CC BY
6Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 35
www.mai.ru/science/trudv/
УДК 539.12
Поток спина порождает антисимметричный тензор напряжений
Р. И. Храпко
Аннотация
В рамках стандартной электродинамики подсчитан вращающий механический момент, действующий со стороны электромагнитного луча круговой поляризации с плоским фазовым фронтом на поглощающую поверхность. Оказалось, что этот момент вдвое больше, чем поток момента импульса в этом же луче, согласно той же электродинамике. Сделан вывод, что подсчет момента импульса электромагнитных волн в рамках стандартной электродинамики некорректен. Именно, в качестве момента импульса учитывается только момент линейного импульса, и не учитывается спин. Внимательный анализ теоретико-полевого обоснования электродинамики подтвердил этот вывод. Определенные изменения теории поля позволили построить тензор спина электродинамики, который сопровождает тензор энергии-импульса Максвелла. Учет спина в луче привел к равенству потока углового импульса в луче и вращающего момента на поглощающей поверхности. Таким образом, современная электродинамика дополнена тензором спина.
Ключевые слова
электродинамический вращающий момент; момент импульса; тензор спина.
1. Введение
Луч света круговой поляризации несет угловой импульс. Это не вызывает сомнений. Такой луч вращал двояко преломляющую пластинку в опыте Бета [1]. Такой луч вращает микрочастицы в многочисленных современных экспериментах с оптическими ловушками (например [2]). Однако волнующим является вопрос, как распределен этот угловой импульс по сечению луча. Можно ли пользоваться понятием плотности потока углового импульса так же, как мы пользуемся плотностью потока энергии или плотностью потока линейного импульса? Чтобы разобраться в этом вопросе, мы рассмотрим во Введении результат
воздействия потока энергии и импульса на среду, поглощающую луч. В следующих двух разделах будет рассмотрен поток момента линейного импульса. Мы убеждены, что характер механических напряжений, вызванных поглощением потока момента импульса, выдает место поглощения этого потока.
В четвертом разделе проводится критический анализ теоретико-полевого обоснования электродинамики, а в пятом разделе мы получаем тензор спина электродинамики. В шестом разделе этот тензор используется для подсчета потока момента импульса в луче. В седьмом разделе рассмотрено знаменитое преобразование Гамблета, которое лежит в основе ошибочной интерпретации орбитального момента импульса как спина. В восьмом разделе приведена простая одномерная механическая аналогия воздействия спина на поглощающую среду.
Если луч света поглощается некоторой материальной поверхностью, то эта поверхность нагревается и испытывает давление света. Нагрев вызывает градиент температуры в поверхности и поток тепла от освещенной зоны по поверхности на периферию. Давление вызывает механическое напряжение сдвига в поверхности, с помощью которого сила давления передается по поверхности от освещенной зоны на опоры, находящейся на периферии.
Рассмотрим так называемый параксиальный световой луч круговой поляризации радиуса R, распространяющийся вдоль оси z [3] (Рис. 1) E = exp[i(z - í)][x + iy + z(idx - дy )]u(p),
B = -iE, p2 = x2 + y2. (1.1)
Символ breve отмечает комплексные вектора и комплексные числа, кроме числа i, x, y, z -единичные координатные вектора. д x означает частную производную по x . Для простоты мы положили ш = к = c = 1, где ш, к, c - частота, волновое число и скорость света. Амплитуда электромагнитного поля луча обозначена u(p). Функция u(p) считается постоянной внутри луча, т.е. при p < R . При p > R функция u(p)
Световой луч падает на поглощающую поверхность. и(р) - амплитуда электромагнитного поля.
быстро уменьшается до нуля. В поверхностном слое луча, т.е. там, где функция и(р) уменьшается, существуют продольные составляющие электрического и магнитного поля (направленные вдоль оси z ). Так получается, потому что силовые линии замкнуты, но не могут выйти за пределы луча. Мы положим
ju 2dxdy =ju 22пр dp = ^u 22л:р dp =1 (1.2)
при интегрировании по всей поглощающей поверхности, что равносильно интегрированию по поперечному сечению луча (толщину поверхностного слоя луча будем не замечать, когда это допустимо).
Плотность потока энергии в луче дается вектором Пойнтинга E х B . Мы рассмотрим
Г, 0 z
e тензора энергии-
импульса Максвелла. Усреднение по времени дает
< Te0z >= Ш(ЁхБу -ЁуБх)/2 = Ш(Ёх1Ёу -EyiEx)/2 = u2 (1.3)
(черточка отмечает комплексно сопряженные числа). Таким образом, мощность нашего луча, в силу (1.2), равна
W = j < z > dxdy =ju2dxdy =ju2 2прdp = 1 (1.4)
Мы рассматриваем достаточно широкий луч и принимаем, что u (р) = u0 = Const при р < R . Так что, в силу (1.2)
u 2(0) = u 02 = 1/nR2. (1.5)
Теперь легко найти плотность теплового потока по поглощающей поверхности: Q' = u02x' /2 при р< R , и Q' = u02R2хг /2р2 при р> R (1.6)
(на поверхности индекс i имеет значения i = х, y ). Действительно, для дивергенции этого потока получаем
дQ = u2(дхх + дyy)/2 = и02 при р< R , и дQ' = 0 при р> R . (1.7)
При известном коэффициенте теплопроводности поверхности, нетрудно рассчитать распределение температуры.
