НЕИЗБЕЖНОСТЬ ТЕНЗОРА СПИНА ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК: 539.12

Неизбежность тензора спина электродинамики

Р. И. Храпко

Результаты работ: Phys. Rev. A68 013806 (2003), Opt. Lett. 22 52 (1997), Optics Express 14 6963 (2006), Phys. Rev. Lett. 91 093602 (2003), Phys. Rev. 50 115 (1936) доказывают, что поток момента импульса в световом луче круговой поляризации без азимутальной фазовой структуры равен удвоенной мощности луча, деленной на его частоту. Этот факт означает, что стандартная электродинамика не полна, поскольку стандартная электродинамика предсказывает, что такой поток равен мощности луча, деленной на частоту. Для исправления электродинамики мы вводим тензор спина. Тензор спина, в частности, объясняет странности излучения вращающегося диполя.

1. Существует ли тензор спина электродинамики?

Как хорошо известно, фотон несет спин, энергию, импульс и момент этого импульса относительно некоторой точки или оси. Энергия и импульс электромагнитных волн описываются максвелловским тензором энергии-импульса

T g ^ Fav F g ^ Fap F aP/4, (1.1)

где Fц = -Fv, = FаРSagvp есть электромагнитный тензор. Например, P' = JVT'0dV

представляет импульс волн внутри объема V и dW = jaT0,daidt является энергией, которая протекает через площадку a за время dt. Момент импульса может быть определен как [1]

L = V 2x[iTj]0 dV = V r x (E x B)dV , (1.2)

и эта конструкция известна как орбитальный момент импульса. Однако в современной электродинамике отсутствует описание спина. Иногда физики рассматривают канонический тензор спина

8 L

Y^v=-2 A[V]-c— = -2 A[X F , (1.3)

c a 8(8vAa) V '

где = _FhvF /4 есть канонический лагранжиан, и Aх есть магнитный векторный потенциал,

28 [ц av] = f

. Но тензор спина (1.3) противоречит опыту, и физики элиминируют его посредством

процедуры Белинфанте-Розенфельда [2, 3]. В результате, электродинамика оказывается лишена тензора спина или, точнее, тензор спина современной классической электродинамики равен нулю.

При этом физики понимают, что они не могут закрывать глаза на существование спина в электродинамике. И они заявляют, что спин содержится в моменте импульса (1.2). Т.е., орбитальный момент импульса представляет полный момент импульса, включающий в себя орбитальный момент импульса плюс спин [4 - 14]:

Jij = L + Sij = V 2xliTJ]0dV = Jv r x (E x B)dV , (1.4)

В отличие от этой парадигмы, мы вводим тензор спина Y^v в современную электродинамику [15 - 28], т.е. дополняем электродинамику тензором спина, т.е. мы заявляем, что полный тензор момента импульса состоит из орбитального момента импульса (1.2) и спинового члена, т.е. мы заявляем, что уравнение (1.4) ошибочно, т.е. мы утверждаем, что орбитальный момент импульса не содержит спина:

j'J = L + Sij = Jv (2x[iTJ]0 + Yij0)dV = Jv r x (E x B)dV + Jv Yij0dV , (1.5)

Смысл тензора спина Y^v заключается в следующем. Компонента Yi} 0 является объемной плотностью спина. Это означает, что dSij = Yij0dV есть спин электромагнитного поля внутри пространственного элемента объема dV . Компонента Yijk является плотностью потока, протекающего в направлении оси xk . Например, dSz /dt = dSxy /dt = dxxy = Yxzdaz есть z-компонента потока спина, прошедшего через элемент поверхности daz за единицу времени, т.е. момент силы, действующий на этот элемент. Вот явное выражение для тензора спина

Y^v = А[Я8Н Ац] +П 1Я8мПц]. (1.6)

Здесь A^ и П суть магнитный и электрический векторные потенциалы, удовлетворяющие

28щAv] = Fv , 28^v] = -e^vapFaP, где Fap = —Fpa, FMv = FaPgMagvP тензор свободного электромагнитного поля. Соотношение между П и F может быть легко получено в векторной форме следующим образом.

Если divE = 0 , то E = curl П . и если 8E / 8t = curlH , то 8П/ 8t = H . Это рассуждение аналогично обычному рассуждению: если divB = 0 , то B = curlA . И если 8B / 8t = —curlE, то 8A / 8t = —E .

