Размеры дочерних капель, образованных при дроблении материнской капли на три дочерние в одиночном испытании Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.517.4: 532.529.45

П.Г. Ганин1

Введение

В аппарате с механическим перемешиванием систем типа жидкость - жидкость в результате процессов дробления и коалесценции формируется полидисперсная эмульсия капель [1, 2]. Деформация и дробление капель -результат действия разности динамических напоров Дрд, препятствует этому процессу поверхностное натяжение, которое проявляется в возникновении капиллярного давления рк [1-5]. Дробление происходит, если условие деформации Дрд > рк выполняется в течение времени, превышающего характерное время та дробления капли. Величина та в общем случае зависит от линейного размера капли, вязкости, плотности и поверхностного натяжения жидкостей сплошной и дисперсной фаз, а также скорости движения жидкости [1]. При различных значениях критериев Вебера и Рейнольдса время та выражаются различными аналитическими зависимостями.

Процесс дробления происходит как в ядре турбулентного потока жидкости, так и вблизи твёрдых поверхностей аппарата [1, 2], где капли подвергаются множественным испытаниям на дробление, каждое из которых (одиночное испытание) происходит за период (характерное время) пульсации соответствующего линейного масштаба [6-9]. Некоторые испытания приводят к дроблению капель, в результате образуется «спектр» дочерних капель по размеру, чаще всего их число 2-3. Дробление капель фиксированного размера в локальной зоне аппарата является случайным событием, поскольку детерминировано пульсационной скоростью жидкости в окрестности капли [3], амплитуда которой распределена случайным образом [10]. Ряд работ посвящён различным аспектам дробления в потоке жидкости и газа [11-19], уточнению оценки диаметра дочерних капель наименьшего размера [20-22], в том числе, для случая дробления наибольших капель полидисперсной эмульсии на три дочерние [22]. Размеры трёх дочерних капель, которые могут образоваться при дроблении капли произвольного диаметра не оценивались.

Цель работы - нахождение аналитической зависимости диаметра дочерних капель от значения пульсаци-онной скорости в одиночном испытании и диаметра материнской капли при ее дроблении в ядре турбулентного потока жидкости на три дочерние капли.

РАЗМЕРЫ ДОЧЕРНИХ КАПЕЛЬ, ОБРАЗОВАННЫХ ПРИ ДРОБЛЕНИИ МАТЕРИНСКОЙ КАПЛИ НА ТРИ ДОЧЕРНИЕ В ОДИНОЧНОМ ИСПЫТАНИИ

Са нкт- П етербургская государственная

химико-фармацевтическая академия

197376, Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, 14

Работа посвящена теоретическому моделированию дробления капель на три дочерние в ядре турбулентного потока жидкости. Получена приближенная аналитическая зависимость диаметра дочерних капель от диаметра материнской капли и пульсационной скорости в одиночном испытании.

Ключевые слова: жидкость - жидкость, турбулентный поток, дробление капель, одиночное испытание, дочерние капли, диаметр, теоретическая оценка.

Дробление капли на три дочерние

Модель дробления капли на три дочерние (модель «тройной капли») [22] построена на основе условий деформации, исходной упрощённой модели дробления капли [3] и свойств турбулентности [10, 2з, 24]. Предполагаются следующие преобразования формы капли: сфера ^ вытянутый эллипсоид вращения ^ «тройная капля» (линейного масштаба Аз = Сдб(3) + 2Сдм(3)) ^ большая (диаметром ^дб(з)) и две малые (диаметром Сдм(3)) дочерние капли [22]. Диаметры дочерних капель оцениваются из приближённых уравнений:

Р

(v3 )2

(1)

d до— [d 3 - 2((дм )3 1 '

(2)

где Ожж - межфазное натяжение жидкость - жидкость; Vз - пульсационная скорость линейного масштаба А = Аз; Аз -линейный масштаб «тройной капли»

Х = гаяш +с д6= гаяш + [с3 - 2 (¿дм ) ] 3, (3)

где С - диаметр материнской капли.

