CC BY
224. Mao Shau-Gang, Wu Min-Sou, Chuch Yu-Zhiro Design of composite right/left-handed coplanar-waveguide band-pass and dual-passband filters // IEEE Trans. Microw. Theory Tech. 2006. Vol. MTT-54, № 9. P. 3543-3551.
5. Joshi H., Chappel W. J. Dual-band lumped-element bandpass filter // IEEE Trans. Microw. Theory Tech. 2006. Vol. MTT-54, № 12. P. 4169-4177.
6. Application of sandwich multilayer technology to MICs design / P. Kapitanova, A. Simin, D. Kholodnyak, I. Vendik // Proc. of 35th European Microwave Conf., October, 2005, Paris, France. P. 389-392.
I. B. Vendik, I. V. Kolmakova, P. V. Kapitanova Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"
Application of transmission lines with positive and negative dispersion for a design of planar microwave resonators and filters with suppressed spurious passbands
A method of design of microwave resonators based on a cascaded structure of transmission line sections with positive and negative dispersion is suggested. Varying the electrical length and the characteristic impedance of the resonator lines changes the spectrum of resonant frequencies. That makes it possible to shift the resonant frequency of the first harmonic mode to a higher frequency or to design a two-band resonator with any chosen resonant frequencies. The results of simulation and experimental investigation of this kind of resonators andfilters are shown.
Microwave transmission lines, positive and negative dispersion, stepped-impedance resonator, suppressed spurious resonances
Статья поступила в редакцию 30 марта 2007 г.
УДК 539.23
О. Г. Вендик, Н. Ю. Медведева, С. П. Зубко
Санкт-Петербургский государственный электротехнический
университет "ЛЭТИ"
Размерный эффект в наногранулированных
1
сегнетоэлектрических пленках
Определена зависимость эффективной диэлектрической проницаемости наногранули-рованной сегнетоэлектрической пленки от размера гранулы и толщины "мертвого" слоя.
Размерный эффект, наногранулированная сегнетоэлектрическая пленка, эффективная диэлектрическая проницаемость, гранула, "мертвый" слой
Большинство из получаемых на сегодняшний день сегнетоэлектрических пленок являются поликристаллическими (или наногранулированными).
Наногранулированная пленка представляет собой совокупность гранул сегнетоэлек-трического материала, имеющих размеры порядка десятков нанометров. На поверхности каждой гранулы имеется тонкий несегнетоэлектрический ("мертвый") слой, толщина которого составляет приблизительно 2 нм, а диэлектрическая проницаемость 40 [1].
Гранулы сегнетоэлектрика могут иметь произвольную форму: призм, столбцов или многогранников - додекаэдров или икосаэдров. В первом приближении замена гранулы
1 Работа выполнена в рамках международного проекта "Капо81аг" 6-й Рамочной программы Еврокомиссии. © Вендик О. Г., Медведева Н. Ю., Зубко С. П., 2007
Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2007. Вып. 6
2a б
Рис. 1
сложной формы гранулой сферической или эллиптической формы (рис. 1) дает незначительную погрешность при оценке диэлектрических свойств пленки.
Когда размеры гранул поликристаллического образца пленки становятся меньше некоторой критического значения, свойства материала существенно изменяются (размерный эффект) [2]. В связи с этим большой интерес представляет определение за-
висимости диэлектрической проницаемости пленки сегнетоэлектрика от размера гранулы и толщины "мертвого" слоя.
Рассмотрим сегнетоэлектрическую гранулу сферической формы, окруженную тонким "мертвым" слоем, в однородной диэлектрической среде. Структура гранулы показана на рис. 1, а, где a - радиус гранулы, t - толщина "мертвого" слоя.
Для того чтобы найти распределение электрического поля в такой структуре, необходимо решить уравнение Лапласа в сферических координатах Дф (r, 0) = 0, где ф - полярная координата в плоскости, перпендикулярной плоскости рис. 1, а; r, 9 - радиальная и угловая координаты в плоскости на рис. 1, а соответственно. Решение данного уравнения имеет вид [3]: ф(r, 0) = (Qr + C2r-)cos0 .
Электрическое поле в каждой из трех рассматриваемых областей (сегнетоэлектрике, обозначаемым индексом 1, "мертвом" слое - индекс 2 и однородной диэлектрической среде - индекс 3) подчиняется уравнению E = - grad ф.
Для решения поставленной задачи будем использовать стандартные граничные условия на границе раздела двух сред. Из этих условий получим систему четырех уравнений с шестью неизвестными (Сц, C21, C21, C22, C31, C32) (второй индекс обозначает номер среды). C21 должен быть приравнен нулю, иначе при r = 0 решение уравнения обращается в бесконечность. Кроме того, С13 = Eext = const (Eext - напряженность однородного внешнего электрического поля), поскольку на удалении от гранулы электрическое поле задается однородным.
Зная распределение поля в структуре, можно найти дипольный момент гранулы D = Di + D2, где D - дипольный момент собственно гранулы; D2 - дипольный момент
"мертвого" слоя:
a п b п
D = 2nJJs0e1E1 (r, 0)r2 sin (0)d0dr; D2 = 2nj"Js0s2E2 (r, 0)r2 sin (0)d0dr .
