Пионная конденсация в модели Гросса-Невё Текст научной статьи по специальности «Математика»

Пионная конденсация в модели Гросса-Невё

В.Ч. Жуковский , К. Г. Клименко2,6, Т. Г. Хунджуа1

1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. 2 ИФВЭ и Университет «Дубна». Россия, 142281, Московская обл., г. Протвино. E-mail: аzhukovsk@phys.msu.ru, ьkklim@ihep.ru

Статья поступила 06.10.2009, подписана в печать 18.10.2009

Исследована фазовая структура двумерной массивной модели Гросса-Невё в переменных химических потенциалов, числа кварков и изоспинового числа при нулевой температуре в пределе большого числа компонентов поля Nc оо.

Ключевые слова: модель Гросса-Невё, кварковая материя. УДК: 539.12.01. PACS: 12.38.Lg.

Введение

В последнее время большое внимание уделяется изучению фазовых переходов в адронной материи с учетом барионного и изотопического химпотенциалов. Последнее связано с экспериментами по столкновениям тяжелых ионов, а также с физикой компактных звезд, в состав которых нейтроны и протоны входят несимметрично. Поскольку взаимодействие в таких ситуациях сильное, необходимо применять непертурбативные методы и, в частности, эффективные модели типа Намбу-Йона-Лазинио (НЙЛ) [1]. В то время как НЙЛ модели применимы при низких энергиях и плотностях, модели типа Гросса-Невё (ГН) в пространстве размерности (1 + 1) [2-4] этих ограничений не требуют. Более того, они эффективно моделируют свойства квантовой хромодинамики (КХД), такие как перенормируемость, асимптотическая свобода и размерная трансмутация. При этом в пределе большого числа компонент поля (Ау -¥ оо) теорема о невозможности спонтанного нарушения непрерывной симметрии в (1+1)-модели ГН не работает [11, 12]. Поэтому использование модели ГН для изучения непертурбативных явлений в рамках этой модели при Ыс -¥ оо существенно проще (см., напр., [7, 8, 13]). Следовательно, представляется весьма удобным изучение таких эффектов, как цветовая сверхпроводимость и спонтанное нарушение изотопической симметрии, характерных для реалистических условий в (3+1)-мерном пространстве, на примере модели ГН в пределе больших чисел Ыс.

В отличие от нашей предыдущей работы [13], где подобная модель использовалась для изучения системы безмассовых кварков с двумя ароматами в конечном объеме при конечном изотопическом химпотенциале щфО и нулевой барионной плотности ¡л = 0, в настоящей работе оба химпотенциала и масса кварков считаются отличными от нуля, а пространство имеет стандартную топологию й1 х й1. При этом мы принимаем, что конденсаты пространственно однородны (случай неоднородных конденсатов при ¡л/ = 0 был недавно рассмотрен в работах [9, 10, 14, 15]).

1. Модель и ее термодинамический потенциал

Рассмотрим (1+1)-мерную модель плотной кварко-вой материи, состоящей из безмассовых кварков двух

различных ароматов (и- и ¿-кварки), описываемую лагранжианом

(1)

Эта модель представляет собой обобщение модели Гросса-Невё [2], поскольку здесь двухкомпонентный дираковский спинор поля кварков д(х) = фа(х) представляет собой также дублет по ароматам (/= 1,2 или

1 = и,й) и Ыс-мультиплет по цветам (а = 1.....Л>)

