Жт Й-»,« у?) + ^ +

rpliv \ " /л» /у>'"

Oj i V / x OJ ^

b+j (

+xxm (x?+o.5ai+iyXH) + X jySf + ri, (x, t) G , (5Л)

xi n

1 s=0

И

коа1УХ,о =

0.5^ т + 1

7+2

(Д%н,Уо - Е Ро,вУо^) - , * е ^т, х = (5.2)

в=0

кж«жухд = кв?+сту№ + Уж - Е рж>*ужг) - ^2, * е

в=о

т

у(х, 0) = ио(х), х е * = 0,

х = /,

(5.3)

(5.4)

где

= 0.5^^о, = к + 0.5^-

1

ко =

, го+а < 0, кж =

1 +

о.5%0| ' о

N

1

к = 1 +

0.5^т /

1

1

о.52т 1

(т+1)Л&Н°

1 + 0.5^

— , если > 0, Г = *7+1/2,

[дт_I

0.5

Перепишем задачу (5.1)-(5.4) в операторной форме

у = Л(*7+ )ум + Ф,

у(х, 0) = ио (х),

(5.5)

где

= кг, х е к = <

1, х = 0,/,

к, = 1 +

т(т — 1)^2 —

24х2

^ = (х,*) е ^т

, ф = = т+^ьх = 0

= ок^ х =

Лу(а)

Лу( ) = X" (хто.5«7у:У ) + X" (хТ-о.5«7у:У ) +

+ X"1 ( хт+о.5а7+1уХ>/ ) +

7 »

7+2

в=о

=

Л уоа) = ^^ (ко«1уХ^о + 2 Е ро,5уог),г=0

\ о-п '

Л+у^ = — (кж«жу^ + к^ — а5Л £ рж>яуж^, х = ^

Введем скалярное произведение и норму в следующем виде

N N

0.5^ 1 /

И , 2 ^ 7

в=о

И I П^ ^ ^ ^

в=о

7 + 2

и, V

^^и^Н, ||и]|2 = ^^и2Н, Н

¿=1

¿=1

0.5й, г = Ж, М = N.

X

Умножим (5.5) теперь скалярно пажту(а), тогда получим

(кД^ у,жту

И

(л(г?+а )у{а\ж-у

и жту(^)

+ [Ф,жту

И

Преобразуем суммы, входящие в тождество (5.6):

(5.6)

(*Д ^у,жту(а)] > (К, жту) " (Л(^+а )у(а),жт у(°

(а),жту(аЛ +0.5кЛ+у^жт у^

= (к( жт_о.5а?,уИ) + (ь-?(жт-0.5«?уХ'0 ,у(а)) +

X

+ ь+4 жт+о.5«?+1 уХ^) , уИ) + ( Е г, жту(^) +

в=0

{а)( ям«муХ^м - кву(м) + Е РМ,8УМт)

в=0

= -(жтагуХ^), (ку(а))х

(^) /_т т \ (^

+ км ам уХМ1 жт - жт уМ;

-кл «1уХ^]у0а) - к жт в (ум])2+о.5Нжт ума)Е РмЛ f+{ ьжтаг,уХа)у(ст))+

И

(5.7),

в=0 ?+2

+ (Ь+?жт+0.5а?+1,уХа)у(аО + ( Е Р^,жту(с

в=0

Преобразуем первое, шестое и седьмое слагаемые в правой части (5.8)

(5.8)

-жта1у^), (ку(а))х

жт агкх,уХа)у(а)

- (жтагк(-1)

, (уГ)2'

<

< -М1 \\жтуХХ^)] 12 + ^МжвтуХа)]|2 + м|\\жту(^)]|0. (5.9)

Ь-? (жтаг,уХа)),у(^) + (ь+? (жт+0.5 а?+1уХа)),уИ) <

< е\\йтуХа)]|0 + М|\\жту(^)]|2. (5.10)

Е жту и + о.5^т ума) Е рм,

в=0

в=0

5умт= ( е р?,^,жту(а)

в=0

<

в=о

< (1, (х " уМ)2+( х р{^гу) < 21|х " у(-)]Ю^2 ^Е Р2гЕ(у^)2Г

7+2

в=о в=о

<

< 2||х"у">ш + ||х"у*]|2г.

