CC BY
35
СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ЗДАНИЯ И СООРУЖЕНИЯ
УДК 539.3
БАРАШКОВ ВЛАДИМИР НИКОЛАЕВИЧ, докт. физ.-мат. наук,
ст. научный сотрудник, профессор,
v.n.bar.@mail.ru
Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2
РАСЧЕТ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТОЛСТЫХ ПЛИТ ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ ПРИ ДЕЙСТВИИ РАЗНОНАПРАВЛЕННЫХ ВНЕШНИХ НАГРУЗОК
Задачи расчёта напряжённо-деформированного состояния толстых круглых плит встречаются при анализе элементов различных конструкций, используемых при строительстве и проектировании: сплошных монолитных фундаментов, сосудов давления, штампов и др. В работе изложена методика расчёта квазистатического напряжённо-деформированного состояния круглой толстой плиты при действии осесимметричной внешней нагрузки. Решение проводится вариационно-разностным методом, представляющим собой реализацию вариационного принципа Лагранжа с использованием метода конечных разностей. Геометрические соотношения берутся в форме уравнений Ко-ши, физические соотношения принимаются нелинейными и описываются деформационной теорией пластичности Ильюшина.
Ключевые слова: теория упругости и пластичности; толстая плита; перемещения; деформации; напряжения; вариационный принцип Лагранжа; дискретизация; решение системы линейных алгебраических уравнений.
VLADIMIR N. BARASHKOV, DSc, Professor, v.n.bar@mail.ru
Tomsk State University of Architecture and Building, 2, Solyanaya Sq., 634003, Tomsk, Russia
STRESS-STRAIN STATE ANALYSIS OF THICK PLATES UNDER MULTIDIRECTIONAL EXTERNAL LOADS USING VARIABLE DIFFERENTIAL METHOD
The paper presents the stress-strain analysis of thick circular plates used in the design and construction of solid monolithic foundations, pressure vessels, press-tools and others. The methodology of calculation of quasi-static stress-strain state is suggested in this paper for
© Барашков В.Н., 2016
a circular plate under the axial external loading. The applied variable differential method is the implementation of Lagrange principle using the finite-difference method. Geometric relations are taken in the form of Cauchy equations, and physical relations are accepted to be nonlinear and described by Ilyushin deformation theory of plasticity.
Keywords: theory of elasticity and plasticity; thick plate; displacement; strain; stress; Lagrange principle; quantification; linear algebraic equations.
Задачи определения напряжённо-деформированного состояния (НДС) толстых круглых плит, которые решаются с позиций теории упругости, рассматривались в работах А.И. Лурье, В.З. Власова, А.С. Вольмира, А.П. Филина и других с использованием различных упрощающих предположений. При этом отмечается, что при реализации задачи теории упругости удовлетворение условий на поверхности является обязательным этапом решения и представляет собой сложную проблему.
Настоящая работа посвящена анализу квазистатического осесиммет-ричного НДС толстой круглой изотропной плиты, нагруженной системой поверхностных нагрузок, приложенных на обеих её поверхностях и отличающихся по величине между собой в несколько раз. На конструкцию также действуют массовые силы большой интенсивности. Такая комбинация внешних нагрузок усложняет выполнение статических граничных условий, поэтому в работе достаточно подробно рассматриваются вопросы, посвященные достоверности полученных результатов.
Вариационно-разностный метод решения осесимметричной задачи теории упругости и пластичности
Для решения задачи теории упругости используется математическая формулировка вариационного принципа Лагранжа
5Э = 0, (1)
где Э - квадратичный функционал полной потенциальной энергии системы «тело - нагрузка», который может быть записан для любой конструкции. Следствием этого является широкое использование этого принципа при решении прикладных задач механики деформируемого твердого тела. Из (1) следуют уравнения равновесия и граничные условия в напряжениях на поверхности тела. Принцип Лагранжа является экстремальным, т. е. для действительного НДС функционал полной потенциальной энергии системы достигает минимума по сравнению с другими возможными состояниями упругого тела. Поэтому возможна следующая формулировка принципа Лагранжа: «...из всех возможных напряженных состояний упругого тела, для которых выполнены граничные условия в перемещениях, а деформации и перемещения связаны геометрическими уравнениями теории упругости, истинным является то, при котором полная потенциальная энергия системы получает минимальное значение» [1].
