Влияние волны киральной плотности на сверхпроводящую фазу в двумерной модели Гросса-Невё Текст научной статьи по специальности «Математика»

Влияние волны киральной плотности на сверхпроводящую фазу в двумерной модели Гросса-Невё

В.Ч. Жуковский1, К. Г. Клименко2, Т. Г. Хунджуа1,а

1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. 2 ИФВЭ и Университет «Дубна». Россия, 142281, Московская обл., г. Протвино.

E-mail: аgtamaz@gmail.com

Статья поступила 25.12.2012, подписана в печать 06.01.2013.

Исследована фазовая структура двумерной модели Гросса-Невё с учетом дифермионного взаимодействия и волны киральной плотности в переменных температуры и химического потенциала в приближении большого числа компонентов поля Nоо.

Ключевые слова: модель Гросса-Невё, волна киральной плотности, дифермионный конденсат. УДК: 539.12.01. PACS: 12.38.Lg.

Введение

Последнее время большое внимание уделяется изучению фазовых переходов в плотной адронной среде при высокой температуре. В первую очередь это связано с экспериментами по столкновению тяжелых ионов, а также с физикой компактных звезд. При столь высоких плотностях материи создается возможность образования сверхпроводящего конденсата. Поскольку взаимодействие в таких ситуациях сильное, необходимо применять непертурбативные методы и, в частности, эффективные модели типа Намбу-Йона-Лазинио (НЙЛ) [1]. В то время как модели НЙЛ применимы при низких энергиях и плотностях, модели типа Грос-са-Невё [2] (ГН) в пространстве размерности (1 + 1) этих ограничений не требуют. Более того, они эффективно моделируют свойства квантовой хромодинамики (КХД), такие как перенормируемость, асимптотическая свобода и размерная трансмутация. При этом в пределе большого числа компонент поля (^-4оо) теорема о невозможности спонтанного нарушения непрерывной симметрии в (1+1)-модели ГН не работает [3, 4]. Поэтому использование модели ГН для изучения непертурбативных явлений в рамках этой модели при N -¥ оо существенно проще. Следовательно, представляется весьма удобным изучение таких эффектов, как цветовая сверхпроводимость [5, 6] и спонтанное нарушение изотопической симметрии [7], характерных для реалистических условий в (3+1)-мерном пространстве, на примере модели ГН в пределе больших чисел N.

Взяв за основу (1 + 1)-мерную модель Гросса-Невё и дополнив ее дифермионным каналом взаимодействия, в настоящей работе изучена возможность возникновения волны киральной плотности и ее влияние, оказываемое на сверхпроводящую фазу. В отличие от работы [6] мы изучаем дифермионный и неоднородный киральный каналы взаимодействия не по отдельности, а в рамках одной термодинамической системы. Для этого мы вычисляем термодинамический потенциал модели и ищем его точку глобального минимума. Такой подход позволяет описывать конкуренцию конденсатов, реализуемых при различных значениях внешних параметров химического потенциала ^ и температуры Т.

1. Модель и ее термодинамический потенциал

Наши исследования основаны на (1+1)-мерной модели Гросса-Невё с безмассовыми фермионами, принадлежащими фундаментальному мультиплету 0{Ы) ароматовой группы. Лагранжиан этой модели описывает взаимодействие как в фермион-антифермионном, так и фермион-фермионном каналах:

k=i

Gi N

7vidv + | Фк + 2

N

Kk=l

+ f (Y. гГ< г;) |Х/г <г'

\A=1 N \ / N

(1)

где ц — химический потенциал числа фермионов. Как было отмечено выше, все фермионные поля фк (к=1,...,Ы) представляют собой фундаментальный мультиплет группы 0(Ы). К тому же каждое поле фц является двухкомпонентным дираковским спинором (индекс Т обозначает транспонирование). Величины 7" (^ = 0,1), 75, и е в (1) являются матрицами в спинорном пространстве:

:7071

= ^е;

(2)

Очевидно, что Лагранжиан Ь инвариантен относительно преобразований внутренней группы О(Ы), которая введена для обеспечения возможности пользоваться непертурбативной техникой в пределе больших значений N. Физически более интересно, что модель (1) инвариантна относительно группы ¿7(1): фи &Ц>{1а)фк (&= 1,...,Л0 и непрерывных киральных преобразований: фи -¥ ехр(/а'75)^А (& = 1,... ,Ы).