в=о

Учитывая (5.9)-(5.11), из(5.8) находим

)у(а),хту ^

<— М1||х " уХа)]|о + £|х " уХ:а)]|2 +

(5.11)

+(хт

/И

+М5||хту^Ш + м^ ||хту*Шг+

в=о

хт)уж)кжух NN — кохо.5«1уХ>оуо ) — ^вхт( уж)

Ф,хту(а)] = (^,хту(а^ +0.5^^+хту^) = (^,хту(а)) + хт^2уЖ"). (5.13) Учитывая преобразования (5.7)-(5.13), из(5.6) получим

(5.12)

( )

|, х " у 2

+ М1||х"ух]|о < 2е||х"у^]|о + Мд ||х"у(а)]|2+

+м6 е ||х" у 1 Юг+у№ (хт — хт) кж «ж у*

в=о

>ж

2

—хоо5 уо^коад^ — хвхт( + (^у^) + хт (5.14)

Преобразуем четвертое, пятое, шестое и восьмое слагаемые в правой части (5.14) с учетом (5.2),(5.3)

хт — хт) У№ кж уХж — х005 УО^ ) коа 1 уХ>о + хт У№ (^2 — =

гт хт \ уН

7 + 2

^2 — ^у^ — уж — Е Рж,* уж г)

в=о

+

+х0°5уо )

0 5^ 7+2

т — гг^ Суо — Е Ро,*у*г

в=о

т + 1

— к вхт (у^)2+хт =

= хт у№"^2 — хт кв (у№)2—0.5фт — хт) у^До^ уж+

2

?+2

+оЩхт - жт)уй° X рм,^+жтт5у0а)^1-

в=0

0.5- ^ 0.5-

т + 1 ж0т5у0а) До^у0 + ^ж0т5у0а^ рО,^ < А + а2+

в=0

+м7((г^ ум")2 + (ж0т5у0")2) +е\жт уХ"]|2+ +мц\жт у(а)]|2 - ощх°т - жт )у£'Д£(+, ум -

1 ?+2

п кь 2 2 ^ ' 2 2

т( + 1 жО^'Д^ уо + (Е рм,.«м + (ж0"5 Е <

+ в=0 в=0

< -0.5к(хт - жтум - т0+[ж005уОст)уо+

( ( т ) 2)

?+5 2

+МоЕ ("жту*]|0 + \\жтух]|2 + (ж^уО^О )Г. (5.15)

в=0

,жту">) < 2\\жтИ\0 + 2\\ж?у<"]|0. (5.16)

Учитывая (5.15),(5.16), из (5.14) получаем

— 2

к, Д^Джту) ] + М2\\жтуХхст)]|2 + 0.5Н(Х00 - жООум+

+ттт жО05 уо < 2г\\жт уХст)]|2 + мфт у(а)] |2 + (ж?5у0а))2)+

?+2 2 +М^ (\\жув]|2 + \\жухХ]|0^ж^) )^ + М1^\\жти\0 + а2 + а2). (5.17)

в=0

Учитывая,что ж00_05 > 6жОО, преобразуем первое и четвертое слагаемые в

эшгш,чти ж'м_05 > 1

(5.17) _.

2 'Д

к, Ды+ст (жту)2] + - (жОО - жю) Дшд+сту2м > > (|, Д Ш.+СТ (ж т у)2) + - жОО-0.5 Д ОЬ^+ст уж >

> МК1, л^ (х" у)2) + Д«,+Дх1 уж)2 > ¿(1, (хт у)2)+ + Д«.+. (х""уж)2 > Ъ (1, (х"у)2] > ¿Л^ ||хту]|2, (5.18)

где

1, т = 0, т > 1,

'14 = ^ 1 _ ^ /п 14 1.^1. _ / 12х2

2,если т е (0,1), ^ < ^о = у^т!

т(1—т) '

а5Л х;;'5уо-)да(,+„ уо > д^ (х"уо)2. (5.19)

т + °.5»0 о - 2(т +

Учитывая (5.18),(5.19), из (5.17) находим

7 + 2

Д^н,||х"у]|? + ||х"у?]|0 < еМ15«х12ух]|2 + М^х"у<">]|? + ||ху*]|?г+

в=0

+М18 Е ||х""уХХ]|0г + М19(||хтИ|2 + ^2 + ^2). (5.20)

в=0

(т \ 2

хо2.5у^ .