Разница между нашим утверждением (1.5) и обычным равенством (1.4) проверяется экспериментально. Кардинальным вопросом является, какой поток момента импульса, т.е. момент силы, X , несет луч круговой поляризации мощности P без азимутальной фазовой структуры? Обычным ответом, согласно (1.4), является

x = dJ / dt = P/ffl ; (1.7)

наш ответ, согласно (1.5), есть

x = dJ/dt = 2P/ra . (1.8)

Утверждение (1.8) справедливо также в случае плоских волн или в случае луча, ширина которого много больше размера частицы, находящейся под его воздействием, при условии, что P есть мощность, поглощаемая этой частицей.

Для проверки наших утверждений (1.5), (1.8), мы использовали закон сохранения момента импульса. Мы подсчитали момент импульса, действующего на диэлектрик, поглощающий такой луч. Мы использовали стандартную формулу

х = J [r х (P - V)E + r x (j x B) + P x E]dV (1.9)

[см., например, [11], формулы (5.1) & (7.18)]. Здесь P = (е - 1)E есть вектор поляризации, j = 81 р есть ток смещения, r x (P - V)E + r x ( j x B) есть момент объемной плотности силы Лоренца, и P x E есть момент силы, действующий на электрические диполи в единице объема [29]. В результате мы получили, что аккуратный подсчет дает наше значение для момента силы (1.8) [24]. Кроме того, мы получили для двух первых и для последнего членов справа важное соотношение

J [r x (P - V)E + r x ( j x B)]dV = J P x E dV = Р/га . (110)

Лоудон [11] также подсчитывал момент силы, с которым световой луч действует на диэлектрик. Он также использовал формулу (1.9), и он получил, как и мы,

J [r x (P -V)E + r x ( j x B)]dV = Р/га (1.11)

[см. Его формулы (7.19) - (7.24)]. Однако он опустил член P x E без объяснения причины, и величина Р/га оказалась его конечным результатом для момента силы. При учете члена P x E он должен получить наш конечный результат 2 р/га .

2. Экспериментальные подтверждения

Работа Симпсона и др. [30] также подтверждает наш результат (1.5), (1.8). Авторы удерживали тефлоновую частицу диаметром ~2- Ц m с помощью LGp=1o луча с Я = 1064 nm мощностью Р = 25 mW. Если этот LG1p=1o луч линейно поляризован, он несет поток орбитального момента импульса Р / га = 1.3 -10-17 J . В этом случае удерживаемая частица вращалась с частотой ~1 Hz. Это означает, что момент силы, действовавший на частицу, равнялся х = 8ллг3Q = 1.6 -10-19J (формула (3) из [30], здесь л = 10-3 kg/m sec есть коэффициент вязкости, r = 10-6 m есть радиус частицы, и Q = 2л /sec ). Поскольку, как видно, х = 0.012Р / га, авторы сделали вывод, что частица поглощает примерно 1.2% луча. Однако, этот вывод, вероятно, должен быть поправлен. Дело в том, что Лагерр-Гауссовый луч может оказывать момент силы на частицу не только при поглощении, но также при конвертировании в Эрмит-Гауссовый луч.

Аллен и др. показывают, что момент силы (а) (Ь)

-h

FIG. 1. (a) A suspended k/2 biréfringent plate undergoes torque in transforming right-handed into left-handed circularly polarized light, (b) Suspended cylindrical lenses undergo torque in transforming a Laguerre-Gaussian mode of orbital angular momentum —H per photon, into one with +lfi per photon.

Рис. 2

воздействует на Рис. 1 конвертер Jlarepp-Гауссова луча при конвертировании (Рис. 1 из [31])1, потому что конвертер изменят разность фаз между Эрмит-Гауссовыми составляющими Лагерр-Гауссова луча (Рис. 2 из [32])2. Из-за

неправильной формы нашей частицы и из-за того, что ~99% LG1^ луча проходит сквозь частицу,

очень возможно, что, по меньшей мере, 0.6% LG^ луча были конвертированы в Эрмит-Гауссовый тип. В этом случае, поглощение только 0.6%, вместо 1.2%, может обеспечить момент силы, равный т = 1.6 • 10~19J.

