Теоретическая оценка диаметра капель, образованных при дроблении наибольших капель в аппарате с перемешиванием Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

УДК532.51 7.4: 532.529.5

П.Г. Ганин, АЛ. Шмидт

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ДИАМЕТРА КАПЕЛЬ, ОБРАЗОВАННЫХ ПРИ ДРОБЛЕНИИ НАИБОЛЬШИХ КАПЕЛЬ В АППАРАТЕ С ПЕРЕМЕШИВАНИЕМ

В аппаратах с механическим перемешиванием систем типа жидкость — жидкость формируется полидисперсная эмульсия. Диаметр капель значительной части дисперсной фазы существенно меньше теоретически предсказуемого размера — диаметра с/ наибольших капель, устойчивых в аппарате [1,2].

Для аппарата стандартного конструктивного типа с турбинной мешалкой и разделительными перегородками найдена эмпирическая интегральная функция (</) распределения объема дисперсной фазы от диаметра й капель [3]. На ее основе получены интегральные функции распределения Г.. (с!) площади поверхности дисперсной фазы и Рп[с1) счетного числа капель от диаметра капель [4, 5]. Эти функции позволяют вычислить доли дисперсной фазы, приходящиеся на капли диаметром меньше с1и 0 среднего по-верхностно-объемногодиаметра: (с/по) ~ 36 %,

Величину с/ , рассчитанную теоретически, принято сопоставлять с экспериментальной величиной с1„ 0. Численные значения этих величин удовлетворительно согласуются: с/ «1,4с/по,что позволяет, с одной стороны, считать теоретическую оценку удовлетворительной, с другой — принимать в расчетах приближение с1кр ~ с1по [2].

Таким образом, в полидисперсной эмульсии доля мелкодисперсной фракции капель диаметром с1 < с/кр весьма значительна. Однако образование капель такого размера не имеет исчерпывающего теоретического объяснения [1, 2]. Можно предположить, что все они образуются путем дробления, но в основном при трех различных условиях [5]:

вблизи твердых поверхностей аппарата; из наиболее крупных капель с! - с/тах ; из мелких капель с1 ~с1кр в ядре турбулентного потока жидкости вследствие многократных испытаний на дробление за время их пребывания в зоне мешалки.

В турбулентном потоке жидкости деформация и последующее дробление капли происходит вследствие превышения разности Ар действующих на каплю динамических напоров, которая вызывает деформацию, над капиллярным давлением ра жидкости в капле, которая

А

и ра различным образом зависятотхарактерно-го линейного размера. Приняв за этот размер диаметр капли с!, получим: Д/>~^2^3 и ра—с1~х [1, 6]. Таким образом, с увеличением диаметра капель возрастает динамический напор и понижается капиллярное давление. При деформации капли ее линейный масштаб (наибольший размер) у превышает диаметр исходной недефор-мированной капли, т. е. Х>с1, что повышает ве-А

полидисперсной эмульсией, логично ожидать, что наиболее крупные из них будут подвергаться большей деформации и могут служить источником наиболее мелких дочерних капель.

Цель работы — теоретическая оценка диаметра наименьших капель образуемых в аппарате при дроблении наиболее крупных капель полидисперсной эмульсии.

Деформация капли при дроблении

Капли не слишком большого размера могут дробиться на две или три дочерние капли, а про-

цесс деформации материнской (исходной) капли с последующим ее дроблением на дочерние капли можно представить в виде пяти последовательно принимаемых форм — симметричных тел вращения (рис. 1). В первом случае: сфера ^ ^ вытянутый эллипсоид вращения ^ капля типа гантели (типа двойной) ^ двойная капля ^ ^ две дочерние капли. Во втором случае: сфера ^ вытянутый эллипсоид вращения ^ капля типа тройной ^ тройная капля ^ три дочерние капли.

