Эффект Ааронова-Бома в трехмерной модели Гросса-Невё с компактификацией при конечной температуре Текст научной статьи по специальности «Физика»

Эффект Ааронова-Бома в трехмерной модели Гросса-Невё

■4 *J *J

с компактификацией при конечной температуре

В.Ч. Жуковскийа, П. Б. Колмаковb

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: аzhukovsk@phys.msu.ru, ьpavel.b.kolmakav@yandex.ru

Статья поступила 01.03.2013, подписана в печать 03.04.2013.

Исследована модель Гросса-Невё в (2+1)-мерном пространстве-времени с одним компактифицированным пространственным измерением (цилиндр) с нетривиальными граничными условиями. Рассмотрен эффект Ааронова-Бома, индуцированный находящимся внутри цилиндра магнитным потоком. Обсуждается возможность применения полученных результатов к описанию полимерных трубок.

Ключевые слова: эффект Ааронова-Бома, модель Гросса-Невё, компактификация.

УДК: 530.145. PACS: 11.10.Kk, 04.60.Kz, 11.10.Wx.

Введение

Понятия нарушения и восстановления симметрии входят в число ключевых для физики высоких энергий. В ряде моделей квантовой теории поля можно наблюдать зависимость сохранения или нарушения симметрии от внешних параметров, задаваемых для модели, что позволяет говорить о фазовом переходе между симметричной и несимметричной фазами.

Механизм нарушения симметрии, получивший название «механизма Хиггса», позволил построить теорию электрослабых взаимодействий, объединив таким образом в рамках неабелевой калибровочной симметрии электромагнитные и слабые взаимодействия.

В ряде моделей возникает также механизм нарушения киральной симметрии при помощи радиационных поправок — динамическое нарушение симметрии. Как правило, данный механизм нарушения симметрии характерен для моделей с четырехфермионным взаимодействием. Данный класс моделей неперенормиру-ем в четырехмерном пространстве, по крайней мере в рамках стандартной теории возмущений, что, однако, не мешает рассматривать эти теории как эффективные теории в четырехмерии и как «игрушечные модели» в маломерных пространствах (где они перенормируемы).

Одной из простейших, но в то же время крайне продуктивных моделей этого типа является модель Гросса-Невё [1], на которой в дальнейшем и будет сосредоточено наше внимание. Помимо применения в качестве иллюстрации к явлениям квантовой хромодинамики (асимптотическая свобода, спонтанное нарушение симметрии и др.) она нашла широкое применение в качестве эффективной модели для описания явлений в физике конденсированного состояния вещества. Лагранжианы типа (1 + 1) -мерной модели Гросса-Невё возникают при описании одномерных полимеров (таких как полиацетилен [2]), а (1+2) -мерной при описании планарных систем, таких как графен. Это обстоятельство делает особо интересным рассмотрение модели Гросса-Невё при ненулевых значениях таких параметров, как температура, химический потенциал,

внешнее магнитное поле и др., чему посвящено большое количество работ (например, [3-7]).

Действие модели Гросса-Невё в D -мерном пространстве записывается в виде [1]

S =

dDx

N _ g

Y ф+Удмфк +

фкфк j

2

(1)

Здесь N — число ароматов фермионов, D — размерность пространства-времени, суммирование по ароматам далее указываться не будет, и запись фОф следует N _ „

понимать как ^2 ФОфК.

k=1

В настоящей работе модель Гросса-Невё рассматривается в (2+1) -мерном пространстве-времени с одним компактифицированным пространственным измерением (цилиндр, в приложении к полимерам моделирующий трубки) с нетривиальными граничными условиями и конечной температурой (учет которой эквивалентен компактификации временного измерения). Следует отметить, что поведение квантовых полей в пространствах с компактификацией вызывает интерес еще со времен работ Калуцы и Клейна [8]. При этом возникает чисто топологический механизм генерации массы, а соответствующие массивные частицы принято называть калуца-клейновскими модами. Из недавних работ влияние калуца-клейновских частиц на динамическую генерацию массы фермионов в маломерных моделях рассматривалось в [9].

