CC BY
8
134
ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2012. № 1
Волны пионной и киральной плотности в (1 + 1)-мерной модели
и
Намбу-Иона-Лазинио
Н. В. Губина1, В. Ч. Жуковский1,fl, К. Г. Клименко2,6, С. Г. Курбанов1
1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
2 Институт физики высоких энергий и Университет «Дубна».
Россия, 142281, Московская область, г. Протвино.
E-mail: аzhukovsk@phys.msu.ru, ьkklim@ihep.ru Статья поступила 21.09.2011, подписана в печать 05.10.2011
В пределе большого числа цветов исследуется (1+1)-мерная безмассовая модель Нам-бу-Йона-Лазинио, описывающая систему с кварками двух ароматов, при наличии барионного ^ и изотопического щ химпотенциалов. Рассматривается возможность образования в плотной кварко-вой среде пространственно неоднородных кирального и пионного конденсатов.
Ключевые слова: модель НЙЛ, химический потенциал, термодинамический потенциал, фазовая диаграмма, пространственно неоднородный конденсат, волна киральной плотности, волна пионной плотности.
УДК: 530.145. PACS: ll.10.Kk, 02.60.Pn.
Введение
В настоящей работе рассматривается обобщение модели Гросса-Невё [1] с одним типом (ароматом) кварков на случай двух различных ароматов с учетом соответствующих химических потенциалов. Лагранжиан (1+1)-мерной массивной модели с добавление четы-рехфермионного взаимодействия типа Намбу-Йона-Ла-зинио (НЙЛ), описывающей плотную кварковую среду в терминах и- и й-кварков, имеет вид
a(x) = ^(qq), тга(х) = ^2^-(qij5raq) (а = 1,2,3).
(3_
После соответствующей подстановки в первом порядке разложения при больших значениях Ыс получаем для эффективного действия ¿>е[[(ст, 7га) следующее выражение:
<Se[[(cr,7ra) = -Nc
d2x
4 G
•21
>eff-
(2)
C = q
Yidp+w°+vT3l>0
~m0\q+jr.
{qqf + iqrfrqy
(1)
Вклад кварковых полей в эффективное действие определяется членом «Seff в выражении (2) и явно записывается так:
где гамма-матрицы выбраны следующим образом: exp(i«Sff) — N'
7° = (72, 71 = ¡с1, 75 = 707' = стз, а двукомпонентые дираковские спиноры q{x) = qla{x) являются дублетом по ароматам (/=1,2) с соответствующими матрицами Паули та (а = 1,2,3) и Л^-плетом по цветам
(а= 1.....А" ). Химический потенциал ^ отвечает за
ненулевую барионную плотность кварковой среды, в то время как изоспиновый химический потенциал = 2и рассматривается для изучения случая ненулевой изо-спиновой плотности, учитывающей асимметрию среды по изотопическому составу.
Полученная модель инвариантна относительно следующих групп симметрий. При ^/ = 0 и то = 0, кроме глобальной Би(Ыс) -симметрии по цветовому индексу, исходный лагранжиан инвариантен относительно преобразований киральной 5£4(2) х 51/^(2) группы. Однако при щ Ф 0 группа симметрий сводится к £//-,¿(1) х £//3д(1), где /3 = тз/2 является третьей компонентой оператора изоспина. Отметим, что исходный лагранжиан инвариантен также относительно преобразований четности.
1. Термодинамический потенциал модели
При изучении модели в процессе бозонизации вво-
дим новые поля:
[dq] [dq] х
хехр 1
cr^m0^i"f5TraTa]q^d2x
Величины вакуумного среднего (сг(х)) и {тга(х)) сконструированных бозонных полей, определяемые в соответствии с условиями экстремума эффективного действия в плотной среде, где могут иметь нетривиальную зависимость от х. В частности, в данной статье мы используем анзац, который может быть назван волной пионной плотности: (а(х)) + т0 = М, (ж3(х))=0,
(тпМ) + 1{тг2(х)) = АеШх, {тп(х)) - 1{тг2(х)) = Ае^Шх,
(3)
где М, Ь, А постоянны и являются координатами точки глобального минимума термодинамического потенциала (ТДП) 0(М,&, А), который определяется через эффективное действие известным образом:
0(МА А) = -^5еГК«тМ,7гаМ}|^)=Мл)>11Га(л)=Мл)>.
