CC BY
6УДК: 539.12
Упражнения с каноническим тензором спина
Р.И. Храпко
Канонический тензор спина стандартной электродинамики неадекватен. Это показано при использовании плоской электромагнитной волны и стоячей электромагнитной волны в качестве примеров. Рассмотрено улучшение канонического тензора спина путем добавления магнитного члена. Продемонстрирован истинный тензор спина.
1. Введение
Общепринято рассматривать выражение E х A в качестве объемной плотности спина электромагнитного поля. Здесь E и A являются напряженностью электрического поля и магнитным векторным потенциалом, соответственно. Например, Джексон [1] делит момент импульса распределения электромагнитных полей
J = J x х (E х B)dV (1)
на спиновую и орбитальную части,
J = J [E х A + Ej (x xV) Aj ]dV (2)
(для краткости мы положили Ио = 1, с = 1). Он написал: «Первый член иногда идентифицируется как спин фотона».1
Оханиан [2] также представляет момент импульса как сумму двух членов:
J = J x х (En VAn )dV + J E x A dV . (3)
Он написал: «Первый член в уравнении (3) представляет орбитальный момент импульса, второй член - спин».2
Выражение E х A использовано Фрисом et al. [3] для случая плоской электромагнитной волны. Если E = ^E, E = E0 exp[i(z —1)], то мы имеем A = —iE , потому что E = —<31A (значок краткости отмечает комплексные вектора, и мы положили со = 1). Авторы [3] написали: «Момент импульса определяется электрическим полем E и его комплексным сопряжением E путем интегрирования по всему пространству»3
J = J E х E dV / 2i (4)
1 The first term is sometimes identified with the 'spin' of the photon.
2 The first term in Eq. (3) represents the orbital angular momentum, and the second term the spin.
3 The angular momentum can be found from the electric field E and its complex conjugate E by integrating over all spatial elements dV
(для краткости мы положили диэлектрическую постоянную е = 1).
К сожалению, авторы не объясняют, что выражение Е х А является компонентом канонического тензора спина.
Хорошо известно [4, 5], что вывод тензоров энергии-импульса и спина электромагнетизма начинается с канонического лагранжиана свободного поля,
| =^/4, = 28V,... = 0,1,2,3. (5)
Используя этот лагранжиан, с помощью лагранжевого формализма, физики получают канонический тензор энергии-импульса
81
Т ЯЦ= 8ЛЛа тг^ " g* I- = ~8хЛаГ^ + g/4 (6)
С 8(8 ,Ла) -
и канонический тензор полного момента импульса
J я^= 2 х [1 Т (7)
с с с 5 ^ '
где
81
уя^=-2Л[Я6ц]--— = -2 Л[ЯГ ^ (8)
с * 8(8г Ла) ' ;
является каноническим тензором спина. Здесь F= , = Fа/3ЕмаЕУ/3 - тензор электромагнитного поля. Смысл его компонентов - следующий:
Г01 = -Е1, Г = Е, Г1 = -Б*, Г = -Бр, Вк = , Вк = В^к, /, ],... = 1,2,3. (9)
Например,
0 = Гох = ех = Ех, Гху = ¥ху = Б* = Бг. (10)
Компонент
уу0 =-2л[Р1]0 =-2Л[/Е}] = ЕЛ -Е}Л1 = Е х А
есть объемная плотность спина. Это означает, что
dS1J = У10 dV
с
есть спин электромагнитного поля внутри элемента объема dV . Компонент
У1к = -2 Л[ Г1 ]к = 2 Л[ Б1 ]к
(11)
(12)
(13)
есть плотность потока спина в направлении оси хк . Например,
У^ = 2Л1 хБу]* = ЛхБуг - ЛуБх = ЛхБх + ЛуБу, (14)
и
dSz = dS^ = Yxyz da2 = (ABx + AyBy )daz (15)
есть z-компонента спина, прошедшего сквозь элемент поверхности daz в единицу времени.
В настоящей статье мы намерены выяснить, является ли выражение (8) адекватным действительности. Для этого мы применим это выражение к плоской волне и к стоячей волне.
2. Плоская волна
Пусть плоская электромагнитная волна правой круговой поляризации, распространяющаяся вдоль оси z, имеет вид
Ex = cos(z - t), Ey = -sin(z -1), Bx = sin(z - t), By = cos(z - t) . (16)
Из-за того, что A = -J Edt, мы имеем, согласно (11), (14),
Ax = sin( z -1), Ay = cos(z -1), Y^0 = 1, Y^ = 1. (17)
Этот результат верен, поскольку вектор Пойнтинга ExBy - EyBx = 1, и отношение спина к энергии, S / U = 1/ с , выполняется. Однако, вычисление других компонент тензора спина дает
Yzxy = AxBx = sin2( z -1), Y-'zx = AyBy = cos2( z -1). (18)
Этот результат неверен, так как он означает существование потока спина в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны.