Главный пунктом эксперимента Симпсона [30] являлось прекращение вращения частицы, когда линейно поляризованный LG1=10 луч заменялся лучом круговой поляризации, направление которой противоположно направлению вращения. Мы должны сделать вывод из этого, что момент силы, вызываемый круговой поляризацией, равен 2P / ю потому, что т = 0.006 • 2P / ю . Во всяком случае, из-за возможного конвертирования LG ^ HG, мы должны заключить, что круговая поляризация photo связана с потоком момента импульса, который больше, чем Р / со .

detector Недавняя работа [33] также подтверждает формулу (1.5). В этой работе

LGp==20 луч с х = Ю64 nm и мощностью р = 20 mW вращает

PBS [""*) удерживаемую частицу с частотой 2.4 Hz при линейной поляризации и с

detector частотой 2.9 Hz при круговой поляризации. Такое увеличение угловой

2 .'4 ^ _i 2 скорости, AQ = 2 71 0.5/sec, вызывает соответствующее увеличение момента

силы трения, действующего на вращающуюся частицу (формула (3) из [33]):

1 Фиг. 1. (а) Двояко преломляющая пластина испытывает момент силы при преобразовании правой круговой поляризации света в левую круговую поляризацию. (Ь) Цилиндрические линзы испытывают момент силы при преобразовании Лагерр-Гауссова типа с орбитальным моментом импульса - ¡к на фотон в такой же тип с + ¡к на фотон.

2 Фиг. 13. Два ортогональных Эрмит-Гауссовых луча могут быть сложены для получения Эрмит-Гауссова луча, повернутого на 45о, или сложены с задержкой по фазе для получения Лагерр-Гауссова луча.

Ах = 12п^а3АО = 1.2 -10 19 J (здесь а = 10 6 т есть параметр частицы). С другой стороны, это

увеличение момента силы трения обеспечивается изменением степени круговой поляризации а луча при его прохождении через частицу. Это изменение определялось фотодетекторами 1 и 2 (см. фрагмент рисунка из [33] на Рис. 3). Дело в том, что эллиптически поляризованный луч содержит составляющие правой и левой круговых поляризаций. Поле эллиптической поляризации может иметь вид

Е = exp(ikz - /юО[г(х + iy) + 1(х - /у)]Е0 /л/2, (2.1)

где гЕ0 / л/2 и 1Е0 / ^/2 есть амплитуды составляющих круговой поляризации. Степень круговой поляризации луча определяется как

г2 -12

а =

(2.2)

г2+12'

Для определения г и I, авторы направляли луч на фотодетекторы через X /4 пластинку и разделительный куб. X /4 пластинка превращает круговую поляризацию в плоскую с помощью введения фазового сдвига п /2 для ^-компоненты, т.е. посредством умножения ^-компоненты в (2.1) на /.

Е = ехр(/^- /юО[г(х + /у) + 1(х - /у)]Е0 /л/2 ^ Е = ехр(ikz- /юО[г(х - у) + 1(х + у)]Е0 /л/2. (2.3)

Согласно Рис. 4 из [33], входная степень (Ь)

SAM

QAM

О лее

£ а во* ti

И.......

н ии им ¡имиммнмщ*:

I-

с

о

vvvvwmvvwvvvwvwmy

without pai'tide —with parLicle

Q 11.1111J

щштшшмшшшч

0.000

^»»»wntju

m ЯЯШ'^цнццнщщмнцм:

i = Qi i f ллк 'Л

1=0,1« f** U.S4

1-0.2« i ■ fm IS i a ШШЯШШЛ

t= 0.3s Jj f'= Is *

Time

FIG. i (color online). A birefringent particle trapped in tJie first ring of a НОВ В rotates simultaneously (i) around its own axis (due to SAM) and. (ii) around tJie beam's axis (due to OAM). The fi ames were taken from a video at the time indicated in each box.

Рис. 5

Рис. 4

круговой поляризации равна 0.999, и выходная степень равна 0.9982 - 0.0012 = 0.997. Таким образом, Аа = 0.002. Эти результаты означают, что АаР/ю = 0.2 -10-19 J (здесь Р = 20 mW и ю = 2пс/X = 1.9 - 1015^ес). Значит, мы имеем, согласно [33], Ах = 6Аа р / ю, вместо Ах = 2Аа Р / ю по нашей формуле (1.8) и вместо Ах = Аа Р / ю, согласно

(1.7). Такой значительный поляризационный вклад в общий момент силы подтверждает формулу

(1.8).