Из соображений симметрии следует, что при дроблении материнской капли на две дочерние, последние должны иметь примерно равные размеры (диаметры) с1д1 ~ с1л2 = с1я ; тогда с учетом

сохранения объема 2(1/6) я^ ~ (1 /6) получим:

>0,794</,

а при дроблении на три — будут образованы большая дочерняя капля диаметром ¿/дб и две малые дочерние примерно равного диаметра:

4,м1 «

дм2

(1)

Помимо этого можно предположить, что тройная капля может образовать как три (рис. 1, поз. 8), так и две (поз. 10) дочерние капли. Последний случай представляет собой «вырожденный» механизм дробления натри капли, поскольку малая и большая сферы не разрываются, а, сливаясь, образуют одну из дочерних капель.

При дроблении на две капли можно принять, что геометрические размеры капель типа ганте-

1

О

<-►

Дробление капли на две дочерние

3 4 5

/

СО-ООО О

\

Дробление капли на три дочерние

сО -оОо оОо

1*—;—Т

V ^дб к

^дм ^дм

Хтз

"дб

*дм "дм

дб

«Вырожденный» механизм дробления капли на три дочерние

9 1 10

оОо-оО

Рис.1. Этапы деформации и дробления материнской капли на две (5, 10) и три (8) дочерние капли. В результате деформации капли приобретают различные формы (1—3, 6); образуют двойные (4), тройные (7), одиночную и двойную (9) капли

Индексы «дм» и «дб» относятся к диаметрам дочерних малой и большой капель и сфер, соответственно; индексы «3» и «тЗ» — к линейным масштабам тройной и типа тройной капель;

с1 — диаметр материнской капли

ли (поз. 3) и двойной капли (поз. 4) приближенно равны дочерним каплям (поз. 5).

При дроблении на три капли можно принять, что геометрические размеры капель типа тройной (поз. 6) и тройной (поз. 7) приближенно равны соответствующим дочерним каплям (поз. тогда с учетом симметрии будем иметь:

(2)

А> ~ А' ~ И' ■

дм 1 дм 2 "дм'

А" ~ А" ~ А" ■

дм1 дм2 "дм'

d' ~d" ~d ■

дм "дм "дм1

^дб ~ 4"б ~ ^дб'

У

тЗ

(3)

(4)

(5)

(6)

4а

max _ жж

(7)

-кр

где р — плотность среды; ажж — поверхностное натяжение жидкость—жидкость;

\ г /

максимальное значение пульсационной скорости масштаба У = dкp в зоне мешалки (в этой зоне

аппарата локальное значение е^ скорости диссипации энергии в единице объема жидкости

является наибольшим

(^)

V /п

- Ргт 1

-Sa )■

Амплитуда пульсационной скорости представляет собой случайную величину, распределенную в первом приближении по нормальному закону [7], что позволяет принять оценку максимального значения пульсационной скорости равной [2]:

Ютах (8)

где , d'aMl и d'aб — диаметры двух малых и большой вписанных сфер в каплю типа тройной, соответственно; </дм1, d^Ml и d^6 — диаметры двух малых и большой сфер, образующих тройную каплю, соответственно; Ут3, У3 — линейные масштабы капли типа тройной и тройной капли.

Далее предполагается, что каждый из приведенных этапов деформации капли (см. рис. 1), происходящий в ядре турбулентного потока жидкости, детерминирован разностью динамических напоров, действующих на каплю, и капиллярным давлением жидкости в капле.

Таким образом, в результате дробления материнской капли на две дочерние капли их наименьший диаметр составит «0,794dv„

\ д /min Kf

[7], т. е. не могут возникнуть капли, диаметр которых существенно меньше dKp. Можно ожидать,

что мелкодисперсная фракция капель будет результатом дробления материнской капли на три (или более) дочерние капли.

Диаметр наибольших капель, устойчивых в аппарате

Диаметр dKp оценивается из условия 9 = Ра > которое можно представить в виде [2]: \2

где — среднеквадратичное (усредненное за достаточно большой промежуток времени) значение пульсационной скорости масштаба У .

