CC BY
6Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 35
www.mai.ru/science/trudv/
УДК 539.12
Разница между спином и орбитальным моментом импульса
Р. И. Храпко
Аннотация
Представлены доводы против общепринятого мнения, согласно которому, спин электромагнитных волн является моментом линейного импульса. Приведен тензор спина, описывающий спин фотонов в рамках классической электродинамики.
Ключевые слова
параксиальный луч; излучение диполя; излучение спина.
1. Момент импульса светового луча
Луч света круговой поляризации несет момент импульса (МИ) [1,2]. Однако существует волнующий вопрос: каково распределение этого МИ по сечению луча и какова природа этого МИ, орбитальная или спиновая? Мы рассмотрим здесь два важных примера, дающих ответ на этот вопрос. Ответ заключается в следующем. Момент линейного импульса является орбитальным МИ, а не спиновым. Для учета спина необходимо введение тензора спина в стандартную электродинамику.
Параксиальный Лагерр-Гауссовый луч круговой поляризации [3], ЬО,, в
цилиндрических координатах р,ф, 2 с метрикой й/2 = йр2 + р2йф2 + йх2, именно, ЕЕ = ехр{-(/ + 1)ф + ш(2 -1)}(ш р+ -ш рф+11 др)и'р (р, £), В = -IЕЕ,
с!
иР =
'р/2^1„ Г
V * У
П,
2р
2
V *
2-2 Г \ ехр^ - + -Щ---1(2 р + / + 1)агйап
* * 2я У
.(1)
(р,ф,2 являются ковариантными векторами, к = ш, с = 1) представляет собой собственную ^ ^ ^
функцию орбитального, а не спинового, оператора МИ — гЬдф с собственным числом Й(/ +1). Это означает, что и круговая поляризация, и спиральный волновой фронт,
соответствующий числу l, несут только орбитальный МИ, не спин, в соответствии с современной теорией поля.
2. Излучение вращающегося диполя
Мы рассмотрим теперь точное волновое, не параксиальное, решение уравнений Максвелла, решение для излучения вращающегося электрического диполя [4-6]. Будут использоваться сферические координаты r, в, <р:
Er = (2/r3 - i 2ra / r2) sin в exp[i< + ira(r - Г)]/4л, (2)
Eв = (-1/r4 + ira/r3 + ra2/r2)cosв exp[i< + ira(r -Г)]/4л, (3)
E < = (-i / r4-ra / r3 + ira2/ r 2)exp[i< + ira(r -Г)]/(4л sin в), (4)
Bre = (ira/r + ra2)cosв exp[i< + ira(r -¿)]/4л, (5)
B<r = (ra/r -ira2)sinв exp[i< + ira(r -¿)]/4л, Вв< = 0. (6)
Угловое распределение потока энергии, dP/dQ=< (Eх B)rr2>= ra4(cos2 в + 1)/(32л2), и угловое распределение z -компоненты потока МИ, т.е. момента силы,
dLz /dtdQ = dxz /dQ =< [r х (E х B)]zr2>= ra3 sin2 в/(16л2), (7)
изображены на рисунке. Полная мощность и полный момент силы равны P = ra4/6^ и xz = ra3 /6л . На рисунке мы приводим также распределение степени круговой поляризации а этого излучения [4], которая приблизительно равна отношению длин осей эллипса: а = cos в.
с различных направлении
Видно, что МИ (7) излучается в основном в экваториальную часть пространства, расположенную вблизи х - у -плоскости, где поляризация эллиптическая или линейная. Полярные области, расположенные вблизи оси z, обеднены МИ (7), хотя они интенсивно
освещаются излучением почти круговой поляризации. Поэтому, если мы ассоциируем спин электромагнитного излучения с круговой поляризацией, мы должны признать, что МИ (7) является орбитальным МИ, а не спиновым.
Следует также заметить, что поля (2) - (6) являются собственными функциями оператора орбитального МИ, - Шд (не оператора спина) с собственным значением Н . Это
также подтверждает орбитальный характер МИ (7).
Таким образом, видимо, стандартная электродинамика не замечает спин электромагнитного излучения (1) - (6), и, следовательно, нуждается в дополнении
3. Классический спин электромагнетизма
Классическая теория поля указывает путь для такого дополнения. Как хорошо известно, стандартный лагранжевый формализм дает два бездивергентных тензора для свободных полей, именно, канонический тензор энергии-импульса и канонический тензор спина [7]:
д1 д1
Т а ——--еI у ^=-2 А[,5Ц]——--(8)
"д(дц Аа) * ' ад(д, Аа )• ^
К сожалению, стандартная процедура Белинфанте-Розенфельда [8,9], проводимая с целью исправления канонических тензоров, не приводит к тензору энергии-импульса электродинамики и, что хуже всего, элиминирует тензор спина электродинамики [10,11]. Мы применили альтернативную процедуру [12-14], которая дает непосредственно максвелловский тензор энергии-импульса, сопровождаемый тензором спина электродинамики [15]
у^ = А[Хд^ Ац] +П (9)
Здесь А и П суть магнитный и электрический векторные потенциалы, удовлетворяющие соотношениям д,Ах = = 0, 2д[цАу] = ^, 2д[,П,] = -е^ар/2, где ^ар =ра,
^^ = Ресть тензор электромагнитного поля; ецгар есть антисимметричная
тензорная плотность Леви-Чивита.