Давление луча на поглощающую поверхность дается компонентой Tezz тензора
энергии-импульса Максвелла. Смысл такой компоненты тензора напряжений дается равенством
dFz = Tezzdxdy , (1.8)
где dFz - сила, приложенная к элементу поверхности dxdy со стороны электромагнитного поля луча. Пренебрегая влиянием поверхностного слоя луча, имеем постоянное по сечению луча давление
< ТГ >=Я(Е2 + К + В2 + Б2)/4 = п20, (1.9)
равное, как и должно быть, плотности потока энергии. Механическое напряжение сдвига в поверхности должно уравновешивать это давление. Это напряжение сдвига распределено по толщине нашей материальной поверхности; оно выражается компонентой Т^р тензора напряжений материала поверхности. Для круга радиуса р с центром на оси луча, выделенного из поглощающей поверхности, условия механического равновесия, именно, и2 пр2 = Т* 2пр для р< Я , и и2 пЯ2 = Т* 2пр для р > Я дают механическое напряжение в поверхности
ттр = и02р/2 для р < Я , и ттр = и02Я2 /2р для р > Я , (1.10)
похожие на выражения (1.6).
Таким образом, плотность теплового потока и механическое напряжение сдвига растут пропорционально расстоянию до оси луча в (равномерно) освещенной зоне поглощающей поверхности. За пределами освещенной зоны они гиперболически стремятся к нулю.
2. Максвелловский момент силы
Момент силы действует на поглощающую поверхность со стороны луча, согласно электродинамике Максвелла, тогда и только тогда, когда эта поверхность испытывает касательную силу, определяемую компонентами Т*г, Т^ тензора Максвелла. Однако эти компоненты очевидно равны нулю везде на поглощающей поверхности, за исключением граничной области освещенной зоны поглощающей поверхности, куда падает поверхностный слой луча. Действительно, в центральной части луча, так же как в плоской электромагнитной волне, вектор Пойнтинга и плотность импульса направлены вдоль направления распространения, т.е. вдоль оси 2. Поэтому касательная сила действует на поглощающую поверхности только на границе освещенной зоны, там, где д и2 * 0, д хи2 * 0:
у 7 х
ТХ =-ЕА - БхБ2 , < ТХ >=-Я(ЁД + БхБг )/2 = -Я(ЁД ) = дуи 2/2, (2.1)
< Ту >= -дхи2/2. (2.2)
Круг радиусом р < Я с центром на оси луча, выделенный из нашей поверхности, не будет испытывать касательных сил, и не будет испытывать момента силы. Поэтому освещенная зона поглощающей поверхности, вплоть до границы, не будет содержать механических напряжений, которые вызываются моментом силы.
Момент силы, приложенный к границе освещенной зоны, равен интегралу т2 =|(х < Ту >-у < Тх >)ШхШу = -[(хдхи2/2 + удуи2/2)ШхШу =|и2ШхШу = 1 (2.3)
(индекс 2 указывает, что это выражение справедливо в рамках раздела 2 этой статьи). Момент силы (2.3) должен быть компенсирован моментом силы, приложенным к нашей поверхности со стороны опоры, находящейся на периферии. Поэтому часть поверхности, внешняя по отношению к освещенной зоне, т.е. находящаяся при р > Я, должна содержать
механические напряжения, описываемые компонентой тензора напряжений Т^р (индекс 2
указывает, что этот тензор справедлив в рамках раздела 2 этой статьи). Смысл такой компоненты тензора напряжений дается равенством
&ф = Тфр, (2.4)
где ШЕф - сила, приложенная в поверхности к элементу окружности и направленная вдоль угловой координаты ф . Условие равновесия для внешней части поверхности,
т2 = |рШЕф = |рТ*Ш = 2лрТр , (2.5)
дает для этой компоненты тензора напряжений значение Т „р = 1/ 2. В результате мы имеем, согласно
максвелловской электродинамике, механическое напряжение в поглощающей поверхности
Тфр = 0 для р < Я , Тфр = 1/2яр2 для р > Я . (2.6) Тот факт, что момент импульса луча относительно оси луча содержится только в поверхностном слое луча и, соответственно, момент силы, приложенный к поглощающей поверхности, локализован на границе освещенной зоны, хорошо известен. Например, Оганян [4] пишет и иллюстрирует ситуацию рисунком (см. наш Рис. 2, который взят из [5]):
У
Рис. 2. Так выглядят линий циркуляция среднего по времени потока энергии или плотности импульса в поляризованном ПО кругу ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ волновой пакете, Предполагается, чги ип данном волновом фронте, например г = 0, ипдя постоянны во внутренней области и спадают до нуля и наружном области {зависимость амплитуд от радиуса представлена штриховой линией). Поток энергии вычислен на приближенного решения уравнений Мнкс-пеллп. На" рисунке изображен поток только в поперечном направлении; про* дольный поток значительно больше, а результирующий ноток имеет вид спирали.
