Трехмерная модель Гросса-Невё в условиях нарушения Лоренц-инвариантности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Трехмерная модель Гросса-Невё в условиях нарушения

Лоренц-инвариантности

В. Ч. Жуковский0, С. Г. Курбанов6

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. E-mail: а [email protected], ь[email protected] Статья поступила 29.04.2009, подписана в печать 01.06.2009.

Изучена трехмерная модель Гросса-Невё с добавлением в лагранжиан члена Ь^, нарушающего Лоренц-инвариантность. Вычислен эффективный потенциал Vea при условии, что член, нарушающий Лоренц-инвариантность, является как действительным, так и мнимым в пространстве Евклида. Получено уравнение щели и рассмотрены следствия введения Ь^ с точки зрения нарушения симметрии теории.

Ключевые слова: модель Гросса-Невё, Лоренц-инвариантность, эффективный потенциал. УДК: 539.12.01. PACS: ll.10.Kk, 04.60.Kz, ll.30.Cp.

Введение

Лоренц-инвариантность и СРТ-симметрия являются достаточно хорошо проверенными законами природы. Однако в последние годы стала широко обсуждаться возможность нарушения этих основных законов физики, были высказаны предположения, что эти симметрии являются лишь приближенными. Действительно, современная квантовая теория допускает нарушение Лоренц-инвариантности (и как следствие СРТ-симмет-рии) в результате спонтанного нарушения симметрии на фундаментальном уровне. Так, нарушение Лоренц-инвариантности может возникать, например, в теории струн [1, 2], квантовой гравитации [3, 4], некоммутативной теории поля [5-7], суперсимметричной теории [8].

Стандартная модель не располагает механизмами нарушения Лоренц-инвариантности, однако это нарушение может быть следствием нарушения в упомянутых выше более фундаментальных теориях. В спинорном секторе стандартной модели наиболее полный лагранжиан со всеми возможными поправками, нарушающими Лоренц-инвариантность, представлен в [9] («расширенная стандартная модель»):

£ = -ФГ^Ф - ФМФ,

где

Г^ = + + d^ ъъ + + if<y5 +

1

1aXv

с Xv,

М = т + а^ + Ь, 757^ +

В большинстве работ рассматривается влияние членов ар и Ьр (см., напр., [10, 11]). В обзорной статье [12] можно найти современные ограничения на добавку Ьр, полученные, в частности, при исследовании атомных систем:

\Ьо\ < Ю^2 эВ, |6| < 10^18 ~ Ю^20 эВ.

Как видно из этих оценок, ограничения на временную часть Ьр сейчас являются наиболее слабыми, поэтому многие авторы уделяют особое внимание рассмотрению именно этого члена (см., напр., [13]).

1. Эффективный потенциал

В настоящей работе рассматривается (2+1)-мерная модель Гросса-Невё (1), действие которой в пространстве Евклида записывается так:

5[Ф, Ф] =

dAx

Ф7/АФ + Ф7з<%Ф - 2дг (фф)

(1)

Здесь ¡л = 1,2, первое измерение — пространственное, второе — временное, третье — дополнительное пространственное и 7 — матрицы выбраны следующим образом:

12 = 0-1

7з =75

Эта модель изначально обладает 2(2)-симметрией с инверсией третьего измерения, т. е.

Ф1(Х1,Х2,Х3)' = ±ФЬ(Х1,Х2, -х3),

Ф1(Х1,Х2,Х3У = ±ФЬ(Х1,Х2, -х3),

Фд(хг, х2, х3)' = , х2, -х3),

Фя(*1, х2, х3у = , Х2, -х3).

Введем в (1) нарушение Лоренц-инвариантности путем включения дополнительного члена с постоянным вектором Ьц, а также учтем конечную массу т, тогда получим

Ф7/(0/-/6/)Ф- ~ ■■ — .21

5[Ф, Ф] =

d6x

■ ФШФ - Л; ^ФФ^

2 N

где b = (b\\b2,b3) и /=1,2,3.

Введем дополнительное поле Ф(х) и воспользуемся соотношением Хаббарда-Стратоновича:

ехр<

-dAx

— N ,

ФФФ--ди

2 G

ёФ ехр<

сгх

20

ф^^фф

N

■ сопэ! • ехр

При больших N мы можем положить поле Ф(х) равным не зависящей от координат константе Ф. Тогда, вводя зависящее от Ф, Ф, и Ф действие и используя соотношение Хаббарда-Стратоновича, получим:

5[Ф, Ф, Ф] =

1

(2тг)3

N т

- — 1'Ф - .VI'Ф-. (2)

где V — объем трехмерного пространства,

(2тг)3

' йЕ-й2р _ 2 Е2+р2 Щз

Ы3к _ К

7Г

2 '

Последнее слагаемое в (2) возникло в результате перенормировки действия в однопетлевом приближении (при этом введено обрезание Л), аналогичная перенормировка была проделана в [15]. Анализ перенормировки двумерной модели Гросса-Невё в главном порядке 1/^-разложения был также проведен в [16].

