К вопросу разработки основных вычислительных процедур метода анализа иерархий Текст научной статьи по специальности «Математика»

К вопросу разработки основных вычислительных процедур метода анализа иерархий

Трофимец В. Я. ([email protected]) Ярославский военный финансово-экономический институт

В настоящее время среди методов решения задач многокритериального выбора, имеющих, с одной стороны, признанную теоретическую обоснованность, а с другой стороны, удовлетворяющих требованию универсальности, наибольшее распространение получили методы теории полезности [10], методы теории нечетких множеств [2, 3, 6], методы векторной стратификации [4] и метод анализа иерархий Саати [9].

Теория многомерной полезности позволяет для задач многокритериального выбора получить функцию многомерной полезности, максимальное значение которой соответствует наиболее предпочтительному варианту. Многомерная функция полезности обычно получается как аддитивная или мультипликативная комбинация одномерных функций, которые строятся на основании опроса экспертов и позволяют провести ранжирование возможных исходов без взаимного сравнения альтернатив. При этом делается допущение о взаимной независимости критериев по полезности. Процедура построения функции полезности требует привлечения значительных объемов информации и является достаточно трудоемкой. Достоинством этого подхода является возможность оценки любого количества альтернативных вариантов с использованием полученной функции. В случае неустойчивой исходной информации применение методов теории полезности становится малоэффективным.

Теория нечетких множеств, предложенная Л. Заде [6], позволяет представить знания о предпочтительности альтернатив по различным критериям с помощью нечетких множеств. Формирование нечетких множеств является более простой и менее трудоемкой процедурой, чем построение функций полезности. Для выявления лучших вариантов по совокупности критериев необходимо иметь в распоряжении информацию о важности критериев и типах возможных отношений между ними. Теория нечетких множеств предоставляет различные средства для учета взаимных отношений критериев: использование весовых коэффициентов, нечеткие отношения предпочтения, нечеткий логический вывод на правилах определения лучшей альтернативы и т. д. Основной проблемой многокритериального выбора с применением нечетких моделей является представление информации о взаимоотношениях между критериями и способы вычисления интегральных оценок. Методы, базирующиеся на разных подходах, дают различные результаты [2]. Каждый подход имеет свои ограничения и особенности, и эксперт-аналитик должен получить о них представление, прежде чем применять тот или иной метод принятия решения.

Методы векторной стратификации основаны на процедурах построения структурированного многокритериального пространства и разбиения его на заданное число упорядоченных слоев (страт). Для этого на множестве оцениваемых объектов задается отношение стратификации. Это отношение для элементов одной страты является толерантностью, а для элементов из разных страт - отношением строгого порядка. Это означает, что внутри страты объекты, хотя и могут отличаться по некоторым показателям, будут, тем не менее, почти равноценными. Объекты, принадлежащие к разным стратам, будут упорядочены по степени их соответствия заданной цели (по значимости, приоритетности).

Методы векторной стратификации дают возможность проводить комплексную оценку и выбор лучших из рассматриваемых объектов на основе как количественной, так и качественной исходной информации. При этом исходная информация может быть получена из статистики, в результате моделирования, а также от привлекаемых экспертов. Система критери-

ев комплексного оценивания формулируется в процессе конкретизации заданной цели. Применяемое решающее правило комплексной оценки использует матрицы логической свертки значений частных показателей (оценок).

Метод анализа иерархий (МАИ), предложенный Т. Саати [9], является замкнутой логической конструкцией, обеспечивающей с помощью простых правил анализ сложных проблем во всем их разнообразии. Метод основан на парных сравнениях альтернативных вариантов по различным критериям с использованием девятибалльной шкалы и последующим ранжированием набора альтернатив по всем критериям и целям. Взаимоотношения между критериями учитываются путем построения иерархии критериев и применением парных сравнений для выявления важности критериев и подкритериев. Применение МАИ позволяет включить в иерархию все имеющиеся у эксперта-аналитика по рассматриваемой проблеме знания и воображение. Метод отличается простотой и дает хорошее соответствие интуитивным представлениям.

