Размерная редукция фермионов в модели Гросса-Невё в условиях нарушенной лоренц-инвариантности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Размерная редукция фермионов в модели Гросса-Невё в условиях нарушенной лоренц-инвариантности

Н. В. Губинаа, В. Ч. Жуковский6, С. Г. Курбанов

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: а [email protected], ь [email protected] Статья поступила 16.11.2011, подписана в печать 23.12.2011

Изучается модель Гросса-Невё с нарушенной лоренц-инвариантностью. В двух и трех измерениях вычисляются эффективный потенциал, уравнения щели, исследуются симметрийные свойства модели. В результате размерной редукции устанавливается соответствие между результатами в разном числе измерений.

Ключевые слова: Гросс-Невё, нарушение лоренц-инвариантности, эффективный потенциал, размерная редукция, компактификация.

УДК: 530.145. PACS: П.ЗО.Ср, 11.30.Rd, 03.70.+к.

Введение

В настоящей работе подробно изучены основные симметрийные свойства и установлено соответствие между (1 + 1)- и (2+1)-моделями Гросса-Невё при наличии члена, нарушающего лоренц-инвариантность. Модель Гросса-Невё, впервые введенная и изученная в работе [1], — это теория с дискретной симметрией, в двух измерениях описывающая четырехфермионное взаимодействие. Она может быть получена в результате размерной редукции из более фундаментальных теорий высших размерностей (см. [2]), соответствие между трехмерной и двумерной моделями установлено в работе [3]. Двумерная модель имеет важное значение, поскольку в пределе больших N аналитически разрешима и обладает главными свойствами моделей КХД (асимптотическая свобода, размерная трансмутация, спонтанное нарушение киральной симметрии). Трехмерная модель дает представление о том, как устроен мир при наличии дополнительных измерений. Исходно она обладает 2(2) -симметрией с инверсией по третьему измерению, но при введении нарушения лоренц-инвариантности, как будет показано, демонстрирует разнообразие вакуумных состояний.

Что касается нарушения лоренц-инвариатности, то уже существующие кинематические и динамические модели нарушения (см., напр., [4, 5]) после обнаружения важных данных в экспериментах с нейтрино (см. [6], [7]) переживают второе рождение. Особо отметим модели с химическим потенциалом, эффект учета которого имеет много общего с нарушением лоренц-инвариантности (см. [8-10]).

1. Двумерная модель Гросса-Невё Лоренц-инвариантный случай

Евклидово действие модели в (1+1) измерении выглядит следующим образом:

Б[ф,ф] =

d х

Ф^д^ф --^(фф) 2|, ф = (фи-..,Фм),

где g — безразмерная константа четырехфермионно-го спаривания, индекс аромата пробегает значения

а = 1,... ,Ы. Действие инвариантно относительно преобразований глобальной и(Ы)-симметрии, 7-матрицы удовлетворяют алгебре Дирака:

72 = СТ1

71 = ст2

73 = 75 = с3 ^

где <т; — матрицы Паули.

Действие можно линеаризовать

8[ф,ф,Ф] =

d х

- — N

Ф^А^Ф - ффФ +2g®

введением новых бозонным полей:

Ф(х) = ^ф(х)ф(х),

вакуумное ожидание которых предполагается отличным от нуля:

п ШхЪ N .V

что приводит к нарушению киральной симметрии.

Эффективный потенциал может быть введен через поля Ф, постоянные в пределе N-¥ оо, через определение производящего функционала

Z =

ОфОфехр(^8[ф,ф, Ф]) = exp(^AWeff^)), (1)

где V — двумерный объем, а эффективный потенциал

1/е„(Ф) =

1

(2тг)2

d2k 1п(^2 + Ф2) + -*-Ф2.

zg

Минимум эффективного потенциала является решени-

ем уравнения щели =0:

1

(2тг)2

d2k

k2<A-i

1

k2 + Ф2 g'

Для устранения логарифмической расходимости вводится обрезание в двумерном импульсном пространстве. В ультрафиолетовом пределе А2 » Фо возникает результат

Ф0 = т = А2ехр(^). (2)

Вид полученного решения указывает на наличие асимптотической свободы: для фиксированного Фо имеем при Аг^-оо. Вследствие спонтанного (динамического) нарушения киральной симметрии фермионы приобретают массу т = Фо, которая остается неизменной при вариациях величины константы связи g.