«В волне, имеющей конечные поперечные размеры, каждое из полей Е и В имеет компоненту, параллельную волновому вектору (силовые линии замкнуты), а поток энергии имеет перпендикулярные ему составляющие. Поэтому результирующий поток энергии имеет вид спирали. Наличие циркулирующего потока энергии предполагает существование момента импульса, направленного вдоль направления распространения волны».
Авторы работы [6] приводят аналогичный по содержанию рисунок (см. наш Рис. 3). Они объясняют:
«Электрическое и магнитное поле может иметь ненулевую 2 -компоненту только внутри поверхностного слоя луча. 2 -компоненты полей внутри этого слоя обеспечивают существование ненулевой г -компоненты момента импульса внутри этого слоя. Поскольку волна тождественно равна нулю снаружи от поверхностного слоя и постоянна внутри луча, поверхностный слой является единственным регионом, где 2 -компонента момента не исчезает».
9,1 А^С1Л.ЛН МОМЕМГи.Ч ОК ТЦГ Е1Ж7 ИОМАОЗЧЕПС ПЕДО 227
А - А г 1
го i
ъ ~ * 1
Fig. 9,3* Tilt dcclric fieiU amplitude and the angular momentum densily across a cylindrical toifl, Рис 3
Амплитуда электрического поля и плотность момента импульса в поперечном сечении цилиндрического луча
Все приведенные в этом разделе доводы показывают, что, согласно стандартной
электродинамике, внутренняя, освещенная зона поглощающей поверхности не воспринимает
никакого момента силы и не содержит соответствующих ему механических напряжений.
Механические напряжения, вызываемые моментом силы, возникают только на границе
освещенной зоны и распространяются по поверхности к периферии вплоть до опоры,
поддерживающей поглощающую поверхность. Эта граница, а потому и опора на периферии,
испытывают момент силы со стороны луча, равный т 2 = 1. Учитывая, что мощность луча
W = 1 и частота ш = 1, мы можем записать для этого момента силы
т 2 = W / ш. (2.7)
Заметим, однако, что мощность Ж поглощается равномерно всей освещенной зоной, а момент импульса, приводящий к моменту силы т 2, поглощается исключительно границей освещенной зоны, то есть не там, где поглощается энергия. Поэтому разумно предположить, что этот момент импульса не связан с этой энергией, и что с этой энергией, которая является энергией электромагнитной волны круговой поляризации, связан некий другой, дополнительный момент импульса, поглощаемый равномерно всей освещенной зоной и не учитываемый стандартной электродинамикой. С другой стороны, момент силы т2 обязан своим существованием на границе освещенной зоны продольным составляющим электромагнитного поля, а потому этот момент не может иметь волновую природу, и, стало быть, не может быть связан со спином.
Отсутствие момента силы в освещенной зоне в рамках стандартной парадигмы подтверждается интересным рассуждением в работе [7]. Авторы мысленно делят наш луч на две концентрические части: внутренняя часть имеет некий радиус рх < Я, а внешняя имеет вид толстостенной трубы и располагается между рх и Я ,
п(р) = и т (р) + и оШ (р), (2.8)
так что Эри п(р) | = -брии (р) . Авторы справедливо утверждают, что вблизи окружности
радиуса рх на поглощающей поверхности действуют два равных и противоположно направленных момента силы, которые взаимно компенсируются.
3. Спиновый момент силы Работа [7] была написана в ответ на вопрос [8], в котором указывалось, что диполи диэлектрика, из которого состоит поглощающая поверхность, испытывают моменты силы со стороны волны круговой поляризации. Вследствие этого, материал поверхности должен испытывать объемную плотность момента силы в соответствии с [9,10]
т/У = Рх Е . (3.1)
где Р есть вектор поляризации материала.
Возникновение этого момента силы убедительно объясняет Р. Фейнман [11]: «... Вектор Е электрического поля света круговой поляризации бежит по кругу (фиг. 15.5,а) (см. наш Рис. 4). Теперь положим, что мы осветили таким светом стенку, способную поглотить его, и рассмотрим один из атомов стенки, опираясь на классические представления.. В итоге электрон этого атома будет двигаться по кругу (фиг. 15.5,б). Он сместится из положения равновесия в начале координат на величину г и начнет ходить по кругу, как-то отставая по фазе от вектора Е. Электрическое поле с течением времени
поворачивается, но с такой же частотой поворачивается и смещение, так что относительная ориентация остается той же. Посмотрим теперь, какая работа производится над электроном. Скорость, с которой электрону подается энергия, равна его скорости V, умноженной на компоненту Е, параллельную этой скорости: Ж = еЕ^
Но вы не можете не заметить, что у электрона в это время непрерывно увеличивается и момент количества движения, потому что он все время испытывает действие момента, вращающего его вокруг начала координат. Вращательный момент равен т = еЕ/, и он обязан равняться скорости
изменения момента количества движения / & :
, / & = т = еЕг .
Вспоминая, что V = шг, имеем т = Ж / ш ».
К сожалению, авторы работы [7] игнорировали проблемы, возникающие при учете этого вращающего момента.
Таким образом, плотность потока энергии на поглощающую поверхность сопровождается в действительности плотностью вращающего механического момента в таком же соотношении, как полный поток энергии относится к полному вращающему моменту, приложенному к границе Рис. 4. освещенной зоны, согласно теории Максвелла (2.7).