Производящий функционал записывается в следующем виде:

г =

_ Ф2 шФ 1 = 20 ~ ~ (2~У

((¿^6)2 + Ф2) , (5)

где Ф = Ф — т.

Конденсат дираковских полей будет отсутствовать, и как следствие 2(2) -симметрия не будет нарушена, если эффективный потенциал будет иметь единственный минимум в точке Фо = т, в противном случае симметрия будет нарушаться.

Случай без нарушения Лоренц-инвариантности и, кроме того, когда т = О, рассмотрен в [14], где получено следующее выражение для эффективного потенциала:

(¿-в)- (6)

При этом уравнение щели дУец/дФ = 0 имеет следующее решение:

|Фо1 = 2тг( ¿-1

д?к [ф(-£) (г7/(% - Ь-) - Ф) Ф(£)] +

(7)

Как видно, при в < Ос симметрия не будет нарушена, а при б > Ос она нарушается.

Вектор 6 может задаваться комплексным, действительным или смешанным (некоторые компоненты ком-лексные, некоторые — действительные). Для того чтобы выяснить, как нарушение Лоренц-инвариантности (при ненулевом 6) влияет на образование конденсата, вычислим значение эффективного потенциала в двух случаях — при действительном и чисто мнимом значениях 6 в простанстве Евклида.

Вычисляя интеграл (5) в случае действительного 6, получаем

Уе[[ =

ф2

20 1

шФ

с7ч

. ^фЗ (2тг)2 3

. . л + гл А (к^ъ ( —ф— ) +

ф

8тг 2Ь

щ\хх ((Л + 6)2 + Ф2)

+ ^К2Ь2

4 12 2

- Ь2ф2+Ьлз

2 3

1(ф4 + Л4)^_164 + |л2ф2+1л262

<*Ф<*Фехр{-5 [ф,ф]} =

= ¿Ф^Ф^Фехр{^ [ф,ф,ф](3)

Отсюда при ^¡г(Ф = Фо) = 0 получаем фермионный конденсат

<ФФ> = -(ФФ> = ^(Ф0-т). (4)

Таким образом, при Фо ф т возникает ненулевое вакуумное среднее (ФФ) ф О и 2(2)-симметрия нарушается.

Вводя эффективный потенциал согласно равенству 2 = I йФ ■ Vf.ii} и взяв континуальный интеграл по Ф, Ф, получаем выражение для

)-Ь2Ф2 - |&Л3 2 3

1 /54л2 17 з 2 2 (27т)2 \6 + 18 + 3

где Ъ = у?Ь2 + Щ + Щ, Л — импульс обрезания. При Л » Ф, Л » Ь имеем

Ф2 (Ф - т)2 ^ |Ф - ш|3 Ь2 тФ

6 Ог Ог

Уе[[ =

20

2 Ог

67Г

(8)

Заметим, что при т -¥ О полученное выражение для эффективного потенциала будет совпадать с (6) с точ-

ь2

ностью до аддитивнои поправки .

В случае мнимого 6 можно переписать выражение (5) в виде

_ Ф2 шФ 1

2б ~ в" ~ (2-у

с1Ч\п ((¿^/6)2 + Ф2) , (9)

где 6 — уже действительный вектор с компонентами

(ЬиЬ2,Ь3) и ъ = ф2 + Ц + Ц.

Взяв интеграл (9) для , получаем действительное выражение

1

11Л3 + |лф2^Ы2

15 0 О

16тг 2Ь

(2тг)2

^(¿рА31п ((Л2 + Ф2 + 52)2 ^Л4 + 2Л2(Ф2 — 52)^ arctg

16тг 2Ь

1

(Ф - Ь)3 ( + Ф^ arctg

— 452Ф2^ -

2 КЪ

А2 + Ф2 — Ь2 Л

Ф ^Ь

+ (Ф + Ь)л ( ]-Ъ - Ф ) агс^

Л

Ф + Ь

При Л » Ф, Л » Ь имеем: 1) если |Ф — т\ > Ъ, то

Кл =

Ф2 (Ф^т)2 |Ф-/и|3

Кл =

26 2в

2) если |Ф — т\ < Ъ, то

Ф2 (Ф - т)2 т.Ф

67Г

т. Ф

с7;

(10)

20

20,-

1

32тг Ь

'-Ъ4 - 4Ь2(Ф — т)2 - 2(Ф — т)4

(П)

2. Уравнение щели

В случае действительного 6 получаем уравнение

Щ-и оф

щели = 0 в следующем виде:

Ф т в ~

Ф

-!-(л2+ф2)

4тг2Ь \ 2 — 1п ((Л + Ь)2 + Ф2)

+ 2ЬФ агс^

К^Ь

1п ((Л^Ь)2 + Ф2) -2 КЪ +

к + ъ

■ агс^

(12)

Ф ) ° V Ф

При Л » Ф, Л » Ь имеем

(Ф - т) (|Ф - т.| - М) тМ _

2тг 2к ~~ '

где М = 2тг(^1).