Таким образом, уравнения равновесия и статические граничные условия служат уравнениями Эйлера для функционала энергии Э. Поэтому при решении задачи теории упругости и пластичности в вариационной постановке (1) нет необходимости заранее удовлетворять граничным условиям в напряжени-
ях. Вариационный принцип Лагранжа является средством получения уравнений равновесия и граничных условий в том случае, когда традиционный способ их вывода не может быть применен. Обладая описанными достоинствами, вариационный принцип Лагранжа явился теоретической основой для создания метода Ритца и вариационно-разностного метода.
Для решения задачи определения упругопластического НДС используется деформационная теория пластичности А.А. Ильюшина [2], в которой зависимость между интенсивностями напряжений aj и деформаций гi представляется формулой
а. = ЪGгг [1 — «(Е.)], (2)
где ю(Ег) - так называемая функция пластичности.
Для определения значений функции пластичности ниже используется аппроксимации зависимости (2) моделью упругопластического тела с линейным упрочнением (двузвенной ломаной линией) (рис. 1)
ю = 0, Е, < Ет
ю = X
( Е ^ 1 — гх.
V Ег /
"* Т'
> Ег > Ет,
где X — так называемое разупрочнение, которое определяется из выражения
Е
X = 1 — — (для идеально упругопластического материала X = 1); ет — деформа-
ЗО
ция начала текучести; Е1 — модуль упрочнения, характеризующий тангенс угла наклона к оси е. участка прямой зависимости сг (е. ) за пределом упругости.
Для решения упругопластической задачи используется метод упругих решений, при помощи которого нелинейная задача минимизации неквадратичного функционала полной потенциальной энергии системы сводится к последовательности линейных задач минимизации квадратичных функционалов. Задача решается в перемещениях.
Функционал энергии Э определяется соотношением
Э = и — А — А2, (3)
где и - потенциальная энергия деформации тела; А1, А2 - работа объёмных сил и поверхностных нагрузок на вызванных ими перемещениях.
Один из вариантов представления функционала полной потенциальной энергии системы упругопластической задачи через компоненты вектора перемещений в цилиндрических координатах г, 0, г имеет вид
Э = 3п11{3^2 +G[1 -а(е1 )]8г2} г dг dz —
00 (4)
RL у '
2п11 + ZVw)гdгdz -2пф (RSu + ZSw) гds
5,
а
Е
где G — модуль сдвига материала конструкции; К =-- модуль объёмной
3(1 — 2у)
деформации; a(sj) — функция пластичности, известная из решения на предыду-
„ 8 г +8 0 +8 г
щей итерации; 80 = —-2-- — средняя деформация в точке; 8i = — х
3 3
2 2 2 3 2 У2-
(8г —£0) +(£0—8г) +(8 —8г)
ди +Гд^|2 +(и У ди ^ и диЫ дг) ) ^г) дг дг г дг дгг
+\{ди +^2-
2\дг дг)
, ди ,
интенсивность деформаций в точке; 8г = — — радиальная деформация;
дг
и , д^ , ди дw
80 = — — окружная деформация; 8 г = — — осевая деформация; у гг = — + — —
г дг дг дг
угловая деформация в координатной плоскости гг ; £ст — поверхность тела, на которой задана поверхностная нагрузка; RV, ZV — проекции объёмных сил на оси координат г, г; RS, ZS— проекции поверхностных нагрузок на оси координат г, г.
Решение задачи состоит в нахождении поля перемещений и (г, г), w(г, г), доставляющих минимум функционалу полной потенциальной энергии системы (4).