3. Стоячая волна
Давайте сложим волну (16)
EX = cos(z -1), E' = - sin(z -1), BX = sin(z -1), B1y = cos(z -1). (19)
и волну, отраженную от сверхпроводящей плоскости z = 0
EX = - cos(z +1), Е2У = - sin(z +1), B2X = - sin(z +1), B2y = cos(z +1). (20)
Результирующее поле будет выглядеть так:
Ex = EX + E2X = 2sin z sin t, Ey = Ey + E2y =-2sin z cos t, (21)
Bx = B1X + B2X = -2coszsint, By = By + B2y = 2coszcost. (22)
Магнитный векторный потенциал, согласно A = -J Edt, есть
Ax = 2sin zcos t, Ay = 2sin zsin t. (23)
Поэтому расчет компонентов тензора спина дает
Yxy0 = 4sin2 z, YYxyz = 0. (24)
Уху2 _ г\
^ = 0 верен, потому что отсутствует поток спина к отражающей плоскости, однако
уху = ^т2 г вызывает сомнения, потому что не существует причины подразделения
электромагнитного спина на слои. Как известно, плотность энергии постоянна: (Е2 + Б2)/2 = 2 . К сожалению, подсчет других компонент тензора спина также дает неверный результат
У2ху = ЛхБх =-8ш2г вт2Г, Уугх = ЛуБу = 8т2г Sm2t. (25)
4. Магнитная часть спина
Канонический тензор спина (8), (11) очевидно несимметричен в смысле электро-магнитной симметрии. Он представляет только электрическое поле, Е А = -/ Е^ . Это вызывает неудовлетворительный результат (24) для уху0 . Поэтому имеет смысл симметрировать тензор спина добавлением магнитного члена
У ^=-П [Т/ . (26)
с.т ^ ^
Дело в том, что электродинамика асимметрична. Магнитная индукция замкнута, а напряженность магнитного поля имеет источник в виде электрического тока:
8^] = 0, 8УГ^=-1» . (27)
Поэтому магнитный векторный потенциал Лv существует, а, вообще говоря, электрический векторный потенциал не существует. Однако, если токи отсутствуют, симметрия восстанавливается, и появляется возможность ввести электрический поливекторный потенциал П1(1У . Он удовлетворяет уравнению
8^" = Г(28) Ковариантный псевдовектор, дуальный к поливекторному потенциалу,
П;= , (29)
является аналогом магнитного векторного потенциала Лк . Мы называем его электрическим векторным потенциалом. Именно он вставлен в формулу (26). А псевдотензор дуален к электромагнитному тензору Г,
РГ= g Г */2. (30)
Смысл его компонент следующий
Г0 1 = Б1, Г/ = -етЕк. (31)
Например,
F01 = Bx, F¡z = -Ex. (32) Итак, согласно (26), опуская звездочку у П , мы имеем,
Y10 = -П l'FJ]0 = (П 'Б1 -П jB' )/2 = (Их B)/2. (33)
c.m ' ^ '
Y 1 = -Иl'FJ]k . (34)
c.m ^ '
Например,
Y xyz =-Пl]z = (ПxEx +ПyE )/2 Y x =-ПlzF„x]y = (ПzEz +ПxEx)/2. (35)
c.m 5 c.m * ^ ^
Соотношение между П и F может быть легко получено в векторной форме следующим образом. Если divD = 0 , то D = rot П . Если также dD / dt = rotH , то H = 9П / dt, но мы полагает H = B, поэтому
dП /dt = B . (36)
5. Полный тензор спина
Мы рассматриваем здесь полный тензор спина, соответствующий каноническому тензору спина
(8):
Y яцу= y ^v/2 + Y -a^äFц]у - ПiaF(37)
tot c c.m '
Для плоской волны (16) мы получаем тот же верный результат (17),
Пx = cos( z -1), Пy =- sin( z -1), Y xy0 = 1, Y ^ = 1 (38)
tot tot ^ '
Однако вычисление других компонент тензора спина дает по-прежнему неверный результат
Y^ = (AxBx +П xEx )/2 = 1/2, Y"™ = (AyBy + П yEy )/2 = 1/2, (39)
правда, несколько улучшенный. Магнитная часть тензора спина выровнила слоистость (18) потока спина перпендикулярного направлению распространения волны. Для стоячей волны (21) - (23) мы имеем, вместо (24), (25),
П x = 2cos z cos t, П y = 2 cos z sin t Yxy0 = 2, Yxyz = 0 Yzxy = 0 Yyzx = 0 (40)
tot tot ' tot tot v '
Это - верный результат, поскольку плотность энергии равна (E2 + Б 2)/2 = 2, и отношение спина к энергии, S / U = 1/ с , выполняется.