Эффективный потенциал приобретает вид, изображенный на рис. 1 и задающийся формулой

Кл(Ф) =

ф2 ( ф2

4я"

1п

(3)

Рис. 1. График эффективного потенциала двумерной модели Гросса-Невё в случае ненарушенной лоренц-симметрии

Модель с нарушенной лоренц-инвариантностью

Двумерное евклидово действие модели с учетом члена, нарушающего лоренц-инвариантность запишется в следующем виде:

Б[ф,ф] =

ё2х

ФЬ,А> - 1,Алз)Ф - ^Ш')2

где /¿=1,2 и ^ - постоянный вектор.

Линеаризация и интегрирование действия по фер-мионным степеням свободы приведет к выражению для производящего функционала в форме интеграла по полю Ф

г =

йФ - Ф - 7мйм7з)е'

Следуя определению эффективного потенциала (1) и переходя в пространство Минковского с заменой к[ = к1, к-2 = 1к°, Ь{ = —, Ь-2 = Ь°, получим следующее выражение:

Кл = ■

(2тг)2

й^ х

¿к11п (ф2 + (й1 + Ь0)2 - (6° + Ь1)2) +

Ч /

4тГ

йк1

Ь1 - у/ф2 + + ь°у2

Ь1 + у/ф2 + (к1 + Ь°У2

Ф2

После введения параметра обрезания А и интегрирования в симметричных пределах, находим уравнение щели

+ 1 + - = 0. (4)

Интервал интегрирования по переменной к[ следует из (4): _

1) если Ь1 > ^Ф2 + (&1 +Ь0)2, вклад в интеграл (4) равен нулю;

2) если Ъ1 < ^Ф2 + (&1 + Ь0)2, то в пределе А» Ь°, А » Ь[ имеем

\п

\Ь1\^У{Ь1)2^ Ф2 7Г

л/(А/2)2 + Ф2 - А/2 ё

= 0.

(5)

В этом приближении эффективный потенциал задается выражением

Ф2 1/,

т2

+ Ф2 1п (\Ь1\^{Ь[У2^ Ф2

А2 Ф2

Ф2 + + + (&0)2 + 4 2

Ф2 1п

ф2\ А |

(6)

Разрешая уравнение (5) относительно Ф, получим ф2 = 2|Ь1|Аехр Г--) — А2 ехр С-—) =2Ь1Ф0^Ф§,

(7)

где Ф0 — решение (2) уравнения щели в лоренц-инвариантном случае.

Изучение свойств эффективного потенциала двумерной модели Гросса-Невё в случае нарушенной лоренц-инвариантности дает следующие результаты.

1. При любом Ь[ уравнение щели тривиальное решение Ф = 0.

2. Из уравнения (5) и (7) находим

= 0 имеет

т2

■ Ф2 = Ф0

Ь1,

откуда получено ограничение на величину компоненты Ь[ вектора, нарушающего лоренц-инвариантность:

N <Фо-

Это условие нарушения киральной симметрии в модели и возникновения массы фермионов. Рассмотрим вид эффективного потенциала (6) в пределе больших А (взято значение А= 1000) как функции 14[[ = Кл^1)-параметр Ь° положен равным нулю. При Ь[ = 10 график напоминает вид эффективного потенциала для лоренц-инвариантного случая (3) при Ь[ =0, приведенный на рис. 1. Он имеет два симметричных глобальных

геК

х10

Я[Ф,Ф] =

йАх

Ф7/(3/ - /&,)Ф + ФтФ

— (ФФ)2 2ЛГ ;

5[Ф, Ф, Ф] =

1

(2тг)3

N о — \?Ф2 20

ш и,.

