Разложение определителей матриц по минорам выбранных элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

СИСТЕМЫ И

ПРОЦЕССЫ

УПРАВЛЕНИЯ

УДК 512.831

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ МАТРИЦ ПО МИНОРАМ ВЫБРАННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

К:

І Wad*

=i+i \ h

- В

’■sMi,

h,: Mi IBM:

i, n

k s

n, :

(2) = 0.

Из (2) легко установить, что слагаемые, содержащие элементы ass и asj, взаимно компенсируются при

любых значениях ass и asj . Следовательно, для справедливости (2) необходимо показать, что и при

любых значениях остальных элементов матрицы A справедливы следующие равенства:

ЛЕГА Ю.Г., ПЕРВУНИНСКИИ С.М.______________

Доказываются новые соотношения для миноров квадратных матриц, которые не только могут применяться в теоретическом анализе, но и позволяют значительно сократить объем вычислений определителей матриц высоких порядков.

Анализ прикладных задач с применением аппарата теории матриц, часто выполняется с использованием представлений определителей матриц высокого порядка через определители субматриц более низкого порядка. Одним из таких представлений является метод разложения определителя S-го порядка по системе определителей S- 1-го порядка (разложение определителя по элементам строки или столбца). Другим известным представлением является разложение Лапласа р по нескольким строкам или столбцам. В данной работе обосновано новое разложение, связывающее значение определителя S-го порядка с минорами элементов определителя, расположенными на пересечении двух выбранных строк и столбцов.

Предварительно рассмотрим лемму.

ВМІВ ОмВ)-м(Н;В • (3)

n = i;j -1;

Sl Ik,Sl ISl fk,Sl (Si (k,Sl

M|S|M|j;n| + M|j|M|n;S|-M|nHj;Sl^ 0 ^ (4)

n = j + 1,s -1 .

Покажем справедливость равенств (3), рассмотрев вспомогательный определитель блочного типа, где

O — нулевая матрица размером (S -1) х (S - 3);

a1,1 ■ ■ a1,n—1 a1,n+1 ■ ■ a1, j—1 a1,j+1 ■ ■ a1,s-1

ak-1,1 ■ ■ ak—1, n—1 ak—1,n+1 ■ ■ ak-1,j-1 ak-1,j+1 ■ ■ ak-1,s-1 (5)

ak +1,1 ■ ■ ak+1,n—1 ak+1,n+1 ■ ■ ak+1,j-1 ak+1,j+1 ■ ■ ak+1,s -1

_as-1,1 ■ ■ a s —1,n—1 a s—1,n+1 ■ ■ as-1,j-1 as-1,j+1 ■ ■ as -1,s-1 _

— матрица размером (s - 2) х (S - 3).

Определитель д составлен из миноров S -1 порядка выражения (3) так, что левые S столбцов и верхние

Лемма. В квадратной матрице A = ІД: : I — поряд-

L l;J -її,j=1,S

ка S миноры элементов, расположенных на пересечении k -й и S -й строк и j -го и S -го столбца, связаны с определителем АА матрицы A соотноше-

нием

f k 1 I

Ml M

1 j. J 1

( n 1

где Ml I

1 m j

k s j s

А А = Ml

kКS) ^ k ; j = 1;S -1 ^ (1)

минор порядка S -1 элемента an ,

M

k s

j s

минор порядка S - 2 , получающийся из

определителя А а , после вычеркивания k -й и S -й

S -1 строк включают элементы всех столбцов данных миноров. Для наглядности эти столбцы в (5) дополнительно выделены надчеркиванием. Матрица P включает общие элементы миноров S - 2 - го порядка, входящих в выражение (3).

Выбрав в определителе д верхние S -1 строки,

разложим его по Лапласу [1]. Согласно разложению Лапласа определитель д равен сумме произведений всевозможных миноров S - 1 -го порядка, расположенных в выбранных строках, на их алгебраические дополнения. В указанной сумме произведений только три слагаемые могут отличаться от нуля. Они

образованы выделенными в (5) минорами S -1 -го порядка. Все другие слагаемые равны нулю по

строк и j -го и S -го столбца.

Доказательство. Выполним в (1) разложение опреде-

лителей M

,M

k

s

и А а по элементам S -й строки

причине равенства нулю тех миноров S -1 -го порядка, которые содержат нулевой столбец матрицы O , либо из-за нулевых значений дополнительных миноров (как миноры с двумя одинаковыми столбцами).