Тензор (9) дает правильное угловое распределение 2 -компоненты потока спина в излучении вращающегося диполя [5,6]:
/ЛЙЮ = Ш3со82 0/(16л2). (10)
При этом общий поток 2 -компоненты спина, /Л = ш3/(12л), оказывается равен половине величины Р / а>, что представляется оправданным, поскольку фотоны не летят все
вдоль оси ъ. Важно, что отношение плотности потока спина к плотности мощности при 9 = 0 равно правильному значению 1/ ш , характерному для одиночного фотона
dSz
dPdt
_ ю3 cos2 9/(16л2) е=0 _ ю4 (cos2 9 + 1)/(32л2)
Ю (ii)
ю
е_о
Вообразите, наш вращающийся диполь окружен поглощающей сферой. Тогда различные фотоны приносят различные МИ на эту сферу. Сложение выражений (7) и (10) позволяет найти отношение плотности потока полного МИ вдоль оси z к плотности мощности
dJz _ dL ^ + dSz _ 2
dtdP dtdP ю(^2 9 +1). (
Выражение (12) означает, что, если волновая функция фотона коллапсирует на полюсе сферы (9 _ 0), полюс получает спин, равный h, а если волновая функция коллапсирует на экваторе, (9 _ л /2), точка сферы получает орбитальный МИ, поскольку фотон линейно поляризован. И этот орбитальный МИ равен 2h. В среднем фотон приносит момент импульса, равный 3h /2.
Между прочим, формула (10) совпадает с результатом простого вычисления плотности потока спина Р. Фейнманом [16]. Действительно, амплитуды того, что право поляризованный и лево поляризованный фотоны излучаются в направлении 9, суть [16 (18.1), (18.2)]
a(1 + cos9)/2 и - a(1 - cos9)/2. (13)
Значит, в этом направлении плотность потока спина пропорциональна выражению
[a(1 + cos9)/2]2 - [a(1 - cos9)/2]2 _ a2 cos9, (14) и его проекция на ось z оказывается равной
dSz / dtdQrc a2 cos2 9 . (15)
В то же время, выражения (13) дают правильную плотность мощности dP / dfix [a(1 + cos 9)/2]2 + [a(1 - cos 9)/2]2 _ a 2(1 + cos2 9)/2. (16) Значит, игнорируя частоту излучения, мы получаем отношение (11) dS cos2 9
dPdt (cos2 9 +1)/2
4. Благодарности
Я глубоко благодарен профессору Роберту Ромеру за отважную публикацию моего
вопроса [17] (вопрос был направлен в редакцию 07.10.1999) и профессору Тимо Ниеминену
за содержательные дискуссии (Newsgroups: sci.physics.electromag).
Библиографический список
1. Beth R.A. Direct Detection of the Angular Momentum of Light. //Phys. Rev. - 1935, 48.- p.471
2. Parkin S., Knoner G., Nieminen T. A., Measurement of the total optical angular momentum transfer in optical tweezers // Optics Express. - 2006, 14.- p.6963
3. Allen L., Padgett M.J., M. Babiker M, The orbital angular momentum of light // Progress in Optics XXXIX, E. Wolf, ed. (Elsevier, Amsterdam, 1999)
4. Corney A. Atomic and Laser Spectroscopy. - Oxford: University Press, 1977.- 567p.
5. Khrapko R.I., Radiation of spin by a rotator. - mp_arc@mail.ma.utexas.edu REQUEST: send papers NUMBER: 03-315 (2003)
6. Khrapko R. I. A rotating electric dipole radiates spin and orbital angular momentum, www.sciprint.org (2006)
7. Rohrlich F. Classical Charged Particles. - Mass.: Addison-Wesley, 1965. -756 p.
8. Belinfante F.J. On the spin angular momentum of Meson. //Physica. - 1939, 6.- p.887-98
9. Rosenfeld L. Sur le Tenseut d'Impulsion-Energie. //Memoires de l'Academie Royale des Sciences de Belgiques.-. 1940, 18 No. 6.- p.1-30
10. Khrapko R.I., Mechanical stresses produced by a light beam, //J. Modern Optics - 2008, 55, 1487-1500
11. Khrapko R.I., Mechanical stresses produced by a light beam,"http://www.sciprint.org (2007)
12. Khrapko R.I. True energy-momentum tensors are unique. Electrodynamics spin tensor is not zero. - http://arXiv.org/abs/physics/0102084 (10.08.2001)
13. Khrapko R.I. Violation of the gauge equivalence. - http://arXiv.org/abs/physics/0105031 (11.12.2001)
14. Khrapko R.I, Experimental verification of Maxwellian electrodynamics, // Measurement Techniques - 2003, 46, No. 4, 317-321
15. Храпко Р. И. Истинные тензоры энергии-импульса и спина среды однозначны. //Теоретические и экспериментальные проблемы общей теории относительности и гравитации. Х Российская гравитационная конф., Владимир. 1999: Тез. докл. - Москва, 1999. - с.47.
16. Feynman R. P. et al. The Feynman Lectures on Physics, Vol. 3. - Addison-Wesley, London, 1965.- 435p.
17. Khrapko R.I. Does plane wave not carry a spin? //Amer. J. of Physics. - 2001, 69.- р.405.
Сведения об авторе
Храпко Радий Игоревич, доцент кафедры физики Московского авиационного института (государственного технического университета), к.ф.-м.н.
125993 Москва, Волоколамское шоссе 4, Российская Федерация. +7 499 144-63-12, khrapko ri@hotmail.com.