Одним из методов, реализующих вариационную задачу (1), является вариационно-разностный метод (ВРМ). Применительно к решению осесим-метричных и плоских задач теории упругости ВРМ был разработан Д.С. Гриффином и Р.Б. Келлогом [3]. Идея вариационно-разностного метода состоит в замене вариационной задачи (1) относительно непрерывных функций перемещений вариационной задачей для дискретных значений этих функций в узлах сеточной области. Конечно-разностная сетка покрывает всю расчётную область, представляющую собой в силу осевой симметрии половину осевого сечения конструкции. Сетка наносится таким образом, чтобы в пределах одной ячейки физико-механические характеристики материалов не терпели разрывов. Исходный функционал дискретизируется: входящие в выражение полной энергии (4) производные от перемещений заме-
2
няются конечно-разностными соотношениями, а интегралы по объёму и поверхности - суммами. В результате задача об отыскании минимума функционала полной энергии Э, являющейся квадратичной функцией относительно деформаций и перемещений, сводится к отысканию минимума функции многих переменных, определённых в узлах конечно-разностной сетки. Необходимые для решения задачи размеры конечно-разностной сетки определяются известным в численных методах способом: до получения на различных сетках одинаковых результатов с заранее заданной точностью. При этом традиционно применяются треугольные и четырёхугольные ячейки. В статье дискретизация расчётной области в двумерной задаче проводится с помощью четырёхугольных ячеек (рис. 2).
Рис. 2. Шаблон для случая дискретизации расчётной области четырёхугольными ячейками
Значения производных от искомых функций перемещений и, м в четырёхугольной ячейке с номером j представляются конечно-разностными соотношениями [4], которые на случай осесимметричного деформирования тела вращения приводятся к виду
ди дг
Е (и+1 + и )(Ъ +1 " Ъ )
г =1
Е(ъ+1 + Ъ )(Г+1 - Г)
Е (иг+1 + и )(Г+1 - Г )
г=1
Е (Ъг+1 + Zi )(Г+1 - Г )
Аналогично записываются выражения для производных (дм/дг) , (дм/дъ) . Величина, стоящая в знаменателе, представляет собой
удвоенную площадь F]- ячейки с номером j . Преобразуя эти формулы, приходим к простым выражениям для аппроксимации производных в ячейке: ди Л (и2 -и4)(21 - ъ3) + (и1 -и3)(- ъ2)
дг
г=1
г=1
ди Л (и2 - и4)(гз - Г;) + (и; - из)(г2 - г4)
&) ] ^
ды Л - ^4 )(^ - Zз) + (^ - ^3 )(Z4 - Z2 )
дг)] Г (5)
д^ Л ^ (^2 - ^4)(Гз - Г ) + (м>! - ^з)(Г2 - Г4)
дz )]
Fj = (Гз - - Z4) + (г - О^! - Zз).
Приближенное конечно-разностное выражение полной потенциальной энергии системы получается суммированием величин энергий Э- всех J
ячеек в предположении, что вследствие малости ячеек в пределах каждой из них функции перемещений и их производные остаются постоянными:
Э[и(г, г), w(г, г)] « Э(ии, ^) = зп£{зК; (е2); +G] [1 - ); ](8г2); }г; Г -
1=1 2
J Г к
-2п£ (Вуи] + Zv]w] У] "2 -2п£ (%ик + Zskw] >к ^к , (6)
1=1 2 к=1
где Kj,Gj,ш(si)],(е0)-,(si). - соответствующие характеристики и параметры в ячейке с номером ]; и ■, V ■, г ■ - средние арифметические значения соответствующих величин в ячейке, которые определяются по формулам типа и ■ = (и1 + и2 + из + и4) / 4 ; и1, и2, из, и4 - радиальные перемещения узлов 1, 2,
3, 4 в ячейке с номером ] (нумерация узлов ячейки показана на рис. з, а); Г: /2- площадь ячейки с номером ]; Яу , Ху. - соответствующие проекции
объёмных сил, приложенных к ячейке; , ^^ - соответствующие проекции поверхностных нагрузок, приложенных к к -му участку контура Ask ячейки, Ask =^(г1 -г2)2 + (г1 -г2)2 (рис. з, б); гк - средний радиус участка контура Ask ячейки, гк = (г1 + г2)/2; ик, wk - средние перемещения участка контура
Ак , ик = (и1+ и2)12, Wk = К+ ^2 .