Введение составных бозонных полей а(х), тг(х), Л(х), А*(х) в следующем виде:

<т(х) = ^г(фкфк),

ж (х) =

(3)

А(х) = -^-(фткефк), Д*(х) = ^-(фкеф'к)

позволяет линеаризовать лагранжиан (1) и привести его к виду

С = фк

-fidv + ру° - а - /757г] фк - щ (а2 + тг2)

N

- — [фткефк] - -

фкефТ

(4)

Здесь и далее подразумевается суммирование по повторяющимся индексам к= 1......V. Очевидно, что

Лагранжианы (1) и (4) эквивалентны, что может быть показано путем применения уравнения Эйлера-Лагран-жа к бозонным полям. Как видно из (3), нейтральные поля а(х) и тг(х) являются действительными величинами, ((<т(лс))* = а(х), (7г(х))^ = ж{х)1), тогда как заряженные дифермионные поля А(х) и А*(х) — взаимно эрмитово сопряженные комплексные величины (Д(лс))* = А*(х). В случае ненулевого основного состояния дифермионного поля Д(х) ((А(х))^0) ферми-онная абелева симметрия £/(1) спонтанно нарушается. Однако если (&{х)) /0, спонтанно нарушается дискретная киральная симметрия.

Перейдем к изучению фазового портрета модели (1). Используя приближение больших N, эффективное действие <5е[[(ст, 7г, А, А*) обсуждаемой модели выражается через континуальные интегралы по фермионным полям:

exp(/«Seff(<7,7Г, А, А*)) =

\\[йф1][йф1] exp (i

i=i

С d2xj , (5)

откуда

¿>eff(c, 7Г, А, А*) = d2x

¿rVto + 7Г2(Х)) + щА(х)А*(х)

(6)

Фермионный вклад <Se[[ в эффективное действие (6) выражается следующим образом:

exp(íSeff) =

П тшФА

i=i

х ехр< i

фк (7vidv + fij° - cr - ij5ir) фк

ф1ефк) - ^(фкеф1)

d х

(7)

Величины полей основного сотояния (ст(х)), (ж{х)), (А{х)) и (А*(х)) определяются системой уравнений

для седловои точки SSe [[ 5Sefí

= 0,

= 0,

5S,

eff

= 0,

5S,

eff

= 0.

5а(х) ' 5ж(х) ' 5А(х) ' 5А*(х)

(8)

В вакууме, т. е. в состоянии с нулевой плотностью частиц (/1 = 0), величины (сг(х)}, (тг(х)}, (А(х)} и (А*(х)) не зависят от пространственной координаты. Однако в плотной среде (р^=0) эти величины могут иметь нетривиальную зависимость от координаты пространства. В частности, в настоящей работе мы будем использовать следующий анзац:

(а(х)} = М соэ(2Ьх), (тг(х)) = М эт(2Ьх),

(А(х)) = (А*(х)) = А,

где М, Ъ и А — действительные величины, не зависящие от х. Данный анзац называют волной кираль-ной плотности, его выбор продиктован результатами теоретических и эксперименталных работ в области КХД (см., например, [8]). Также стоит отметить, что дифермионный конденсат мы оставляем однородным.