Мы интересуемся работами, в которых одновременно наблюдается вращение частиц вокруг собственной оси (за счет поглощения спина) и вокруг оси луча (за счет поглощения орбитального момента импульса). Поэтому мы рассматриваем статью [34]. Как показано на Рис. 5, взятом из этой статьи,3 частица радиусом г = 1 Mm вращается вокруг своей оси с угловой скоростью Q spm = 18 / sec и вокруг оси луча с угловой скоростью Qorbit = 2 4 / sec вдоль окружности радиуса R = 2 9 Mm. В работе используется Бесселевый луч J 2 (l = 2) высокого порядка. Угловая компонента плотности импульса, alu2 / R, создает угловую силу, действующую на частицу F = alu2кг2 / R. Если мы применим формулу Стокса, D = 6n—rv, для частицы, мы получим Qorblt = alu2г / 6-R2.

В то же время, величина (1.7) для спинового момента импульса равна т = P/a = au2апг2. Если мы используем формулу (3) из [30], т = 8пцг3Q, мы получим Qspin = au2а/8-г . Значит, мы получим теоретическое отношение Qspin / Qorbit = 3R2 /8г2 = 3 2, но в действительности это отношение равно Qspin /Qorbit = 18/2 4 = 7 5. Однако, если мы используем нашу формулу (1.8), т = 2Р/ю, вместо (1.7), мы получим теоретическое значение Qspin / Q orbit = 6 4, которое ближе к наблюдаемому значению, что и подтверждает нашу теорию.

Мы старались подтвердить нашу теорию (1.5), (1.8) с помощью работы [14], но мы не смогли найти достаточно данных в этой статье. Например, FIG. 2 этой статьи показывает, что угловая скорость удерживаемых частиц была Q = 94 • 2п = 590/ sec при выходной степени поляризации луча ст = 0.9 — 0.1 = 0.8, т.е. Act = 0.2, однако радиус частиц и мощность луча в статье не даны.

Кроме того, вызывает удивление тот факт, что "вращение может быть остановлено введением перед объектом X /4 пластины, которая делает поляризацию линейной". Представляется, что если двояко преломляющая частица превращает свет круговой поляризации в частично линейно поляризованный свет и оттого вращается, та же частица должна превращать линейно поляризованный свет в эллиптически поляризованный и, опять же, вращаться. К сожалению, авторы не измеряли степень круговой поляризации выходного луча при линейной поляризации входного луча.

Ввиду всех этих результатов, мы предприняли другую проверку стандартного соотношения (1.4). Мы применили равенство (1.4) к классическому эксперименту Бета [29] и немедленно обнаружили, что утверждение (1.4) предсказывает нулевой результат этого эксперимента [17,18,23].

3 Фиг. 1. Двояко лучепреломляющая частица, удерживаемая на первом кольце Бесселего луча высокого порядка, вращается одновременно вокруг своей собственной оси (благодаря спину) и (и) вокруг оси луча (благодаря орбитальному моменту импульса). Кадры взяты из видеофильма и соответствуют указанным моментам времени.

3. Знаменитый оптический эксперимент Бета является загадкой в рамках стандартной электродинамики.

В эксперименте Бета [29] полуволновая пластина была подвешена горизонтально на кварцевой нити, и луч круговой поляризации проходил через нее снизу вверх. Из-за того, что пластина изменяла направление круговой поляризации луча на обратное, в соответствии с уравнением (1.7), момент силы, действующий на пластину, должен быть равен i = 2Р/ю. Однако, и это является главным пунктом, для удвоения этого момента импульса, прошедший луч отражался и проходил через пластину вторично на обратном пути. Для этого, на расстоянии примерно 4 миллиметра над пластиной была установлена четверть волновая кварцевая пластина. Верхняя сторона этой пластины была покрыта отражающим слоем алюминия. В этих условиях, действительно, момент силы, действующий на полу волновую пластинку, оказался равным

i = 4Р/ю. (3.1)