Но теперь плотность вращающего момента, постоянная в точках поглощающей поверхности в пределах освещенной зоны и не выражается в терминах максвелловского тензора, хотя, несомненно, вызывает механические напряжения, которые описываются определенным тензором напряжений. В разделе 8 приведена простая одномерная аналогия этого явления. Мы определим эти напряжения, используя условие равновесия. Уместно, однако, отметить, что авторы работ [9-11] отождествляют рассмотренный здесь вращающий момент с потоком спина в луче.
Рассмотрим круг радиусом р < Я с центром на оси луча, выделенный из поглощающей поверхности. Согласно (1.3) и (1.5), он принимает мощность
W(p) = лр2u2 = p2 / R2 и, стало быть, испытывает вращающий момент т3 (р) = р2 / R2 (индекс 3 указывает на принадлежность величины к разделу 3 статьи). Условие равновесия т = 2лр2ТфФр, аналогичное (2.5), выглядит теперь р2/R2 = 2лр2Тф£ для р< R и 1 = 2лр2Тф£ для р > R . Это означает
Ттф3р = 1/2tcR2 = Const для р < R , Ттф3р = 1/2лр2 для р > R . (3.2)
Таким образом, учет напряжений, рассчитанных в разделах 2 и 3, дает двойной результирующий вращающий момент на периферии, т.е. при р > R ,
Ttot = Тфр + ТЦр ]p>R 2жр2 =Т2 + Т3 (R) = 2. (3.3)
Результат (3.3) более строго получен в работах [12,13]. Он свидетельствует, что момент импульса, приносимый лучом (1.1), согласно стандартной электродинамике, (2.3), вдвое меньше момента импульса, получаемого поглощающей поверхностью, согласно той же электродинамике. Это означает, что стандартная электродинамика не замкнута.
4. Существует ли тензор спина электродинамики? Мы воспользуемся упомянутой идеей работ [9-11] о спиновой природе механического момента, действующего в центральной части поглощающей поверхности, и покажем, что он действительно появляется вследствие поглощения потока спина.
Хорошо известно, что фотоны, то есть электромагнитные волны, несут спин, энергию, импульс и момент этого импульса относительно некоторой оси или точки. Энергия и импульс электромагнитных волн описывается тензором энергии-импульса Максвелла (вернее, тензорной плотностью):
Т^ =_g^FavF^ + g^Fa&Fар /4, (4.1)
ар
где FMV = _FVM, FMV = Faa3gaagvp есть тензор электромагнитного поля. Взаимодействие
электромагнитных волн с веществом описывается дивергенцией этого тензора, дцТ, то есть плотностью силы Лоренца:
I% = -дцТ* = F = 7р Fяр (4.2)
(при записи этого равенства используются уравнения Максвелла д^и,] = 0, дцFv^ = ур). Момент импульса в объеме V определяется как [14] и = ]У 2х['ТЛ0аУ = |У г х (Е х В)0У, (4.3)
и эту величину следует назвать орбитальным моментом импульса. Однако в современной электродинамике отсутствует формулировка спина, хотя концепция классического спина,
который отличается от момента импульса (4.3), заложена в теории поля. К сожалению, концепция классического спина оказалась задушенной в стандартной электродинамике процедурой Белинфанте-Розенфельда, как это будет сейчас показано.
Действительно, электродинамика начинается с канонического лагранжиана [15 (4-
111)], L = -F F^/4. Затем, с помощью лагранжевого формализма получаются
c ^
канонический тензор энергии-импульса [15 (4-113)]
д L
Т *= д A dTdJTT - g* L = -д" AF^ + g*FapF/4 (4.4)
д(д, A) c p
и канонический тензор момента импульса [15 (4-147)]
J 2х[ЯТ(4.5)
с с с
где
д I
у _2_с _ _2л[ХР(4 6)
с а д(д,Ла) ' • ;
есть канонический тензор спина [15 (4-150)]. Его пространственной компонентой является Е х А:
У30_ Е х А, (4.7)
с
Смысл тензора спина заключается в следующем. Компонента Уь 0 представляет объемную плотность спина. Это значит, что dSiJ _ У30dV есть спин электромагнитного поля внутри пространственного элемента dV. Компонента У3 является плотностью потока спина в направлении оси хк . Например, dSz /dt _ dSxy /dt _ dтх _ У^^^ есть г-компонента потока спина сквозь элемент поверхности daz за единицу времени, т.е. вращающий момент, действующий на этот элемент.
Смысл тензора полного момента импульса, J^ дается выражением для полного момента импульса в элементе dVv: dJ_ J^dVv _ 2х[ХТ.]vdVv + dVv. Соответствующий интеграл выглядит
J^ _ + S_ £ 2х[ХТ^dVv + £У^dVv . (4.8)
Он состоит из двух частей: первый член представляет орбитальный момент импульса; второй член представляет спин. Следует подчеркнуть, что момент импульса не может представлять спин. Эта идея обсуждалась в статье [16], написанной в связи с [17].
Однако, канонические тензоры (4.4), (4.5), (4.6) не являются тензорами электродинамики. Они, очевидно, противоречат эксперименту. Например, рассмотрите однородное электрическое поле:
Л = -Ex, Лх = 0, даЛа = 0, Fx0 = -Fx0 = дXA0 = -E . (4.9)
Каноническая плотность энергии такого отрицательна!