матрицы A . Тогда (1) запишется так:

Заметим, что в разложении Лапласа три названные слагаемые совпадают с одночленами выражения (3).

34

РИ, 1999, № 4

Убедимся, что и знаки слагаемых, определяемые знаками алгебраических дополнений, совпадают либо одновременно противоположны по знаку слагаемым, записанным в левой части выражения (3).

В разложении Лапласа знак алгебраического дополнения определяется величиной

S-2 ai +Pi

z = П(-1 , (6)

i =1

где а р., i = i,s-2 — номера соответственно строк и столбцов в определителе д, из которых образован дополнительный минор. В определителе д у всех трех выделенных миноров дополнительные миноры

имеют одни и те же значения i = 1,S - 2 и Р,, i = 2, S - 2 . Поэтому (6) можно записать как

Z = (- 1ї+р1, (7)

здесь y = a,i + X(a j + Р j) — некоторая целая кон-j=2

станта.

Рассмотрим подробнее значение алгебраического дополнения минора м| k,s |. Учитывая (7) с В, = S,

UnJ 1

имеем алгебраическое дополнение

А( jnS|'(-1""

a1,s 1 1 1 1

ak-1,s 1 1 ! P

ak+1,s 1 1 1

a s—1,s 1 1 1

(8)

Переставляя первый столбец в миноре (8) со всеми S - 3 столбцами, следующими за ним в матрице р , записываем

А(м)-<- ^Км)-<-°”1 ) • (9)

Аналогичные перестановки столбцов в алгебраичес-

выражениям

( k,s 1 J k,sЇ

Al ■ и A 1 приводят к

1 j,s, J 1n,s J

(js )- (-1 >“ м! k,ss ), (10)

(k,s)- ■<-1■' 4 k,s ] . (11)

Итак, пользуясь разложением Лапласа, определитель д можно записать так:

Д =(-1)

i/+i

. 5^ (k ,ss'] (sЛ (k ,ss'] (sЛ (k ,s

M| Ml | + м| |м| |- м| |м|

s I К j,n) n) \ j,s) \ j) n,s

(12)

Если воспользоваться разложением Лапласа, выбрав в определителе Д первые S столбцов, то получим

А = 0 , (13)

так как в выбранных столбцах линейно-независима только S -1 строка.

Объединяя (13) и (12), убеждаемся, что равенства (3) всегда справедливы.

Аналогично доказывается справедливость равенства (4). Теперь структура вспомогательного определителя д несколько меняется, ибо в данном случае

n = j + 1, S -1, т.е. n > j. А именно, происходит

перестановка в разметке столбцов миноров м

С s ^

v j

и

м

С s ^

V n У

, что приводит к изменению знаков у соответ-

ствующих им дополнительных миноров.

Таким образом, доказано, что равенство (1) справедливо при любых значениях элементов матрицы а .

Границы изменения параметров в (1) можно расши-

рить до значений k, j = 1, S , если принять, что элементы

^ k, s ^ ^ s, s ^ ^ s, s''

м = м = м

v s,s ) vj,s 2 v j,s ,

0

(14)

Такое допущение обосновано тем, что указанные

элементы не являются минорами S - 2 порядка. Более того, двойное вычеркивание строки (столбца)

с номером S в матрице А порядка S невозможно. Теорема. Если в квадратной матрице А порядка S выбрать элементы, расположенные на пересечении i ,m строк и j ,k столбца, то определитель А А

матрицы и миноры выбранных элементов связаны соотношением

м

і і I m

м

j I k

- м

j,k

i, m

As = м

k )мІ

m j ■

(15)

1 < i < m, 1 < j < k, m,k = 2,S .

Доказательство. Пусть матрица А элементами выбранных i, m строк и j,k столбцов разбита на блоки

РИ, 1999, № 4

35

A =

1 1 a1,j і a1,k 1

Au 1 1 1 1 1 1 ai-1,j ! A1,2 1 ! ai-1,k j A1,3 1 1

ai,1 ■■■ ai,j—1 1 -1- ai.j ! ai,j+1 ■■■ ai,k -1 ! ai,k J ai,k+1 ■■■ ai,s

1 1 ai+1,j ! ! ai+1,k 1 1

A2,1 1 1 1 1 A2,2 1 1 ! A2,3

1 _l_ am-1,j ! ! am-1,k 1 .L .

am,1 ■■■ am,j- 1 1 -1- am,j 1 am,j+1 ■■■ am,k-1 ! am,k 1 - 1 am,k+1 ■■■ am,s T •

1 1 am+1,j j ! am+1,k 1 1

A3,1 1 1 1 1 1 A3,2 1 1 1 A3,3

1 1 as,j ! j as,k 1 j

Очевидно, последовательными перестановками строк и столбцов матрицу A можно преобразовать к виду Где

Подставляя в (17) значения миноров из (18), получаем равенство (15).

