Оценка вероятности деформации и дробления капель на две и три дочерние в аппарате с перемешиванием Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.517.4 : 532.529.45

П.Г. Ганин1, А.И. Мошинский2

Введение

Дробление капель в потоке жидкости или газа имеет место в различных технологических процессах, представляет научный и практический интерес [1-5]. В системах типа жидкость - жидкость механическое перемешивание приводит к дроблению и коалесценции капель, образованию полидисперсной эмульсии [6, 7]. В ядре турбулентного потока жидкости и вблизи твёрдых поверхностей аппарата капли подвергаются множественным испытаниям на дробление. Одиночным испытаниям капли принимается испытание за один период пульсаций (характерное время Та пульсаций линейного масштаба капли X = й [8]. Часть испытаний приводит деформации и дроблению, что детерминировано физико-химическими свойствами жидкостей, размером капель и пульсационной скоростью. Значение пульсацион-ной скорости зависит от локальной величины скорости диссипации энергии, распределение которой в рабочем объёме аппарата неоднородно. Рабочий объём принято разделять на зоны - зону мешалки и основную зону аппарата. В пределах зон распределение скорости диссипации энергии в первом приближении принимается однородным и изотропным [6, 7]. Циркуляция среды вовлекает капли в различные зоны аппарата. Дробление капель имеет случайный характер, обусловленный случайным характером изменения амплитудной величины пульсационной скорости. По аналогии с дроблением пузырей газа в ядре турбулентного потока жидкости [9], можно принять, что при дроблении капли не слишком большого размера вероятность образования более 3-х дочерних капель ничтожно мала.

Цель работы - теоретическая оценка вероятности устойчивости, деформации и дробления капель на две и три дочерние капли при одиночном испытании материнских капель различного размера в ядре турбулентного потока жидкости локальных зон аппарата с механическим перемешиванием.

ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ ДЕФОРМАЦИИ И ДРОБЛЕНИЯ КАПЕЛЬ НА ДВЕ И ТРИ ДОЧЕРНИЕ В АППАРАТЕ С ПЕРЕМЕШИВАНИЕМ

Санкт- П етербургская госуда рственная

химико-фармацевтическая академия

197376, Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, 14

Санкт- П етербургски й государственн ый

политехнический университет

195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29

Работа посвящена теоретическому моделированию дробления капель при одиночном испытании в ядре турбулентного потока жидкости. Получены аналитические зависимости вероятности устойчивости, деформации, дробления капель на 2 и 3 дочерние от их диаметра и локального значения скорости диссипации энергии.

Ключевые слова: жидкость - жидкость, турбулентный поток, капли, одиночное испытание, теоретическая оценка, деформация, дробление, дочерние капли, вероятность, диаметр, число.

Общий вид условий деформации и дробления капли

Дробление капли оценивается на основе условия устойчивости по отношению к деформации [10], которое

представим в общем виде [6, 7]:

)2

Р-

.< 4ажж

(1)

2 й

где р - плотность жидкости сплошной фазы; Ожж - межфазное натяжение жидкостей; й - диаметр капли; V'Л -пульсационная скорость масштаба X = й.

Диаметры капель полидисперсной эмульсии принято сопоставлять с диаметром йф наибольших капель устойчивых в аппарате. Диаметр йф оценивается из условия устойчивости (1), в котором принимается в расчёт максимальное значение^'й)тах пульсационной скорости и й = йкр [7]:

р (у*Р )шах 4СТж

(2)

2

d„

Согласно теории локальной однородной и изотропной турбулентности и «закона двух третей» Колмогорова-Обухова [11, 12], пульсационная скорость (среднеквадратичное значение, усредненное за достаточно большой промежуток времени) линейного масштаба X в локальной зоне имеет оценку: (^ )2 ~(8 £ х)2'3, Хо < X < I,

где Хо - внутренний масштаб турбулентности; X - линейный масштаб турбулентных пульсаций; I - линейный масштаб наибольших пульсаций; е£ - локальное значение

скорости диссипации энергии (в единице массы). Тогда для локальной зоны аппарата получим:

(3)

k )2 s 0 х)2

X0 <х<l

1 Ганин Павел Георгиевич, канд. техн. наук, ст. науч. сотр. каф. процессов и аппаратов химической технологии СПХФА, доцент каф. физико-химических основ медицины, биотехнология и реабилитационные биотехнические системы СПбГПУ, e-mail: ganin-pavel@rambler.ru

2 Мошинский Александр Иванович, канд. техн. наук, доцент каф. процессов и аппаратов химической технологии, e-mail: alex-moshinskij@yandex.ru

Дата поступления - 3 октября 2013 года

8о - среднее по аппарату значение скорости диссипации квадратичную величину (усреднённую за период одной энергии (в единице массы); = 80/ео - числовой коэф- пульсации) в 42 раз А(1)г «42у'<1)г [8, 14], соответствен-

ции энергии (в единице массы) в зоне аппарата.