где V — трехмерный объем и

_1_

с;

(2тг)3

' ёЕ-ё2р _ 2

Е'2 + р'2 Щз

Г

Ж

А_

лт-2

гласнн с (1) и интегрируя континуальный интеграл по Ф и Ф, получаем выражение для :

1

Уе[[ 26 б, (2тг)3

дък 1п ((А - б)2 +«

(9)

80 Ф

Рис. 2. График эффективного потенциала двумерной модели Гросса-Невё с нарушением лоренц-симметрии для значения параметра нарушения Ь1 = 120, при котором наблюдается восстановление киральной симметрии

минимума при Ф = ±Фо, вычисляемых по формуле (7). Это нарушение киральной симметрии, согласно результатам статьи, имеет место, поскольку &'<Ф0. На рис. 2 график потенциала построен для значения параметра Ь[ = 120, превосходящего критическое значение, т.е. &'>Фо. Как следствие график имеет глобальный минимум в нуле, и киральная симметрия восстановлена.

2. Трехмерная модель Гросса-Невё

Эффективный потенциал

Действие для (2+1)-мерной модели Гросса-Невё после введения члена, нарушающего лоренц-инвариантность, выглядит следующим образом:

Здесь Ь = (Ь1;Ь2',Ь3) и / = 1,2,3, первое измерение пространственное, второе — временное, третье — дополнительное пространственное измерение; 7-матрицы выбраны выше.

После введния аксиального поля Ф(л') в прямой аналогии с тем, как это было сделано в случае двух измерений, в пределе больших N получим выражение для действия в приближении среднего поля

(8)

Последнее слагаемое в интеграле (8) возникло как результат перенормировки действия в однопетлевом приближении. Похожая процедура также была сделана в работе [11]. Вакуумное ожидание (ФФ) = §(Фо — т) при Фо фт становится ненулевым, и 2(2)-симметрия нарушается. Вводя эффективный потенциал в со-

где Ф = Ф — т.

Фермионный конденсат отсутствует и, как следствие 2(2)-симметрия не нарушена, если эффективный потенциал имеет единственный минимум — в точке Фо = т\ в противном случае симметрия будет нарушена.

Лоренц-ивариантный случай при т = 0 хорошо изучен (см., например, [3, 12]) для соответствующих выражений эффективного потенциала

1 Ф2

Кл =

|Ф|'

(10)

бтг1 1 2

Уравнение щели дУсц/дФ = 0 имеет решение

Как видно, симметрия восстанавливается при б < йс и нарушена, если О > Ос.

Вычислим эффективный потенциал для двух случаев — для чисто мнимой и чисто вещественной величины 6 евклидова пространства.

В случае вещественного 6 для (9) получим

Кл =

Ф2 т. Ф

20^~07

1

х arctg 8^1п(<А + *>

(2тг)2 3 А + Ь

2 з

-Ф '3 х

1

Ф

Ь Ф'

■ ап^

А ^Ъ Ф

+ |л2Ф2 + \-К2Ь2 - Ь2Ф2 + |ьл3

2 2 2 3

1(ф4 + л4)„ 1 &4 +

+ |л2Ф2 + ^л2&2

12

Ь2Ф2

-ЬА.

1

(2тг)2

|лф2 + ^Л3 + |Л^

о 18 3

где Ь = у¡Ь2 + Щ + Щ, А — величина обрезания по импульсам.

Полагая Л » Ф, Л » Ь, получим

13

66,

_ Ф2 (Ф - т)2

е" ~ 20

|Ф - т\

67Г

т Ф

с7'

Отметим, что, если т -¥ 0 выражение для эффективного потенциала совпадает с (10) с точностью до аддитивной поправки Ь2/(&Ос).