T00 = g00Fx0Fx0 /2 = -E2/2. (4.10)
c
Другой пример: рассмотрите плоскую волну круговой поляризации (или центральную часть луча (1.1)),
Ex = cos(z -1), Ey =- sin(z -1), Bx = sin(z -1), By = cos(z -1),
Ax = sin(z -1), Ay = cos(z -1). (4.11)
Подсчет канонического тензора спина (4.6) дает
Yxy0 = 1, Y^ = 1, Yzxy = AxBx = sin2(z -1), Yyzx = AyBy = cos2(z -1). (4.12)
c c c c
Этот результат абсурден. Хотя Yxy0 и Yxz адекватны, результат означает, что существует
cc
поток спина в направлении y & x -осей, т.е. в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны.
Существует, однако, мнение, что изменение лагранжиана может помочь получить тензор Максвелла (4.1). A. Барут [18] представил серию лагранжианов и уравнений поля в Таблице 1
Table 1
Lagrangians and Equations of Motion for the Most Common Fields
Field Lagrangian Field Equations
Free Electromagnetic Field 1 ii it ii и - if*/"' = i(£3 - B*) - тA",-V HArF'"., - At.^F"'] + ¿f*F„ P" , = 0 CM* = о □4. = о □гА„ = 0
Electromagnetic Field with an External Current --J*
К сожалению, А. Барут не показал соответствующие тензоры энергии-импульса и спина. Поэтому мы добавляем Таблицу 2.
Таблица 2
Лагранжианы электродинамики, тензоры энергии-импульса и тензоры спина
Лагранжиан Тензор энергии-импульса Тензор спина
L = L = -F F jv /4 c Т^ц = т xj=_ ax F Jv + g XJ F F av /4 c v av yXjv = yXjv= _2 A[X F j]v 1 c
Ln =_F,vFjv/4 - ()2 /2 = Tp _ Aj,x Aaa + g Xj (Aaa )2 /2 Y Xjv = у ^ + 2 A[X g J]v Aa a
Llll = _A ,v Ajj, /2 Tf = _AaXAaj + gXjAapA°,p /2 Y = 2 a[x aJ], v
Lv = _Fjv F jv/4 - Aj ° rfXJ _ XJ , „XJ л ,-a TV ~Ll +g Aaj \r Xjv \r Xjv 1 V ~
Ясно, что ни один из этих тензоров энергии-импульса не является тензором Максвелла. Больше того, ни один из них не отличается от тензора Максвелла на дивергенцию от антисимметричного тензора, то есть, ни один из них не имеет правильную дивергенцию (1.2). Таким образом, видимо, не известен метод получения тензора Максвелла в рамках стандартного лагранжевого формализма.
Страстное желание получить такой тензор привело профессора Сопера к ошибке [19]. Он использовал лагранжиан LV, но, вместо тензора T^, он ошибочно получил другой (false) тензор [19, (8.3.5) - (8.3.9)]
T + AX jj , (4.13)
который отличается от максвелловского на дивергенцию от антисимметричного выражения
Т^м _ AAF^a _ a jM = 5 (A FM<X) (4 14)
В рамках стандартной электродинамики канонические тензоры энергии-импульса (4.4) и полного момента импульса (4.5) используются в процедуре Белинфанте-Розенфельда [20,21]. Именно, к ним прибавляются специфические члены г ^ /2 (4.15)
т л^=-дк (х[ЛУЦ]ж ), (4.16)
где У^ =У У -2АхF^ . Эта процедура дает тензор энергии-импульса Т и
с с с ъг
тензор момента импульса J ^, которые мы называем стандартными:
st
Т Xj= т Xj+ t Xj= -5яAvFjv + gXjFa„Fар /4 + 5v (AxFjv), (4.17)
J J т Хц,= J ^ А ц]р™ ). (418)
51 С 51 С
К сожалению, тензор Т (4.17) очевидно неудачен, как и канонический тензор (4.4).
Поэтому процедура Белинфане-Розенфельда выглядит бесполезной, и тензоры (4.17), (4.18) никогда не используются. Однако катастрофическое свойство этой процедуры выясняется при подсчете стандартного тензора спина, 5 ^, где 5 ^ есть спиновый
5/ С 51 51
добавочный член, который здесь подсчитывается:
5 *м*= т ц_ 2х[л / м]у= _д (х[лу) + х[Лд у = у=
К К К
5 5 5 (4 19)
= 25[ХАМ] Рук = _25[ХАМ] Р ку = _2 А[МР Л]у = 2 А[лр =_У ЛмУ
к к с
В результате, мы видим, что процедура Белинфанте-Розенфельда элиминирует тензор спина вообще!
у ^= у 5 о (4 20)
5/ С 51
Вот почему спиновый член отсутствует ниже в равенстве (4.22).