Через ит, V обозначены радиальные и осевые перемещения узлов сетки (т = т1, т1 +1, т1 + 2,...,М; р = р1, р1 +1, р1 + 2,..., Р); М - т1, Р - р1-соответственно количество искомых перемещений и, ^ , которое определяется типом геометрических граничных условий, задаваемых на контуре тела.
Использование аппроксимаций (5) позволяет получить выражения (е0) -
и (е2)- для ] -й ячейки, которые присутствуют в формуле для энергии (6).
Таким образом, задача отыскания минимума функционала полной потенциальной энергии системы (4) сводится к отысканию минимума функции многих переменных (6), отнесённых к узлам конечно-разностной сетки.
г,м>
к+1 б /
о
о
г, и
г, и
п Гг
Рис. 3. Нумерация узлов /-й ячейки (а); к вычислению работы поверхностных нагрузок на контуре области (б)
Следует подчеркнуть достоинства вариационно-разностного метода, основанного на вариационном принципе Лагранжа:
- простота математической формулировки задачи;
- ясный физический смысл используемого функционала;
- автоматическое выполнение уравнений равновесия и статических граничных условий;
- возможность использования метода для расчёта тел сложной формы, в том числе неоднородных по физико-механическим характеристикам материалов;
- сводимость проблемы к решению системы линейных алгебраических уравнений, для реализации которой существует достаточно надежный математический аппарат линейной алгебры;
- возможность поэтапного контроля точности выкладок и промежуточных результатов [5].
В работе С.М. Сквиренко [6] приводится схема алгоритма решения вариационной задачи:
Наличие или отсутствие в схеме последнего звена определяет два пути реализации минимума функции многих переменных: соответственно использование необходимого условия экстремума полной потенциальной энергии системы, приводящего к системе линейных алгебраических уравнений, или прямая минимизация. В работе используется первый путь реализации минимума функции многих переменных.
После дискретизации вариационной задачи и получения выражения сеточного аналога функционала энергии использование необходимого условия экстремума
ПРЕДМЕТНАЯ ПОСТАНОВКА - РАСЧЕТНАЯ СХЕМА - КОНТИНУАЛЬНАЯ ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА -- ДИСКРЕТНАЯ ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА -- АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.
5 Э(Мт , ) = 0 5 Э(ит , ) = о
диш ' 5
(т = т1, т1 +1,...,М; р = р1, р1 +1,...,Р) сводит задачу минимизации функции многих переменных Э(ит, wp) к решению системы п линейных алгебраических уравнений относительно п = (М - т1) + (Р - р1) искомых компонент вектора перемещений узлов конечно-разностной сетки
= Ь , / = 1,2, ..., п. (7)
]=1
Здесь а - элементы матрицы коэффициентов {А} СЛАУ; /}- - проекции вектора перемещений ит, wp на оси координат; Ь ^ - свободные члены, включающие в себя статические и геометрические граничные условия. Необходимо отметить, что в задачах механики деформируемого твёрдого тела матрица коэффициентов {А}, к которой приводит ВРМ, симметрична, положительно определена и имеет ленточную структуру [7, 8], что улучшает сходимость и значительно сокращает объём необходимой памяти при реализации СЛАУ на ЭВМ, что очень важно для практических приложений.
В работе полученная система линейных алгебраических уравнений (7) решается итерационным методом Гаусса - Зейделя. Алгоритм этого метода, сходимость которого доказана на основе общей теории разностных схем [9], в предположении, что диагональные элементы матрицы отличны от нуля (а и Ф 0), записывается в следующем виде:
I ач/?+1 + I ау]) = Ь , ]=1 ]=+1
где ]) - ] -я компонента вектора решения итерационного приближения с номером к.