Диаметры малых дочерних капель образуемых в одиночном испытании при дроблении материнской капли произвольного диаметра с в фиксированной зоне аппарата оценим из зависимости общего вида (1), полагая уЗ = у'з

— v/(1)z, получим:

Р

(<’-' )2

(4)

г.(1)г

А3 в одиночном испытании в фиксированной зоне аппарата - среднеквадратичное значение, усреднённое за период (характерное время) одиночной пульсации.

Значение у'л(1) можно выразить через пульсацион-

ную скорость (среднеквадратичное значение, усред-

нённое за достаточно большой промежуток времени) того

1 Ганин Павел Георгиевич, канд. техн. наук, ст. науч. сотр., каф. процессов и аппаратов химической технологии, e-mail: ganin-pavel@rambler.ru

Дата поступления - 24 октября 2012 года

d

2

d

2

ДМ

3

же линейного масштаба А:

v'il) = Ул Ч,

(5)

где уа - приведённая (безразмерная) величина пульсаци-онной скорости линейного масштаба А в одиночном испытании.

Локальное значение пульсационной скорости линейного масштаба Х согласно «закону двух третей» Колмогорова-Обухова [23, 24] имеет оценку:

(6)

{v'xL)2 »(еLл)273 , л0 <л<<i,

р z = к р ,

&о о'

(7)

где кг - числовой коэффициент для фиксированной зоны аппарата.

Из уравнения (5) с учётом (6) и (7) для фиксированной зоны аппарата и линейного масштаба тройной

капли А = А3, получим (у^з)2 «(у3)2(кге0Х3 )273 , тогда

уравнение (4) примет вид:

,(у3)2 (кге0Х3)273 « 4стжж . (8)

2 ~ См,

Р-

Приведённый вид уравнения

Преобразуем уравнение (8) к удобному для дальнейшего анализа приведённому (безразмерному) виду. Выразим линейные размеры через диаметр Скр наибольших капель, устойчивых в аппарате. Диаметр Скр оценивается из условия [1-3], которое запишем в виде [22]:

(у' 2т )2 4

у СкР / тах 4СТ жж ,

Р-

(9)

2

d к

dKp:

(vdKp L ~ 3VdKp . (10)

Во-вторых, рассматривается дробление в зоне аппарата, где имеет место максимальная локальная величина скорости диссипации энергии, что соответствует зоне мешалки:

(р L L = р 0". (11)

Значение (v'zm )2 с учётом уравнений (6), (7),

V с1кр / max

(10), (11) составит (р)2 - з2 (к е0dKP)273 , тогда урав-

\ -'max ' z" 0 кр'

нение (8) примет вид:

, 3 (kz"Sоdкр ) 4стжж .

Р

(12)

Деление уравнения (8) на уравнение (12) преобразует его к приведённому (безразмерному) виду:

т2/ \ 2 7 3

dg

3

l

или

dди -(зЗт] ^Дм+[(d*)3 -2(;)3173}

(13)

где - локальное значение скорости диссипации энергии в единице массы жидкости; А - линейный масштаб движения; Ао - внутренний масштаб турбулентности; I -масштаб наибольших пульсаций.

Значение можно выразить через среднее по аппарату значение £о скорости диссипации энергии в единице объёма жидкости: е£ = кье0, где кь - числовой коэффициент, для фиксированной зоны аппарата [7, 25, 26]:

где

- приведённый

Х*з = Х з/ с кр = 2С *м 3(с* )3 - 2 (с Дм )3 ] *

(безразмерный) линейный масштаб тройной капли; С = С/Скр, С дб — Сдб/Скр и С дм — Сдм/Скр, и приведенные (безразмерные) диаметры материнской капли, большой и малых дочерних капель, соответственно; * = | ^ - приведенная (безразмерная) скорость диссипации энергии в зоне аппарата; узг =у 3 (£* )17 3 - безразмерный параметр. Отметим, что в зоне мешалки ^ _ 1, следовательно

гт _ ( * )17 3

Уз _( ^т) .