Для случая мнимого 6, полагая в выражении (9) А » Ф, А » Ь и вводя 6 — вещественный вектор с ком-

понентами (£>1, ¿>.3) и Ъ= уЩ + Щ + £>§, получим: 1) если |Ф — т\ > Ь,

Кл =

Ф2 (Ф^т)2 |Ф-/и|3

20

20

6-7Г

тФ

с7;

Кл =

2) если |Ф — т\ < Ь, Ф2 (Ф - т)2 т.Ф

20

2 О,

1

32тг Ъ

±Ь4 - 4Ь2(Ф - т)2 3

2(Ф ^т)4

Уравнение щели

В случае вещественного 6 уравнение щели в пределе А»Ф, Априобретает вид

(Ф - т)(|Ф - т.| - М) тМ

= 0,

(П)

$1 =т. + -М +

Ф2 = т- —Л! + Фз = /я - -

-М2 + Мт, 4

|м2

4

• Мт.,

|м2

4

• М т.

Ф 4 = т +

\м2 + т\М\.

4 1 1

Таким образом, при вещественном 6 киральная симметрия нарушена при любом значении этого параметра, а его изменение ведет только к общему сдвигу потенциала.

Если т = 0, эффективный потенциал определяется выражением (10), как и в лоренц-инвариантном случае, с добавочным слагаемым -Ь2/{&Ос). То есть, как и для лоренц-инвариантной модели, симметрия не нарушена при О <Ос и нарушается при О > Ос.

При мнимом 6 в выбранном приближении уравнение щели задается следующими равенствами:

1) если |Ф — т\ > Ь, то

(Ф - т) (|Ф - т.| - М) тМ

= 0,

2тг 2тг

т. е. решения уравнения щели совпадают с решениями (11) для случая реального 6; 2) если |Ф — т\ < Ь, то

(Ф - т)3 (Ф - т)Ъ

4-к Ъ

4-к

М лч А

27Г =

(12)

2тг 2тг

гдеЛ* = 2тг(£-£).

Исследуем решение уравнения (11). 1. Если М > 0 (т.е. & > Ос), экстремумы потенциала расположены в точках

12 Ф

Рис. 3. График эффективного потенциала трехмерной модели Гросса-Невё с нарушенной лоренц-инвариантностью при действительном параметре нарушениия Ь и при О = 2, Ос = 1, т = 3

Если М ^ 4т, то имеет один минимум в Ф1 (рис. 3), а если М>4т, то имеет два минимума разной глубины в точках Ф1 и Ф3 и максимум в точке Ф2 (рис. 4).

2. Если М <0 (или б <Ос), то потенциал имеет один минимум в точке

Рис. 4. График эффективного потенциала трехмерной модели Гросса-Невё с нарушенной лоренц-инвариантностью при действительном Ь с параметрами 6 = 4, вс = 0.7, т = 0.8

потенциала при этом не отличается принципиально от уже приведенного на рис. 4);

в) О > Ос, М <Ь < 2 М — два симметричных минимума разной глубины при Фо = ± у^2МЬ - Ъ2, и симметрия нарушена;

г) й > , Ь > 2М — единственный минимум, и симметрия восстановлена.

В общем случае т ф 0 степень уравнения щели равна трем (12). Разрешая его, получим следующие условия существования ненарушенной киральной симметрии:

М < 0, Ъ>

т\М

ЦЬ - 2М)л > —т'2М'2,

Ф4 = Фо = т.

м > о, ъ>

¡М2 + тМ + ±М,

Ь{Ь - 2М) > —т'2М2, Ф4 = Фо = т,

(13)

где

Отсюда при т = 0 возможны следующие случаи:

а) б < йс — единственный минимум в точке Фо = 0, 2(2)-симметрия существует;

б) й > , Ъ < М — два симметричных минимума в точках Фо = ±М, что нарушает симметрию (вид

Ф4 = т + з1§п(М)

Л+3

1 Ь{2М-Ь)

А

1/3

Ь3

А = | Ьт\М\ + у Ь2М2т2 - —(2М

Ъ)3

Из выражений (13) видно, что для фиксированных Мит восстановление 2(2) -симметрии происходит при некоторых частных значениях Ь и не является систематическим, в отличие от безмассового случая, где симметрия существует для всех Ь > 2М.