Учитывая, что

7+2 7

I т с 119 — V ^ |, т с 11 О _ и т ' ..о

|х2 у*|1г= > ||х2 у5|1г + 0.5г||х2 у71|1,

в=0 в=0

2

"2 7

Е||х т уХ]|2г = X)||х т уХ]|0г + 0.5г ||х т уХ]|0

в=0 в=0

перепишем (5.20) в другой форме

Ло^.+Ст||хту]|2 + ||хту^Ш < (0.5ТМ18 + £М15)|хтух]|0 + М2о||хту(^)]|2+

3 3

+М16 Е ||хтуЦг + М18 Е ||гтуХ] |2г + М1^||хт<р||§ + ^ + ^2). (5.21)

в=0 в=0

Выбирая т < т0 = , £ = ^д/ ' из (5-21) находим

7

До^^+Ст||хту]|? + ||гту£]|0 < М21Е ||гтуХХ]|0г+

в=0

з

+М22ЦЖту(а)]|? + Ухту5||?т + УхтИ12 + + . (5.22)

в=0

Оценим первое слагаемое в правой части (5.22), тогда перепишем (5.22) в другой форме

з

|x2у!]|0 < ||x2yX]|0т + F, (5.23)

s=0

где F = M22||x2y(a)]|1 + M23 j ||x2ys||1f + M2A||x2<p||0 + ^ + ^2).

s=0 V J

Применяя лемму 4 (см.[17, стр.171]), из (5.23) получаем

1|Х22у!]|0 < M25F, (5.24)

С учетом (5.24) из (5.22) находим

= ! |2 / л,, , '261

Aj||xmy]|2 + ||f2у!]|2 < M26|x2y(!)]|1+

+M27 Ё ||x22уЩт + M28 £ (|x22<Hlo + ^2 + ^2)т. (5.25)

s=0 s=0

На основании леммы 7 [?] из (5.25) получаем априорную оценку

||x22yj+1]|2 < M ||x22y0]|2 + j ^ (||x22<p||0 + ^ + f J , (5.26)

где M = const > 0, не зависягцеe от h и т.

Справедлива следующая

Теорема 4. Пусть выполнены условия (1.5), тогда существуют такие h0, т0, что если h < h0,T < т0, то для решения разностной задачи (5.1)-(5.4) справедлива априорная оценка (5.26).

Из оценки (5.26) следуют единственность и устойчивость решения разностной схемы (5.1)-(5.4) по начальным данным и правой части.

Пусть u(x,t) — решение задачи (1.1), (1.2), (4.1), (1.4) y(xj,tj) = j решение разностной задачи (5.1) — (5.4). Для оценки точности разностной схемы (5.1) — (5.4) рассмотрим разность zj = yj — j где uj = u(xi,tj). Тогда, подставляя y = z + u в соотношения (5.1) — (5.4), получаем задачу для функции z

_д а К i m j Ь ^ Z' m j

z = xm ^xi—0.5аг zx J x + xm ^xi—0.5аг zx,i J +

b+j

j+2

xi

+— ( xm+0.5aj+izi"M + X rf^f + ф, (x, t) G uh,T,

(a) O.bh / a

KoaiK,0 = m+1 (Aotj+(7 zo

s=0 +2

) - Vi, t G Wt, x = 0,

s=0

(5.27)

(5.28)

knамzXN = zN + 0.5h(Ajzn - ^pN,szNr ) - V2, t G wt, x = l,

s=0

(5.29)

¿(х, 0) = 0, х е ън,г = 0, (5.30)

где Ф = О^= О (к2 + т2), = О (к2 + т2)— погрешности аппроксимации дифференциальной задачи (1.1), (1.2), (4.1), (1.4) разностной схемой (5.1) — (5.4) в классе решении и = и(х,1) задачи (1.1), (1.2), (4.1), (1.4).

Применяя оценку (5.26) к решению задачи (5.27) — (5.30), получаем

|xmzj+1]|i < M max M|xmФ-'||0 + v\ + v| ).

0<j'<j V /

(5.31)

1 yx 2 ^ 110 + V2 1 *'2

0<j'<j

где M = const > 0, не завпсягцая от к и т.

Из априорной оценки (5.31) следует сходимость решения разностной задачи (5.1) — (5.4) к решению дифференциальной задачи (1.1), (1.2), (4.1), (1.4) в смысле нормы Ухmzj+1]|2 на каждом слое так, что если существуют такие то, к0, то при т < т0, к < ко, справедлива априорная оценка

x

m (y-+1 - U+1) ||i < M||x-1 ||i (h2 + T2) < M (h2 + T2)

где M = const > 0, не завпсягца я от h и т.