(в (1) подразумевается суммирование по ароматовым, цветовым и спинорным индексам; ти (к = 1,2,3) — матрицы Паули; ¡л — химический потенциал по числу кварков; ¡л/ — химический потенциал по изоспино-вому числу). При ¡л/ = 0, пг0 = 0 лагранжиан (1) инвариантен относительно преобразований хиральной группы 5(4(2) х 5£/д(2). При ^ 0, то = 0 симметрия снижается до группы ¿//Зь(1) х £//3д(1) (/3 = тз/2 — третья компонента оператора изоспина, индексы Ь, Я обозначают левую или правую подгруппу). Эту симметрию можно также представить как произведение подгрупп £//3(1) х Ц4/3(1), где £//3( 1) — подгруппа изоспина, а Ц4/3(1) — аксиальная подгруппа изоспина, которые преобразуют кварки соответственно как q -¥ ехрОатз)^ и ехр0а75тз)д. В случае пго^=0, ¡л/ = 0 лагранжиан (1) инвариантен относительно группы 811/(2), представляющей собой диагональную подгруппу хиральной группы 56^(2) х 5£/д(2). В наиболее общем случае, когда пго^=0, ¡11 ф 0, исходная модель (1) симметрична относительно упомянутой изоспиновой подгруппы £//3( 1). При этом модель во всех упомянутых частных случаях инвариантна относительно цветовой группы 5£/(Агс).

Линеаризуя модель (1) путем введения составных полей бозонов а(х) и тта(х) (а= 1,2,3),

а{х) = ^т- тг а(х) = ^(ф15таЯ), (2) получим эквивалентный лагранжиан 1 = Ц - т0 + + у т37° (г ¡757гата] д -

~ И [аа+7га7га] ■ ^

Поля бозонов, как следует из (2), подвержены преобразованиям изоспиновой подгруппы ¿У/3( 1): а а; 7Гз —^ тгз; 7Г\ соз(2а)7Г1 + 51п(2с^)тг2; 7Г2 —>• соз(2а)7Г2 — 51п(2с^)7Г1 . При Ыс —>• сх) главный член разложения термодинамического потенциала (ТДП) модели по 1 /А/с имеет вид

d2P

■ i

(2тг)2

1п{[(/?О + М)2-(£Д)2] [(А)+ М)

ТО2]}.

(4)

где

= ^/WW-

Д2, Е± = Е ± v, v = ¿Í//2

и Е = ^pf+AÍ2, 7W = от0 + <сг>, Д = <7Ti >. Ясно, что ТДП ультрафиолетово расходится. Введем обрезание |pi| <Л, и тогда, согласно свойствам 2-мерной модели ГН, константа связи G и голая масса кварка ото становятся функциями Л. Процедура перенормировки массивной модели ГН хорошо известна (см., напр., [5, 6, 16, 17]). Следуя этой процедуре, для G = G(Л) запишем

1

2G(A)

1

dpi ,-

-л jMl+p

Л,п

2 7Г

1

Л-

К

■Л2

Л4о

(5)

и введем новый свободный конечный параметр перенормировки т (т0 = тС(А)), не зависящий от Л. В результате получим следующий конечный перенормированный ТДП:

тМ

dpir + 2тГ I

■£д-2

2+М2 + Д2 +

Я

+ (/х - Е+) в(р - Е+) + (ц- £д) в{р ■

£д)}>

(6)

где

V0(M, А) =

м2 + д2

2тг

= ív„(aí, д)

/i=0, z^=0, m=0

(7)

Поскольку для системы с сильным взаимодействием четность в вакууме должна сохраняться, мы полагаем Д = 0 в (7). Тогда глобальный минимум ТДП (7) оказывается в точке М = , т. е. генерируемая в вакууме динамическая масса представляет собой параметр введенный в (5).

2. Фазовая структура модели

а) Частный случай: /¿ = 0, /х/= 0, тф 0.