Уравнение (2) с учётом оценки (3) можно предста вить в виде:

р(у*р)рах[(к*)тах8оскр] ^ 4ст

(4)

2

d„

где у* = у/у'^ - приведенная (безразмерная) величина пульсационной скорости линейного масштаба X = С при

одиночном испытании в зоне аппарата; v'

(l)z

пульсаци-

Р-

32 (kz.m в 0 d и )2/3 4<гт

(5)

где к2т = s„m/s0 - числовой коэффициент для зоны ме-

шалки.

деформации

.к (t )Г 4а ж

и условие деформации

к (t )]\4а ж

2 С

Условия устойчивости и деформации для одиночного испытания. Данные оценки получим из условия общего вида (1), принимая в расчёт амплитудное значение а^2

пульсационной скорости ({) в фиксированном одиночном испытании. Полагая, что величина (г) на протяжении одного периода Тх пульсаций изменяется в первом приближении по закону у'р (г)« А(1)2 8т(2яг/Тл), тогда её амплитудное значение будет превышать средне-

но, для линейного масштаба X = d:

Ad1)z *42vfz

_ (6)

Из условия (1), полагая у'Л « а^ и с учётом (6)

получим условие устойчивости по отношению к деформации для одиночного испытания капли в фиксированной

(л/2/ (1)г);

зоне аппарата:

2 С

откуда с учётом (3) после деления на (5) получим приведённый вид

< 4g жж

онная скорость при одиночном испытании (среднеквадратичное значение, усредненное за период Дг = Td одиночной пульсации) линейного масштаба X = d в зоне аппарата; v' - пульсационная скорость (среднеквадратичное

значение усредненное за достаточно большой промежуток времени) линейного масштаба X = d в зоне.

Расчётное на основе уравнения (2) значение диаметра dкр удовлетворительно согласуется с экспериментальной величиной среднего поверхностно-объёмного диаметра dn.0 капель, если принять в расчёт две уточняющие оценки [7]. Во-первых, что амплитуда пульсационной скорости является случайной величиной, распределённой, в первом приближении, по нормальному закону, тогда (v) «3v . Во-вторых, что максимальное локальное

V А / max А

значения скорости диссипации энергии в аппарате имеет место в зоне мешалки (sz) = szm. Тогда, с учётом вве-

V 0 /max 0

дённых выше обозначений следует (kz)max = kz.m, а для масштаба X = dкр следует у^ =(у^) ~ 3, и уравнение

(4) примет вид:

(42yd 12 (d. )2 /3 ^,

3

(7)

d.

Устойчивость, деформация и дробление капель в зоне аппарата

Условия устойчивости и деформации для произвольного момента времени. Из условия общего вида (1), принимая в расчёт текущее (мгновенное) значение у'с (г)

пульсационной скорости линейного масштаба капли X = С в зоне аппарата следует [13]: условие устойчивости к

где ус = у с (8 * )1/3 - безразмерный параметр; 8* = кг/к* -

приведённая (безразмерная) величина скорости диссипации энергии в фиксированной зоне аппарата; С* = С/ Скр -приведённый (безразмерный) диаметр капли.

Из неравенства (7) получим условия устойчивости по отношению к деформации и деформации для одиночного испытания, соответственно:

для диаметра С* капли при фиксированном значении параметра ус

С* <С*Ц,)^)6/5(УС)-6/5 «2,47(уС)-6/5, (8)

С* - (С* Ц*)^ )6 / 5 (УС )-6 / 5 « 2,47(уС )-6 / 5, (9) для параметра уС при фиксированном диаметре С*

капли

у: <(уС1(деф)«;|(С*)-5/6 «2,12(С*)-5/6, (10)

УС >(уС)пр(деф) « СГ - 2,12(с*)-5/6. (11) где (у2 ) , ч - предельное (наибольшее) значения пара-

ус /пр(деф)

метра у ^, при котором капля фиксированного приведённого диаметра С* не подвергнется деформации; (с* )пр(деф)

- предельный приведённый диаметр С* наибольший капли, которая при фиксированном значении параметра у2 не

подвергнется деформации.

После деформации капли может произойти её дробление.