Исследуем решения уравнения щели (12): а) при М >0 (т.е. & > йс), экстремумы эффектов ного потенциала могут быть в точках

Ф1=т + ^М + \/ \м2 + Мт.,

1

ф.2 = т- -гМ + \ ТМ2 - Мт,

Ф3 = т

М

М2 -Мт.

В первом случае в реализуется минимум при любых М> 0, т> 0, во втором — максимум и в третьем — минимум при М > 4т;

б) при М <0 (т.е. й <йс) эффективный потенциал имеет минимум в точке

Ф 4 = т+

\м2 + т\М\.

4 1 1

Таким образом, при М < 0 имеет один минимум в точке Ф4 (рис. 1 ,а), при 0 <М < 4т. — также только один минимум в точке Ф1 (рис. 1,6), а при М > 4т. он будет иметь минимумы в точках Ф1, Ф3 и максимум в точке Ф2 (рис. 1, в).

При т ф 0 симметрия может быть восстановлена, только если имеет единственный минимум в точке Фо = т.. Здесь этот случай не реализуется при любых М, т., Ь. Поэтому в случае действительного 6

Рис. 1. Эффективный потенциал при действительном Ь с параметрами: 6 = 0.8, 6^=1, т = 4.5, график имеет один минимум при #4 = 2.51 (а); О = 2, 6^=1, т = 3, график имеет один минимум при Ф] = 8.02 (б); 6 = 4, Ос = 0.7, т = 0.8, график имеет два минимума при Ф] = 8.93, Фз = ^5.69 и максимум при ф2 = -0.11

2(2)-симметрия нарушена при любой величине введенной поправки, которая проявляется только в общем сдвиге эффективного потенциала.

Если т. = 0, то эффективный потенциал определяется формулой (6) без нарушения Лоренц-инвариантности с аддитивной добавкой — В этом случае симметрия будет нарушена при й >йс и будет сохраняться при й < .

В случае мнимого 6 после вычисления получаем уравнение щели в виде

Ф С

т

с;

ф

(ф

Атг2Ь

- 5)2 ап^

Л2 arctg

2 К5

Л2 + Ф 2Ь2) Л \ „

2А.5 -

Ф ^Ъ

(Ф + Ъ) arctg

Л

Ф + Ъ

При Л » Ф, Л » Ь имеем 1) если |Ф — т\ > 5, то

(Ф - т) (|Ф - т.| - М) тМ

= 0,

(13)

2тг 2тг

т. е. в этом случае решения будут совпадать с решениями уравнения щели (12) при действительном векторе 6; 2) если |Ф — т\ < 5, то

(Ф - т)3 (Ф - т)Ъ

М лч А

— Ф = 0

2тг

(14)

4тг Ъ 4тг

Рассмотрим сначала случай, когда т = 0. При этом уравнение щели зачительно упрощается, и мы получаем следующие возможности:

1) й <йс. Реализуется, как и в теории без добавки 5, глобальный минимум при Фо = 0, т.е. 2(2)-симметрия не нарушена;

Рис. 2. Эффективный потенциал при мнимом Ь с параметрами: т = 0, О = 2, йс = 0.8, Л! = 4.71, Ъ = 1.5 < М, график имеет минимум при Фо = ±М (а); т. = 0, в = 4, ^=1, М = 4.71, Ъ = 7 М<Ь<2М, график имеет минимум при Фо = ±\/2МЬ — Ъ2 = ± ±4.12 (б)

2) б > йс, Ь < М. имеет два минимума при Фо = ±М, т.е. поле Ф имеет ненулевое вакуумное среднее и симметрия нарушается (рис. 2, а);

3) б > Ос, М <Ь < 2М. Симметрия также нарушена, и вакуумное среднее равно Фо = ±л/2МЬ - Ъ2 (рис. 2,6);

4) при й > йс и В > 2М, т.е. при достаточно больших Ъ, симметрия восстанавливается, и снова вакуумное среднее равно нулю.