00 a 0
Здесь 80 - диэлектрическая проницаемость свободного пространства; 81 и 82- диэлектрические проницаемости сегнетоэлектрика и "мертвого" слоя соответственно, причем 82 « 81; E1 (r, 0) = E1r cos 0 - E10 sin 0 ; b = a +1; E2 (r, 0) = E2r cos 0 - -E20 sin 0 .
a
Определив дипольный момент гранулы, можно найти ее усредненную эффективную диэлектрическую проницаемость sef av = (Д + D2)/(s0EextVo), где V0 = (4/3)nb3 - полный объем гранулы. В результате получим эффективную диэлектрическую проницаемость гранулы в виде
9в182вза3 + 382S3 (Sj + 2в2 ) (b3 - a3 ) e aV s1s2 (2a3 + b3 ) + 2 (81s3 +s2 ) (b3 - a3 ) + 2e2e3 (2b3 + a3 ) где 83 - диэлектрическая проницаемость окружающей гранулу среды, причем 82 « 83 < Si.
Предположение, что окружающее гранулу пространство равномерно заполнено такими же гранулами позволяет, приравняв диэлектрическую проницаемость окружающего пространства к найденной усредненной эффективной диэлектрической проницаемости гранулы, найти эффективную проницаемость материала.
В результате получим эффективную проницаемость наногранулированной пленки, содержащей гранулы сферической формы:
е =е 1 + (t/a) + 2(62/si)(t/a) ^ 1
ef Ч + 2(t/a) + (Gil62)(t/a) 4 + (e^62)(t/a) .
Подробное обоснование приведенных зависимостей дано в [4].
Для гранулы эллиптической формы (рис. 1, б) в эллиптических координатах получены соотношения, аналогичные предыдущим, однако ввиду большой сложности аналитических выражений они в статье не приводятся.
В результате проведенного анализа получена графическая зависимость эффективной диэлектрической проницаемости от размеров гранул эллиптической формы, аппроксимируемая формулой
_ _1_
Sef _811 + (8^82)(t/a)[2/(1 + b/a)] •
Использование феноменологической модели диэлектрической проницаемости для объемного материала [5] и найденного распределения поля в гранулированной структуре позволяет найти температурную зависимость эффективной диэлектрической проницаемости наногранулированной пленки. На рис. 2, а представлена зависимость эффективной диэлектрической проницаемости от температуры для объемного материала, а на рис. 2, б -аналогичная зависимость для наногранулированной пленки для разных значений вертикального размера гранулы при a = 20 нм и t = 2 нм . Приведенные графики были построены для пленки BSTO со следующими параметрами: параметр структурного качества образца £,s _ 1; содержание бария х = 0.65 .
Из рис. 2 следует, что диэлектрическая проницаемость наногранулированной пленки (рис. 2, б) существенно меньше проницаемости монокристаллической пленки (рис. 2, а), причем эффективная проницаемость наногранулированной сегнетоэлектрической пленки уменьшается с уменьшением размера гранулы.
Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2007. Вып. 6=
b = 250 нм
1000 -
200
300 400 а
T, K
b/a 4
3 -
200 300
400
T, K
б
750 775 800 825 Tg, K
Рис. 3
Рис. 2
Форма гранулы зависит от температуры роста пленки. Чем выше температура роста пленки, тем более вытянута по вертикальной оси гранула. На рис. 3 представлена зависимость отношения вертикального и горизонтального размеров гранулы от температуры роста пленки , полученная в результате использования экспериментальной зависимости (7^, Ъ/а).
Полученная зависимость эффективной диэлектрической проницаемости нанограну-лированной пленки от размера гранулы может быть использована при анализе различных технологических способов нанесения тонких пленок.
2
1
Библиографический список
1. Thickness and dielectric constant of dead layer in Pt/(Ba0.7Sr0.3)ТЮз/УВа2Сиз07_х capacitor/ B. Chen, H. Yang, L. Zhao et al. // Appl. Phys. Let. 2004. Vol. 84, №. 4. P. 583-585.
2. Вендик О. Г., Зубко С. П. Размерный эффект в сегнетоэлектриках типа смещения // Кристаллография. 2004. Т. 49. Вып. 5. С. 1144-1150.
3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для работников и инженеров. М.: Наука, 1984. 831 с.
4. Вендик О. Г., Медведева Н. Ю., Зубко С. П. Размерный эффект в наноструктурированных сегнето-электрических пленках // Письма в ЖТФ. 2007. Т. 33. Вып. 6. С. 8-14.
5. Vendik O. G., Zubko S. P. Modeling the dielectric response of incipient ferroelectrics // J. of Appl. Phys. 1997. Vol. 82, № 9. P. 4475-4483.
O. G. Vendik, N. Yu. Medvedeva, S. P. Zubko Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"
Size effect in nanogranular ferroelectric films
Effective dielectric permitivity of nanogranular ferroelectric film is defined as a function of the grain size and thickness of the "dead" layer.
Size effect, nanogranular ferroelectric film, effective dielectric permitivity, grain, "dead" layer
Стаья поступила в редакцию 30 марта 2007 г.