Между тем, этот результат противоречит уравнению (1.4). Это очевидно, поскольку отраженный луч ликвидирует поток энергии в аппаратуре Бета. Т.е. вектор Пойнтинга равен нулю в этом эксперименте, E х B = 0. Сложите падающий, E15 Bj, и отраженный, E2,B2 лучи, Ej = ei2-t[x + iy + z(i8x -dy)]E0, E2 = e[x-iy + z(-idx -8y)]E0 , B = -iE . Вы получите полное электромагнитное поле:

E tot = 2[(x cos z - y sin z) - z (sin z8 x + cos z8y )]E0 cos t, (3 2)

Btot = -2[(x cos z - y sin z) - z(sin z8x + cos z8y )] E0 sin t. (3 .3)

Полные поля, Etot, Btot, параллельны друг другу всюду. Так что, вектор Пойнтинга есть ноль! Так что, согласно уравнениям (1.2), (1.4), нет никакого момента импульса в двойном луче Бета. Мы показываем, что двойной луч Бета содержит поток спина и энергию без потока энергии и спина [17, 18, 23]. Это естественно, потому что в опыте Бета складываются два одинаковых луча круговой поляризации, идущие в противоположных направлениях. На Рис. 6 мы складываем две винтовочные

пули или два фотона, летящие в противоположных направлениях и вращающихся в противоположных направлениях. В результате мы получаем нулевой поток массы

Рис. 6

и отсутствие вращения.

4. Излучение вращающегося электрического диполя

Мы подсчитываем здесь угловое распределение потока момента импульса, излучаемого вращающимся электрическим диполем, согласно стандартному уравнению (1.4), и показываем, что такой диполь излучает момент импульса главным образом в экваториальную часть пространства, прилегающую к плоскости вращения диполя, туда, где поляризация излучения почти линейная.

Полярные области пространства, прилегающие к оси вращения, оказываются обедненными моментом импульса, хотя они интенсивно освещаются излучением почти круговой поляризации, которая несет спин. Мы заключаем, что экваториальный момент импульса (1.4) является орбитальным моментом импульса, не имеющим отношения к спину. Спин излучается в пространство, прилегающее к оси вращения, но стандартная электродинамика этого не видит. E и B поля удовлетворяют уравнениям [35]:

4%Ег = 3pkxkx' /r5 - p' /r3 + 3pkxkx' /r4 - pг / r2 + pkxkx' / r3 - p / r, (4.1)

4nBik = 2p['Xk] /r3 + 2p^Xk] /r2. (4.2) Мы используем сферические координаты x1 = r, x2 =0, x3 = ф с метрическим тензором

gn = 1, g22 = r2, g33 = r2 sin2 0, Vg = r2sin0. (4.3) Единичный дипольный вектор p имеет декартовы компоненты

px = exp(-гюt), py = г exp(-'raí), pz = 0,

и сферические компоненты:

p' = {pr = sin 0, p0 = (cos 0)/ r, pф = г /(r sin 0)}ехр[г(ф -rat)] (4.4)

pi = {pr = sin 0, p0 = r cos 0, p4) = ir sin 0}ехр[г(ф - rat)]. (45)

Мы выписываем здесь компоненты E и B полей

Er = (2/r3 - i2ra /r2) sin 0 ехр[гф + ira(r -t)]/4rc , (4.6)

E0 = (-1/ r4 + ira / r3 + ra2 / r2)cos 0 ехр[гф + íra(r - í)]/4rc, (4.7)

Eф = (-г / r 4 -ra / r3 + /ra2/ r 2)ехр[гф + tra(r -t)]/(4rc sin 0), (4.8)

Br0 = (ira /r + ra2)cos0 ехр[гф + ira(r -t)]/4rc, (4.9)

ВФг = (ra /r -г'ra2)sin0 ехр[гф + ^(r -t)]/4rc, В0ф = 0. (410) Компонента T Фг тензора Максвелла выглядит

T Фг = Br0 B ф0- ErE ф = -ErE ф. (4.11) При усреднении этой величины по времени, получаем

< TФг >=^{-ErEф}/2 = ra3/(16л2r4). (4.12)

2xlkT']■'йЬ,. = dÜ* /dt есть поток момента импульса через daj . Однако, нас интересует поток

момента импульса относительно оси z. Эта величина, dL / dt, является тривектором 3z[dL] / dt, который должен быть дуализирован [19]. В результате, мы получаем псевдоскаляр:

dL / dt = 3z1 (dLk / dt )jg ella /3!= z lx [T vda^^gelkl. (4.13)

z

Здесь

zr = cos0, z0 = -(sin0)/r, zф= 0 (4.14)

суть компоненты единичного вектора z , и ^fg есть антисимметричный псевдотензор. Мы должны положить

j ^ r, i ^ ф, k ^ r, l ^-6, и dar = r2 sin ф d0d^.