В общем случае ненулевой массы т анализ уравнения щели затрудняется тем, что необходимо найти нули кубического уравнения (14), что можно сделать в общем виде, однако это приводит к громоздким результатам. В итоге анализ уравнения щели в этом случае дает следующие условия, при которых симметрия восстанавливается:

Г м < о, ь>

5(5 - 2М)

|м2-

з

т\М\ - 2|М|, > -т2М2, , Ф4 = Фо = т; (М > 0,

5> ^ '

5(5 - 2М)3 > —т'2М2,

(15)

4

2 М)3 Ф4 = Ф0 = т.,

(16)

где

Ф4 = т + sign(Лí)

" 1 Ь(2М-Ь) л + з' л

53

1/3

А = | Ьт\М\ + у Ь2М2т2 - —(2М - Ь)3

Из выражений (15), (16) видно, что при фиксированных М, т восстановление 2(2)-симметрии происходит при Ф4 = т., т.е. при некоторых дискретных значениях 5. Поэтому восстановление симметрии не носит системного характера, в отличие от безмассового случая, где симметрия восстанавливается при всех 5 > 2М.

Заключение

В настоящей работе рассмотрена трехмерная модель Гросса-Невё с введением массы, а также нарушающего Лоренц-инвариантность члена с постоянным вектором 6 и исследовано влияние этой добавки на исходную симметрию теории.

Показано, что появление действительного 6 в лагранжиане теории дает лишь аддитивную поправку в не влияющую на расположение минимума, поэтому при т ф 0 симметрия нарушается при любом 6. При т = 0 симметрия будет нарушена при константе связи выше критической, С > Сс.

В случае введения мнимого 6 и при т = 0 эффективный потенциал при б < йс имеет единственный минимум, как и в теории без нарушения Лоренц-инвариантности. При О > Ос и 0 < 5 < 2М он будет иметь уже два минимума. При О > Ос и 5 > 2М эффективный

потенциал опять имеет один минимум при Ф = 0, т.е. при достаточно больших значениях b Z{2)-симметрия восстанавливается.

В случае, если 6 мнимый и т^=0, условия восстановления симметрии оказываются сложнее и записываются в виде (15), (16). Однако в этом случае восстановление симметрии происходит только при некоторых определенных значениях параметров т, М,Ь и не носит системного характера.

Список литературы

1. Kostelecky V.A., Potting R. // Phys. Rev. D. 1995. 51.

P. 3923.

2. Kostelecky V.A., Samuel S. 11 Phys. Rev. D. 1989. 39.

№ 2.

3. Gambini R., Pullin J. 11 Phys. Rev. D. 1999. 59. P. 124021.

4. Alfaro J., Morales-Tecotl H.A., Urrutia L.F. 11 Phys. Rev.

Lett. 2000. 84. P. 2318.

5. Carroll S.M., Harvey J. A., Kostelecky V.A. 11 Phys. Rev.

Lett. 2001. 87. P. 141601.

6. Bertolami O., Guisado L. // Phys.Rev. D. 2003. 67. P. 025001.

7. SeibergN., Witten E. // JHEP. 1999. 9909. P. 32.

8. Nibbelink S.G., Bolokhov P.A., Pospelov M. // Phys. Rev. D. 2003. 72. P. 015013.

9. Colladay D., Kostelecky V.A. // Phys. Rev. D. 1997. 55. P. 6760; Phys. Rev. D. 1998. 58. P. 116002.

10. Zhukovsky V.Ch., Lobanov A.E., Murchikova E.M. // Phys. Rev. D. 2006. 73. P. 065016.

11. Frolov I.E., Zhukovsky V.Ch. // J. Phys. 2007. A40. P. 10625.

12. Andrianov A.A., Giacconi P., Soldati R. // Grav. Cosmol. Suppl. 2002. 8N1. P. 41.

13. Kharlanov O.G., Zhukovsky V.Ch. // J. Math. Phys. 2007. 48. P. 092302.

14. Bietenholz W., Gfeller A., Wiese U.-J. // JHEP. 2003. 0310. P. 018.

15. Rosenstein B., Warr B.J., Park S.H. // Phys. Rev. D. 1989. 39. № 10.

16. Klimenko K.G. // Theor. Mat. Phys. 1988. 75. P. 487.

Three-dimensional Gross-Neveu model under the condition of Lorentz invariance violation V.Ch. Zhukovsky10, S.G. KurbanovJi

Department of Theoretical Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.

E-mail: a [email protected], b [email protected].

The 3D Gross-Neveu model with Lorentz violating term is studied. The effective potential I4rr with a real or imaginary Lorentz violating term is calculated. The gap equation is obtained and the influence of the presence of an additional term on the symmetry of the theory is examined.

Keywords: Gross-Neveu model, Lorentz invariance, effective potential. PACS: 1 l.lO.Kk, 04.60.Kz, ll.30.Cp. Received 29 April 2009.

English version: Moscow University Physics Bulletin 5(2009).

Сведения об авторах

1. Жуковский Владимир Чеславович — докт. физ.-мат. наук, профессор; профессор; тел.: (495)939-31-77, e-mail: [email protected].

2. Курбаиов Сердар Гельдимуратович — аспирант; e-mail: [email protected].