Введем параметр а следующим образом: т = = Тогда из (6) получим термодинамический

потенциал

flo(M, Д) = Vq(M, Д) -

аМ0М

(8)

Отсюда получим уравнения щели

дП0(М,А) дП0(М,А)

где

дМ

дП0(М,А)

diИ

0íío(Af, Д) дА

= 2М 1п

= 2Д 1п

OA

'м2 + д2' 'м2 + д2'

= 0,

- аМ0,

(9)

(10)

Система (9) имеет несколько решений, но точка глобального минимума (ТГМ) потенциала (8) соответствует значению Д = 0. Тогда первое уравнение в (9) относительно М имеет три решения разных знаков. Именно наибольшее из них по величине соответствует ТГМ потенциала. Эта щель М изображена на рис. 1 как функция а. Поскольку плотности числа кварков nq и изоспина nj равны нулю в ТГМ, основное состояние модели при /х = 0 и /х/ = 0 соответствует вакууму, и поэтому щель М представляет собой динамическую массу кварка в вакууме. В хиральном пределе а = 0 щель М, очевидно, совпадает с Mq. Кроме того на рис. 1 представлено поведение массы пи-мезона Мж как функции а при /х = 0 и /х/= 0. Оказывается, что Мп совпадает с критическим значением /х/с изотопического химического потенциала /х/, при котором система переходит из состояния вакуума в фазу пионного конденсата. Это и изображено на рис. 1. На этом рисунке также изображено поведение критического значения /хс химического потенциала /х как функция а, при котором система переходит из вакуумного состояния в нормальную фазу кварковой материи при z/ = 0 (см.

ниже).

? 1.4

=£ 1.2

? 1.0

=L 0.8

0.6

0.4

о 0.2

1.5 2.0

а = кт/ Mq

Рис. 1. Динамическая масса кварка М (кривая /) и масса пи-мезона Мж (кривая 2) как функции а = tutí/Mq при ¡jl = 0, ¡ii= 0. Кривая 3 — критическое значение /хс для перехода вакуум — нормальная фаза кварковой материи (при /х/= 0); критическое значение \i¡c перехода вакуум — пионный конденсат изображено кривой 2, т.е. \i¡c =МЖ

Соотношение между М и пионной массой Мп в вакууме (при /х = 0 и /х/ = 0) должно соответствовать реальной физике. Поэтому в дальнейшем в самом общем случае при /х ф 0 и v ф 0 будем использовать обычно принимаемое в (3+1)-мерной модели НИЛ при исследовании плотной кварковой материи соотношение (при /X = 0 и /II =0) [18]: М = 350 МэВ и Мж = 140 МэВ,

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

25

т.е. М/М^ = Ъ/2. Тогда, согласно рис. 1, этот выбор будет соответствовать значению а = ао « 0.17, что дает М/М0 и 1.04, Мж/М0 и 0.42 и т/М0 и 0.05, где М0 динамическая кварковая масса в безмассовой модели ГН при ¡1 = 0 и /// = 0.

б) Частный случай: /х/= 0.

Из соотношения (6) получим следующее выражение для ТДП при ¡1 Ф 0, ¡11 = 0:

qlMqM

2тг

0 (/i - VA!2 + А2)

7Г

ПЦЛГ.Д), (11)

где

Г2' (AÍ, Д) = (7И2 + Д2) In

ц + у/ц2-М2-А2

Vm~2 + д2

/^//х2-М2-Д2. (12)

Из уравнения щели для ТДП (11) следует, что в ТГМ Д = 0, a M удовлетворяет уравнению

m V) m ^ =

К

M¡

2M ' (13)

Как видно, при ¡i < fic ТГМ расположена в (M, А = 0), причем критическое значение fic и щель M изображены на рис. 1. Система находится в вакуумном состоянии nq = 0 и ri/ = 0. При fi > fic образуется фаза нормальной кварковой материи с конечной плотностью nq, однако нулевой изоспиновой плотностью 1ÏJ = О при ¡il = 0. В частном случае, когда а = ао « 0.17, поведение щели M в ТГМ приведено на рис. 2, где fic = 0.76M0.