6 Алгоритм численного решения

Для численного решения дифференциальной задачи (1.1), (1.2), (4.1), (1.4) приведем разностную схему (5.1) - (5.4) к расчетному виду. Тогда уравнение (5.1) приводится к следующему виду

Aj - cy+1 + Bj = -Fj, i = t;ñ=1 , (6.1)

где

Ai = тан?xm-o.5aj - тках^-о ф-а\, Д = та^<+0.5aj+i + ткахй-о.5Ь+aj+l,

1—а

,Т С

0

С, = А, + В, + Н^хГт^--

г г г г г Г(2 - а)

, ^ = АА,уЗ-1 - СС,уЗ + ВВЗ +

т

1

з-1

+^2гхГ^з - хГг(2 _ а) ^ -з

( ) в=0

£ с<--:> (у;*+1 - у?) + тН2хГ £ р^т-

3+2

в=0

= Т(1 - а)К3хГ-0.5а3 - ТН(1 - ^)хГ-0.5Ь- 3«3 , ВВ, = Т(1 - а)К3хГ+0.5«3+1 + тН(1 - а)хГ+0.5Ь+3«3+1

СС = АА + ВВг- Н2К,хГ

/ Сп

* * Г(2 - а)' Краевое условие (5.2) принимает вид

У0 = К1У1 +

где

К = —

(6.2)

та к0а1

3 , 0.5^2 т

та К0«1 + г+1 г(2-"а)

/1 =

/1Нт + т(1 - а)К0«1 (у1 - у0) +

0 5Н2 т 1-а 3- < \

05Н Т ^^ -,(а,аЬ в+1

2 а^К^

0.5Н2 т 1-ас,

0

У0 +

0.5Н2

т + 1 Г(2 - ау т + 1

-т

в=0

£ СЛуТ1 - у?)

в=0

т + 1 Г(2 - а)^

4 7 в=0

Краевое условие (5.3) принимает вид

Уж = К2УМ -1 + «2,

где

К2 =

та к0 а] +

0.5Н2 т1-ас^" т + 1 Г(2 - а) _

(6.3)

та

т с0

та аЖ + аНт + 0.5Н2 т г(2-а)

/«2 =

_1-а„ (а,^) ) Т Сп

/2Нт - (1 - а)Нтк^Уж -т(1 - а)км«ж(уЖ - Уж-" ч уж

Г(2 - а)

0.5Н

Т

1—а

3-1

Г(2 _ а) £ С3-«)(УЖ+1 - Уж) + 0.5ТН2 £ РЖ,

^ 7 в=0

3

в=0

та аЖ + аНт +

Н2 т 1-ас(а'а)

2 Г(2 - а)

Таким образом, с учетом (6.1)-(6.3), разностная схема (5.1)-(5.4) приводится к трехдиагональной системе линейных алгебраических уравнений, решение которой легко находится известным методом прогонки.

7 Результаты численного эксперимента

Коэффициенты уравнения и граничных условий задачи (5.1)-(5.4) подбираются таким образом, чтобы точным решением задачи была функцияu(x, t) = t3x4.

Ниже в таблице при различных значениях параметров« = 0.01; 0.5; 0.99, m = 0; 0.5; 1; 1.5; 2 и уменьшении размера сетки приведены максимальное значение погрешности (z = y — u) и порядок сходимости (ПС) в нормах ||-]|q и || • ||c(WhT), где ||y||c(WhT) = max |y|, когдa h = т. Порядок сходимости

(xi ,tj )&WhT

определяется по следующей формуле: ПС= log h1 || 1]|°

h2 ||Z2]|°

ность, соответствующая hi.

, где zi— это погреш-

Таблица

Изменение погрешности и порядка сходимости в нормах ||-]|о и || при уменьшении размера сетки при различных значениях а = 0. и т = 0; 0.5; 1; 1.5; 2 на I = 1, когда к = т.