Можно показать, что в пространстве с компактифицированным измерением, имеющим индекс d, можно частично зафиксировать калибровку абелево-го поля таким образом, чтобы выполнялось условие Ad = const(xd) (подробнее см., например, [10]). На 2+1-мерном цилиндре такая конфигурация электромагнитного потенциала может возникнуть, если он вложен в обычное 4-мерное пространство и вдоль оси цилиндра направлено магнитное поле, создающее ненулевой поток (при этом непосредственно на поверхности цилиндра магнитное поле может быть равно нулю). В [11], кроме того, показано, что такой вектор-по-

тенциал входит в лагранжиан так же, как входило бы в него нетривиальное условие периодичности — топологическая фаза:

фХ + L) = е‘фф(ха), (2)

где ф = eLAd/2n, а L — длина окружности компактифицированного измерения. Подробно поведение такой модели без учета температуры было рассмотрено в [12], а еще раньше рассматривалось в [13].

Поскольку при такой конфигурации на самой поверхности цилиндра магнитное поле отсутствует (магнитный поток заключен внутри цилиндра) и взаимодействие происходит напрямую с вектор-потенциалом, данное явление можно трактовать как проявление эффекта Ааронова-Бома [14, 15].

1. Эффективный потенциал в форме, явно симметричной по компактифицированным измерениям

Выпишем действие модели Гросса-Невё в трехмерном пространстве-времени:

5 =

d3 х

ф^фд^ф +

G

2N

__ 2

(фф)

(3)

Всюду в данной работе используется (приводимое) представление y-матриц ранга 4:

7° =

(а1 ° N =(га2 ° N =(ш3 ° N

\° -а1) V ° -ia2) \° —ia3)'

(4)

где а1 — матрицы Паули.

Действие обладает U(N) -симметрией по ароматам, а также Z(2) -киральной симметрией:

i^l(x°, Х1, Х3)' = ±фL(х°, Х1, —Х3), i^l(x°, Х1, Х3)' = ±фL(х°, Х1, —Х3), фк (х°, Х1, Х3)' = тфк (х°, Х1, —Х3),

фк (х°, Х1, Х3)' = тфк (х°, Х1, —Х3),

где

фкАх)

1 ± 72 2

ф

фк^(х) = ф

1 Т 72 2

Используем преобразование Стратоновича-Хаббар-да [16], чтобы преобразовать действие. Для этого введем вспомогательное поле

G

а(х) = N ф(х)ф(х). (6)

После этого действие можно переписать в виде

обсуждался в [17]). В том случае если а = ° (что можно трактовать как возникновение кирального конденсата а), в лагранжиане появляется слагаемое афф, по виду аналогичное массовому члену (отсутствующему в исходной модели) и нарушающее киральную симметрию.

В импульсном представлении действие записывается в виде

5 =

1

(2п)3

о - г NV о

d рф(—р) [iY^K — а] ф(р) + — а2, (8)

где V — объем пространства-времени. Переходя от производящего функционала Z = JБфБф exp (iS [ф, ф]) к эффективному потенциалу с использованием соотношения Z = exp(—NVVeff), получаем для него выражение

Veff 2G

2

i TrxS ln(i'Y^d^ — а) =

а

2

2G

Dpi 1

2п в

+ ТО 1 +ТО

^ L S trs ln(—y4

1= — то п=-то

а)

(9)

где введено Фурье-разложение (индекс п), связанное с компактификацией одного из пространственных измерений (длина окружности L), и учтена путем использования стандартной техники разложения по мацубаров-ским частотам = (2п/в)(1 + 1/2) (I = °, ±1, ±2,...) конечная температура Т (в = 1/Т — обратная температура; подробнее см. [18]); индексы х и s у операций взятия следа означают соответственно интегрирование по пространству и взятие следа по спинорным индексам. После несложных преобразований находим

Veff = 2G — 2

dp1 1 1 I

2П0 £ L £ ln

l= —C

(7 )’(l+1/2)!