Условия устойчивости и дробления капли для одиночного испытания. Данное условие устойчивости получим из условия общего вида (1), приняв в расчёт значение у'(1)2 пульсационной скорости масштаба капли X = С

при одиночном испытании (среднеквадратичное значение, усредненное за период одиночной пульсации) в зоне. Из условия (1) полагая = у(1)2, будем иметь

р (у() ) < 4ажж , откуда, с учётом (3) и у2 = у'^/у' 2,

2 С

получим неравенство [15] р(z) (kzsоd) < 4^жж , ко-

2 d

* \1/3

торое после деления на (5) и с учётом yzd = у d (s^ )1/3 при

фициент; sz - локальное значение скорости s L диссипа

2

d

d

2

мет приведённый вид:

2

3

1 * \2 7 3 1

(й) <Т'

(12)

Из неравенства (12) найдём условия устойчивости по отношению к дроблению и условия дробления для одиночного испытания, соответственно:

для диаметра й* капли при фиксированном значении параметра у1

й* <й*1др)-3675(уй)-675 -3,74(уй)-675, (13) й* >(й* Ц,)« 36 7 5 (уй )-6 7 5 - 3,74(уй )-6 7 5, (И)

для параметра у^ при фиксированном диаметре

й капли

уй < {уй 1(др)

з(й* У

Уй

> (уй 1ы = з(й*)-576 ,

(15)

(16)

' й * й /ИР(ДР) ^ '

где (у1 ) , ч - предельное (наибольшее) значения пара-

V й /пр(др)

метра у1, при котором капля фиксированного приведённого диаметра й* не подвергнется дроблению; (й* ^^ -

предельный приведённый диаметр й* наибольший капли, которая при фиксированном значении параметра у 1 не

подвергнется дроблению.

Условия деформации без последующего дробления для одиночного испытания. Данные условия с учётом условий (9), (13) и (11), (15) будут, соответственно, иметь вид: для диаметра й* капли при фиксированном значении параметра уг

(й* )пр(деф)< й* <(й* Ц), ^ (17)

для параметра у^ при фиксированном диаметре й* капли

(уй )пр(деф) < уй <(уй 1р(др) . (18)

Число дочерних капель и их диаметры

Отметим, что условия дробления капли для одиночного испытания (14), (16) не дают информации о размере и числе дочерних капель.

Дробление капель на 2 дочерние капли. В этом случае предполагается, что обе дочерние капли будут равного диаметра йд^ = йд»® = йд(2), с учётом сохранения объёма -цй3 = 2яй, диаметр дочерних капель выразим

(19)

(20)

йд*б(з) =[(й*)3 - 2(йд*м(з))31 , йдм(з) - а1в\п(й*) + Ьь,

(й**).пр < й* < 8, Я?п > 0,9917,

(й*).пр - 317719 (у1 )-675 - 3,47з(у3 )-675 , (23)

где аь --0,766з(у1 )-1 3034 ; Ьь - 3,3548(у1 )-15547 ; К]п -

достовернос^ь аппроксимации; у = (к^к ш )-'3 = (Е 1/вш )-'3 -

безразмерный параметр; у^ = у'З1'1/^1 - приведённая величина пульсационной скорости линейного масштаба X = Xз в одиночном испытании в зоне аппарата; У31)1 и V 31 -

среднеквадратичные величины пульсационной скорости линейного масштаба X = Xз в одиночном испытании (усреднённой за период одиночной пульсации) и за достаточно большой промежуток времени в зоне аппарата, соответственно; Xз = йДб(з) + 2 йдм(з) - линейный масштаб «тройной капли»; (й**) - предельное (наименьшее) значение приведённого диаметра материнской капли, допускающее применимость аппроксимации (22) при фиксированном значении параметра у31 .

Диаметр (й**) соответствует возможности образования 3-х равновеликих дочерних капель й*б^ = й*ям

[17, 18]. Для материнской капли фиксированного диаметра й можно найти предельное (наименьшее) значение параметра у23, которое, согласно модели «тройной капли»

[16], соответствует возможности образования 3-х равновеликих дочерних капель [17, 18], из оценки (23) следует:

у )пр - 317718 (й*)-576 - 2,822(й*)-576. (24)

На рисунке 1 представлены расчётные зависимости диаметров дочерних капель от диаметра материнской капли (приведённые величины) для случаев образования 2-х и 3-х дочерних капель, построенные по уравнениям (20)-(23) для различных значений параметра у2} =1, 2, 3. В

таблице 1 представлены расчётные значения предельных диаметров материнских капель, которые подвергнутся деформации, дроблению и допускающие применимость аппроксимации (22), вычисленные по уравнениям (9),

(14), (24) для

уз

1, 2, 3.

через диаметр материнской капли [16]:

й д(2) = 2-17 3 й,

или в приведённом (безразмерном) виде

7 * _ т-17 3 7 *

" д(2) = 2 й '

где й*д(2) = йд(2)/ йкр - приведённый (безразмерный) диаметр дочерних капель.