1.0 1.2 и/М0

Рис. 2. Динамическая кварковая масса М как функция ¡1 при ¡11 = 0 и а = «о ~ 0.17. Здесь 11С/М0 = 0.76

в) Частный случай: ¡1 = 0, /х/^0. При ¡1 = 0 термодинамический потенциал определяется формулой (6), в которой вторая строка отсутствует, так как в-функции в этом случае равны нулю:

тМ

Д) = Д) —---

^ §^ + £д-2^2+М2 + Д2}. (14)

Данное выражение удается представить в проинтегрированном виде, если использовать эллиптические интегралы

du

'о

-i =

ч

VAu3 + Bu2 + Cu+ l'

о

du

uVAu3 + Bu2 + Cu+ 1 '

i

и du

y/Au* +Bu2 + Cu+ l'

(15)

где

Л = 2M((M + г^)2 + А2),

5 = 5М2 + 6Л1г/ + z/2 + А2, С = 4M + 2i/,

(16)

причем изменение знака г/ —> -параметров А, В, С на

А' = 2AÍ((7W - и)2

В' = 5AÍ2 - 6Aíi/ +

С' = 4M - 2v

-и приводит к замене

-А2), .2 + Д2,

и соответствующей замене интегралов (15) /о, /_ на /{. Тогда (14) будет выглядеть так:

тМ

- ^ [А{и1х + /0) - А'{и1[ - Г0)] + (.М2 + Д2)

(17)

i. 'i

2тг

х (/_,+/!,)■ (18)

Данное выражение конечно в пределе Л —>• оо, несмотря на расходимость отдельных слагаемых. Отсюда получим уравнения щели

дП„(М, А) №„(М, А)

= 0.

(19)

дМ дА

Напомним, что в (3+1)-мерной модели НЙЛ с пи-онным конденсатом в случае ненулевой голой (токовой) массы кварка [19] при некотором критическом значении изоспинового химического потенциала /х/с, являющегося пионной массой fijc = Мп в вакууме при li = 0 и [ii = 0, происходит непрерывный фазовый переход второго рода из фазы вакуума (возможной при v<vc=MJ2) с M(jy)=M(0)^0, A(i/)=0 в фазу пионного конденсата (при v > тус), где A(z/)^0. Этой фазе соответствует ТГМ (M(i/), A(z/)) со следующими свойствами: М(v) -л M(vc) = Aí(0), A(z/)—^0, если z/—Здесь мы вновь используем обозначения i/ = fij/2 и Л1(0) для динамической массы кварка в вакууме.

Подобная картина пионной конденсации возникает и в рамках массивной модели ГН. В самом деле, численное исследование ТДП (6) при ц = 0 показывает, что в некоторой критической точке vc происходит фазовый переход второго рода из вакуума в фазу пионной конденсации (т. е. ТГМ — непрерывная функция v

в критической точке ¡у = тус). Теперь для того чтобы определить ус и показать, что равенство ус = Мж/2 также справедливо и в массивной модели ГН, необходимо заметить, что при у > ус координаты (М{у), ТГМ термодинамического потенциала удовлетворяют уравнениям (19). Поскольку при V = ус имеет место непрерывный фазовый переход, т.е. Д(г/С) = 0, М(тус) = М(0) \ в критической точке V = ус эта пара равенств преобразуется в следующую:

= (20)

míím-aí

M¡ с

dpi

1

/pf +M2(0) (p¡+MH0)-z/2)

(21)

С помощью уравнения (21) из (20) находим

аМо

2МЩ

dp\

1

? =1

-

- I

Л^о ^^^ П ^^ / III

' 1

" & CÖ - PQ Пионная конденсация i i i i

О

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 v/Mo

Рис. 3. Щели Д (кривая /) и М (кривая 2) как функции V = /х//2 в случае /1 = 0 и а = «о ~ 0.17

г) Общий случай: /х ф 0, /х/ ф 0. Дифференцируя ТДП (6), получаем следующие уравнения щели:

дП^ЩЛ) _ дПцЛМЛ)

дМ

дА

= 0,

(23)

1.0 0.8 ^0.6 0.4 0.2

О

0.5 |ис/М0 1.0

1.5 11/М0 2.0

Рис. Фазовый портрет модели в переменных /х и г/=/х//2 при а = «о ~ 0.17. Здесь гус/М0 рз 0.21, /хс/М0 рз 0.76. Все кривые на рисунке соответсьвуют фазовым переходам первого рода, за исключением границы между вакуумом и фазой пионного конденсата

где

(22)

Легко показать, что пионная масса Мп в вакууме удовлетворяет этому же соотношению и тогда vc =Мж/2, т. е. критическое значение /х/с равняется пионной массе Мп при /х = 0 и /х/ = 0 при произвольных значениях а. В результате графики /х/с и М^ как функции а представлены одной кривой на рис. 1.