+

п= — oo

+

2n

~L

2

(п—ф)2 + p\ + а2

(1°)

Как можно видеть из формулы (1°), учет конечной температуры и компактификации пространственного измерения входят в эффективный потенциал симметрично при топологической фазе ф = 1/2. Воспользовавшись представлением собственного времени

ln A =

ln В =

оо

d s

у (exp(—sA) — exp(—sB))

°

(11)

и формулой пересуммирования Пуассона

S =

d3x

- - N ,

фь7^д^ф + ффа + — а'

(7)

Несложно убедиться, что на уравнениях движения для вспомогательного поля а преобразованное действие эквивалентно исходному действию модели Гросса-Невё.

Далее мы используем приближение среднего поля, справедливое при большом числе ароматов N (в пределе N ^ ж) а = const(x) = N <фф> (метод разложения по степеням 1/N, ведущим порядком которого является приближение среднего поля, достаточно подробно

exp

l=

—s

2nl

~В

В

2VnS

+ с)

, „.К / В-l2 \

1+2 X exp(-—)

l=1 v 7

cos(BCl)

эффективный потенциал можно переписать в виде

Veff = ^ +

1

2G 4п3/2

f SS- [exp(—sa2)]х

2

1 + 2 £ (-U' ехр( - в2£)

'=1 V ' _

w / J2n2\

1 + 2 ^ ехр ( —4— j cos(2-пф)

п=1 Х S '

+ c.t., (13)

является расходящимся. Регуляризуем его, введя дополнительное слагаемое в показатель экспоненты:

-^2 ехр(-sa2) ^

ds ( 2 а2 \

S5/2 ехр [-s- - SJ2J

(19)

где контрчлен c.t. представляет собой вклад свободного фермионного поля и не содержит зависимости от а; поскольку нас будет интересовать уравнение щели dVff/да = 0 и вторая производная д2Уеа/да2 (см. ниже), далее контрчлен мы писать не будем. В этом выражении различные комбинации слагаемых в двух последних множителях соответствуют различным физическим ситуациям. Учет только слагаемых, равных единице, вместе со слагаемым а2/20 соответствует обычной «плоской» (2+1) -мерной модели Гросса-Иевё без компактификации и внешних полей при нулевой температуре:

а

2

V(0) = ^ +

1

2G 4-3/2

ds 2 S5/2 exP(-Sa )

(14)

Слагаемое, содержащее в в первом сомножителе, представляет собой температурную поправку (восстановление симметрии при высоких температурах — одна из черт модели Гросса-Иевё, заставляющая обратить на нее внимание):

V(T ) = 2П/2

% [exP(-Sa2)

+ ТО

2Е (-о' ехр (- У

. '=1 v

(15)

Слагаемое, содержащее L во втором сомножителе, характеризует поправки связанные с компактификацией и граничными условиями при нулевой температуре (такая модель рассматривалась ранее в [11]):

V(A) 4п3/2

ОО

ds

S5/2 [eXP(-Sa2) Х

У ехр (-LN)

п=1

ео8(2—пф)

(16)

Наконец, одновременный учет слагаемых, содержащих как L, так и в, позволяет одновременно учесть влияние конечной температуры и компактификации пространственного измерения:

V(X) =

1

4-3/2

ds

s5/2

0

[exp(-sa2

х

Е <-'>■ Ч - У)

=1

£ 'хр (-Ч )

L '=1

+ ТО

ео8(2—пф)

(17)

Действие в целом равно сумме слагаемых:

Veff = V(0) + V(T) + V(A) + V(x) + cT. (18)

Преобразуем слагаемое V(0), отвечающее за «плоскую» модель Гросса-Иевё. Выражение под интегралом

где снятие регуляризации достигается при Л ^ то, а числовой коэффициент а введен для удобства дальнейшего сравнения с работами, в которых используются различные схемы регуляризации.