Заметьте, что добавочные члены /& 5 ^, хотя они не являются удачными,
5/ 5/
удовлетворяют важному необходимому равенству
ду 5 Яцу= 2 /(4.21)
5/ 5/
Несмотря на равенство нулю стандартного тензора спина электродинамики, физики понимают, что нельзя закрывать глаза на классический спин в электродинамике. И они заявляют, что спин находится внутри момента импульса (4.3). Т.е., момент импульса представляет полный угловой импульс: орбитальный момент импульса плюс спин. Т. е. выражение (4.3) содержит и орбитальный момент импульса и спин [10,14,15,17,22-24]:
Jij = И + Б* = 2х[Т]]0йУ = ^ г х (Е х В)йУ. (4.22)
В конце этого раздела важно обратить внимание, что добавление любого члена к тензору энергии-импульса, в том числе даже добавление бездивергентного члена типа д^^", каковым является, в частности, -дуУХц/2 (см., напр. [24 (3.36)]), представляет
собой весьма серьезную процедуру. Всякое добавление изменяет распределение энергии-импульса и изменяет полный 4-импульс системы при неизменном поле. Действительно, легко выразить тензор энергии-импульса однородного материального шара радиуса Я в виде
д ^^ где ^^ = _^^ :
^00 = ^оо = ^ /3 (г < я), ^оо,- = оо = 8я3х /3Г3 (г > я) (4.23)
дает
дг¥00г = Т00 = г (г < Я), Т00 = дг¥00г = 0 (г > Я). (4.24)
5. Тензор спина электродинамики существует
Вопреки процедуре Белинфанте-Розенфельда, которая уничтожает спин, мы модифицируем неудачные канонические тензоры (4.4) - (4.6) иным способом [12,13,16,2534]. В отличие от процедуры [20,21], мы используем другие добавочные члены к каноническим тензорам энергии-импульса и спина, именно, г х^=ду Ах ^ ^, (5.1)
ъ ^ = 2 Ау, (5.2)
вместо (4.15), (4.19). Член гхц подобран так, что он дает тензор Максвелла (4.1) Ттх^+дуАх^. (5.3)
с
Член ъопределяется из уравнения
д^ 2г [ад, (5.4)
аналогичного уравнению (4.21). В результате, мы получаем величину 2А[хд|у|Ац] = У 2А[хдц] Ау (5.5)
с
вместо нуля в уравнении (4.20), и, в конце концов, добиваясь электро-магнитной симметрии, находим тензор спина электродинамики:
у^ = а[^М Ац] + П [хдМПц]. (5.6)
Здесь Ах и Пх суть магнитный и электрический векторные потенциалы, которые удовлетворяют
дхА х=дхПх= 0, 2Э[ЦА,] = ^, 2д[цПч = -е^ар, (5.7)
где Гар =-Рра, ^ = Г^^^ур есть тензор свободного электромагнитного поля, е р -антисимметричная плотность Леви-Чивита. Очевидно, что закон сохранения, дуУхцу = 0, выполняется для свободного поля.
Другими словами, мы вводим тензор спина Ухцу в современную электродинамику, т.е. мы дополняем электродинамику введением тензора спина, т.е. мы заявляем, что полный угловой импульс состоит из орбитального момента импульса (4.3) и спина, что выражение (4.22) некорректно, что момент импульса (4.3) не содержит спина, и что, в действительности, полный угловой импульс в объеме V равен
J^1 = И + ^ = (2х[Т1 ]0 + У10)^ = г х (Ех + £ У10а'V, (5.8)
а поток углового импульса на поверхность a равен
т 11 = т 11 + т 11 = f (2x['TJ]k + Y jk)dak = f r x (E x B)da + f Y'jkdak , (5.9)
tot orb spin Ja Ja Ja
Разница между нашим утверждением (5.8), (5.9) и обычным равенством (4.22) проверяется на опыте. Кардинальный вопрос касается величины потока углового импульса, то есть вращающего момента т = dJ / dt, который несет луч круговой поляризации (1.1). Обычный ответ, согласно (4.22), есть
т = dJ/dt = W/с ; (5.10)
где W - мощность луча. Наш ответ, согласно (5.9), есть
Ttot = dJ/dt = 2W/с , (5.11)
что соответствует полученному результату (3.3).
6. Тензор спина луча круговой поляризации
Действительно, используем формулу (5.9) для луча (1.1). Первое слагаемое в правой части нами уже подсчитано, т = т2 = 1 (2.3). Это слагаемое не зависит от существования
orb
тензора спина. Применим теперь выражение (5.6) ко второму слагаемому формулы (5.9) и, в первую очередь, подсчитаем векторные потенциалы AX и nX и их производные вдоль оси z. Полагая скалярные потенциалы A0 =П0 = 0, пренебрегая поверхностным слоем луча и
учитывая, что 5z = _5 z из-за сигнатуры (+----) используемой метрики, имеем
A = _f Edt = exp[i(z _ t)](_ix + y)u0, П = |Bdt = iEdt = iA , (6.1)
5z A = exp[i( z _ t )](_x _ iy )u 0, 5z П = 15z A, (6.2)
< Y^ >=^(Ax5zAy _ Ay5zAx + Пx5zUy _Пy5znx)/4 = ЩАx5zAy _ Ay5zAx)/2 = u02. (6.3) В силу (1.2), второе слагаемое правой части формулы (5.9) дает т = т 3 = 1. (6.4)
spin
Таким образом, на освещенную зону поглощающей поверхности падает поток спина, который и вызывает постоянную в пределах зоны плотность вращающего момента и соответствующее механическое напряжение (3.2). Результирующий поток момента импульса, поставляемый лучом, в соответствии с (5.9), равен
т xy = т xy + т xy = f (x < Teyz > _y < Texz >)dxdy + f< Y^ > dxdy = 2, (6.5)
tot orb spin J J
как и было найдено в (3.3)
7. Преобразование Гамблета
Подынтегральное выражение в интеграле (2.3) отлично от нуля только в поверхностном слое луча, потому что только там компоненты тензора Максвелла < Ту >, < Т*г > отличны от нуля. Это связано с тем, что орбитальный момент импульса
луча локализован в поверхностном слое, там, где циркулирует поток энергии. Однако, при вычислении интеграла (2.3) применяется интегрирование по частям, в результате чего значение интеграла получается, в конечном счете, интегрированием по внутренней, освещенной зоне. Из этого математического факта физики удивительным образом делают вывод, что вклад в поток момента импульса (2.3) вносит внутренняя область, а не поверхностный слой, и, значит, можно назвать интеграл (2.3) спином луча, который очевидным образом присутствует внутри луча, но не видим в рамках стандартной электродинамики. Имея в виду момент импульса (4.22), (7.1), Оганян [4] пишет: «Вклад в спин вносит внутренняя область, и поверхностным слоем можно пренебречь».