Дробление капель на 3 дочерние капли. В этом случае, согласно модели «тройной капли» [16], предполагается образование большой (диаметром йдед) и двух малых (диаметром йдм(з)) дочерних капель. Приведённые диаметры й*дм(з) = йдм(з) / йкр и й*дб(з) = йдб(з) / йкр дочерних капель, образованных в фиксированной зоне аппарата имеют оценки [17]:

(21)

Рисунок 1. Расчётные зависимости диаметров дочерних капель от диаметра материнской капли (приведённой величины) при различных значениях параметра у ^ : а - у X = 1; б - у X = 2 ; в - у X = 3 ■

1 - диаметр дочерних капель при дроблении на 2 капли; 2, 3 - диаметр большой и малых дочерних капель при дроблении на 3 капли, соответственно

Таблица 1. Расчётные значения предельных диаметров материнской капли (с *) для различных событий при фиксированных значениях

параметра у'

Предельные диаметры (с * ^ материн-

ской капли для различных событий (№ уравнения) 1,0 2,0 3,0

Деф°Рмация' (с* )пр(деф) ' (8) 2,46 1,07 0,66

Дробление, (с • ^ (14) 3,74 1,63 1,00

Граница применимости аппроксимации (22), (с; 1, (23) 3,47 1,15 0,93

Дробление на 3 капли, (с *) , (36)* V" /пр(2-3) 5,93 2,60 1.60

Параметр

Ус

* Вы/вод оценки приводится ниже по тексту

Как следует из сопоставления рисунка 1 и таблицы 1, при не слишком малых диаметрах С материнской капли возможно образование как 2-х, так и 3-х дочерних капель. Найдём условие устраняющее такую неоднозначность.

Число дочерних капель. Данное число определим из условия наименьшей энергии необходимой для дробления, что соответствует наименьшей суммарной площади поверхности дочерних капель, на которые может раздробиться материнская капля при фиксированном значении параметра у'.

Если принять, что число дочерних капель не более 3-х, условиями образования 2-х и 3-х капель, соответственно будут: S2 < Sз и S2 > Sз, где S2 и Sз - суммы площадей поверхностей недеформированных (сферических) дочерних капель при дроблении капли на 2 и 3 дочерние, в приведённом виде:

условие образования 2-х капель

S2 < S2, (25)

условие образования 3-х капель

(26)

площади S2 и Sз приведённом (безразмерном) виде; Sl = пС2 - площадь поверхности недеформированной (сферической) материнской капли. Поскольку Sз = п(Сдб(з))2 + п(Сдм(з))2, а S2 с учётом зависимости (19) составит S2 = пС2д2 = 21/3п(С)2, получим:

I17 (27)

52 > 52,

где Я2 = s2^1 и Я2 = я

Я2 = 21

s:

(с

дб(3))

= 1,26, "2(СДм(3))2 .

(с2 )2

(28)

На рисунке 2 приведены расчётные из уравнений (27), (28) и с учётом (21)-(23) зависимости суммарных площадей поверхности дочерних капель от диаметра материнской капли (приведённые величины) при различных значениях параметра у'=1^5. Как следует из рисунка, в

случае дробления капли достаточно большого диаметра расчётные значения суммарных площадей поверхности 3-х дочерних капель меньше, чем 2-х дочерних капель: S' < S'. Случай равенства s' = S2 площадей 2-х и 3-х

дочерних капель (точки пересечения кривых 3-7 с кривой 2), соответствует предельным значениям (уг) ч пара-

V ' /пр(2-3)

метра у' для материнской капли фиксированного диаметра с'.

Рисунок 2. Зависимости суммарных площадей S поверхности дочерних капель от диаметра материнской капли (приведённые величины) при различных значениях параметра у' : 1 - материнской капли; 2

- S дочерних капель при дроблении на 2; 3-7 - S дочерних капель при дроблении на 3; 3 - у' = 1; 4 - у' = 2 ; 5 - у' = 3 ; 6 -

у' = 4 ; 7 - у' = 5

Предельные значения параметров, определяющих число дочерних капель. Предельное значение S2 = ,

определяющее число дочерних капель (см. неравенства (25) и (26)), с учётом зависимостей (27) и (28) составит

(сДф))2 + 2(сДм(3))2 = 1,2б(С)2, откуда с учётом (21) получим:

[(С)3 -2(сДм(3))3]273 + 2(сДм(3))2 = 1,26(С), (29)

(сДб(3))2 + 2173 [(с2)3 - (сДб(3))3 1273 = 1,26(с-)2. (30) В таблице 2 приведены предельные значения приведённых диаметров капель, полученные из уравнений (29) и (30): диаметр (с2) материнской капли, определяющий число (2 или 3) дочерних капель; диаметр (с%,) малой дочерней капли наибольшего размера;

V Дм(3)Лпах

диаметр (с"вф) большой дочерней капли наименьшего размера. Отметим, что диаметр (с2) - это наибольшее значение с*, соответствующее образованию 2-х, или наименьшее, соответствующее граничному значению образования на 3-х дочерних капель.