Воспользуемся формулой [19, с. 344, ф. 2.3.16.3]

ОО _

/— дп

- то+е-2^. (20)

р дЧ

0

Подставляя р = a2, q = а2/Л2, п = 2 и собирая малые по 1/Л члены, которые мы в дальнейшем писать не будем, в символ О, после упрощения получим

а3 а2 1 Л 1

V(0) = 3- + У (g - 2—а / + Л,)

(21)

Исследуем теперь вопрос о нарушении симметрии. Уравнение для щели в точке фазового перехода a = 0 запишем в виде (см., например, [20])

дV(0)

да

= 0.

а=0

(22)

При этом

д2У(р)

да2

а=0

1

G

1

(23)

и тогда при G > Gc в точке a = 0 имеется локальный максимум — симметрия нарушена.

Критическая константа связи, при которой возникает нарушение киральной симметрии, при такой регуляризации оказывается равной

Gc =

2-а

т-.

(24)

Температурная V(T) и компактификационная V(A) поправки рассчитываются аналогично потенциалу «плоской» модели с использованием формулы (20), суммы при этом берутся в специальных функциях:

V(T) = —S3

V(A) = —L

2

—L3

[ав Li2 (-е а aL Li2 (е-^-+ Li3 {е-аЬ [аL Re Li2 (е-

в) + Li3 (-е-ав)] , (25)

■2—1'ф) + aL Li2 (е-^+2-1ф) +

-2-1'ф^ + Li3 ^е-aL+2-iф^

^-2-1'ф) + Re Li3 (e-<TL-2—1>)],

(26)

где Li — специальные функции — полилогарифмы (в данном случае ди- и трилогарифмы; см. [19]), а символ Re означает действительную часть. Наконец перекрестная часть V(X) не поддается прямому вычислению в специальных функциях, поэтому выпишем ее представление в виде ряда и далее будем учитывать ее, проводя численные расчеты на ЭВМ:

V(x) = -

п

+ТО (

£ £

m=1 n=1 I.

(—1)m cos (2ппф)х

exp

(-■V.ew+lw) ■X егт+Llnt +3\

i-

(27)

Следует отметить, что поправки V(T) и V(a) явно конечны при любых а, что видно из их аналитических выражений, равно как и «перекрестная» поправка V(X), сходимость ряда которой обеспечивается экспоненциальным множителем при а = 0 и знакопеременностью ряда с учетом поведения знаменателя при а = 0.

= 0 вторая производная

В точке экстремума ^0»

а=0

оказывается равной

д2К

eff

да2

где

1 1 2 1п(2) 2 1п(2) 2 In | sin п

а=0

g Gc +

d2V(

(0)

да2

4

пв

+ТО +ТО

+ - , ,

п

т=1 п=1

а=0

1

G

1

Gc ’

+

+

nL nL

(—1)m cos (2п„ф) у/в2т2 + L2n2

+

(28)

д2У(г) да2

а=0

д2У(л)

да2

а=0

д%) да2

а=0

21п(2)

пв ’

2 1п(2) 2 In | sin пф|

nL + nL ’

(— 1)m ^(2п„ф) у/в2т2 + L2n2

+ ТО +ТО

п i: £

п

m=1„=1

Следует отметить наличие логарифмических расхо-

при ф = 0. В разд. 2

димостей в

д2 V(A)

да2

д2К

(х)

а=0

да2

а= 0

будет показано, что эти расходимости взаимно уничтожаются.

На рис. 1 приведены фазовые диаграммы модели в плоскостях (L, в) и (ф, в) при различных значениях параметров. При этом всюду далее при построении графиков считается, что G > Gc , т. е. киральная симметрия при Т ^ 0, L ^ ж нарушена. На всех графиках закрашенная область соответствует симметричной фазе, а незакрашеная — фазе с нарушенной симметрией.