На самом деле, это фальшивое перемещение орбитального момента импульса из поверхностного слоя во внутренность луча производится с помощью усложненной процедуры [4,35,36]. Орбитальный момент импульса, локализованный в поверхностном слое луча, | г х (Е х В)йУ , выражается через интеграл по всей внутренней области луча, именно,
| г х (Е х В)йУ = | Е х А йУ , (7.1)
с помощью следующего вычисления. Сначала подынтегральное выражение записывается в виде
г х (Е х В) = г х [Е х (Ух А)] = г х (ЕгУАг) _ г х [(Е-У)А] = _г х [(Е-У)А], (7.2)
потому что г х (ЕгУАг) = 0 для луча (1.1). Далее,
_ г х [(Е • У)А] = _г х [(Е • У)А] _ Е х А + Е х А = _У[Е (г х А)] + Е х А . (7.3)
После этого производится интегрирование, приводящее к (7.1). Это преобразование подробно рассмотрено в [12]. Там же указано, что на самом деле изменение области интегрирования при вычислениях не влечет физических следствий. Например, рассмотрите соленоид, по обмотке которого, то есть по поверхностному слою, течет ток плотностью ^ Момент этого тока, | г х ] йУ, может быть легко выражен через интеграл по внутренности
соленоида [12]:
| г х ] йУ = | 2ВйУ . (7.4)
Это, однако, не означает, что внутренность соленоида вносит вклад в момент тока.
8. Приложение
Здесь представлена простая одномерная аналогия постоянной плотности момента силы из раздела 3. На Рис. 5 изображен стержень, к которому приложен распределенный момент силы F = т / Ax = Const (т^ 0, Ax ^ 0). В этом случае в стержне возникает
постоянное напряжение сдвига так же, как постоянное напряжение сдвига T^ (3.2)
возникает в центральной освещенной зоне поглощающей поверхности.
Механическое напряжение (3.2) не может быть объяснено максвелловской электродинамикой. Видимо, эта электродинамика не полна.
9. Выводы, благодарности и замечания Эта работа представляет новую физику. Мы обсудили некоторые статьи, касающиеся классического спина электродинамики, и показали, что современная теория поля не решает проблему спина, потому что тензор спина стандартной электродинамики равен нулю. Затем было показано, как разрешить проблему спина с помощью ведения истинного тензора спина электромагнитных волн. Предложенный тензор спина удваивает предсказанный угловой импульс электромагнитного луча круговой поляризации без азимутальной фазовой структуры. Этот тензор необходим, в частности, для объяснения существенных особенностей излучения вращающегося диполя [30].
Я глубоко благодарен профессору Роберту Ромеру за отважную публикацию моего вопроса [8] в последнем номере журнала, который он редактировал перед уходом в отставку (вопрос был направлен в редакцию 7 октября 1999 года). Я также благодарен профессору Тимо Ниеминену за содержательные дискуссии на сайте 8с1.рЬу81с8.е1ес1хота§.
Выражение (5.6) для тензора спина было направлено в редакции следующих научных журналов (в скобках указана дата подачи статьи): AJP (10 Sep 2001), AO (April 20, 2006), AP (May 5, 2006), APP (28 Jan 2002), CJP (19 Nov 2003), CLEO/QELS Conference (22/11/2006), CMP (May 9, 2006), EJP (June 30, 2005), EPL (15 Oct 2002), FP (May 3, 2002), IJTP (Jan 25, 2006), ЖЭТФ (27 янв. 1999), Письма ЖЭТФ (14 мая 1998), JMO (Sept 29, 2004), JMP (28 Nov 2002), JOP A (Nov 30, 2003), JOSA A (Apr 7, 2006), JOSA B (Dec 27, 2005), JPA (23 Jun 2002), JPB (Dec 12, 2003), MPEJ (Dec 24, 2004), Nature (Sept 21, 2006), NJP (27 Jun 2003), OC (22 Sept 2002), OL (29 Jul 2003), PLA (22 Jul 2002), PRA (19 Nov 2003), PRD (25 Sep 2001), PRL (Jul 4, 2005), Известия вузов (18 мaя 1999), TMФ (29 апр. 1999), УФН (25 февр. 1999).