Уравнение (13) не имеет аналитического решения (относительно диаметра С*дм), однако может быть решено в численном виде.

Образование трех капель равного размера

Найдем соотношение между предельными значениями приведенных диаметров материнской С* и дочерних С дм, С дб капель, а так же параметром узг, отвечающих

частному случаю дробления - образованию трех дочерних

капель равного диаметра:

d 1

d

дб

(14)

где (v'z") - максимальное значение пульсационной

V dKp / max

скорости линейного масштаба А = dKp в зоне мешалки.

Значение (v'z") в уравнении (9) оценивается с

V dKp /max

учётом двух обстоятельств [2]. Во-первых, принимается: (v ) « 3v , соответственно, для линейного масштаба А

\ л / max л

Из уравнения (2) и условия (14) найдем:

С*м = С; = 3-173С* « 0.693С*. (15)

Из уравнения (13) и условия (14) получим искомые соотношения:

1. Полагая уз = (у) , найдем предельное значение параметра у3 для фиксированного диаметра С*дм:

У I - З273 (С*м)-576 = 2,08(с„)-576.

2. Полагая С дм — (С дм)пр, С дб — (С дб)пр, найдем предельное значение диаметров С*дм, С*дб дочерних капель для фиксированного значения параметра узг:

(С )„ =(С*.) = 34 7 5 (у; )1 » 2.408(у;)1. (ВД

3. Полагая уз = у) и с учетом зависимости (15), найдем предельное значение параметра узг для дробления материнской капли фиксированного диаметра С*:

5 7 6 / ,* \-5 7 6

(yZI = 318 (d*)-576 - 2,822(d*)-

(17)

4. Полагая С = (С 3)пр и с учетом зависимости (15), найдем предельный диаметр материнской капли для фиксированного значения параметра у3:

(18)

(d3* L = 317715 (yZ )-675 - 3.47э( )

К Ip-

Расчетные зависимости (16)-(18) представлены на рисунке 1.

2

z

У

Рисунок 1. Расчетные зависимости предельных (отвечающих случаю С * = С \ ) значений приведённых диаметров материнской, малой и

дм дб

большой дочерних капель от параметра у 3 (а) и параметра (у 3 )

от приведённого диаметра материнской капли (б): 1 - приведенные диаметры дочерних капель; 2 - приведенный диаметр материнской капли

Как следует из рисунка 1, при дроблении капли на три дочерние капли равного диаметра с увеличением параметра (у 3) диаметры материнской и дочерних капель существенно уменьшаются, а с увеличением диаметра материнской капли значение параметра (узг) уменьшается.

Согласно модели тройной капли [22], формирование малых дочерних капель происходит в области вершин вытянутого эллипсоида вращения, где кривизна поверхности наибольшая (радиус кривизны наименьший). Предельным случаем дробления на три дочерние является образование дочерних капель равного диаметра. Следовательно, с учетом уравнений (17) и (18) необходимыми условиями дробления на три дочерние капели будут:

у 3 >( 3 ) « 2,822(С* )-5 7 6, (19)

или С* >(* ) « 3,47з(у3 )-675 .(2°)

Расчетные значения диаметров дочерних капель

На рисунке 2 представлены рассчитанные зависимости диаметров С*дб большой и С*дм малых дочерних капель от диаметра С* материнской капли (приведенные величины) для значений С* = (С3)пр, а также С = 0,5; 1,0...8,0, удовлетворяющих условию (20). Значения получены посредством численного решения уравнений (2), (13) и (18) для различных фиксированных значений параметра у 3 = 0,75; 1,0; 1,5; 2,0; 3,0; 4,0; 5,0.