Разложение в пределе больших значений N позволяет записать термодинамический потенциал (ТДП) в следующем виде:

О)

d2xÜ(M,b,b',A) =

а2х(щ

4 G2

Y\[dq¡][dqi] х

i=i

х exp I i

dx

4kD4k - -jiqleqk) - j(qkeqTk)

где О = 7р1др + (р - Ь)у° - М. Мы ввели новые фермионные поля, выраженные следующим образом: qk = &ц>[1уъЬх]фк и !]к = фкехр[1у5Ьх]. Данная замена упрощает континуальное интегрирование в (10) и при этом не меняет меру интеграла .

Проинтегрировав по фермионным полям, а затем перейдя в импульсное представление и проинтегрировав по переменной ро, получаем следующее выражение для ТДП:

М2 А2

где

£2 = ^ _ +р1+М2 + А2±

Е++Е_), (11)

± 2^/м2А2 + (р - Ь)Цр2 + М2). (12)

Очевидно, что ТДП (11) ультрафиолетово расходится. Введем параметр обрезания \pi\ < А и тогда, согласно свойствам двумерной модели ГН, константы связи Gi и G2 становятся функциями А. Процедура перенормировки модели ГН хорошо известна [5, 10]. Следуя этой процедуре, для Gi = Gi(A) и G<¿ = G<¿{А) запишем

1

1 , 2А = In .

1

_J_ 2А

4Gi (А) 2тг "* Mi ' 4G2(A) Ък " Щ'

1 Символ f обозначает эрмитово сопряжение.

2 этот нетривиальный факт следует из работы Fujikawa [9].

= J-1 Mi

4Gi 2тг П М2'

(14)

где Mi и M2 некоторые конечные независимые параметры модели, которые являются инвариантами перенормировки, т.е. не зависят от точки нормировки.

В дальнейшем взамен двух размерных параметров Mi и М2 будем использовать один размерный параметр Mi и один безразмерный параметр 5:

_5_ = J___1_

4-к ~ 4С2

Так как Mi и 5 — свободные параметры модели, очевидно, что процедура перенормировки лагранжиана (1) сопровождается явлением частичной размерной трансмутации.

Итак, при подстановке (13) в (11) и взятии предела А -¥ оо, мы получаем перенормированное выражение для ТДП:

Г dpi

2тг

0(М, А, Ь) = И)(М, А)

х - y/pf + (м + Д)2

\/Р? + (Ai — A)2 J, (15)

где

И) (Ai, А) = —

А2(5 - 1) - М2 + (М -+ (М + A)2 In

A)2 In М +

М - А

Mi

Ml

(16)

Для записи окончательного вида ТДП следует сделать еще одно замечание. Если использовать ТДП (15) при Ьф О, то результаты не будут соответствовать физической реальности. Дело в том, что при М = О ТДП, очевидно, не должен зависеть от фазы Ь, однако в нашем случае это не так. Данная проблема изучена в работах [6, 11], где показано, что такая нефизическая зависимость устраняется симметричной энергетической схемой регуляризации. Здесь мы приведем лишь результат применения этой схемы

ОРь>'5(М, А, Ь) = 0(М, А, Ь) + ^ ^^ - (17)

2тг 2тг

Видно, что при Ь — О 0РЬ>'5 = 0 при этом ОрЬу5(М, Ь, А) позволяет убрать нефизическую зависимость от Ь при М = 0.

Для изучения фазового портрета модели (1) осталось ввести в рассмотрение температуру. Для этого необходимо произвести стандартные замены

J ос

(18)

Ро Pon = 1шп = пТ{2п +1), п = 0, ±1, ±2.....

откуда следует, что интегрирование по р0 заменятся суммированием по матцубаровским частотам ш„. Так как данная техника хорошо развита и описана (см., например, [12]), мы сразу приведем конечный результат

QPhys(M, Д, Ь) = Qphys(M, А, Ь) dpi

-In

Jo

1 + е

Е./Т

l + e

-Е_/Т

(19)

2. Фазовый портрет модели

Итак, задача изучения фазового портрета модели (1) свелась к проблеме поиска точки глобального минимума ТДП (19). Напомним, что в системе имеется три параметра ц, Т, 5 и три переменные А, М, Ь\ таким образом фазовый портрет представляет собой трехмерный график в ((1, Т, 5) -переменных, каждой точке которой соответствует координата глобального минимума (А,М, &). Данная задача решена нами численным методом градиентного спуска. Для иллюстрации полной физической картины начнем с описания частного случая вакуума, затем изучим поведение плотной материи в случае однородного кирального конденсата и, наконец, рассмотрим эффекты, вызванные образованием волны киральной плотности.