Библиографический список
1. Beth R.A. Direct Detection of the Angular Momentum of Light. //Phys. Rev. - 1935, 48.-p.471
2. Parkin S., Knoner G., Nieminen T. A., Measurement of the total optical angular momentum transfer in optical tweezers // Optics Express. - 2006, 14.- p.6963
3. Jackson J. D. Classical Electrodynamics. - Wiley, 1999.- 808p.
4. Ohanian H.C. What is spin? //Amer. J. Phys. - 1986, 54.- р.500-505
5. Оганян Х. Что такое спин? // Физика за рубежом, Серия Б, вып. 88, (М.: Мир, 1988) с. 68-79
6. Simmonds J.W. and Gutman M.J. States, Waves and Photons. - Mass.: Addison, 1970.- 456 p.
7. Allen L., Padgett M. J. Response to Question #79. Does a plane wave carry spin angular momentum? // Am. J. Phys. - 2002,.70.- р. 567.
8. Khrapko R.I. Does plane wave not carry a spin? //Amer. J. of Physics. - 2001, 69.- р.405.
9. Beth R.A. Mechanical Detection and Measurement of the Angular Momentum of Light. //Phys. Rev. - 1936, 50.- p.115-125.
10. Loudon R. Theory of the forces by Laguerre-Gaussian light beams on dielectrics.//Phys. Rev. - 2003, A68 013806
11. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М, Фейнмановские лекции по физике 8, 9 (М.: Мир, 1978) 526с.
12. Khrapko R.I., Mechanical stresses produced by a light beam, //J. Modern Optics - 2008, 55, 1487-1500
13. Khrapko R.I., Calculation of absorbed spin contradicts electrodynamics and an experiment http://www.sciprint.org (2005)
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
Heitler W., The Quantum Theory of Radiation, (Clarendon, Oxford, 1954), 420 p. Rohrlich F. Classical Charged Particles. - Mass.: Addison-Wesley, 1965. -756 p. Khrapko R.I., Moment of the Poynting vector is not spin. V. 2, www.sciprint.org (2006) Zambrini R, Barnett S.M, Local transfer of optical angular momentum to matter // J. Mod. Optics - 2005, 52 -p.1045 - 1053
Barut A.O, Electrodynamics and Classical Theory of Particles and Fields (New York: Macmillan, 1964) - 561p.
Soper D. E. Classical Field Theory. - N.Y.: John Wiley, 1976.- 678p. Belinfante F. J., //Physica -1939, 6, p.887.
Rosenfeld L., Sur le Tenseur D'Impulsion-Energie. //Memoires de l'Academie Royale des Sciences de Belgiques - 1940, 8 No 6.
Jackson J. D. Classical Electrodynamics. - Wiley, 1999.- 808p.
Bishop A. I., Nieminen T. A., Heckenberg N. R., and Rubinsztein-Dunlop H. Optical Microrheology Using Rotating Laser-Trapped Particles. //Phys. Rev. Lett. -2004, 92, 198104.
Ryder L.H., Quantum Field Theory (Cambridge, 1985) - 568 p.
Khrapko R.I. True energy-momentum tensors are unique. Electrodynamics spin tensor is not zero, - http://arXiv.org/abs/physics/0102084 (10.08.2001)
Khrapko R.I, Experimental verification of Maxwellian electrodynamics, // Measurement Techniques - 2003, 46, No. 4, 317-321
Khrapko R.I., Classical spin in space with and without torsion // Gravitation & Cosmology -2004, 10, No. 1-2, -c.91-98
Khrapko R.I., Absorption of a circularly polarized beam in a dielectric, etc. www.sciprint.org (2006)
Khrapko R.I., Inevitability of the electrodynamics' spin tensor, www.sciprint.org (2007) Khrapko R.I., Radiation of spin by a rotator. - mp_arc@mail.ma.utexas.edu REQUEST: send papers NUMBER: 03-315 (2003)
Храпко Р. И. Истинные тензоры энергии-импульса и спина среды однозначны. //Теоретические и экспериментальные проблемы общей теории относительности и гравитации. Х Российская гравитационная конф., Владимир. 1999: Тез. докл. - Москва, 1999. - с.47.
Храпко Р. И. Локализация энергии-импульса и спин. //Вестник Российского университета дружбы народов, Серия Физика. - 2002, № 10(1).- с.35-39.
33. Храпко Р. И. Спин классической электродинамики. //Вестник Российского университета дружбы народов, Серия Физика. - 2002, № 10(1).- c.40-48.
34. Храпко Р. И. Экспериментальная проверка электродинамики Максвелла. //Измерительная техника. - 2003, № 4. с.3-6.
35. Humblet J. // Physica - 1943, 10, p.585 591
36. Crichton J. et al. // Gen. Relat. Gravitation - 1990, 22, p.61-65
Сведения об авторе
Храпко Радий Игоревич, доцент кафедры физики Московского авиационного института (государственного технического университета), к. ф.-м. н.
125993 Москва, Волоколамское шоссе 4, Российская Федерация. +7 499 144-63-12, khrapko ri@hotmail.com