M-à'a

Как следует из рисунка 2, диаметры d дб и d не-

7* 7*

значительно отличается, а d дм существенно меньше d, отличие возрастает с увеличением параметра yz и диаметра d*. Для фиксированного значения параметра y3

при малом - предельном значении диаметра d* = ^*з)Пр (см. оценку (18)) образуются три дочерние капели равного диаметра d*дм = d*дб.

Приближенное вычисление диаметров дочерних капель

Можно показать, что рассчитанные из уравнения (13) значения приведенных диаметров d*дм малых дочерних капель для различных фиксированных значений параметра y3 =0,75; 1,0; 1,5...5,5 удовлетворительно аппроксимируются логарифмическими функциями (рисунок 2) и полиномами 2-й степени:

d*, « alnln(d*)+ bn, (d** ) < d* < 8, K2 > 0,9917; (21) d*, « a„(d* )2 + b„d * +c„,(d* ) < d* < 8, R2 > 0,9695;(22)

где Rn2 и r2 - значения достоверностей аппроксимации;

значение диаметра ^*з)пр задано оценкой (18).

Коэффициенты ain и bin логарифмических функций и коэффициенты ап, Ьп и сп полинома зависят от значения параметра уз. Эти зависимости удовлетворительно аппроксимируются степенными функциями (рисунок 3):

ah « -0,7ббз(уз )-13034, R2(in ) « 0,9997, (23)

bhl « 3,3548(уз )-15547, Rb(in) « 0,9999, (24)

а„ « 1,9323(3 Г7541, R2(„) « 0,9342, (25)

bn « -3,6218(y3 )^'9676, R2(„) « 0,9794, (26)

cn « 3,4277(y3 )-1,421, R(„) « 0,9991, (27)

где R(in), «Min), R„2(„), R(„), R2(„) - значения досговерно-сти аппроксимации.

а)

-9|п

б)

Ю0хап

Рисунок 2. Расчетные зависимости диаметров дочерних капель от диаметра материнской (приведенные величины) для различных значений параметра у 3 : б - фрагмент графика а. Значения аппроксимированы степенными функциями. 1 - 7 - диаметр малых дочерних капель; 1' - 7' - диаметр больших дочерних капель; 8 - равные диаметры дочерних капель; 1, 1'- у 3 = 0,75 ; 2, 2'- у 3 = 1,0 ; 3, 3'-

у 3 = 1,5; 44' - у 3 = 2,0; 55' - у 3 = 3,0; 6 6' - у 3 = 4,0; 7 7'

- у3 = 5,0

Рисунок 3. Расчетные зависимости коэффициентов аы, Ь1п логарифмических функций (а) и коэффициентов ап, Ьп, сп полиномов (б) от параметра у3 . Значения аппроксимированы степенными функциями: 1 - ап; 2 - Ь1п; 3 - ап ; 4 - Ьп ; 5 - сп

1п 1п п п п

Как следует из уравнений (21)-(27) и рисунка 3, логарифмическая функция соответствует расчетным значениям с большей достоверностью аппроксимации по сравнению с полиномом 2-й степени. Погрешность аппроксимации полиномом возрастает в области малых значений параметра у3 = 0,75 -1,0 (в этой области увеличивается ошибка аппроксимации коэффициента ап степенной функцией (25)).

Приближенные решения (21) и (22) уравнения

(13), соответствующие коэффициенты аппроксимации (23)-(27) и зависимости (16)-(18), получены для широкого интервала значений d* = 0,5 - 8,0 и y3 = 0,75 - 5,5,

однако на практике они ограничены максимальными значениями d* и У ) .

max V 3 /max

Принятая оценка максимального значения пульсационной скорости (у'^)max « з(а) [2] является оценкой

максимального значения величины у для одиночного

испытания и соответствует (v ) « 3 . Отметим, что мак-

VI А / max

симальное значение величины уа для зоны мешалки,

оцененное с учетом числа n испытаний за время пребывания капель в этой зоне, как очевидно, будет возрастать с увеличением n.