Величина перемещения на (к +1) -й итерации определяется из уравнения
ап/г (к+1) =-1 ау/(к+1) -I ау]) + Ь,.
]=1 ]=+1
Из последнего соотношения видно, что метод Гаусса - Зейделя относится к так называемым неявным двухслойным итерационным методам.
О сходимости метода итераций П.М. Сосис в работе [8] пишет: «... Было доказано, что существуют универсальные итерационные алгоритмы, обладающие неизбежной сходимостью. Например, процесс Зейделя обладает неизбежной сходимостью для симметричных положительно определенных матриц, а этим свойством обладают матрицы методов сил и деформаций (при правильной постановке задачи). Однако необходимо ещё, чтобы в системе было диагональное преобладание (т. е. главные коэффициенты больше побоч-
ных). В противном случае процесс будет сходиться настолько медленно, что решение трудно будет получить».
В качестве критерия окончания итерационного процесса решения СЛАУ используется условие равенства с заранее заданной погрешностью в вычисления искомых величин перемещений в двух последовательных итерациях. О близости к истинному решению также можно судить по степени выполнения теоремы Клапейрона (при использовании прямых методов решения СЛАУ теорема Клапейрона выполняется точно), согласно которой в состоянии равновесия
и = ( А1 + А2)/2, (8)
или соотношения, получаемого подстановкой (8) в выражение для функционала энергии
Э = и - А - А2 = и - 2и = -и.
(9)
Следует отметить, что выражение (9) позволяет в процессе отладки программы и счёта задачи контролировать правильность процесса вычислений и выбранного направления движения к минимуму функции энергии [10].
Изложенный алгоритм неоднократно был протестирован на многочисленных примерах решения упругих и упругопластических задач, а также сравнением с экспериментом. С помощью созданного варианта ВРМ был решён ряд статических и квазистатических упругопластических задач для существенно неоднородных тел вращения в дву-и трёхмерной постановках.
Численные результаты
Рассматривается толстая круглая плита, нагруженная системой поверхностных нагрузок с интенсивностями q1, , д3 и объёмной силой с коэффициентом перегрузки N (рис. 4).
Рис. 4. Расчётная схема толстой плиты
Расчёт НДС проводится вариационно-разностным методом для значений нагрузок: q1 = 725 МПа, q2 = 140 МПа, q3 = 350 МПа, N = 2000. Геометрические размеры плиты следующие: г1 = 3,6 см, г2 = 4,3 см, толщина ОН = 2,4 см. Физико-механические характеристики материала - модуль упругости Е = 2,02 1 05 МПа; коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) V = 0,3; деформация начала текучести вт = 0,0035; плотность р = 7800 кг/м3.
При расчёте осесимметрично нагруженных тел вращения окружные перемещения V , угловые деформации уге, у& и касательные напряжения тг6, тег равны нулю. В то же время радиальные и и осевые w перемещения, линейные вг ве,вг и угловые у^ деформации, нормальные аг ае,аг и касательные тГ2 напряжения являются функциями координат г, 2 и не зависят от полярного угла е.
Решение исходной динамической задачи в квазистатической постановке (пренебрегающей инерционными членами в уравнениях движения во всех или некоторых направлениях) возможно благодаря введению в расчётную схему нагружения массовых сил, являющихся следствием использования связанной с плитой неинерциальной системы цилиндрических координат г, е, 2 . Согласно
принципу Даламбера, «... всякое тело, движущееся с ускорением, можно рассматривать как неподвижное, добавив к реально действующим силам фиктивные силы инерции» [11]. Возникающие осевые силы инерции равняются произведению ускорения конструкции в данный момент времени на его массу. Для работы с появляющимися массовыми силами вводится понятие коэффициента перегрузки (или просто перегрузки N), который определяется отношением ускорения тела а в данный момент к ускорению силы тяжести g : N = а / g .