Значение ф = 0.05 выбрано как близкое к нулю, далее будет показано, что фазовая диаграмма при ф = 0 качественно совпадает с этой (рис. 2); для ее построения, однако, придется вычислить производную эффективного потенциала в иной форме, в которой не наблюдается явной симметрии между L и в .На диаграмме, соответствующей ф = 1/2, можно видеть, что, как следовало ожидать из формулы (10), в этом

в плоскости (ф, в) при фиксированом L < Lc . Закрашенная область соответствует симметричной фазе

р/рс

Рис, 2. Фазовая диаграмма модели в плоскости (L, в) при периодических граничных условиях (закрашенная область соответствует симметричной фазе)

случае наблюдается симметрия между влиянием конечной температуры и включением компактификации пространственного измерения, при этом уменьшение длины компактифицированного измерения соответствует увеличению температуры (т. е. уменьшению обратной температуры в). Вопросы нарушения симметрии и размерной редукции данной модели без учета температуры обсуждались ранее, в частности в [20] при периодических (ф = 0) и антипериодических (ф = 1/2) граничных условиях.

Интерес представляет также то, что при малых ф для восстановления симметрии требуется температура выше критической в «плоской» модели, и в то же время получен вполне ожидаемый результат, что при достаточно высокой температуре симметрия может быть восстановлена при любом значении топологической фазы и радиуса компактификации.

2. Поведение модели в отсутствие топологической фазы

Из предыдущей части рассмотрения можно видеть, что особый интерес представляет случай ф = 0, соответствующий отсутствию магнитного поля (фактически характерные значения магнитного поля достижимы, но достаточно велики). Однако, как было показано в предыдущих разделах, при строго периодических по компактифицированному пространственному измерению граничных условиях (при ф = 0) взятые отдельно вторые производные чисто компактификационной и перекрестной частей содержат логарифмические расходимости, поэтому в этой части рассмотрения сконцентрируемся на этом случае и исследуем поведение системы.

Не будем разделять, как это делалось прежде, ком-пактификационную и перекрестную части. Для этого вернемся к общему виду эффективного потенциала и не станем подвергать пересуммированию Пуассона температурную часть:

т2

1

Vff = 2G + 2п

f J [ехР(—sCT

X

1

в

Е exp (-s(У (т + 1/2)2)

~ ■+’£ Exp (- £ у

п=1 Х '

Чисто температурная, равно как и плоская, части нас сейчас интересовать не будут (результаты для них можно взять из соответствующих частей настоящей работы), выпишем компактификационную часть с учетом температуры:

V(A+x) =

со

2_

пв „

' ds s2

0

+то +то

ЕЕехр

т=0 п=1

— S

2

пв _

0

+то +то

ds^ J^exp

т=0 п=1

1

s

IJ У (“+1/2)!+-)

у ч у <"+>/2)!+-!)

L2n2

4s

L2n2

s

4

(30)

Здесь мы перешли к переменной интегрирования s = 1/s . Интеграл по s берется в спецфункциях [19, ф. 2.3.16.1 при а = 1 ]:

ТО

ехр(—рх — q/x) = 2уЕ К1 (2^pq). (31)

0

Таким образом,

V(

(A+x)

, +TO +TO

=пв ^

m=0n=1

\J(2п/в)2 (m + 1/2)2 + ct2

Ln

*K1 lLV( j)2 (“ + s)

(32)

Сумма ряда не является элементарной функцией (в широком смысле), однако с учетом асимптотики функции Макдональда при больших аргументах

К(х) ~ л/П/2 в-1 (1 + о(х-1)) х^о л/х

сходимость ряда не вызывает сомнений. Чтобы продвинуться дальше, продифференцируем полученную часть эффективного потенциала по ст и выпишем значения производных при ст = 0:

dV(A+x) дст

=0

ст=0

(33)

d2V(A+

дст2

ст=0

_8_

пв

+ТО +ТО

ЕЕ

m=1п=1

КМ

х

1к0(х) — 2 КМ , (34)

где х = 2:r(L/в)п(т — 1/2).