• Не (whT )

01; 0.5; 0.99

a m h max ||zj]|° °<j<m ПСв |H|° ||zHc(WhT) ПС B 1 • He (whT )

0.01 0 1 i° 0.076879717 0.036794982

i 2° 0.019174526 2.0034 0.008924896 2.0452

1 4° 0.004784865 2.0026 0.002196927 2.0232

1 8° 0.001194923 2.0016 0.000544949 2.0118

1 16° 0.000298556 2.0008 0.000135702 2.0059

0.5 1 1° 0.068689773 0.030780857

1 2° 0.017138060 2.0029 0.007453397 2.0436

1 4° 0.004276783 2.0026 0.001833239 2.0223

1 8° 0.001068014 2.0016 0.000454558 2.0113

1 16° 0.000266842 2.0009 0.000113171 2.0057

1 1 1° 0.059822153 0.024798721

1 2° 0.014884147 2.0069 0.005956540 2.0461

1 4° 0.003708226 2.0050 0.001459095 2.0235

1 8° 0.000925207 2.0029 0.000361044 2.0119

1 1 кп 0.000231055 2.0015 0.000089796 2.0060

а т Н тах ||г-7]|0 0<7<т ПСв |Н|0 ||гЦС(«;ЛТ) ПС В 1 • Ус («^т)

1.5 1 10 0.050994481 0.019049512

1 20 0.012585331 2.0186 0.004485209 2.0577

1 40 0.003121312 2.0115 0.001087038 2.0294

1 80 0.000776905 2.0063 0.000267499 2.0148

1 160 0.000193780 2.0033 0.000066344 2.0074

2 1 10 0.042407707 0.053990105

1 20 0.010296342 2.0422 0.013145040 2.0865

1 40 0.002530004 2.0249 0.003240011 2.0448

1 80 0.000626611 2.0135 0.000804130 2.0228

1 160 0.000155892 2.0070 0.000200299 2.0115

0.5 0 1 10 0.098777477 0.048583953

1 20 0.024719264 1.9985 0.011839771 2.0382

1 40 0.006174080 2.0013 0.002919937 2.0204

1 80 0.001542119 2.0013 0.000724931 2.0105

1 160 0.000385289 2.0009 0.000180606 2.0053

0.5 1 10 0.090332895 0.004221371

1 20 0.022617618 1.9978 0.001074403 2.0368

1 40 0.005650220 2.0011 0.000270921 2.0196

1 80 0.001411390 2.0012 0.000068068 2.0100

1 160 0.000352642 2.0008 0.000017072 2.0050

1 1 10 0.079856635 0.041714318

1 20 0.019946185 2.0013 0.010150116 2.0390

1 40 0.004976000 2.0031 0.002501595 2.0206

1 80 0.001242057 2.0023 0.000620892 2.0104

1 160 0.000310214 2.0014 0.000154667 2.0052

1.5 1 10 0.068899501 0.034491366

1 20 0.017082667 2.0120 0.008333251 2.0493

1 40 0.004244370 2.0089 0.002046658 2.0256

1 80 0.001057175 2.0053 0.000507111 2.0129

1 1 кп 0.000263748 2.0030 0.000126219 2.0064

а т К тах ]|0 0<]<ш ПС в \Н|0 \к\\с(^Т) ПС в \ • \\с (и)кт)

2 1 10 0.057977170 0.027315531

1 20 0.014161201 2.0335 0.006487950 2.0739

1 40 0.003489152 2.0210 0.001579365 2.0384

1 80 0.000865205 2.0118 0.000389568 2.0194

1 160 0.000215357 2.0063 0.000096745 2.0096

0.99 0 1 10 0.128539769 0.070745599

1 20 0.032208933 1.9967 0.017237292 2.0371

1 40 0.008051126 2.0002 0.004249847 2.0201

1 80 0.002011962 2.0006 0.001054853 2.0104

1 160 0.000502837 2.0004 0.000262754 2.0053

0.5 1 10 0.120541979 0.065932457

1 20 0.030216567 1.9961 0.016067838 2.0368

1 40 0.007554829 1.9999 0.003962394 2.0197

1 80 0.001888178 2.0004 0.000983648 2.0102

1 160 0.000471933 2.0003 0.000245039 2.0051

1 1 10 0.107653172 0.057770899

1 20 0.026922002 1.9995 0.014051048 2.0397

1 40 0.006722651 2.0017 0.003461966 2.0210

1 80 0.001679095 2.0013 0.000859057 2.0108

1 160 0.000419534 2.0008 0.000213958 2.0054

1.5 1 10 0.093164225 0.048483177

1 20 0.023129167 2.0101 0.011706658 2.0502

1 40 0.005752973 2.0073 0.002873947 2.0262

1 80 0.001433984 2.0043 0.000711867 2.0134

1 160 0.000357920 2.0023 0.000177141 2.0067

2 1 10 0.078270796 0.038907159

1 20 0.019141843 2.0317 0.009238178 2.0744

1 40 0.004721898 2.0193 0.002248148 2.0389

1 80 0.001171855 2.0106 0.000554370 2.0198

1 1 кп 0.000291838 2.0056 0.000137638 2.0100

8 Замечание

Полученные в данной работе результаты справедливы и в случае, когда рассматривается уравнение с нелокальным линейным источником вида