В результате, имеем

dL/dt = o3sin3 6d6dty/16л2 =®3sin2 6dQ/16л2 или dL/dtdQ = o3sin2 6/16л2

(4.15)

потому что еегф = —1. Это распределение, уравнение (4.15), изображено на Рис. 7 а. Это распределение существенно отличается от зависимости степени круговой поляризации а(е) от угла е (Рис. 7 Ь). Эта зависимость получена следующим образом.

Эллиптически поляризованный луч (2.1) может быть выражен в терминах большой, г +1, и

малой, г — I, полуосей эллипса

Е = ехр(/^ - <)[(г +1)х - /(г -1)у)] Е0 / 42, (416)

и отношение (г -1) /(г +1) похоже на степень поляризации а (2.2) не зависимо от профиля луча и :

г -1 (г +1)2 .

а =

r +1 r2 +12

(4.17)

Степень круговой ^

поляризации Однако, как хорошо известно, для излучения вращающегося

диполя,

r -1

r + l

= cos 6

(4.18)

Поэтому мы можем изобразить а(е) приблизительно так, как на Рис. 7 Ь. Рисунки 7 а и 7 Ь показывают, что момент импульса и спин суть разные вещи, излучаемые в разные стороны. Используя тензор спина (1.6), мы подсчитали излучение спина в [19].

5. Выводы, замечания и благодарности

Эта статья представляет новую физику. Мы рассматриваем публикации, касающиеся спина электродинамики, и обнаруживаем, что существующая теория не достаточна для разрешения проблемы спина ввиду отсутствия понятия спина в современной классической электродинамике. Мы показываем, как разрешить эту трудность введением тензора спина электродинамики. Наш тензор спина, в частности, удваивает предсказываемый момент импульса луча круговой поляризации без азимутальной фазовой структуры и объясняет опыт Бета.

Я глубоко благодарен профессору Роберту Ромеру за публикацию моего вопроса [36] в последнем номере журнала, который он редактировал перед уходом в отставку (вопрос был

направлен в редакцию 7 октября 1999 года). Я также благодарен профессору Тимо Ниеминену за содержательные дискуссии на сайте sci.physics.electromag.

Список литературы

1. Гайтлер В. Квантовая теория излучения. - М.: ИЛ, 1956.- 459с.

2. Belinfante F.J. On the spin angular momentum of Meson. //Physica. - 1939, 6.- p.887-98

3. Rosenfeld L. Sur le Tenseut d'Impulsion-Energie. //Memoires de l'Academie Royale des Sciences de

Belgiques.-. 1940, 18 No. 6.- p.1-30

4. Jackson J. D. Classical Electrodynamics. - Wiley, 1999.- 808p.

5. Soper D. E. Classical Field Theory. - N.Y.: John Wiley, 1976.- 678p.

6. Rohrlich F. Classical Charged Particles. - Mass.: Addison-Wesley, 1965. -756p.

7. Humblet J. // Physica. - 1943, 10.- p.585.

8. Crichton J. et al. // General Relativity and Gravitation. - 1990, 22.- p.61.

9. Crichton J. H. and Marston P. L. The Measurable Distinction Between the Spin and Orbital Angular

Momenta of Electromagnetic Radiation. //Electronic Journal of Differential Equations. - 2000, Conf. 04.- p.37.

10. Ohanian H.C. What is spin? //Amer. J. Phys. - 1986, 54.- р.500-505

11. Loudon R. Theory of the forces by Laguerre-Gaussian light beams on dielectrics.//Phys. Rev. - 2003, A68 013806

12. Simmonds J.W. and Gutman M.J. States, Waves and Photons. - Mass.: Addison, 1970.- 456 p.

13. Allen L. et al. Progress in Optics XXXIX. - Elsevier: Amsterdam, 1999.- 384p.

14. Bishop A. I., Nieminen T. A., Heckenberg N. R., and Rubinsztein-Dunlop H. Optical Microrheology Using Rotating Laser-Trapped Particles. //Phys. Rev. Lett. -2004, 92, 198104.