Согласно расчётной схеме плиты (рис. 4), в выражении полной энергии (4) отсутствуют нагрузки, которые проецируются на ось г : RV = SV = 0. Объёмная сила ZV = yN = pgN, где у - удельный вес материала плиты. При решении реализуются следующие статические и геометрические граничные условия:
- жёсткая стенка: г = г2 : и (г2,г) = 0, хГ2 (г2, г) = 0;
- условия симметрии: г = 0: и (0, г) = 0, хГ2 (0, г) = 0;
- угловая точка: г = г2, 2 = 0, w(r, г) = 0.
Расчёты проводились для относительной погрешности вычисления перемещений в = 0,001.
Зависимости осевого перемещения плиты w от радиуса г представлены на рис. 5. Кривые 1, 2, 3, 4 соответствуют перемещениям узлов сетки для значений осевой координаты г, соответственно равной 0, 0,96; 1,92 и 2,40 см. Из рисунка видно, что большая часть плиты прогибается в направлении оси 0г. Лишь у внешнего края г = г2, где действует давление q1, значительно превосходящее по величине q3, точки плиты получают отрицательные осевые перемещения w тем больше, чем ближе они расположены к верхней поверхности
г = Н . Таким образом, представленные на рис. 5 результаты также демонстрируют характер изменения осевых перемещений по толщине плиты.
6 ИМ03,см
О 0,625 1/250 1,875 2,500 3,125 3,750 4,300
Рис. 5. Осевые перемещения круглой плиты
Распределение напряжений аг ае,аг, тгг в средней по толщине части плиты в зависимости от радиуса г показано на рис. 6. Все напряжения, как это видно из рисунка, являются сжимающими. При этом напряжение аг значительно превосходит по величине остальные напряжения. Это особенно заметно в той части плиты, где приложено давление q1 . Вычисления интенсивности деформаций si показали, что для заданной системы нагрузок и материала плиты деформации не превышают деформацию начала текучести вт и зон упругопластических деформаций не наблюдается.
В табл. 1 представлены радиальные м1, и2 и осевые w3, w4, w5 перемещения характерных узлов плиты с номерами 1, 2, 3, 4, 5 для двух вариантов размера конечно-разностной сетки: (11^6), (21^11). Первое число в скобках обозначает количество узлов по координате г, второе - по координате г. Эти узлы имеют следующие координаты (г, г) : 1 - (г2 / 2, 0); 2 - (г2 / 2, Н); 3 - (0, 0); 4 - (0, Н); 5 - (г2, Н). В нижней строке табл. 1 помещена величина погрешности 5 вычисления перемещений на двух сетках, которая не превышает 4 %.
Для контроля правильности и точности расчётов используется теорема Клапейрона, выражаемая соотношением (8). Составляющие полной потенциальной энергии, соответствующие её минимальному значению, полученному на сетке (11 х 6), равны: и = 459,146 Дж, А1 = -5,557 Дж, А2 = 923,942 Дж.
Относительная погрешность выполнения соотношения (8) не превышает 0,01 %, что говорит о высокой точности полученного решения даже на достаточно грубой сетке.
ах103, МПа
<7; (111 V/, а- /
0 \ 1 г2 г
ъ С7П
аг и
Г, см
о 0,625 1,250 1,875 2,500 3,125 3,750 4,300
Рис. 6. Зависимость напряжений средней по толщине части плиты от координаты г
Таблица 1
Зависимость величин перемещений плиты от размеров конечно-разностной сетки
Сетка Перемещения, см
и1 и2 ^3
(11x6) -0,00161 -0,00129 0,00563 0,00369 —0,00483
(21x11) -0,00154 -0,00130 0,00557 0,00360 —0,00499
5 4 % 1 % 1 % 2,5 % 3,5 %
Точность получаемого решения также следует проверять и по степени выполнения статических граничных условий, которые исходя из метода решения задачи удовлетворяются автоматически при минимизации функционала энергии. Степень удовлетворения граничных условий в напряжениях полностью зависит от степени дискретизации функционала энергии, т. е. от выбора параметров конечно-разностной сетки и аппроксимирующих выражений для производных.