Для масштаба движения У0 < У < / (где I — масштаб наибольших пульсаций, У0 — внутренний масштаб турбулентности), в соответствии с теорией локальной однородной и изотропной турбулентности и законом «двухтретей» Колмогорова — Обухова, локальная величина пульсацион-1

ной скорости vy имеет оценку [8,9]:

\2 , , \ 2/3

КИвоЧ

(9)

В аппарате с механическим перемешиванием распределение скорости диссипации энергии весьма неоднородно. Рабочий объем жидкости в аппарате принято разделять на зоны, в пределах которых предполагаются условия однородной и изотропной турбулентности [2]. Локаль-

е

в зонах аппарата можно выразить через е0 среднее по аппарату значение скорости диссипации энергии:

zfc 0

(Ю)

Уравнение (7) с учетом оценок (8)—(10) примет вид:

9(kzms0dKр)

2/3

4а,,

(Н)

-кр

Деформированная капля типа тройной

Условие деформации капли с возникновением формы типа тройной капли (см. рис. 1, поз. 6) приближенно должно состоять в равенстве капиллярного давления жидкости вблизи наиболее удаленных точек поверхности капли (в этих точках наибольшая положительная кривизна поверхности) и разности динамических напоров линейного масштаба Ут3 капли типа тройной с учетом (2) будет иметь вид:

Лгт

(12)

Кз)2 4аж

С

См

(13)

Уравнение (13) с учетом (9) примет вид:

ч 2/3

(ео^з) 4ал

d"

"дм

(14)

Линейный масштаб тройной капли составит: У3 = 2^м + ^б. (15)

Из условия сохранения объема капли при ее деформации следует равенство

откуда найдем

(16)

Из уравнения (15) с учетом последнего выражения получим формулу

y3=2^M+ (¿3-2(м) ) . (17) Условие (14) с учетом этой формулы примет

вид

2^м + (^3-2(^м)3

/з'

2/3

4а,,

С

откуда для зоны аппарата с учетом зависимости (10) будем иметь:

где V™3 — пульсационная скорость масштаба

у = Кз-

Деформированная капля в форме тройной

Условие образования деформированной капли в указанной форме, ввиду близости ее геометрических размеров и формы с каплей типа тройной, будет состоять в приближенном равенстве капиллярного давления жидкости в образующих ее сферах (дочерних каплях) малого размера и разности динамических напоров линейного масштаба У3 тройной капли. Тогда из уравнения (12) сучетом приближений (3), (4) и (6), получим:

| ^zs0

1/3'

2/3

4ст„

■•(18)

d'L

Наименьшей диаметр малой сферы в составе тройной капли

Указанный диаметр (d" ) малой сферы

V Дм /т;п

в конфигурации тройной капли, образуемой при деформации материнской капли произвольного диаметра d, оценим из уравнения (13), полагая, что пульсационная скорость масштаба У-У3

достигает максимальной величины v'™= (v\) :

J V J /max

(3 f

Л /п

где v™ — пульсационная скорость масштаба

4<?жж

Lin

(19)

Уравнение (19) сучетом оценок(8) и (9) примет вид:

9(е0У3)

2/3

4а.

((ш)тт

откуда с учетом формулы (17) получим приближенное уравнение

2/3

2

4а.д

(с)п

Из полученного уравнения для зоны аппарата с учетом зависимости (10) будем иметь:

2KLn-2 ы

/з'

2/3

2

4G.,

(21)

d

дм

а из уравнений (19) и (21), соответственно, будем иметь:

>^)

тах

4а.

(22)

9Uze0

2Ытт+К-2Ыт1

3 \'/з

2/3

, 4(7жж

KL

(23)

Как следует из этого уравнения, при дроблении материнской капли произвольного диаметра d малая дочерняя капля наименьшего диаметра может образоваться в зоне, где

min

величина kz максимальна (это зона мешалки).