Таким образом, магнитная часть спина выравнивает слоистость и ликвидирует поперечные потоки спина для стоячих волн. Это свидетельствует о полезности рассмотрения тензора спина, состоящего из двух частей, электрической и магнитной. Тем не менее, поперечные потоки спина в
случае плоских волн доказывают, что каноническим тензор спина неадекватен даже с магнитным членом.
6. Истинный тензор спина
Новый тензор спина был предложен и использован в серии работ [6 - 17]. Этот тензор также является суммой электрической и магнитной частей,
YX,v =YX,v+yX,v = a[X5|V| a ] +П[Х5Мпц]. (41)
em
При расчете нужно учитывать, что дz = gzдz = -дz. Для плоской волны использование (17) и (38) дает
Y хУ0 = i y xrz = 1 Y zxy = Yyzx = 0 (42) Для стоячей волны использование (23), (40) дает
Y 0 = 2 Yxyz = 0 Yzxy = Y ^ = 0 (43) что и требовалось продемонстрировать
7. Замечания
Выражение (41) было направлено в журнал «ЖЭТФ» 27 января 1999 года. Статья была отклонена, потому что ее публикация была признана нецелесообразной. С тех пор выражение для спина (41) было отклонено свыше 350 раз следующими научными журналами: Письма в ЖЭТФ, ЖЭТФ, ТМФ, УФН, Изв. вузов, AJP, EJP, EPL, PRA, PRD, PRE, APP, FP, PLA, JPA, JPB, JMP, JOPA, JMO, CJP, OL, NJP, arXiv. Исключением в мире научных журналов явился журнал «Измерительная техника», свободный от номенклатурных теоретиков [8, 9].
Я глубоко благодарен профессору Роберту Ромеру за публикацию моего вопроса [20], а также профессору Тимо Ниеминену за плодотворную дискуссию в интернете (Newsgroups: sci.physics.el ectromag).
Список литературы 1 Jackson J. D. Classical Electrodynamics. - Wiley, 1999.- 808 р.
2. Ohanian H. C. What is spin? // Amer. J. Phys. - 1986, 54.- p.500-5
3. Friese M. E. J., Nieminen T. A., Heckenberg N. R. & Rubinsztein-Dunlop H. Optical alignment and spinning of laser-trappedmicroscopic particles. // Nature. - 1998, 394.- p.348-350
4. Soper D. E. Classical Field Theory. - N.Y.: John Wiley, 1976.- 423 p.
5. Rohrlich F. Classical Charged Particles. Mass.: Addison-Wesley, 1965.- 512 p.
6. Храпко Р.И. Спин классической электродинамики. //Вестник Российского университета дружбы народов, Серия Физика. - 2002, № 10(1).- c.40-48
7. R.I.Khrapko. The Beth's experiment is under review //mp_arc@mail.ma.utexas.edu REQUEST: send papers NUMBER: 03-307 (2003)
8. Khrapko R.I. Experimental verification of Maxwellian electrodynamics. // Measurement Techniques -2003, 46, No. 4.- p.317.
9. Храпко Р.И. Экспериментальная проверка электродинамики Максвелла.// Измерительная техника. -2003, № 4.- с.3-5.
10. Храпко Р.И. Истинные тензоры энергии-импульса и спина среды однозначны.// Теоретические и экспериментальные проблемы общей теории относительности и гравитации. Х Российская гравитационная конференция, Владимир. 1999: Тез. докл. - Москва, 1999. - с.47.
11. R.I. Khrapko. True energy-momentum tensors are unique. Electrodynamics spin tensor is not zero. -http://arXiv.org/abs/physics/0102084 (10.08.2001)
12. R.I. Khrapko. Violation of the gauge equivalence. - http: // arXiv.org/abs/physics/0105031 (11.12.2001)
13. Храпко Р.И. Локализация энергии-импульса и спин.// Вестник Российского университета дружбы народов, Серия Физика. - 2002, № 10(1).- с.35-39.
14. R.I.Khrapko. Radiation of spin by a rotator. - mp_arc@mail.ma.utexas.edu REQUEST: send papers NUMBER: 03-315
15. R.I.Khrapko. A circularly polarized beam carries the double angular momentum. -mp_arc@mail.ma.utexas.edu REQUEST: send papers NUMBER: 03-311
16. Khrapko R.I. Classical spin in space with and without torsion. // Gravitation & Cosmology - 2004, 10, No. 1-2.- p.91.
17. R.I. Khrapko. Transfer of spin to a mirror2. - http://www.sciprint.org (17.09.05)
18. Khrapko R.I. Does plane wave not carry a spin? //Amer. J. of Physics. - 2001, 69.- р.405.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ
Храпко Радий Игоревич, доцент кафедры физики Московского авиационного института (государственного технического университета), к.ф.-м.н. E-mail: khrapko_ri@hotmail.com
121433, Москва, Б. Филевская, 43 - 92, т. 1446312