Итак, при v < vc имеется фаза, соответствующая пустому пространству с nq = n¡ = 0, т.е. вакууму. В вакууме Д = 0, но щель М ф 0 и не зависит от v (ее зависимость от а показана на рис. 1). При v > vc в модели реализуется фаза пионной конденсации с nq = 0 и n¡ ф 0. В этой фазе обе щели М и Д отличны от нуля и зависят от v. Изоспиновая симметрия í//3( 1) спонтанно нарушена в этой фазе. Для определенного значения параметра а = ао « 0.17 зависимость щелей от v представлена на рис. 3, где vc ^0.21AÍq-

1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

дМ

м

dpi{

дМ

£+g(/x-£+) Е-в(^-Е-)

EEÍ

ЕЕ-

дА А

дА

(24)

(25)

Фазовый портрет, построенный на основе этих уравнений, при а = од ~ 0.17 изображен на рис. 4. Здесь видны вакуум, фаза пионного конденсата, а также три нормальные фазы кварковой материи I, II и III.

В фазе пионной конденсации щели Д и М отличны от нуля, и поэтому здесь изоспиновая симметрия f//3( 1) спонтанно нарушена. В этой фазе щели не зависят от /х, однако они существенно зависят от v (см. рис. 3). В точках (ту, ¡а) в других фазах на рис. 4 Д-координата точки глобального минимума ТДП равна нулю, и это значит, что там изоспиновая симметрия Ui3( 1) сохраняется. В то же время М-координата отлична от нуля. В вакуумной фазе щель М не зависит от (г/,/х), т.е. постоянна, а именно М « 1.0471/fo при а = од ~ 0.17. Поскольку на границе между вакуумной фазой и пионным конденсатом щель непрерывно зависит от /х и г/, можно заключить, что между этими фазами осуществляется переход второго рода.

Заключение

В настоящей статье показано, что фаза заряженной пионной конденсации реализуется в некомпактной области изменения химических потенциалов: /х/ > Мп и /х не превышает Л1о/л/2, где Мж — масса пи-мезона в вакууме. В этой фазе изоспиновая симметрия U/3(l) спонтанно нарушена и появляются безмассовые голд-стоуновские бозонные возбуждения. Все однокварковые возбуждения в этой фазе имеют щель. В результате плотность числа кварков nq исчезает в фазе пионной

1 Функция М(0) от а представляет собой щель М, изображенную на рис. 1 в качестве кривой 1.

конденсации. Точно такие же свойства этой фазы предсказываются и в рамках некоторых параметризаций модели НЙЛ (см., напр., [20-22]). В то же время в фазовой диаграмме модели НЙЛ фазы пионной конденсации занимают компактную область, и для некоторых схем параметризации может образоваться бесщелевая пионная конденсация [19-22].

При сравнительно больших значениях химического потенциала числа кварков ¡л мы обнаружили довольно большое разнообразие нормальных фаз кварковой материи I, II и III (см. рис. 4), в которых nq отлична от нуля. Оказалось, что в фазе I как и-, так и d-кварки бесщелевые квазичастицы, однако в фазах II и III только и-кварки бесщелевые, в то время как d-кварки имеют щель. Таким образом, такие динамические эффекты в плотной кварковой материи, как явления переноса (например, проводимость), могут происходить качественно различным образом в фазах I и II, III. Более реалистическая модель для изучения фазовых диаграмм квантовой хромодинамики должна включать конечную температуру и неоднородные конденсаты [14, 15].