Если принять, что (&z) = кгт, то уравнение (23) примет вид:

/з

2/3

К-)п

(24)

Данное уравнение можно преобразовать к приведенному (безразмерному) виду. После деления уравнений (24) и (11) получим:

2(<м) . +Г(/)3-2(<М)3

min m

Диаметр наименьших капель, образующихся при дроблении капли произвольного размера

Представленная модель дробления капель (см. рис. 1) предполагает приближенное равенство (4) диаметров сфер, формирующих каплю типа тройной, тройную каплю и «соответствующих» дочерних капель. Это позволяет использовать уравнения (13) для оценки dm, а уравнения (19) и (21) — для оценки () . С учетом прибли-

_ V Дм /min

жении (4) и (6) из уравнения (13) получим:

/з

12/3

КОп

(25)

гае С (4)^ = ^м)т.п - при-

веденные диаметры капли произвольного размера и образуемых при ее дроблении малых дочерних капель наименьшего размера, соответственно.

Уравнения (24) и (25) не имеют аналитичес-

кого

решения. Величины (¿дм)тй1И (¿^

можно получить причисленном решении уравнений, что возможно при известных значениях величин kzm, е0, d и d*, соответственно.

На рис. 2 приведена расчетная зависимость

величин [d* ) от d* , вычисленная по при-

V /min

ближенному уравнению (25). Расчетные значения (для d*mах = 1,0 - 8,0 ) удовлетворительно аппроксимируются полиномом 2-й степени, что

позволяет выразить

зависимость Ы* ) от d4

V 'min

в явном аналитическом виде:

(rf*) *0,0075(^*)2-0,1161rf'

V ' min

+ 0,7015, Щ— 0,9899,

(26)

где — величина достоверности аппроксимации полиномом у-й степени.

Можно показать, что при аппроксимации уравнения (25) полиномами 3-й и 4-й степеней значения величин составляют: Л32 = 0,9994, = 0,9999.

Изуравнения (16) с учетом (5) получим:

А

"дб ~

1/3

(27)

* /

где da6 = ¿/дб !dKp — приведенный диаметр боль-

шой капли.

о)

* и

* и

о

.0" .

.0 в"-""

.о

.0"

.й-

2

1

f-rt-rt-f-t-f

5 6 7 Й?*

б)

* н

. Б

* Ы

^ 0,43-

в-

2,64 d*

Рис. 2. Расчетные зависимости диаметров дочерних капель от диаметра материнской (приведенные величины): б — фрагмент графика а.

Дробление на три (Л 2) и на две (J) капли; I, 2, 3— da6, (fiL,) , d , соответственно

V 'min

Подстановка в уравнения (27) значений (¿дм ) , рассчитанных из уравнения (26), даст

V /min

приближенную зависимость с/*б от d (см. рис. 2).

Как следует из приближенного уравнения (26) и графика на рис. 2, при увеличении размера (приведенного диаметра /) материнских капель расчетный размер (приведенный диаметр

() ) наименьших дочерних капель суще-

v /min

ственно уменьшается. Это обусловлено тем, что с увеличением диаметра исходных (материнских) капель уменьшается препятствующее деформации капиллярное давление; вместе с тем увеличивается действующая на них и способствующая деформации разность динамических напоров: капли подвергаются большей деформации и являются источником дочерних капель наименьшего размера.

Диаметр наименьших капель, образующихся в аппарате

Таким образом, источником наименьших дочерних капель в аппарате с перемешиванием могут являться наиболее крупные капли (диаметром d = dmax ) полидисперсной эмульсии (дробящиеся при достижении пульсационной скорости максимального значения). Приведенный * /

диаметр dmaK =dmax/dKp наибольших капель полидисперсной эмульсии (как и входящая в уравнение (24) величина kzm) определяется конструктивными особенностями аппарата и мешалки,

наличием в аппарате разделительных перегородок и прочих внутренних устройств, а также коэффициентом заполнения аппарата [2].

Дробление капель в аппарате стандартного конструктивного типа

с турбинной мешалкой и разделительными перегородками

Для локальных величин ед , заданных уравнением (10), в рабочих зонах аппарата указанного конструктивного типа при стандартном коэффициенте заполнения А: = 0,5 известны следующие оценки:

для зоны мешалки е^" =(50-100)ео а в расчет принимается среднее значение [2]

■ 75еп

для основной зоны аппарата [11]

(28)

= 0,25е,

■о ■

где к7

*2т - 0,75 и кг{ «0,25 — числовые коэффициенты для зоны мешалки и основной зоны аппарата, соответственно.