Приведенный диаметр dmax наибольших капель

при установившемся состоянии полидисперсной эмульсии не многим больше 1 и зависит от конструктивного типа аппарата и мешалки [2]. Для аппарата стандартного конструктивного типа с турбинной мешалкой и разделительными перегородками d*nax « 2,64 [27]. Для этого случая i* i*

зависимость диаметров d дб и d дб дочерних капель от

,* и и

диаметра d* материнской для различных значений параметра y3 представлена на рисунке 2.6.

Поскольку диаметры d*дб и d* незначительно отличаются (рисунок 2), то «спектр» образованных дочерних капель по диаметру удобно представить безразмерными величинами, d дб/d дм = Сдб/Сдм, d дм/d = dдм/d и d дб/d = d^/d. Зависимости этих величин от приведенного диаметра d* материнской капли для различных значений параметра y3 =0,75; 1,0; 1,5...5,5, полученные посредством

численного решения уравнений (2) и (13), а также аппроксимированные приближенным уравнением (21) с учетом зависимостей (23) и (24), представлены на рисунке 4.

в)

«v.

*****

6)

d'íR>d’u

Рисунок 4. Расчетная зависимость отношения диаметров большой и малой дочерних капель к диаметру материнской капли (а) и отношения диаметров большой и малой дочерних капель (б в) от диаметра материнской капли (приведенные величины), в - фрагмент графика б. Рассчитано для значений параметра уз: 1 - у 3 = 0,75 ; 1 -

у3 = 1,0; 1 - у3 = 2,0; 1 - у3 = 3,9; 1 - у3 = 4,0; 1 -

у 3 = 5,0; 1 - у 3 = 5,5; 8 - С дм = С дб

Как следует из представленных данных (рисунок 4), различие размеров дочерних капель возрастает с уве-

V/

личением диаметра С материнской капли и параметра у3 . Для фиксированных значений параметра у3 по мере

7*

уменьшения диаметра С* различие диаметров дочерних капель уменьшается и в пределе при значении параметра уз = уз (с* )пр образуются дочерние капли равных диа-

7* 7* _-1/3 * * * Н

метров: С дм = С дб = 3 С , С дм = С дб = 1

В аппаратах с механическим перемешиванием принято выделять две основные рабочие зоны, в пределах которых локальные значения скорости диссипации энергии в первом приближении не изменяются - зону мешалки и основную зону аппарата [2]. Оценим параметр у3 =у3 (£*)73 для этих зон. Поскольку е* =е0/е0" , то

для зоны мешалки s **m =s 0m/ s 0m = 1, а для основной зо-

zm

ны аппарата е/ = е1/е, откуда получим:

у3" _у 3"' (28)

уЗ =у 1(е /)17 3. (29)

При оценке диаметров С*дм = Сдм/Скр и С*дб = Сдб/Скр на основе уравнений (2), (21)-(29) величины е**, е 0 и Скр

удобно выразить через физико-химические параметры системы. Для аппаратов многих конструктивных типов установлены зависимости (7) (т.е. численные значения коэффициентов кг), а также [2]:

е0 « Кд3 О}, (30)

С кр = /кр (е)(° жж >Р> е 0 )' (31)

С кр = /кр (п )(° жж-Р - е 0 ,Кп’П И ’О/ )' (32)

где пт - число оборотов мешалки в единицу времени; о/ -диаметра аппарата; Кп - числовой коэффициент. (Зависимость (32) следует из (31) с учётом (30)).

Вид функций /кр(£), /кр(п) и численные значения коэффициентов кг, Кп, детерминированы конструктивным типом аппарата и мешалки [2].

