CC BY
9
УДК 539.3
РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧА
В.М. Степаненко
Павлодарский государственный университет им. С. Торайгыроеа
ЦЦ Жозьщ деформациялы сертмЫ пластикалъщ есептщ шешшт табу
§Ш ушш цолданылатын интерациялъщ adic царастырылган.
Рассмотрен итерационный процесс численного решения упруго-пластической задачи для случая плоской деформации.
The iterative process of a numerical solution of elastic-plastic problem for case of a flat strain is considered.
Для численного решения задачи теории упругости в напряжениях в [1J предложен итерационный процесс, в основу которого положена нестационарная форма уравнений теории упругости [2].
В настоящей работе показано, что отмеченный процесс с незначительной модификацией может быть использован при численном решении статических задач за пределами упругости.
Напряженно-деформированное состояние упруго-пластического тела в случае плоской деформации, согласно теории малых упруго-пластических деформаций [3], описывается системой уравнений равновесия
г дан(М)
X + р-f(M) = о, Mes, i = i,2
i-l дХ;
(1)
условием совместности деформаций
дх1дхг dxl дх\
условиями на границе
2 ^2еИ|Э2£:
(2)
2
Joj(M)T,i = gi(M)) M'EL, i = 1,2
(3)
и соотношениями между напряжениями и деформациями
" V ео = ^Оч" V ао>, = 1,2 (4)
где рМ) - {/',;/,;} ~ вектор массовых сил; р - плотность среды;
§(М') = - вектор поверхностных сил;
л = {и1;и2;} ~ единичный вектор внешней нормали к границе Ь области 3;
6.. - символ Кронекера;
сто ~3-К-в0, 3-е0=8п+е22, 3-(Т0 = ^ + 2м(стп +а22),
2 (Л + /л)
К = + Д, |1- постоянные Ламе; 3
1 1
= Ц'г 11" + 2(еТп + а2г)2 + (5)
Диаграмма деформирования материала задается равенством (модель с линейным упрочнением)
ГЗ-^чг,, е.! <.щ.
с.
ат +Нт-(е1-£т), ет
(6)
где е. - интенсивность деформаций, при которых в материале появляются пластические деформации;
- предельная деформация; II,. - модуль упрочнения;
<тт =Ъ/Л-8Т .
Будем предполагать, что необходимые для разрешимости поставленной задачи условия
А' /,
г/ЛБ +р(М') х 7(11 = 0
выполнены, а областью Б является прямоугольник
5 = к =1,2.
Обращая (4), имеем
сг.. = afo )S:J (£„ + s22 ) + 2м(е, )s„ (7)
где A(feJ = 3о^ (8)
причем, согласно (5) и (6), справедливы оценки
2 s Це:) \нт, ~~ * ^(е.) * (9)
3 3%
Разностная схема
s Ki)*, + (о"зг)гг + /г/, =
в(''и)хА + (0*Л, (И)
(10)
- я,, К + ®22 ) + 2Ж) ■ ь> (13)
аппроксимирует задачу (1)-(4) на сетке
с первым порядком по /г = тах/г, в пространстве сеточных функций со скалярным произведением
Ц • Ь 2, если М - внутренняя тточка Н = 0.5Ь,-Ь2,еслиМ-граничная тточка 0.25 Ь1 • Ъ2, если М - угловая тточк.
Для численной реализации разностной схемы(10)-(13) используем итерационную разностную схему [1]
= г =1,2 (14)
(15)
Нулевую итерацию = {о^сг^ст,®,} зададим следующим образом. По произвольно выбранному вектору йк = вычислим е1 по фор-
мулам:
[Кк+(%,)*,], 4 - (uih\
(16)
Далее, используя формулы (5)-(8) в каждом внутреннем узле области 5Л определим ст°, а из уравнений (14) - е?..
Для реализации уравнения (15) на границе х1 = 0 необходима информация об а\г, а на х2 =0 об о^ . Доопределим сг® и и\г так, чтобы на рассматриваемых участках они удовлетворяли уравнениям (10), в которых вектор f доопределен на границе произвольным образом. На последующих итерациях процедура продолжения сг" на границу осуществляется аналогичным образом.
Заметим, что в упругой задаче [1] для подобного доопределения дифференциальные уравнения не используются. Необходимые величины там можно получить из закона Гука.
Отличие итерационной разностной схемы (!4)-(15) от соответствующей схемы для упругой задачи [1] состоит в том, что коэффициенты л(е.) и ¡л(е.) не являются постоянными. Однако это никоим образом не сказывается на ее сходимости. Для последнего важно лишь то, что эти коэффициенты, согласно оценок (9), положительны и ограничены.
1. Коновалов А.Н. Итерационные разностные схемы для численного решения задачи теории упругости в напряжениях // Численные методы механики сплошной среды,- Новосибирск, 1975,- Т.6.- №2.
2. Коновалов А.Н. Нестационарная форма уравнений плоской статической задачи теории упругости в напряжениях // Численные методы механики сплошной среды,- Новосибирск, 1974,- Т.5,- №5.
3. Малинии H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести. - М.; Машиностроение, 1975.
ЛИТЕРАТУРА