2.1. Частный случай вакуума: Т = О, /г 0, 6 = 0

Если 5 > О (01 > Ог), тогда точка глобального минимума эффективного потенциала (16) имеет координаты (М = Мь А = 0). Таким образом, если канал фермион-антифермионного взаимодействия сильнее ди-фермионного, то киральная симметрия модели спонтанно нарушена и фермионы приобретают ненулевую массу, равную свободному параметру модели . Однако если 5 < 0 (01 <0г), точка глобального минимума оказывается с координатами (М = О, А = А0(5)), где А0(5) = М1 ехр(—5/2). В этом случае ненулевым является только дифермионный конденсат и фермионная симметрия ¿/(1) спонтанно нарушена.

2.2. Частный случай: Т / О, // / 0, 6 = 0

Так как качественные изменения поведения системы зависят исключительно от знака параметра 5, не нарушая общности, будем изучать фазовый портрет только для 5=1 и <5 = — 1, приводя количественную зависимость в виде аналитических формул. На рис. 1 изображена фазовая диаграмма модели для 5=1. Киральная фаза соответствует точке глобального минимума с координатами (М = М^, А = 0), дикварковая фаза соответствует координатам (М = О, А = ехр(—5/2)). При критическом значении химического потенциала

= 1 — и Т = О фаза киральной плотности

0.6 0.5 0.4

0.3 0.2 0.1

О

- Симметричная фаза

т 1—1— -

Киральная фаза

- Дифермионная

фаза

0.2

0.4

0.6

0.8

И

Рис. 1. Фазовый портрет в переменных (/х, Т) при однородном киральном конденсате (6 = 0) и параметре 8= 1

уступает свое место дифермионному конденсату. Это означает спонтанное нарушение фермионной группы f/(l) и восстановление киральной симметрии. Между этими состояниями осуществляется фазовый переход первого рода. Важно отметить, что выражение для рс

лежит в интервале ^0, для любого значения 5 > 0.

Это означает, что дифермионный конденсат при конечной плотности фермионов нарушит f/(l) -симметрию даже при очень сильном преобладании кирального канала взаимодействия. При росте температуры, как и следовало ожидать, происходит полное восстановление всех симметрий (М = 0, А = 0), которое характеризуется фазовым переходом второго рода.

Случай с 5=—1 изображен на рис. 2. При таком значении параметра 5 канал дифермионного взаимодействия преобладает над киральным. Причем это преобладание сохраняется для всех значений химического потенциала и параметра 5 < 0. При этом с ростом температуры симметрия также восстанавливается. Величина дифермионного конденсата, как и в остальных случаях, имеет следующий вид: А = Mi ехр(—5/2).

Т

Г„

0.8 0.6 0.4 0.2

0

Симметричная фаза

Дифермионная фаза

0.2

0.4

0.6

0.8

Рис. 2. Фазовый портрет в переменных {р, Т) при однородном киральном конденсате (6 = 0) и параметре

2.3. Общий случай: Тф О, рфО, ЬфО

Наконец, приступим к описанию общего случая, в котором может возникать волна киральной плотности (9). Стоит сразу отметить, что случай с 5= —1, также как и для всех 5< 0, ничем не отличается от описанного в пункте 2.2 случая, и фазовый портрет на рис. 2 для него также актуален.