Дробление капель в аппарате стандартного конструктивного типа с турбинной мешалкой и разделительными перегородками

Для аппарата данного конструктивного типа (при стандартном коэффициенте заполнения 0,5) установлен диаметр наибольших капель полидисперсной эмульсии Стах « 2,64 [27] и вид функций (7), (30), (31): скорость

диссипации энергии в зоне мешалки е0" « 75е0 [28], в основной зоне аппарата е0 « 0,25е0 [7], откуда (с учетом

е* =е//е) следует

зависимостей

= г 3(s * )17 3

У 3 = у 3 г } " ^ г/ ~ ° 0

уз/ « 0,149у3/, значение числового коэффициента Кп « 0,02 [25]. Для рассматриваемого случая уравнения (30) - (32) принимают вид:

е 0 « *

диаметр Скр оценивается зависимостью [2]

s 0 « a°2nB d f,

(33)

P

(34)

откуда, с учетом (33), следует

0,6

a

S

dm * 0,885

Р

2 Df

(35)

с учетом известной зависимости См = 0,4О/ для аппарата этого типа [2], следует

* 0,425d„We'

(36)

где We = (р/ст жж - число Вебера для мешалки; См -

диаметр (внешних кромок) мешалки.

Расчётные значения диаметра Скр принято сопоставлять с экспериментальной величиной среднего поверхностно-объемного диаметра Сп.о капель полидисперс-ной эмульсии. Для аппарата данного конструктивного типа (при объемной концентрации дисперсной фазы ф = 0,05-0,1) диаметр Сп.о оценивается приближённой эмпирической зависимостью [2]:

<0,13

Р

(37)

в общем случае зависимостью [29, 30]

Pc

Ф

у

Pl

Рд

где К - опытный коэффициент; Рд, Рс и Пд, Пс - плотности и вязкости жидкостей сплошной и дисперсной фазы, соответственно.

Соответствие расчётного значения диаметра Скр (уравнение (34)), с эмпирически значением диаметром Сп.о (уравнение (37)), принимается удовлетворительным [2]. Вместе с тем отмечается, что в полидисперсной эмульсии присутствует фракция капель, диаметр которых существенно меньше теоретически ожидаемого диаметра Скр [2], что соответствует с* _ 1. На мелкодисперсную фрак-кр

цию капель (диаметрам С* < 1) приходится значительная доля объема дисперсной фазы и подавляющая доля счетного числа капель: 36 % и 92 %, соответственно [21].

Можно показать, что при подстановке значений диаметра наибольших капель полидисперсной эмульсии С* = С* « 2 64 и наибольшего значения

z

У3

3 параметра = у 3 (є* )17 3, которое дости-

= (У3 )m

гается при у 3 =(у3 )max »3 (соответствует оценке

(v') * 3v') в зоне мешалки, где s* =(е*) =szm = 1,

V ' 'max ' z \ z /max zm

из уравнений (21)-(23) следует оценка диаметра малых дочерних капель наименьшего размера: (d* ) * 0 427.

\ дм / min ’

Приведённая оценка (d* ) косвенно объясняет экспе-

дм min

риментально установленное наличие мелкодисперсной фракции капель диаметром 0,43 < d* < 1.

Отметим, что принятая в расчёт оценка

К)

\ а / m

; 3vx соответствует максимальному значению уя

одиночном испытании капли на дробление (за время одиночной пульсации). Поскольку среднее время пребывания капель в зоне мешалки существенно превосходит характерный период пульсаций масштаба капли [9], то они подвергаются множественным испытаниям и реальное значение (у!) будет большим. Учёт этого обстоятель-

\ Х /max

ства является предметом отдельного рассмотрения.

Заключение

Таким образом, получены приближенные зависимости (2), (21), (23), (24) диаметров большой с*б и малых

С*т дочерних капель от диаметра с* материнской капли и безразмерного параметра у3 =у 3 (е* )17 3, или скорости е* диссипации энергии в зоне аппарата и пульсационной скорости у з в одиночном испытании (приведенные величины): с; «/дм^С*,у3) и С*б «/дм(у)(С*,у3), или

с дм« /д^с*, е* ,у 3) и с;« /дм^с*, е* ,у 3).