Таблица 2. Предельные значения приведённых диаметров, определя-

Приведённый диаметр капель Зависимость (№)

Диаметр наименьшей материнской капли (С )прМ) = 2,ззс Дм(3) , (31)

(с 2 )пр(2-3) = 1,059с Дб(3) ,(32)

Диаметр малой дочерней капли наибольшего размера (сДм(3))Шах = 0,429с2, (33)

Диаметр большой дочерней капли наименьшего размера Ытп = 0,944с2, (34)

от

Уравнение (33) с учётом (22) даёт зависимость у3

7*

с в неявном аналитическом виде:

[- 0,7663(у3 )-1,3034 1П(С )+ 3,3548(у3 )-15547 Ц = 0,429с2. Значение у) ^ параметра у^ удовлетворяющее

уравнению определяет число (2 или 3) дочерних капель

(наибольшее значение у3, соответствующее образованию

2-х дочерних капель, или наименьшее, соответствующее граничному значению образования 3-х дочерних капель) не может быть получено в явном аналитическом виде, поскольку уравнение не имеет аналитического решения. На рисунке 3 приведены расчётные значения параметра (у2) , . для различных диаметров с*, полученные при

уХ) пр(2-3)

численном решении уравнения.

Таблица 3. Условия для различных событий при одиночном испытании

капли

3 1пр(2-3) 5 .

4 -

3 -

2 -1

дробление на 3 капли

Рисунок 3. Зависимость предельного значения (у^) ^ ,) параметра

у3, определяющее дробление капель на 3 дочерние капли, от приведённого диаметра материнской капли. Точки на рисунке - расчётные значения, сплошная линия - аппроксимации

Зависимость параметра у) от диаметра С

(С = 0,1; 0,2...1,0; 2,0...8,0) удовлетворительно аппроксимируется степенной функцией (см. рисунок 3):

У1(2-3)* 3,8226^ )-57 6, #з2 > 0,9998, (35) где Яз2 - величина достоверности аппроксимации.

Предельный диаметр С капли определяющий число (2 или 3) дочерних капель (диаметр наибольшей капли, которая при фиксированном значении параметра у^

дробится на 2 дочерние, соответствует диаметру наименьшей капли, которая не подвергнется дроблению на 3) оценим из уравнения (35):

С* 1(2-3)* 4,9з(у3)-6/5. (36)

Условия, определяющие число дочерних капель при одиночном испытании с учётом зависимостей (15), (16), (35), (36) сводятся к неравенствам: для 2-х дочерних капель

(у С )пр(др) < УС - У )пр(2-3) , (сС ' )пр(др)< С * -(С ' )пр(2-3) ,

для 3-х дочерних капель

У3 >(У3 )пр(2-3) , С * >(С ' )пр(2-3).

Таким образом, результат одиночного испытания капли фиксированного приведённого диаметра в зоне аппарата детерминирован значениями у2 и у^ параметра уХ (таблица 3) и соответствующими предельными значениями к)пр = /(С* ): (уС )пр(деф) , (уС Цр) , к )пр(2-з)

(таблица 4).

Событие Условие (№)

Отсутствие деформации у! -(уС )пр(деф) ' (9)

Деформация у! >(уС )пр(деф) , (10)

Деформации без дробления (уС )пр(деф) < уС <{УС )пр(др) , (18)

Отсутствие дробления у5-СУ С )пр(др), (15)

Дробление у! >{УС )пр{др), (16)

Дробление на 2 капели {уС )пр{др)< у! -{у3 )кр{2-3), (37)

Дробление на 3 капели У3 > (у3 )Пр{2-3) , (39)

Таблица 4. Предельные значения у ) параметра

Ух

Событие Зависимость (№)

Деформация СуС )пр{деФ)*{3^л/2\с * 76 * 2,12(с * 76, (10)

Дробление, дробление на 2 капли Су! 1м* 3{с * )-5 7 6 , (15)

Дробление на 3 капли У 1(2-3)* 3,82(с • 76, (35)

Поскольку линейные масштабы С и Я3* близки по значению и с учётом корреляционной функции пульсаци-онных скоростей различных масштабов вблизи одной точки потока [19], примем что значения у2 и у^ полностью

коррелируют. Тогда, с учётом зависимостей (таблица 3, 4), результат одиночного испытания капли фиксированно-

7*

го приведённого диаметра С детерминирован значением параметра уХ (рисунок 4.а).