Диаметр наибольших капель, устойчивых в аппарате. Для аппаратов данного конструктивного типа уравнение (11) с учетом оценки (28) примет вид

\ 2/3

4а„

(29)

-кр

откуда следует известная оценка величины dKp [2]:

rfm« 0,185

кр

\0,6

-0,4

(30)

Диаметр малой дочерней капли наименьшего размера, образуемой в аппарате. Оценим указан-

ный

диаметр ( úL, ) . В аппарате данного

V АМ /min( / )

кон-

Лшп(/)

структивного типа диаметр наибольших капель полидисперсной эмульсии составляет dmax = 2,64dкp [3]. Из уравнения (26) при соответствующей подстановке d = dmax = 2,64 dкp найдем

Ю.....=^4mnm. 43

>mrn(f)

кр

(см. рис. 2), откуда получим следующую оценку:

где величина dKp определена приближенным

уравнением (30).

Уравнение (31) с учетом оценки (30) позволяет найти величину (í/да) . в виде функции

(CLn(/) >Р»ео) а с учетом зависимос-

ти величины е0 от числа лт оборотов мешалки в единицу времени [2] — в виде функции

MmñV) "f ^ш)

Таким образом, предложенная теоретическая модель образования дочерних капель наименьшего диаметра (í/да) . в аппарате позволяет объяснить наличие мелкодисперсной фракции капель диаметром d < d^. Источником их образования могут являться наиболее крупные кап-

ли полидисперсной эмульсии (диаметром с/тах), дробящиеся в ядре турбулентного потока жидкости в зоне мешалки. Так на основе предложенной модели применительно к аппарату стандартного конструктивного типа с турбинной мешалкой и разделительными перегородками (где dтаx ~ 2,64с/кр [3]) оценка дробления наибольших капель полидисперсной эмульсии d = dтж показывает возможность образования наименьших

дочерних капель диаметром (^дм),^^ -ОДЗа^

что соответствует приведенному диаметру

Ы ) « 0,43. Предложенная оценкаудовлет-

V /тт(/)

ворительно (хотя и не в полной мере) согласуется с известными экспериментальными данными. Механизм образования капель диаметром с/*«0,4-1,0 представляется ожидаемым, тогда как он остается неясным для капель наиболее мелкодисперсной фракции (с/* «0,1-0,4 ) -

Однако представленная модель не исключает дополнений и уточнений. Дополнение представленной модели предполагает совместный учет, по крайней мере, еще двух факторов: во-первых, многократности испытаний капель на дробление за время их пребывания в зоне мешалки, во-вторых, особенности дробления при наличии в среде поверхностно-активных веществ. Очевидно, что с учетом двух приведенных выше факторов можно объяснить образование капель существенно меньшего размера. Такая оценка будет предметом нашего отдельного рассмотрения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Левич, В.Г. Физико-химическая гидродинамика |Текст| / В.Г. Левич,— М.: Физматгиз, 1959.— 669 с.

2. Брагинский, Л.Н. Перемешивание в жидких средах. Физические основы и методы расчета [Текст] /Л.Н. Брагинский, В.М. Барабаш, В.И. Бегачев,— Л.: Химия, 1984,- 336 с.

3. Sprow, S.B. Distribution of drop size produced in turbulent liquid— liquid dispersion |Текст| / S.B. Sprow // Chem. Eng. Sei.- 1967,- Vol. 22,-P. 435-439.

4. Ганин, П.Г. Теоретическая оценка устойчивости адсорбционного взаимодействия частиц твердой и жидкой дисперсных фаз в аппарате с перемешиванием [Текст] / П.Г. Ганин // Сорб-

ционные и хроматографические процессы,— 2006,- Т. 6 - № 3,- С. 486-497.