Значение может быть выражено через среднее по аппарату значение скорости е0 диссипации энергии

(7), что даёт зависимости: с;«/т(г)(с-,к2,е0,уз,),

сдб « /дб(е) (С*,кг, е0 ,у3,). Далее, выражая величину 80

через число Пщ оборотов мешалки в единицу времени и диаметра аппарата (33), получим зависимости:

С«/дм( )(с\кг,Кп,па,Б/,у3,),

Сдб « /дб( ДС* ,кг, Кп , пш,О/ ,у3 =) .

Диаметр Скр может быть выражен через число We Вебера для мешалки (36) и диаметр См (внешних кромок) мешалки или через межфазное натяжение Ожж жидкостей, плотность р жидкости сплошной фазы и скорость диссипации энергии £0 (24) или число пш оборотов мешалки в единицу времени и диаметра О/ аппарата (25). Эти замены в приведённых оценках позволяют перейти от приведенных диаметров капель С*, С*дм и С*дб к диаметрам капель С, Сдм и Сдб.

Отметим, что нахождение капель в различных зонах аппарата является случайным событием, а величина пульсационной скорости в одиночном испытании является случайной величиной, что позволяет использовать полученные аналитические зависимости для оценки вероятности образования дочерних капель различного диаметра и «сценария» дробления - числа дочерних капель.

Литература

1. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физматгиз, 1959. 669 с.

2. Брагинский Л.Н., Бегачев В.И., Барабаш В.М. Перемешивание в жидких средах. Физические основы и методы расчета. Л: Химия, 1984. 336 с.

3. Колмогоров А.Н. О дроблении капель в турбулентном потоке // Докл. АН СССР. 1949. Т. 66. № 5. С. 825-828.

4. Хинце И.О. Турбулентность, её механизм и теория. М.: Физматгиз, 1963. 680 с.

5. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. II. М.: Наука, 1987. 360 с.

6. Ганин П.Г. Адсорбционное взаимодействие частиц твердой и жидкой дисперсных фаз в аппарате с перемешиванием. Теоретическая оценка вероятности дробления и устойчивости взаимодействия частиц в одном испытании // Сорбц. и хроматограф. процессы. 2007. Т. 7. № 3. С. 444-455.

7. Ганин П.Г. Адсорбционное взаимодействие частиц твердой и жидкой дисперсных фаз в аппарате с перемешиванием. Теоретическая оценка вероятности дробления и устойчивости взаимодействия частиц за время их пребывания в зонах аппарата // Сорбц. и хроматограф. процессы. 2007. Т. 7. № 4. С. 618-630.

8. Шмидт А.А., Ганин П.Г. Вероятность дробления и устойчивости капель в ядре турбулентного потока жидкости в условиях однородной и изотропной турбулентности и в аппарате с перемешиванием // Сорбц. и хроматограф. процессы. 2008. Т. 8. № 6. С. 931-941.

9. Ганин П.Г., Шмидг А.А. Вероятность дробления капель в ядре турбулентного потока жидкости за время пребывания в зонах аппарата с перемешиванием // Научно-технические

0,6

а

0,8

жж

n

о

0.6

а

жж

0.6

0.25

а

жж

в

ведомости СПбГПУ. Сер. «Физ.-мат.. науки». 2008. № 6. С. 113120.

10. Брэдшоу П. Введение в турбулентность и ее измерение. М.: Мир, 1974. 277 с.

11. Пеньков Н.В., Флисюк О.М. Математическая модель процесса дробления частиц в аппаратах периодического и непрерывного действия // Журн. прикл. химии. 1985. Т. 58. № 5. С. 1161.

12. Сметанин С.В. Шрагер ГР, Якутенок В.А. Колебания вязкой капли // Proceedings of International Conference RDAMM-2001 г. Новосибирск. Труды междунар. конф. Новосибирск: 2001. Т. 6. Ч. 2. С. 353-357.