Авторы выражают благодарность профессору Д. Эберту за полезное обсуждение результатов работы. Работа выполнена при финансовой поддержке DAAD (Германской службы академических обменов).

Список литературы

1. Nambu Y., Jona-Lasinio G. 11 Phys. Rev. 1961. D112.

P. 345.

2. Gross D.J., Neveu A. 11 Phys. Rev. 1974. DIO. P. 3235.

3. FeinbergJ. 11 Ann. Phys. 2004. 309. P. 166.

4. Thies M. 11 J. Phys. 2006. A39. P. 12707.

5. Klimenko K.G. 11 Theor. Math. Phys. 1988. 75. P. 487.

6. Barducci A., Casalbuoni R., Modugno M., Pettini G. // Phys. Rev. 1995. D51. P. 3042.

7. Chodos A., Minakata H., Cooper F. et al. 11 Phys. Rev. 2000. D61. P. 045011.

8. Ohwa K. // Phys. Rev. 2002. D65. P. 085040.

9. Schori V., Thies M. // Phys. Rev. 2000. D62. P. 096002.

10. Brzoska A., Thies M. 11 Phys. Rev. 2002. D65. P. 125001.

11. Mermin N.D., Wagner H. // Phys. Rev. Lett. 1966. 17. P. 1133.

12. Coleman S. I ! Commun. Math. Phys. 1973. 31. P. 259.

13. Ebert D., Klimenko K.G., Tyukov A.V., Zhukovsky V.C. 11 Phys. Rev. 2008. D78. P. 045008.

14. Basar G., Dunne G.V. 11 Phys. Rev. Lett. 2008. 100. P. 200404; Phys. Rev. 2008. D78. P. 065022.

15. Basar G., Dunne G.V., Thies M. 11 Phys. Rev. 2009. D79. P. 105012.

16. Aoki S., Higashijima K. // Progr. Theor. Phys. 1986. 76. P. 521.

17. FeinbergJ., Zee A. 11 Phys. Lett. 1997. B411. P. 134.

18. Ebert D., Klimenko K.G., Yudichev V.L. 11 Phys. Rev. 2005. C72. P. 015201; Phys. Rev. 2005. D72. P. 056007; Phys. Rev. 2007. D75. P. 025024.

19. He L., Jin M., Zhuang P. 11 Phys. Rev. 2005. D71. P. 116001; Phys. Rev. 2006. D74. P. 036005.

20. Ebert D., Klimenko K.G. 11 J. Phys. 2006. G32. P. 599; Eur. Phys. J. 2006. C46. P. 771.

21. Andersen J.O., Kyllingstad L. 11 arXiv:hep-ph/0701033.

22. Abuki H., Anglani R., Gatto R. et al. // arXiv:0809.2658.

Pion condensation in the Gross-Neveu model V.Ch. Zhukovsky10, K.G. Klimenko2b, T.G. Khunjua1

1 Department of Theoretical Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.

2IHEP and University of Dubna (Protvino Branch), Protvino 142281, Moscow Region, Russia. E-mail: a zhukovsk@phys.msu.ru, b kklim@ihep.ru.

Phase structure of the two-dimensional Gross-Neveu model is studied in variables of the quark number and isospin chemical potentials at zero temperature in the limit of large number of field components Nc —»• oo.

Keywords: Gross-Neveu model, quark matter. PACS: 12.38.Lg. Received 6 October 2009.

English version: Moscow University Physics Bulletin 1(2010).

Сведения об авторах

1. Жуковский Владимир Чеславович — докт. физ.-мат. наук, профессор, профессор; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: zhukovsk@phys.msu.ru.

2. Клименко Константин Григорьевич — докт. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр., гл. науч. сотр.; тел.: (4967) 71-35-75, e-mail: kklim@ihep.ru.

3. Хунджуа Тамаз Григорьевич —студент; e-mail: gtamaz@gmail.com.