При вычислениях с учетом выбранного нами анзаца необходимо совершить поворот:
Я = (Фи, Фа)Т^Х= (Хм, Хй)Г =
= (фи е',Ьх, фа е^,Ьх)т = е:: С учетом преобразований (4) ТДП приобретает вид (М - т0)2 + А2 /
(4)
П{М,Ь, А) =
с!2р \ndetD, (5)
46 (2тг)2„
где О = (^М+^7о+р,тз7о+тз71&^/Ат175). Корни уравнения йеЮ = 0, найденные аналитически, г]{1> = р^ + ^ (/ = 1,4), дают спектр модели, после чего выражение для термодинамического потенциала приводится к следующему виду:
(ЛГ - «о)2 + А2
ЩМ,Ь,А) =
4 С
(6)
_1_
4тг
м|+Ь(3) — мЖ7/
Для устранения ультрафиолетовой расходимости в последнем выражении можно воспользоваться традиционной для моделей типа ГН и НЙЛ регуляризацей с помощью введения обрезания по импульсам А (более детально процедура перенормировки массивной модели типа ГН дана, например, в [2, 3]):
П(М,Ь, Д)= Игл
А —^ ОС'
ПК4М, Ь, А)
О^О(Л)
Л2 1
— (7)
г,(1),(2),(3),(4) _ +с± Ч — '
= у/(£±)2 + Д2,
£± =Е±
V,
Е =
Р\
■М2.
После применения схемы (7) получаем ренорминвари-антное выражение для ТДП
0(М, А) = У0 (л/М2 + А2) -
ОО
о
•"43
Г ^ {(м - £ 1 - £ 1 А) + - - £"д)} ■
где
1/0(ЛГ) = Игп
Л—>ос
( М2 | 4С(Л)
Г /- л2
ф1 \]р\ + м2 +—
м2
Однако полученный таким образом ТДП демонстрирует нефизичную зависимость от волнового вектора Ь при нулевой амплитуде А и неограниченность по нему снизу. Подлинным термодинамическим потенциалом системы Пр11у5(М, Ь, А) является следующая, полученная после дополнительного вычитания величина [4]:
Ь, А) = 0(М, Ь, А) -Г2(ЛГ, Ь, 0)+0(М, 0,0). (8)
Причина обнаруженной нефизичности регуляризации выражения (6) кроется в использовании регуляризации с симметричным обрезанием по импульсам (7), что подробно обсуждается в нашей предыдущей работе [5], а также в работах [6, 7].
Фазовая структура модели с лагранжианом (1) при то = 0 хорошо изучена для множества частных случаев: например, в [8] рассмотрено образование только однородных конденсатов, в [5] обсуждались условия существования фазы с волнами киральной плотности. Для решения вопроса о структуре основного состояния из всех возможных форм пространственно неоднородных решений (киральные кристаллы, спирали и т.д.; см., например, [9-11]) в настоящей работе выбраны конденсаты в виде волны киральной плотности (ВКП) (см. ниже) и пионной плотности (3) (ВПП).
2. Фазы ВКП и ВПП в безмассовом случае ("Ю = О)
Фазовая структура в однородном случае (6 = 0).
Изучение фазового портрета рассматриваемой модели для случая однородных конденсатов начнем с выражения (5), положив Ь = О, тогда
а Мо — свободный параметр, равный динамической массе кварков в вакууме. Результаты численного исследования полученного выражения для случая однородного кирального конденсата демонстрирует фазовая диаграмма, представленная на рис. 1 (более детальное исследование см. в [8]).
ц/М0
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
1 /
/ 2 / 1
ц, = М0/\Р2 у/ / ц = М0М2
а
РС
О 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 \1Ма
Рис. 1. Фазовый портрет для случая пространственно однородных конденсатов: / — симметричная фаза с безмассовыми кварками, 2 — фаза с массивными кварками, РС — фаза заряженной пионной конденсации; а - самая нижняя точка фазы 2 с соответствующим значением ци и О.бШИо и г/„ и О.бМо
Рассмотрение фазы ВКП. В этом случае форма ТДП исследуется, в отличие от (3), с помощью анзаца другого вида, а именно
ст(л') = Мсо${2Ьх), 7г3(л') = М эт(2Ьх), 7Г| (л-) = А, 7г2(л') = 0.
Другим окажется и вид кирального поворота: = ехр(/'7ътфх)ц. Детали вычислений, которые мы опустим, даны в работе [5]. Итоговый ТДП запишется в форме
0'Лу5(А1, Ь, А) = У0 (л/М2 + А2
136
ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2012. № 1
• lim
А —^ ос!
' d(h 7Г
-0
• dpi 7Г
0
(Ь + и)2
где использованы в(х)-функция Хевисайда и спектр модели:
= у/(£±)2 + Д2, Е± =Е±{Ъ + и), Е= ^р2+М2.
Как видно из фазового портрета, изображенного на рис. 2, при выборе данного анзаца возможно образование двух фаз КВП и СЭШг) и однородной пионной фазы (РС). Оказывается, что фазы КВП являются более предпочтительными, чем однородная киральная фаза и даже чем вакуумная фаза.