В табл. 2 представлены результаты проверки выполнения статических граничных условий на верхней 2 = Н и нижней 2 = 0 поверхностях плиты, на которых действуют поверхностные нагрузки с интенсивностями q1, q2, q3 . Числа, стоящие в столбцах, обозначают несовпадение полученных величин осевых напряжений а2 с заданными величинами нагрузок q1, q2, q3 в процентах.
Таблица 2
Погрешность выполнения статических граничных условий от размеров конечно-разностной сетки
Сетка q1 q2 q3
(11x6) 7,0 % 7,0 % 2,0 %
(21x11) 4,0 % 2,3 % 0,7 %
Из данных таблицы видно, что на верхней поверхности плиты имеет место большее несовпадение напряжений az с заданными нагрузками q1 и q2, чем на нижней поверхности, на которой задана нагрузка q3 . Этот факт можно объяснить ступенчатым характером изменения внешнего давления на поверхности z = H и значительной разницей между величинами интенсивностей q1 и q2. Не следует также забывать, что напряжения вычисляются средними для ячеек и величины их обязательно будут отличаться от соответствующих величин интенсивности внешних поверхностных нагрузок, приложенных на контуре ячеек. Использование для расчёта сетки с вчетверо меньшей площадью ячеек (вторая строка табл. 2) значительно уменьшает величину погрешности выполнения статических граничных условий.
Таким образом, задача определения осесимметричного напряжённо-деформированного состояния тела вращения, сформулированная как проблема поиска экстремума функционала Лагранжа, с использованием конечно-разностных представлений сведена к задаче минимизации функции большого числа переменных, являющихся компонентами вектора перемещений в узлах конечно-разностной сетки. При дискретизации функционала полной потенциальной энергии системы в двумерном случае используются аппроксимации производных через контурные интегралы.
Получены результаты расчёта осесимметричного НДС круглой толстой плиты, нагруженной системой массовых сил большой интенсивности и поверхностными нагрузками. Последние распределены вдоль радиуса в виде кусочно-постоянной функции, при этом уровни нагрузок на разных участках по величине отличаются между собой в несколько раз. В этом случае проблема выполнения статических граничных условий на верхней и нижней поверхностях плиты является особенно сложной. Приведены результаты, показывающие, что эта проблема успешно решена, что говорит в пользу достоверности полученных результатов определения НДС конструкции.
Следует отметить, что в ходе решения задачи проверялось выполнение теоремы Клапейрона. Низкий уровень погрешности при проверке этой теоремы позволяет утверждать, что задача решается с высокой точностью и также подтверждает достоверность полученных результатов.
Библиографический список
1. Колтунов, М.А. Упругость и прочность цилиндрических тел / М.А. Колтунов, Ю.Н. Васильев, В.А. Черных. - М. : Высшая школа, 1975. - 528 с.
2. Ильюшин, А.А. Пластичность / А.А. Ильюшин. - М.; Л. : ОГИЗ, 1948. - 376 с.
3. Гриффин, Д.С. Численное решение осесимметричных и плоских задач упругости / Д.С. Гриффин, Р.Б. Келлог // Механика : сб. переводов иностр. статей. - М. : Мир, 1968. - № 2 (108). - С. 111-125.
4. Нох, В.Ф. СЭЛ - совместный эйлерово-лагранжев метод для расчета нестационарных двумерных задач / В.Ф. Нох // Вычислительные методы в гидродинамике : сб. статей. -М. : Мир, 1967. - С. 128-184.
5. Барашков, В.Н. Алгоритм реализации задачи теории упругости и пластичности вариационно-разностным методом. Ч. I / В.Н. Барашков // Известия Томского политехнического университета. - 2003. - Т. 306. - № 3. - С. 23-28.