Выражение под знаком суммирования очевидно ведет себя как --°(тп) при т ^ то и/или п ^ то, и сходимость суммы не вызывает сомнений. Таким образом, показано, что возникавшие при ф = 0 расходимости на самом деле фиктивны и были исключительно следствием искусственного разделения эффективного потенциала на составные части.

На рис. 2 приведена фазовая диаграмма модели в плоскости (L, в) при ф = 0. Можно заметить, что она практически не отличается от диаграммы на рис. 1, соответствующей ф = 0.05. Важно заметить, что при любом радиусе компактифицированного измерения и любом значении топологической фазы, при достаточно высокой температуре симметрия может быть восстановлена.

3. Численные оценки характерных физических величин

Приведем теперь численные оценки характерных физических величин, рассматривавшихся в тексте работы. Приравняем энергетические масштабы (без численных коэффициентов): ho/Lc ~ kTc, откуда, считая, что критическая температура имеет порядок комнатной ТС ~ 300 К ~ 1025 К, можно получить Lc ~ 105 А. Для физики конденсированного состояния роль «скорости света» играет скорость Ферми, значение которой зависит от вещества. Так, например, для графена эта скорость vF ~ 106 м/с ~ с/300 [3], а значит, Lgraphene ^ Lc/300 ~ 300 А, что соответствует радиусу компактификации Rc ~ 50 А, лежащему в пределах радиусов реально синтезированных углеродных нанотрубок. Характерные значения магнитных полей можно оценить, исходя из связи магнитного поля со значением топологической фазы (2) и того факта, что 2пА2 = nR2H, откуда

H =

2ф

Er2

Ф

2п2

(<\ (2^V = _±(АЛ H

\ е ) \meR) 2п2 \ RJ 0

где выделены критическое («швингеровское») магнитное поле H0 = т2/е к 4.41 • 109 Тл и комптонов-ская длина волны электрона Ае = 2п/те к 0.0242 А, после чего, приняв в качестве радиуса компактификации характерный радиус углеродных нанотрубок

R ~ 10 А, получим для значения магнитного поля

H ~ 3-10-7фН0 = 662 Тл (для сравнения, реально

Ф=1/2

полученные постоянные магнитные поля имеют порядок 101-102 Тл). В графене соответствующее значение оказывается еще меньше Hgraphene ^H/300 ~ 2 Тл.

Заключение

В настоящей работе исследована (2+1) -мерная модель Гросса-Невё с компактифицированным пространственным измерением (цилиндр) при наличии внешнего магнитного поля, направленного вдоль оси цилиндра, с учетом конечной температуры. Получены явные выражения для эффективного потенциала модели (21), (25)-(27), (18). При помощи ЭВМ построены фазовые диаграммы системы при различных значениях внешних параметров (рис. 1,2).

Продемонстрировано, что возникающие при вычислениях расходимости, затрудняющие расчет при малых значениях магнитного поля, связаны с искусственным разбиением эффективного потенциала на составные части. Для устранения подобных фиктивных расходимостей предложена другая форма записи, в которой, однако, становится не столь явной симметрия, присущая эффективному потенциалу.

В заключение приведены оценки численных значений магнитных полей и радиусов компактификации, при которых могут наблюдаться рассматриваемые в работе эффекты. Полученные значения лежат в пределах возможностей современных экспериментов. При этом, как отмечалось во введении и разд. 3, рассмотренная модель квантовой теории поля находит применение в физике конденсированного состояния вещества и описывает электроны в двумерных полимерах, таких как графен. Заметным отличием такой теории от других применений модели Гросса-Невё является то, что в качестве «предельной скорости» выступает не скорость света в вакууме, а скорость Ферми в соответствующем полимере (для графена она приблизительно в 300 раз ниже скорости света в вакууме). Поскольку однослойные углеродные нанотрубки можно рассматривать в качестве свернутых в цилиндры различных диаметров листов графена, то это позволяет применить к ним описание, основанное на модели Гросса-Невё. При этом введенное нами условие периодичности (топологическая фаза) ф = 0 соответствует нанотрубкам, проявляющим металлические свойства, а условие ф = 1/3 — полупроводниковым нанотрубкам [21].