Следствие 1. В квадратной матрице A порядка S миноры элементов, находящиеся на пересечении i,m строк и j,k столбцов,

при i ф m , j ф k, i,j,k,m = 1,S связаны соотношением

(W (т\

M

M

m

V k У

(i ^ ^

- M

V k У

M

= ZM

(i,m ^

J

j,k

A

(19)

1 1 1 1 a1,j a1,k

1 1 1 ai-1.j ai-1,k

1 1 ai+1,j ai+1,k

G 1 1

B= 1 1 1 am-1,j am-1,k

1 1 1 1 am+1,j am+1,k

1 1 1 1 as,j as,k

ai,1 ■ ■■ ai,j-1 ai,j+1 ■■■ ai,k-1 ai,k+1 ■■ ai,s j ai,j ai,k

am1 ■ ■■ am,j-1 am,j+1 ■■■ am,k-1 am,k+1 ■ ■■ ams ! amj amk

где G

A ! A ! A

A1,1 j A1,2 J a1,3

A 1 "A l_A

л2,2 I л2,2 I л2,3

A 1 A "1 A

_л3,1 і л3,2 | л3,3

блочная матрица, со-

ставленная из блоков Ai j, i, j = 1,3 матрицы A .

В матрице B по лемме для выбранных S -1 строки и S - 1 столбца, окаймляющих матрицу G , запишем равенство

's -1 Vі 's - 1,s^ ^ s -1 ^ s л

Mв Mв - Mв Д в - Mв MB

vs - 1 vs7 vs - 1,sy V s 7 Is -1

(17)

Z

+1

ft <m) лО < k)} vft >m) л0 > k)} ;(20) ft > W Wj < k)j vft <m) 4i > 4.

Доказательство. Равенство (19) совпадает с (15) в частном случае, когда выполнены ограничения

,(16) на параметры i, j,k, m , указанные в (15). Несложно убедиться, что при изменении одного из неравенств в (15) на противоположное, (15)

примет вид (19) с величиной Z = -1, что и отражено в (20). Например, пусть выполнены

неравенства i > m > 1, 1 < j < k, i, k = 2, S.

Тогда при доказательстве соотношения (15) изменятся знаки в правых частях тождеств (18), записанных для миноров

M в

s -1 s -1

M в

s -1

M в

s k

и А в.

Указанные изменения знаков приведут к конечному соотношению вида (19) с величиной Z = -1.

Подобным образом могут быть доказаны и оставшиеся нерассмотренными два из четырех ограничительных соотношений на величины i, j, k, m , указанные в (20).

Следствие 2. В эрмитовой матрице A порядка S выполняется соотношение

( m > ^ s - 1,s ^ ^ s -Г1 ' s ^ ^ s _ ft

— минор матрицы B элемента, M > II s M — M

vn 7 V s - 1,s у vs - 1 v s 7 v s J

(21)

здесь M в

расположенного на m -й строке и n -м столбце.

Доказательство. Для эрмитовой матрицы справедли-Для миноров, входящих в (17), несложно установить во равенство следующие тождества:

Д -1

M в

s -1

s - 1,s

= (- ЇГ+k M AI 1 J; M в I s Ы- 1j+jM

M в Is - 1,s )■ MA Q M в [ 8 s1)^- 1“m "M A ( k

M в Is !j-(- 7

a + k-1

MA j “ j; Ав =(- 1)1+J+m+kA

A-

( s ^ f ^ s _ ft^

M C/3 1 чГ"1 = M

V V s A

(22)

(18)

где 0* — символ операции комплексного сопряжения. Применив равенство (17) для матрицы A с подстановкой (22), получим (21).

Соотношение (21) можно записать более просто:

2

k

36

РИ, 1999, № 4

д л д

где Д s_! = M

^ s - Г1 ^ s

S-2 _ M А s-1 - M

ч s -1 V

^ s - 1,sл 'sN

v s - М, и А СО 1 II Vs ,

, (23)

являются

главными минорами матрицы A. Из (23) при A s_2 ^ 0 получается полезное для вычислений рекуррентное выражение

2

M

A A _ '

Сs -1^ Vs - Ъ

S-1

M

С s -1

V s У

(24)

S—2

2

s

которым можно пользоваться и для вычисления определителей симметрических матриц.