6. Сквиренко, С.М. Об одной численной реализации вариационных принципов в теории упругости / С.М. Сквиренко // Вопросы проектирования и расчета самолетов : сб. трудов. - Ташкент : Изд-во Таш. ПИ, 1977. - Вып. 205. - С. 3-8.
7. Кармишин, А.В. Вариационный метод получения конечно-разностных уравнений орто-тропных пластин / А.В. Кармишин, В.И. Мяченков, А.А. Репин // Некоторые вопросы прочности конструкций. - ГОНТИ, 1967. - Вып. 3. - С. 63-71.
8. Сосис, П.М. Статически неопределимые системы / П.М. Сосис. - Киев : Будiвельник, 1968. - 311 с.
9. Самарский, А.А. Теория разностных схем / А.А. Самарский. - М. : Наука, 1977. - 656 с.
10. Барашков, В.Н. Моделирование пространственного напряженно-деформированного состояния балки-стенки / В.Н. Барашков, А.А. Матвеенко // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. - 2010. - № 3. - С. 92-104.
11. Бояршинов, С.В. Основы строительной механики машин / С.В. Бояршинов - М. : Машиностроение, 1973. - 456 с.
References
1. Koltunov M.A., Vasiliev Y.N., Chernykh V.A. Uprugost' i prochnost' tsilindricheskikh tel [The resilience and strength of cylindrical body]. Moscow : Vysshaya Shkola Publ., 1975. 528 p. (rus)
2. Ilyushin A.A. Plastichnost' [Plasticity]. Leningrad : OGIZ Publ., 1948. 376 p. (rus)
3. Griffin D.S., Kellogg R.B. Numerical solution of axisymmetric and plane problems of elasticity. In: Mekhanika [Periodic collection of translations of foreign articles]. Moscow : Mir Publ., 1968. No. 2 (108). Pp. 111-125. (transl. from Engl.)
4. Noh V.F. SEL - simultaneous Euler-Lagrangian method for calculation of nonstationary two-dimensional problems. Computational methods in fluid dynamics: Sat. articles. Moscow : Mir Publ., 1967. Pp. 128-184. (transl. from Engl.)
5. Barashkov V.N. Algoritm realizatsii zadachi teorii uprugosti i plastichnosti variatsionno-raznostnym metodom. Ch. I [The algorithm of task implemenetation of the theory of elasticity and plasticity using variable differential method. Part I]. Bulletin of the Tomsk Polytechnic University. 2003. V. 306. No. 3. Pp. 23-28. (rus)
6. Skvirenko S.M. Ob odnoi chislennoi realizatsii variatsionnykh printsipov v teorii uprugosti [Numerical implementation of variable principles in the theory of elasticity]. Coll. Papers 'Problems of Airplane Design'. Tashkent: Tash. PI Publ., 1977. V. 205. Pp. 3-8. (rus)
7. Karmishin A.V., Myachenkov V.I., Repin A.A. Variatsionnyi metod polucheniya konechno-raznostnykh uravnenii ortotropnykh plastin [Variable method of finite difference equations of op-orthotropic plates]. Nekotorye voprosy prochnosti konstruktsii. GONTI Publ., 1967. V. 3. Pp. 63-71. (rus)
8. Sosis P.M. Staticheski neopredelimye sistemy [Statically indeterminate systems]. Kiev : Budivelnik, 1968. 311 p. (rus)
9. Samarskiy A.A. Teoriya raznostnykh skhem [The theory of differential schemes]. Moscow : Nauka Publ., 1977. 656 p. (rus)
10. Barashkov V.N., Matveenko A.A. Modelirovanie prostranstvennogo napryazhenno-deformiro-vannogo sostoyaniya balki-stenki [Modeling the spatial stress-strain state of the beam-wall]. Vestnik TSUAB. 2010. No. 3. Pp. 92-104. (rus)
11. Boyarshinov S.V. Osnovy stroitel'noi mekhaniki mashin [Fundamentals of structural mechanics of machines]. Moscow : Mashinostroenie Publ., 1973. 456 p. (rus)