Авторы искренне благодарят участников научного семинара кафедры теоретической физики физического факультета МГУ за обсуждение работы и полезные замечания.

Список литературы

1. Gross D.J., Neveu А. // Phys. Rev. D. 1974. 10. P. 3235.

2. Caldas H. // NucI. Phys. B. 2009. 807[FS]. P. 651.

3. Novoselov K.S., Geim A.K., Morozov S.V. et al. // Nature. 2005. 438. P. 197.

4. Вшивцев A.C., Магницкий Б.В., Жуковский В.Ч., Клименко К.Г. // ЭЧАЯ. 1998. 29, № 5. С. 1259.

5. Caldas H, Ramos R.O. // Phys. Rev. B. 2009. 80. 115428.

6. Ebert D., Klimenko K.G., Tyukov A.V., Zhukovsky V.Ch. // Phys. Rev. D. 2008. 78. P. 045008.

7. Ebert D., Khunjua T.G., Klimenko K.G., Zhukovsky V.Ch. // arXiv: 1106.2928. Hep-ph. 2011.

8. Kaluza Th. // Sitzungsber. d. Preuss. Akad. d. Wiss. 1921. P. 966; Klein O. // Zeitsch. f. Phys. 1926. 37. P. 895.

9. Ebert D., Zhukovsky V.Ch., Tyukov A.V. // Mod. Phys. Lett. A. 2010. 25. P. 2933.

10. Raman S. // arXiv:hep-th/0508134. 2005.

11. Gamayun A.V., Gorbar E.V. // Phys. Lett. B. 2005. 610. P. 74.

12. Song D.Y. // Phys. Rev. D. 1993. 48. P. 3925.

13. Krive I.V., Naftulin S.A. // NucI. Phys. B. 1991. 364. P. 541.

14. Aharonov Y., Bohm D. // Phys. Rev. 1959. 115. P. 485.

15. Ehrenberg W., Siday R.E. // Proc. Phys. Soc. (London) B. 1949. 62. P. 8.

16. Стратонович Р.Л. // Докл. АН СССР. 1957. 157.

C. 1097; Hubbard J. // Phys. Rev. Lett. 1959. 3. P. 77.

17. Rosenstein B., Warr B.J., Park S.H. // Phys. Rep. 1991. 205. P. 59.

18. Kapusta J.I., Gale C. Finite-temperature Field Theory: Principles and Applications. Cambridge, 2006.

19. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т. 1. Элементарные функции. М., 1981.

20. Bietenholz W., Gfeller A, Wiese U.-J. // JHEP. 2003. 10. P. 018.

21. Elizalde E., Odintsov S.D., Saharian A.A. // Phys. Rev.

D. 2011. 83. P. 105023.

Aharonov-Bohm effect in 3D Gross-Neveu model with compaetiffeation at finite temperature V. Ch. Zhukovsky a ,P.B. Kolmakovb

Department of Theoretical Physios, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University,

Moscow 119991, Russia.

E-mail: azhukovsk@phys.msu.ru, bpavel.b.kolmakov@yandex.ru.

Gross-Neveu model in (2+1) -dimensional space-time with one compactified spatial dimension (cylinder) is investigated under the influence of non-trivial boundary conditions. The Aharonov-Bohm effect induced by magnetic flux contained within the cylinder is considered. Possible application of the results obtained for the description of polymeric tubes is discussed.

Keywords: Aharonov-Bohm effect, Gross-Neveu model, compactification.

PACS: 11.10.Kk, 04.60.Kz, 11.10.Wx.

Received 1 March 2013.

English version: Moscow University Physics Bulletin 4(2013).

Сведения об авторах

1. Жуковский Владимир Чеславович — докт. физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: zhukovsk@phys.msu.ru.

2. Колмаков Павел Борисович — аспирант; тел.: (915) 308-01-93, e-mail: pavel.b.kolmakov@yandex.ru.