Рисунок 4. Предельные значения (у2) , (с*) и

(37)

(38)

(39)

(40)

/ условия различных событий в одиночном испытании капли при различных значениях: а) диаметра С капель, б) параметра уХ .

1 - (уС) р(деф)' 2 (^С )пр(др)' 3 (у3 )пр(2-3) ' 4 (<С ).пр(деф) '

5 - (с* ).пр(др); 6 - (с* ).пр(2-3); 7 - нет деформации; 8 - деформация; 9 - образование 2-х капель; 10 - образования 3-х капель

Результат одиночного испытания, с фиксированным значением параметра уХ, зависит от приведённого

диаметра капли С (таблица 5) и соответствующих предельных значений (С* )„р = /(уХ): к )пр(деф) , (уС )П|

2 ) , ч и С /пр(др)

С*)Р^з), являющимися функциями параметра у2 (табли-

ца 6, рисунок 4.б).

Таблица 5. Условия для различных событий при одиночном испытании

Событие Условие (№)

Отсутствие деформации d* <{*' )пр(деф) ' (8)

Деформация d' >(d' )пр(деф) ' (9)

Деформации без дробления (d' 1(деф)< d' <(d* , (17)

Отсутствие дробления ^ )пр(др) ' (13)

Дробление d* >Й* )пр(др) ' (14)

Дробление на 2 капли (d* )прМ< d* <(d* )пр(2.з) , (38)

Дробление на 3 капли d' ' 1(2-3) ' (40)

Таблица 6. Предельные значения диаметров ) капли

Событие Зависимость (№)

Деформация ^' )пр(деф)» 2,47(у5 )-6/5 , (8)

Дробление, дробление на 2 капли (d * )пр(др)» 3,74(у5 Г, (13)

Дробление на 3 капли ^' )пр(2-з)» 4,9з(у3 )-6/5 (36)

Событие Уравнение (№)

Отсутствие деформации РУт-Д ^ Ь Р^^Ьеф))' (41)

Деформация рДеф (d* )» р^^Ьеф)), (42)

Деформация без дробления рУст-0 (d' )» р^Ьдеф) < уd(I) <(уd(I))„р(д^)), (43)

Отсутствие дробления РУст(d*Ьp(yd 1ы> (44)

Дробление рД.(d*ьр(у2 >у)„р(др}), (45)

Образование 2-х дочерних капель pДр(др)(d* ь р((у'2 )„р(др) < yd < (у3 )пр(2-з))' (46)

Образование 3-х дочерних капель РДр(з)(d* Ь Р(у2 >(Уз2 }„р(2-3)}, (47)

Пульсационная скорость (среднеквадратичное

значение, усреднённое за достаточно большой промежуток времени) является средним квадратичным отклонением пульсаций = а , с математическим ожиданием

т = 0 ■ Тогда для одиночной пульсации зоне: а 2 = У'Л2, т2Л = о ■ Поскольку амплитуда АЛ (1) распределена в первом приближении по закону нормального распределения [20], для а (1) с учётом (6): а ^ - а/2у'л2 , т\х= 0, а для приведённой величины пульсационной скорости Ул - И1)2М2): а; = 1, т; = 0, для параметра уЛ:

ч 2

уЛ

а^М =(в;)1/3, тул= 0 ■ (48)

Для случайной величины х распределённой по закону нормального распределения дифференциальная функция Дх) распределения и вероятности попадания на заданные интервалы (а, в) (а,р) и (-а < х < а) имеют оценки [21]:

Вероятность деформации и дробления капель в одиночном испытании

События (деформация, дробление на 2 и 3 капли), происходящие с каплей фиксированного приведённого диаметра d* в одиночном испытании, как следует из таблиц 3 и 4, детерминированы значением безразмерного параметра уЛ (е* |/3 - (/р/^2}е* )1/3, следовательно

они определяется значением двух приведённых (безразмерных) величин е* и ул ■

Локальные значения е^ скорости е* диссипации

энергии в зонах аппарата существенно отличаются от среднего по аппарату значения ео (детерминировано конструктивным типом аппарата и мешалки [7]), это определяет соответствующее различие приведённых значений

е* =е21е2т ■ Из зависимости (6) следует у'(1)2 ~ а(1), по* 01 0 Л Л

скольку амплитуда аЛ1) одиночной пульсации является

случайной величиной, [20], следовательно и параметр уЛ

является случайной величиной распределённой по тому же закону [15].