ц/М0
1.2 1.0 0.8
0.6
PC
0.4
0.2
CDWj L/ / cdw2
a
PC
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 v/M0
Рис. 2. Фазовый портрет модели с волной киральной плотности. Для фазы CDWj (CDW2) b> 0 {b < 0). Кривая L (b = 0) отвечает однородной фазе с нарушенной киральной симметрией. Та же фаза (PC) имеет место и на интервале 0 < /х < и О.бШИо на оси /х ; а — критическая точка раздела фаз с координатами ¿¿ = 0.69М0, г/ц и 0.6Л4о
Фаза с пионной волной плотности. Из фазовой диаграммы на рис. 3, полученной при исследовании ТДП (8), и уравнений щели для переменных M, А и b при поиске решений в виде волн пионной плотности (3) видно, что существует критическая точка /ха, такая, что если fi < fia, то имеет место только однородный пионный конденсат, а в случае, когда ц > ца, материя находится в виде ВПП, за исключением тонкой полоски фазы нормальной кварковой материи вблизи линии fi = и. Полоска эта имеет ширину всего О.ОЗМц и заканчивается в критической точке а, где м = Mcï = 0.69Мо, I/ = О.бМо.
ц./М0 1.2
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
0
PDW ца~0.69М0 /У PDW
a
M-a ~ 0.69M0
va ~ 0.6M0
PC
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0 v/M
о
Рис. 3. Фазовый портрет модели с волной пионной плотности. PC — фаза однородного пионного конденсата {ß<ßa), PDW — неоднородная фаза с волной пионной плотности (при ß>ßu). Область рисунка, обозначенная как M ф 0, соответствует однородной кирально несимметричной фазе. Ширина этой области ~О.ОЗЛ4о ; а — критическая точка раздела фаз
Заключение
В настоящей статье для безмассового случая (1+1)-мерной модели НЙЛ в присутствии химических потенциалов двух типов и при нулевой температуре было установлено, что для значений барионного хим-потенциала ß< ßc и произвольных ненулевых значений ßi образуется только фаза заряженного пионного конденсата. Пространственно неоднородные формы ки-рального и пионного конденсатов в виде волн плотности заданного вида образуются при значении ц выше критического. При этом результаты численных вычислений не позволяют отдать предпочтение какой-либо из фаз: КВП либо ВПП, так как в разных областях пространства появление их равновероятно. В связи с этим представляется важным изучение вопроса о существовании скрытой симметрии в модели, о выделенное™ в связи с этим двумерного случая и расширении числа измерений.
Список литературы
1. Gross DJ., Neveu А. // Phys. Rev. D. 1974. 10. P. 3235.
2. Barducci A., Casalbuoni R., Modugtio M., Pettini G. // Phys. Rev. D. 1995. 51. P. 3042.
3. Жуковский В.Ч., Клименко К.Г., Хунжуа Т.Г. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2010. № 1. С. 23.
4. Ми C.f., Не L.y., Liu Y.x. 11 Phys. Rev. D. 2010. 82. P. 056006.
5. Ebert D., Gubina N.V., Klimenko K.G. et al. // Phys. Rev. D. 2011. 84. P. 025004.
6. Nakano E., Tatsumi T. // Phys. Rev. D. 2005. 71. P. 114006.
7. Nickel D. 11 Phys. Rev. D. 2009. 80. P. 074025.
8. Ebert D., Klimenko K.G. ¡I arXiv: 0902.1861.
9. Carignano S., Nickel D., Buballa M. ¡I Phys. Rev. D. 2010. 82. P. 054009.
10. Basar G., Dunne G.V., Thies M. ¡I Phys. Rev. D. 2009. 79. P. 105012.
11. Basar G., Dunne G.V. 11 JHEP. 2011. 1101. P. 127. arXiv: 1007.1962;
Pion and chiral density waves in (1+1 )-dimensional Mambu-Jona-Lasinio model N. V. Gubina1, V.Ch. Zhukovsky10, K.G. Klimenko2i\ S.G. Kurbanov1
1 Department of Theoretical Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.
2 Institute of High-Energy Physics, Russian Academy of Sciences, and University «Dubna» (Protvino Branch), Protvino 142281, Moscow Region, Russia.
E-mail: a zhukovsk@phys.msu.ru, b kklim@ihep.ru.
Phase structure of massless NJL2 model with a quark number chemical potentials ц and an isospin chemical potentials щ and the formation possibility of chiral density wave (CDW) and pion density wave (PDW) condensates are investigated in the limit of a large number of colors (Nc —)• сю).
Keywords: NJL-model, chemical potential, thermodynamic potential, phase diagram, spatially inhomogeneous condensate, chiral density wave, pion density wave. PACS: ll.10.Kk, 02.60.Pn. Received 21 September 2011.
English version: Moscow University Physics Bulletin 1(2012).
Сведения об авторах
1. Губина Надежда Валерьевна — аспирантка; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: gubinanadya@grnail.com.
2. Жуковский Владимир Чеславович — докт. физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: zhukovsk@phys.msu.ru.
3. Клименко Константин Григорьевич — докт. физ.-мат. наук, гл. науч. сотрудник, профессор; e-mail: kklim@ihep.ru.
4. Курбанов Сердар Гельдимуратович — аспирант; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: serdarkurbanov@gmail.com.