Выводы

Новые соотношения, доказанные для миноров квадратных матриц, могут не только применяться в теоретическом анализе, но и позволяют значительно

сократить объем вычислений определителей матриц высоких порядков. Так, если при разложении определителя порядка S по элементам строки требуется

вычислить s определителей порядка S -1, то применение общей формулы (17) требует вычисления

четырех определителей порядка S -1 и одного порядка S - 2 . Упрощение вычислений достигается и путем использования рекуррентных формул вида (23).

Литература: 1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 197о. 720 с.

Поступила в редколлегию 21.12.99

Рецензент: д-р техн. наук Шарапов В.М.

Лета Юрий Григорьевич, канд. техн. наук, доцент, ректор Черкасского инженерно-технологического института. Адрес: Украина, 18005, Черкассы, б-р Шевченка, 460, тел. (8-0472) 43-35-64; факс (8-0472) 43-44-81; E-mail: cheti @ cheti.cherkassy.ua

Первунинский Станислав Михайлович, канд. техн. наук, доцент, докторант Черкасского инженерно-технологического института. Адрес: Украина, 18005, Черкассы, б-р Шевченка, 4б0, тел. (8-0472) 65-68-66, факс (8-0472) 43-44-81.

УДК 519.21

ЛОКАЛЬНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ И ФОКУСИРОВКА РАСПРЕДЕЛЕНИЙ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

ДИКАРЕВ В.А.___________________________

Приводятся условия фокусировки, реализуемой при локальных возмущениях марковского процесса с непрерывным временем и конечным числом состояний. Каждое отдельно взятое возмущение воздействует лишь на часть состояний процесса. Согласованное воздействие возмущений приводит к стабилизации всего процесса.

Предположим, что множество всех состояний наделено некоторой топологией, например, является метрическим пространством. Естественно считать, что если некоторое состояние (или группа состояний, близких между собой) получит сильное возмущение, то возмущения получат и состояния, близкие к нему. Этим возмущениям отвечает определенное множество возмущенных элементов стохастической матрицы p(s, t) процесса. Часть их является ее диагональными элементами. Множество всех возмущенных элементов ps, t) порождает инфинитезимальную матрицу. Будем называть ее фрагментом. Считаем, что любой фрагмент является квадратной матрицей и фокусирует (точная фокусировка) или ст -фокусирует [1—3]; число всех возможных фрагментов конечно.

Подчеркнем, что в отличие от подхода, описанного в [3], теперь возмущениям подвергается не весь процесс, а лишь отдельные его части. Согласованное воздействие возмущенных частей на распределение вероятностей состояний приводит к стабилизации всего процесса. Описанная картина возмущений возникает, когда процесс, множеством состояний q

которого является некая поверхность или область из Rn, за малые промежутки времени подвергается сильным локальным воздействиям (например, ударам, возникающим при бомбардировке q потоком частиц), изменяющим его эволюцию.

Считаем, что каждое очередное возмущение локализовано в некоторой окрестности момента времени т k, отделяющей %к от промежутков, на которых действуют другие возмущения; моменты тк являются точками фокусировки для процессов с инфинитезимальными матрицами-фрагментами, возникающими при этих возмущениях; каждый фрагмент после

момента тk обращается в нуль за малый промежуток времени. Это означает, что результаты фокусировки не изменятся за промежуток (т к, t), на котором данный фрагмент еще отличен от нуля. Эволюция процесса рассматривается на промежутке [s0, t0), t0 < да . Если t0 = да , считаем, что при отсутствии возмущений стохастическая матрица P(s, t) процесса совпадает с единичной матрицей. Если t0 < да , то P(s, t) предполагается лишь непрерывной.

Сначала рассмотрим случай, когда t0 =да и фокусировка, реализуемая фрагментами, точная. Опишем изменение вектора i(t) распределения вероятностей состояний всего процесса, происходящее при каждой очередной фокусировке. Пусть фрагмент Дt в момент тk фокусирует на %i =пi(тк). Рассмотрим вектор %\(t), координаты которого состоят из всех координат i(t), находящихся в тех же строках, что и строки Д i. Пусть (tt") — любой интервал, содержащий тк, в котором никакой фрагмент, кроме Д t, не фокусирует. Тогда, чтобы получить вектор распределения i(t) процесса при t є (тк, t"), следует подвектор п'р') вектора n(t') заменить на пi (тк). В результате получим 7l(t).

РИ, 1999, № 4

37