Таким образом, результат одиночного испытания капли в фиксированной зоне аппарата будет случайным событием, вероятность которого, принимая во внимание условия деформации и дробления (таблица 3), можно представить зависимостями приведёнными в таблице 7.

Таблица 7. Вероятности различных событий при одиночном испытании

1

а хл/2П

р(а < х < р)« —

Ф,

ехр

тх

(х - тх)2

хл/2

2а.

-Ф

( \ а-т

Л

р(х - тх| <а)« Фл

( \ а

(49) , (50) (51)

Где ох и тх - среднее квадратичное отклонение и математическое ожидание случайной величины х;

Фл (2) = (2/л/Л)[2 ехр(- г2 }и - функМия Лапласа.

Для случайной величины уЛ с учётом зависимостей (48)-(51) получим:

1 г (ул)2

Д (уЛ)

уЛ

ехр

2

2(е*}

//3 ,

г) /

р[(уЛ)пРл < уЛ < (УЛ )пр.2Ь 1

Фл

(уЛ)пр.1 л/2(е*)1/3 J ФЛ(е*)1

-Ф г (ул)

ч 2 ^

пр.2

/3

г / J

(52)

р(^<04ФлЩ}/ '

и2 К } J

В таблице 8 приведены расчётные вероятности различных событий при одиночном испытании капли фиксированного приведённого диаметра d* в зоне аппарата, полученные из зависимостей (41)-(47) (таблица 7) с учётом зависимости (52) и соответствующих различным событиям предельных значений (у2) : (у2) , (у2) и

Г \ЛАр Vd /пр(деф) Vd /пр(2)

(УЗ Ьз) (таблица 4).

2

Таблица 8. Расчётные вероятности различных событий при одиночном

испытании

Событие Уравнение (№)

Отсутствие деформации pu.(d * Ь фл 3 2(eZ Г (d* , (53)

Деформация Реф (d' )« 1 - Ф 3 л 2(eZ Г (d *)5/6 , (54)

Деформация без дробления Реф.0 (d Ь Фл 3 - Ф 3 , (55)

л(eZ Г (d* Г [ % / (d J .

Отсутствие дробления Рсдр (d' Ь Фл 3 [л/2(eZ Г (d* Г J , (56)

Дробление Pp (d' Ь 1 - Фл 3 [л/2(e* Г (d* Г , (57)

Дробление на 2 дочерние капли 3,82 - Фл 3 , (58)

Рт(2)\" Г Фл /2(eZ Г (d* Г _ _V2(eZ Г (d* Г

Дробление на 3 дочерние капли Pp(3)(d ' Ь 1 - Г 3,82 'л [42 (eZ У (d* Г J , (59)

Зона мешалки. На рисунке 5 приведены зависимости вероятности (й*) различных событий от приведённого диаметра капель при одиночном испытании в зоне мешалки, вычисленные по уравнениям (53)-(59) (таблица 8) с соответствующей подстановкой 8*

* 1

: S z.m = 1 ■

a)

„z.m,

P W 1

Рисунок 5. Расчётные зависимости вероятности различных событий при одиночном испытании капли в зоне мешалки от её приведённого диаметра: 1 - отсутствие деформации; 2 - деформация; 3 - деформация без дробления; 4 - отсутствие дробления; 5 - дробление; 6 -дробления на 2 дочерние капли; 7 - дробления на 3 дочерние капли

Как следует из рисунка 5, при малых значениях диаметра й дробления капель не происходит, с увеличением й вероятность дробления монотонно увеличивается. При этом вероятность дробления на 2 дочерние капли, проходя максимум, понижается, а вероятность дробления на 3 капли возрастает.

Основная зона аппарата. Значение скорости диссипации энергии 87.г в основной зоне аппарата зависит от конструктивного типа аппарата и мешалки [7]. Для вертикального аппарата стандартного конструктивного типа с турбинной мешалкой и разделительными перегородками скорость диссипации энергии в основной зоне 8« 0,2580 [22], откуда 8*г 0-//е0т ~ 3,3 х10-3, диаметр наибольших капель полидисперсной эмульсии (в установившемся состоянии) йтах х 2,64йф, (й*)тах ~ 2,64 [7]. Можно показать, что из (57) следует ничтожно малая вероятность дробления капель диаметром й < 2,64 в этой

зоне аппарата.

Заключение

Получены оценки вероятности устойчивости, деформации, дробления, образования 2-х и 3-х дочерних капель при одиночном испытании капель в ядре турбулентного потока жидкости. Вероятности событий детерминированы приведёнными величинами диаметра d* = d / dкр капли и скорости e* =sszm диссипации энергии в

зоне аппарата. Поскольку диаметр dф наибольших капель устойчивый в аппарате поддаётся теоретической оценке [7], то при известном соотношении e* скоростей диссипации энергии в зонах в оценках вероятности событий можно перейти к размерным величинам. Оценки могут быть использованы для построения функции распределения капель по размеру после совокупности испытаний за время пребывания капель в зоне мешалки, что поддаётся экспериментальной проверке.