Для 5=1 фазовый портрет приведен на рис. 3. Из него видно, что фаза волны киральной плотности заняла место дифермионного конденсата (сравнивните с рис. 1), причем величина волнового вектора Ь = р. Таким образом, однородному киральному конденсату оказалось выгодно создать пространственно-неоднородную конфигурацию в виде волны (9) и при этом подавить дифермионный канал взаимодействия. Также следует отметить, что в этом случае критическая температура Тс, необходимая для полного восстановления

0.6

Г,

0.4

0.2

Симметричная фаза

Фаза волны киральной плотности {Ь = ц)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Рис. 3. Фазовый портрет в переменных {р, Т) при неоднородном киральном конденсате {Ь = р) и параметре S = 1

симметрии, соответствует температуре в однородном случае (Ь = 0) при нулевой плотности (р = 0).

Заключение

В настоящей работе изучена конкуренция между однородным дикварковым конденсатом и неоднородным киральным конденсатом в рамках модели Гросса-Невё. Неоднородность выбрана в виде киральной волны плотности. Показано, что такая неоднородность действительно минимизирует термодинамический потенциал, что свидетельствует об энергетической выгодности такого состояния. Следствием этого является подавление дифермионного взаимодействия даже при очень высоких плотностях в случае минимального преобладания кирального взаимодействия (5>0). Несмотря на упрощенность модели Гросса-Невё, она качественно описывает реальные физические явления, поэтому найденный эффект может играть решающую роль при изучении цветовой сверхпроводимости в экспериментах по столкновению тяжелых ионов.

Список литературы

1. Nambu Y., Jona-Lasinio G. // Phys. Rev. 1961. Dl 12. P. 345.

2. Gross DJ., Neveu A. // Phys. Rev. 1974. DIO. P. 3235.

3. Mermin N.D., Wagner H. // Phys. Rev. Lett. 1966. 17. P. 1133.

4. Coleman S. // Commun. Math. Phys. 1973. 31. P. 259.

5. Chodos A., Minakata H., Cooper F. et al. // Phys. Rev. 2000. D61. P. 045011.

6. Ohma K. // Phys. Rev. 2002. D65. P. 085040.

7. Ebert D., Khunjua T.G., Klimenko K.G., Zhukovsky V.Ch. // Int. J. Mod. Phys. 2012. A27, N 27. P. 1250162.

8. Deryagiti V., Grigoriev D.Y., Rubakov D.Y. // Int. J. Mod. Phys. 1992. A 7, N 659.

9. Fujikawa K. // Phys. Rev. 1980. D21. P. 2848.

10. Klimenko K.G. // Theor. Math. Phys. 1988. 75. P. 487.

11. NakanoE., Tatsumi T. // Phys. Rev. 2005. D80. P. 114006.

12. Kapusta L, Gale Ch. // Finite Temperature Field Theory. Cambridge, 2006.

Effect of chiral density waves on the supercondacting phase in the two-dimensions Gross-Neveu model

V. Ch. Zhukovsky1, K.G. Klitnenko2, T. G.Khunjua1,13

1 Department of Theoretical Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.

2IHEP and University of Dubna (Protvino Branch), Protvino, Moscow Region 142281, Russia. E-mail: agtamaz@gmail.com.

Phase structure of the two-dimensional Gross-Neveu model with difermion channel of interaction is studied in variables of temperature and chemical potentials in the limit of large number of field components N —oo.

Keywords: Gross-Neveu model, chiral density wave, difermion condensate.

PACS: 12.38.Lg.

Received 25 December 2012.

English version: Moscow University Physics Bulletin 2(2013).

Сведения об авторах

1. Жуковский Владимир Чеславович — докт. физ.-мат. наук, профессор, профессор; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: zhukovsk@phys.msu.ru.

2. Клименко Константин Григорьевич — докт. физ.-мат. наук, ст. науч. сотрудник, гл. науч. сотрудник; тел.: (4967) 713-575, e-mail: konstantin.klimenko@ihep.ru.

3. Хунджуа Тамаз Григорьевич — аспирант; тел.: (926) 373-42-25, e-mail: gtamaz@gmail.com.