13. Гирин А.Г. Функция распределения вторичных капелек при дроблении капли скоростным потоком газа. // Вестник ОНМУ. 2009. Вып. 28. С. 54-61.

14. Гирин А.Г. Распределение диспергированных капелек при дроблении капли в скоростном потоке газа // Вестник ОНМУ. 2010. Вып. 29. С. 39-48.

15. Гирин А.Г. О закономерностях дробления капли в скоростном потоке // Инженерно-физический журнал. 2011. Т. 84. №5. С. 938-944.

16. Innings F, Fuchs L, Tragardh C, Tragardh C Theoretical and experimental analyses of drop deformation and break-up in a scale model of a high-pressure homogenizer // J. Food Eng. 2011. Vol. 103. P. 21-28.

17. Han L, Luo H, Liu Y A theoretical model for droplet breakup in turbulent dispersions // Chem. Eng. Sci. 2011. Vol. 66. P. 766-776.

18. Skartlien R, Nu/and S, Amundsen J.E. Simultaneous entrainment of oil and water droplets in high Reynolds number gas turbulence in horizontal pipe flow // Int. J. Multiphase Flow. 2011. Vol. 37. P. 1282-1293.

19. Bak A., Podgorska W Investigation of drop breakage and coalescence in the liquid-liquid system with nonionic surfactants Tween 20 and Tween 80 // Chem. Eng. Sci. 2012. Vol. 74. P. 181191.

20. Ганин П.Г. Комаров Е.В. Дробление капель в ядре турбулентного потока жидкости. Гипотетическая модель «двойной капли» // Состояние и перспективы подготовки специалистов для фармацевтической отрасли: Мат. науч.-метод. конф. СПб, 20 февраля 2004 г. СПб.: СПХФА, 2004. С. 60-64.

21. Ганин П.Г. Механизм образования мелкодисперсной фракции капель в аппарате с механическим перемешиванием // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Сер. «Физ.-мат. науки». 2009. № 4. С. 7-13.

22. Ганин П.Г, Шмидт А.А. Теоретическая оценка диаметра капель, образованных при дроблении наибольших капель в аппарате с перемешиванием // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Сер. «Физ.-мат. науки». 2011. № 1. С. 29-36.

23. Колмогоров А.Н. Рассеяние энергии при локальной изотропной турбулентности // Докл. АН СССР. 1941. Т. 32. № 1. С. 19-21.

24. Обухов А.М. О распределении энергии в спектре турбулентного потока // Докл. АН СССР. 1941. Т. 32. № 1. С. 2224.

25. Ганин П.Г, Шмидт А.А. Вероятность дробления капель в ядре турбулентного потока жидкости за время пребывания в рабочих зонах аппарата с перемешиванием // Научнотехнические ведомости СПбГПУ. Сер. «Физ.-мат. науки». 2008. № 6. С. 113-120.

26. Ганин П.Г. Вероятность дробления пузырьков газа в одиночном испытании в аппарате с перемешиванием и аэрацией // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Сер. «Физ.-мат. науки». 2009. № 3. С. 17-23.

27. Sprow S.B. Distribution of drop size produced in turbulent liquid - liquid dispersion // Chem. Eng. Sci. 1967. Vol. 22. P. 435439.

28. Mockel H.O. Die Verteilung der ortlichen Energiedissipation in einem uhrwerk // Chem. Techn. 1980. Vol. 32. № 3. P. 127129.

29. Calderbank P.H. Physical Rate Processes in Industrial Fermentation. Pt. I: The Interfacial Area in Gas - Liquid Contacting with Mechanical Agitation // Trans. Inst. Chem. Eng. 1958. Vol. 36. № 5. P. 433-440.

30. Кафаров В.В, Винаров АЮ, Гордеев Л.С. Моделирование биохимических реакторов. М.: Лесная промышленность, 1979. 344 с.