15. R.I. Khrapko. Violation of the gauge equivalence. - http: // arXiv.org/abs/physics/0105031 (11.12.2001)

16. R.I. Khrapko. True energy-momentum tensors are unique. Electrodynamics spin tensor is not zero. -http://arXiv.org/abs/physics/0102084 (10.08.2001)

17. Khrapko R.I. Experimental verification of Maxwellian electrodynamics. // Measurement Techniques -2003, 46, No. 4.- p.317.

18. R.I.Khrapko. The Beth's experiment is under review //mp_arc@mail.ma.utexas.edu REQUEST: send papers NUMBER: 03-307 (2003)

19. R.I.Khrapko. Radiation of spin by a rotator. - mp_arc@mail.ma.utexas.edu REQUEST: send papers NUMBER: 03-315 (2003)

20. R.I.Khrapko. A circularly polarized beam carries the double angular momentum. -mp_arc@mail.ma.utexas.edu REQUEST: send papers NUMBER: 03-311

21. Khrapko R.I. Classical spin in space with and without torsion. // Gravitation & Cosmology - 2004, 10, No. 1-2.- p.91.

22. R.I. Khrapko. Transfer of spin to a mirror2. - http://www.sciprint.org (2005)

23. Khrapko R. I. Origin of spin. //Unfolding the Labyrinth: Open Problems in Mathematics, Physics, Astrophysics, and Other Areas of Science. - 2006, 57-71. http://xxx.lanl .gov/abs/math.GM/0609238

24. R. I. Khrapko. Absorption of a circularly polarized beam in a dielectric, etc. www. sciprint. org (2006)

25. Храпко Р. И. Истинные тензоры энергии-импульса и спина среды однозначны. //Теоретические и экспериментальные проблемы общей теории относительности и гравитации. Х Российская гравитационная конф., Владимир. 1999: Тез. докл. - Москва, 1999. - с.47.

26. Храпко Р. И. Экспериментальная проверка электродинамики Максвелла. //Измерительная техника. - 2003, № 4. с.3-6.

27. Храпко Р. И. Спин классической электродинамики. //Вестник Российского университета дружбы народов, Серия Физика. - 2002, № 10(1).- c.40-48.

28. Храпко Р. И. Локализация энергии-импульса и спин. //Вестник Российского университета дружбы народов, Серия Физика. - 2002, № 10(1).- с.35-39.

29. Beth R.A. Mechanical Detection and Measurement of the Angular Momentum of Light. //Phys. Rev. -1936, 50.- p.115-125.

30. Simpson N. B., Dholakia K., Allen L., and Padgett M. J. Mechanical equivalence of spin and orbital angular momentum of light: an optical spanner. //Opt. Lett. - 1997, 22.- p.52-54

31. Allen L., Beijersbergen M. W., Spreeuw R. J. C., and Woerdman J. P. Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian modes. //Phys. Rev. - 1992, A45.- p.8185

32. Padgett M., Allen L. Light with a twist in its tail. //Contemp. Phys. - 2000, 41.- p.275-285

33. Parkin S, Knoner G, Nieminen T. A., et al. Measurement of the total optical angular momentum transfer in optical tweezers // Optics Express. - 2006, 14.- p.6963

34. Garces-Chavez V., McGloin D., Padgett M. J., et al. Observation of the Transfer of the Local Angular Momentum Density of a Multiringed Light Beam to an Optically Trapped Particle //Phys. Rev. Lett. -2003, 91, 093602

35. Corney A. Atomic and Laser Spectroscopy. - Oxford: University Press, 1977.- 567p.

36. Khrapko R.I. Does plane wave not carry a spin? //Amer. J. of Physics. - 2001, 69.- р.405.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ

Храпко Радий Игоревич, доцент кафедры физики Московского авиационного института (государственного технического университета), к.ф.-м.н. E-mail: khrapko_ri@hotmail.com

121433, Москва, Б. Филевская, 43 - 92, т. 1446312