Литература

1. Гирин А. Г. О закономерностях дробления капли в скоростном потоке // Инженерно-физический журнал. 2011. Т. 84. № 5. С. 938-944.

2. Han L., Luo H, Liu Y A theoretical model for droplet breakup in turbulent dispersions // Chem. Eng. Sci. 2011. Vol. 66. P. 766-776.

3. Skartlien R., Nuland S., Amundsen J.E. Simultaneous entrainment of oil and water droplets in high Reynolds number gas turbulence in horizontal pipe flow // Int. J. Multiphase Flow. 2011. Vol. 37. P. 1282-1293.

4. BakA., Podgorska W Investigation of drop breakage and coalescence in the liquid—liquid system with nonionic surfactants Tween 20 and Tween 80 // Chem. Eng. Sci. 2012. Vol. 74. P. 181-191.

5. Келбалиев Г.И., Ибрагимов З.И. Коалесценция и дробление капель // ТОХТ. 2009. Т. 43. № 3. С. 329-336.

6. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физматгиз, 1959. 699 с.

7. Брагинский Л.Н., Барабаш В.М., Бегачев В.И. Перемешивание в жидких средах. Физические основы и методы расчета. Л.: Химия, 1984. 336 с.

8. Шмидт А.А., Ганин П.Г. Вероятность дробления и устойчивости капель в ядре турбулентного потока жидкости в условиях однородной и изотропной турбулентности и в аппарате с перемешиванием // Сорбционные и хрома-тографические процессы. 2008. Т. 8. № 6. С. 931-941.

9. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 2. М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит. 1987. 360 с.

10. Колмогоров А.Н. О дроблении капель в турбулентном потоке // Докл. АН СССР. 1949. Т. 66. № 5. С. 825-828.

11. Колмогоров А.Н. Рассеяние энергии при локальной изотропной турбулентности // Докл. АН СССР. 1941. Т. 32. № 1. С. 19-21.

12. Обухов А.М. О распределении энергии в спектре турбулентного потока // Докл. АН СССР. 1941. Т. 32. № 1. С. 22-24.

13. Ганин П.Г. Адсорбционное взаимодействие частиц твёрдой и жидкой дисперсных фаз в аппарате с перемешиванием. Теоретическая оценка вероятности дробления и устойчивости взаимодействия частиц в одном испытании // Сорбционные и хроматографические процессы. 2007. Т. 7. № 3. С. 444-455.

14. Ганин П.Г. Вероятность дробления пузырьков газа в одиночном испытании в аппарате с перемешиванием и аэрацией // Научно-технические ведомости СПбГПУ, серия «Физико-математические науки». 2009. № 3(83). C. 17-23.

15. Ганин П.Г., Шмидт А.А. Оценка диаметра наименьших дочерних капель с учётом числа испытаний на дроб-

ление наибольших капель в аппарате с перемешиванием // Научно-технические ведомости СПбГПУ, серия «Физико-математические науки». 2013. №3(177). С. 220-229.

16. Ганин П.Г., Шмидт А.А. Теоретическая оценка диаметра капель, образованных при дроблении наибольших капель в аппарате с перемешиванием // Научно-технические ведомости СПбГПУ, серия «Физико-математические науки». 2011. № 1(116). С. 29-36.

17. Ганин П.Г. Размеры дочерних капель, образованных при дроблении материнской капли на три дочерние в одиночном испытании // Известия СПбГТИ(ТУ). 2013. №19(45). С. 80-85.

18. Ганин П.Г Дробление капель с образованием трёх дочерних в ферментаторе с перемешиванием / Сб. тр. междунар. науч. конф. «Метромед-2011». 2011. С. 95-101.

19. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: уч. пособие. В 10 т. Изд. 5. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 2006. 736 с.

20. Бредшоу П. Введение в турбулентность и ее измерение М.: Мир, 1974. 277 с.

21. Гурский Е.И. Теория вероятностей с элементами математической статистики. М.: Высшая школа, 1971. 328 с.

22. Ганин П.Г. Адсорбционное взаимодействие частиц твёрдой и жидкой дисперсных фаз в аппарате с перемешиванием. Теоретическая оценка вероятности дробления и устойчивости взаимодействия частиц за время их пребывания в зонах аппарата // Сорбционные и хроматогра-фические процессы. 2007. Т. 7. № 4. С. 618-630.