3. Размерная редукция Лоренц-инвариантная модель

Компактификация по третьему измерению накладывает условие хз е [0, /5], что дает = 2жп//3, где пе 2, и уравнение щели трехмерной модели приобретает вид

О

(2^/3 „^

£

к2

■к2-

(фУ

■ ф2

При вычислении этого выражения могут быть использованы два подхода — суммирование до взятия интеграла, как в работе [3], или в обратной последовательности, как сделано выше в лоренц-инвариантном случае. Используя формулу Пуассона, получим

в

_1_

47Г

й(к2)

ctgh (|^2 + Ф2

у'к2 + Ф2

т

гхр

ТГ/3

Аг

2тг

Последнее выражение в случае /3 -¥ оо дает соответствие между Аг и 1 /йс:

Аг = Аз = _}_

2ж тг2 Ос

При условии /ЗФ <С 1 выражение (14) приобретает вид

1

|Ф| = ехр

и

в

(2тг)3

йЧ

(к1^Ь1)2 + (к2^Ь2)2 + к2 + Ф2'

Проводя компактификацию по третьему измерению, получим

1 2

К„ =

О (2тг)2 /3

(Иг\ йк^

(к1+ь°)2 + (к2+т2 + (^ +ф2

После вычислений уравнение щели принимает следующий вид:

1) при \Ь1\ < |Ф|

2) при |Ь1\ > |Ф|

1 _ 1

О^Ъф

где

Ап = (/2+Я|) +

]г в„+ ]г л„

М^Ящах И|>Пцмх

(17)

(18)

где к = уЩ + Щ берется из интервала к е [0, Аг], Аг Ф — параметр обрезания в двумерном импульсном пространстве, фигурировавший выше, с учетом чего

(14)

(15)

+ 1П ^ (д + 6°) + ^ (д + Ь^ + (Нп)2 + /2^ ,

вп = 1п ^/3 - Ь°) + ^ - 6°) * + (Нп)2 + /2^ +

+ 1П ^ (д + 6°) + (Нп)2 + /2

— 21п 3\Ь1\ + ^/((ЗЬ1)2^р^Н2

При отождествлении 1//3 с импульсом обрезания Аг это выражение соответствует решению уравнения щели для двумериного случая (2), где константа связи g принимает вид

КЮГ <16)

Размерная редукция в модели с нарушенной лоренц-инвариантностью

Рассмотрим уравнение щели трехмерной модели, полагая т = 0 и ¿з = 0:

Для установления соответствия с двумерным случаем необходимо положить

ьт) = _ьт = ьш) = ьт = .

здесь Ь°, Ь1 е Ие.

и птах возникает из условия \Ь1\ < у^Ф2 + (^р)2, т.е.

п ^ «тах ■ Здесь / = /ЗФ, Нп = 2тт, к\ = к\ + Ь° и А — величина обрезания по импульсу, в общем случае не равная Аг.

Существующие строгие экспериментальные ограничения на величины компонент Ь(1 приводят к естественному соотношению (3\Ь1\ <с 2-7Г, так что условие, приведенное выше, нарушается уже при п = 1, следовательно, птах = 0.

Отметим, что для установления соответствия в выражениях (17), (18) необходимо выбрать подходящие конечные пределы. Это связано с тем, что при нахождении уравнения щели для Ь = 0 параметром обрезания бралось А2, в то время как при Ь Ф 0 в уравнении щели пределы интегрирования брались бесконечными.