1 д ( ди\ дм Г

д0^ = хтдХ дХу) +дХ Л + ^

Благодарности

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Государственного фонда естественных наук Китая (ГФЕН) в рамках научного проекта №20-51-53007.

Список литературы

[1] Нахушев, A.M. Дробное исчисление и его применение. М: Физматлит, 2003.

[2] Учайкин, В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Издательство «Артишок», 2008.

[3] Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, 1987

[4] Podlubny, I. Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego, 1999.

[5] Kilbas A.A., Trujillo J.J. Differential equations of fractional order: methods, results and problems, I. Appl. Anal. 78 (2001), 153-192.

[6] Головизнин В. M., Киселев В. П., Короткий И. А. Численные методы решения уравнения дробной диффузии с дробной производной по времени в одномерном случае. М.: Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН. 02003) 35 с.

[7] Таукенова, Ф.И., Шхануков-Лафишев М. X. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 46:10 (2006), 1871-1881.

[8] Diethelm, К. Walz, G. Numerical solution of fractional order differential equations by extrapolation, Numer. Algorithms, 16 (1997), 231-253.

[9] Алиханов, A.A. Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка // Дифференц. уравнения, 46:5 (2010), 658-664.

[10] Alikhanov, A.A. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation.// Journal of Computational Physics, 280 (2015), 424-438.

[11] Бештоков, M.X. Локальные и нелокальные краевые задачи для вырождающихся и невырождающихся псевдопараболических уравнений с дробной производной Римана-Лиувилля // Дифференц. уравнения, 54:6 (2018), 763-778.

[12] Бештоков, М.Х. К краевым задачам для вырождающихся псевдопараболических уравнений с дробной производной Герасимова-Капуто // Известия вузов. Математика, 10 (2018), 3-16.

[13] Бештоков, М.Х. Краевые задачи для псевдопараболического уравнения с дробной производной Капуто // Дифференц. уравнения, 55:7 (2019), 919-928.

[14] Бештоков, М.Х. О численном решении нелокальной краевой задачи для вырождающегося псевдопараболического уравнения // Дифференц. уравнения, 52:10 (2016), 1393-1406.

[15] Бештоков, М.Х. Разностный метод решения нелокальной краевой задачи для вырождающегося псевдопараболического уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 56:10 (2016), 1780-1794.

[16] Самарский, A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

[17] Самарский, A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.

Stability and convergence of monotone difference schemes approximating boundary value problems for an integro-differential equation with a fractional time derivative and the Bessel operator

Z.V. Beshtokova, M.KH. Beshtokov

Department of Computational Methods, Institute of Applied Mathematics and Automation, Kabardino-Balkaria Scientific Center of the Russian Academy of

Sciences

Abstract. Boundary value problems for an integro-differential equation with a fractional time derivative and the Bessel operator are studied. For the solution of the problems under consideration, a priori estimates in the differential interpretation are obtained, from which the uniqueness and stability of the solution with respect to the initial data and the right-hand side follow. For the numerical solution of boundary value problems, monotone difference schemes with directed differences are constructed and analogs of a priori estimates are proved for them, and error estimates are given for the assumptions of sufficient smoothness of the solutions of the equations. From the obtained a priori estimates in the difference form, the uniqueness and stability of the solution according to the initial data and the right-hand side, as well as the linearity of the difference problems, the convergence with the second order in the grid parameters follow. An algorithm for the approximate solution of a boundary value problem with a third-order condition is proposed, and numerical calculations are performed for a test case illustrating the theoretical results obtained in this paper concerning the convergence and the order of approximation of the difference scheme.

Keywords: boundary value problems, Gerasimov-Caputo fractional derivative, a priori estimation, monotone schemes, integro-differential equation, fractional order differential equation.

Acknowledgements

The paper was supported by RFBR and Natural Science Foundation of China (NSFC) grant №20-51-53007.