5. Ганин, П.Г. Механизм образования мелкодисперсной фракции капель в аппарате с механическим перемешиванием [Текст] / П.Г. Ганин // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физи-ко-матем. науки,— 2009.—№ 4,— С. 7-13.

6. Колмогоров, А.Н. О дроблении капель в турбулентном потоке |Текст| / А.Н. Колмогоров // Докл. АН СССР,- 1949,- Т. 66,- № 5,- С. 825-828.

7. Брэдшоу, П. Введение в турбулентность и ее измерение |Текст| / П. Бреншоу,— М.: Мир, 1974,- 277 с.

8. Колмогоров, А.Н. Рассеяние энергии при локальной изотропной турбулентности [Текст] /

А.Н. Колмогоров // Докл. АН СССР,- 1941.— X 32,- № 1,- С. 19-21.

9. Обухов, А.М. О распределении энергии в спектре турбулентного потока |Текст| / А.М. Обухов // Докл. АН СССР- 1941,- Т. 32,- № 1,-С. 22-24.

10. Mockel, Н.О. Die Verteilung der ortlichen Energiedissipation in einem Ruhrwerk [Текст] /

Н.О. Mockel // Chem. Techn.- 1989,- Vol. 32,-№ 3,- P. 127-129.

11. Ганин, П.Г. Вероятность дробления капель в ядре турбулентного потока жидкости за время пребывания в рабочих зонах аппарата с перемешиванием [Текст] / П.Г. Ганин // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-матем. науки,— 2008,- № 6,- С. 113-120.

УДК621.365.23:536.24.001.57

А.А. Плетнев, В.А. Талалов

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В ВАННЕ ШЛАКОВОГО РАСПЛАВА МНОГОЭЛЕКТРОДНОЙ РУДНОТЕРМИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОПЕЧИ

Одним из направлений совершенствования электроплавки медно-никелевого сырья является интенсификация процесса [1]. Как показывает теоретический анализ, энерготехнологические показатели работы руднотермической печи (РТП) могут быть улучшены прежде всего путем снижения относительных потерь мощности печи [2]. Поскольку теплопотребление шихты на единицу массы определено ее свойствами и для каждой конкретной технологии неизменно, снижение относительных потерь связано с повышением удельной мощности печи, т. е. увеличением вводимой в печь мощности без изменения ее размеров, либо уменьшением размеров РТП при сохранении вводимой мощности.

Удельная мощность РТП, эксплуатируемых в настоящее время предприятиями горно-металлургической компании «Норильский никель», составляет от 200 до 470 кВт/м\ и согласно исследованиям имеются резервы для ее увеличения. Так, на опытной печи ООО «Институт Гипрони-кель» экспериментально подтверждена возможность практической реализации высокоинтенсивной электроплавки на удельной мощности до 1600 кВт/м2 со снижением удельных затрат электроэнергии в среднем на 15 % [3]. Для промышленного освоения процесса плавки на высокой удельной мощности необходимы дальнейшие, в том числе расчетные , исследования.

В статье изложена математическая модель, разработанная авторами для описания процес-

сов тепломассопереноса, происходящих в ванне шлакового расплава руднотермической электропечи, представлены исходные данные и результаты численного моделирования, выполненного в широком диапазоне изменения удельной мощности печи.

Постановка задачи

Известно, что при работе РТП в бездуговом режиме тепло- и массообмен в ванне шлакового расплава определяет свободная конвекция, вызванная нагревом от неравномерно распределенных внутренних источников тепловыделения, образующихся в результате прохождения электрического тока. Интенсивность конвективного перемешивания расплава в совокупности со способом загрузки шихты непосредственно влияют на технологические показатели работы печи, ее производительность, а также на механические потери цветных металлов с отвальными шлаками.

Химическая агрессивность и высокая (до 1600 °С) температура расплавленного шлака затрудняют изучение характеристик тепломассоопе-реноса на действующих печах. В этих условиях практически единственным способом получения детальной информации о распределении температуры и скорости в шлаковой ванне РТП является численное моделирование, основанное на совместном решении системы уравнений сохранения.

Для вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости эта система имеет вид