Уравнения щели в приближении Ь0 <с А, / = /ЗФ <С <С 1, |/| <С/ЗА имеют следующий вид:

1) если |Ь11 <|Ф|, то

в тг/З V 2 '

2) если |Ь11 > |Ф|, то

1 1

где

о Е lnHп

п^ О

Выбором предела суммирования N получим решение уравнения щели, совпадающее с лоренц-инвариантным случаем (15). Это происходит при выполнении условия

_ /ЗА 2 2 "

Для решения уравнения щели получим (как прежде, А2/(2-7г) = Аз/тг2 = 1 /Ос, и для константы связи используем выражение (16)): 1) если |Ь11 < |Ф|, то

]_ G

ж(3

т. е.

|Ф| = -ехр

/3

ехр

7Г

(19)

2) если |Ь11 > |Ф|, то

1 = J_ (ih

G ir(3 V 2

In [f3\bl\ + J(f3bl)2^f2

т. e.

1Ж12 2164 / тг\ 1 f 2ж

(20)

Видно, что (19), (20) совпадают с решением двумерного уравнения щели модели с нарушенной лоренц-ин-

вариантностью (7), где 1//3 — то же обрезание по импульсам, что и в лоренц-инвариантном случае.

Заключение

В настоящей работе рассмотрены эффекты нарушения лоренц-инвариантности в двумерной и трехмерной моделях Гросса-Невё, исследовано влияние добавочного члена на симметрийные свойства модели. Путем компактификации по третьему измерению установли-вается соответствие между результатами, полученными для разного числа измерений, найдены требуемые для этого соотношения между параметрами моделей.

Список литературы

1. Gross D.J., NeveuA. 11 Phys. Rev. D. 1974 10. P. 3235.

2. Antony an E., Harvey J. A., Kutasov D. // Nucl. Phys. B. 2007. 776. P. 93.

3. Bietenholz W., Gfeller A., Wiese U.-J. 11 J. High-Energy Phys. 2003. 0310. P. 018.

4. Jackiw R., Kostelecky V.A. 11 Phys. Rev. Lett. 1999. 82. P. 18.

5. Mewes M. // Third Meeting on CPT and Lorentz Symmetry / Ed. by V. A. Kostelecky. Singapore, 2005.

6. Adam Т., Agafonova N., Aleksandrov A. et al. 11 ArXiv: hep-ex/1109.4897.

7. Abbasi R., Abdou Y., Abu-Zayyad T. et al. 11 ArXiv: astro-ph/1101.1692.

8. Christiansen H., Petkou A., Silva Neto M., Vlachos N. // Phys. Rev. D. 2000. 62. P. 025018.

9. Minakata H., Chodos A. 11 ArXiv: hep-th/9709179vl.

10. Ebert D., Gubina N.V., Klimenko K.G. et al. 11 Phys. Rev. D. 2011. 84. P. 025004.

11. Rosenstein В., Warr B.J., Park S.H. 11 Phys. Rev. D. 1989. 39. P. 10.

12. Vshivtsev AS., Magnitsky B.V., Zhukovsky V.Ch., Klimenko K.G. 11 Phys. Elem. Part, and Atom. Nucl. 1998. 29. P. 5.

Fermions dimensional reduction in Gross-Neveu model under the Lorentz invariance violation conditions

N.V. Gubina", V.Ch. Zhukovsky'', S.G. Kurbanov

Department of Theoretical Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.

E-mail: [email protected], b [email protected].

The Gross-Neveu model with Lorentz-violating term Ьц is studied. The effective potential yeff with Lorentz-violating term b^ in 3d and 2d cases is calculated. The gap equation is obtained and the influence of the presence of an additional term Ьц on the symmetry of the theory are examined. Also, dimensional reduction both in the presence or absence of Ьц from 3D to 2D is done.

Key words: Gross-Neveu, violation of Lorentz invariance, effective potential, dimensional reduction, compactifica-tion.

PACS: ll.30.Cp, ll.30.Rd, 03.70.+k. Received 16 November 2011.

English version: Moscow University Physics Bulletin 2(2012).

Сведения об авторах

1. Губина Надежда Валерьевна — аспирантка; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: [email protected].

2. Жуковский Владимир Чеславович — докт. физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: [email protected].

3. Курбанов Сердар Гельдимуратович — аспирант; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: [email protected].