Последние свойства метода позволяют рассматривать его в качестве базового метода решения многокритериальных задач в процессе информационно-аналитической подготовки специалистов финансово-экономического профиля, как правило, не обладающих специальными углубленными математическими знаниями. Метод также может быть быстро реализован на программном уровне в среде табличного процессора MS Excel, что для учебного процесса имеет немаловажное значение, так как позволяет в приемлемые сроки создавать учебные фрагменты автоматизированных систем поддержки принятия решений.

В методе анализа иерархий для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала отношений, приведенная в табл. 1 [9]. Данная шкала позволяет эксперту-аналитику ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим некоторые числа.

Таблица 1

Шкала отношений метода анализа иерархий

Степень значимости Определение Объяснение

1 Одинаковая значимость Два объекта не имеют преимуществ друг перед другом

3 Некоторое преимущество одного объекта перед другим (слабое преимущество) Существуют соображения в пользу предпочтения одного из объектов, однако эти соображения недостаточно убедительны

5 Существенное или сильное Преимущество Имеются надежные данные или логические суждения для того, чтобы показать предпочтительность одного из объектов

7 Очевидное или очень сильное Преимущество Убедительное свидетельство в пользу одного объекта перед другим

9 Абсолютное преимущество Свидетельства в пользу предпочтительности одного объекта перед другим в высшей степени убедительны

2, 4, 6, 8 Промежуточные значения между соседними суждениями Ситуация, когда необходимо компромиссное решение

Обратные величины приведенных выше ненулевых величин Если объекту / при сравнении с объектом ] приписывается одно из определенных выше ненулевых чисел, то объекту ] при сравнении с объектом 1 приписывается обратное значение 1 Оц = — аР

Правомочность данной шкалы доказана теоретически при сравнении со многими другими шкалами [9]. При использовании указанной шкалы эксперт-аналитик, сравнивая два объекта в смысле предпочтительности по отношению к критерию, расположенном на вышестоящем уровне иерархии, должен поставить в соответствие этому сравнению число в интервале от 1 до 9 или обратное число.

Поскольку человеческие ощущения нельзя выразить точной формулой, то при сравнении нескольких объектов транзитивная (порядковая) и кардинальная (количественная) однородность могут быть нарушены. Для оценки однородности суждений в методе анализа иерархий используется индекс однородности (ИО) или отношение однородности (ОО), которым соответствуют следующие выражения:

X - п

ИО -; (1)

п -1

ОО = , (2)

Е (ИО)

где Е(ИО) - математическое ожидание индекса однородности случайным образом составленной матрицы парных сравнений А, которое основано на экспериментальных данных, полученных в работе [9] (табл. 2); п - порядок матрицы А;

Х^х - максимальное собственное значение матрицы А.

Таблица 2

Порядок Е(ИО) Порядок Е(ИО) Порядок Е(ИО)

матрицы п матрицы п матрицы п

1 0,00 6 1,24 11 1,51

2 0,00 7 1,32 12 1,53

3 0,58 8 1,41 13 1,56

4 0,90 9 1,45 14 1,57

5 1.12 10 1,49 15 1,59

В качестве допустимого используется значение ОО < 0,10. Если для матрицы парных сравнений отношение однородности ОО > 0,10, то это свидетельствует о существенном нарушении логичности суждений, допущенных экспертом при заполнении матрицы, поэтому эксперту предлагается пересмотреть данные, использованные для построения матрицы, чтобы улучшить однородность.

При нарушении однородности ранг матрицы отличен от единицы и она будет иметь несколько собственных значений. Однако при небольших отклонениях суждений от однородности одно из собственных значений будет существенно больше остальных и приблизительно равно порядку матрицы. Таким образом, ключевым моментом в процедуре оценки однородности суждений является нахождение максимального собственного значения матрицы парных сравнений. На основании этого значения может быть получен и главный собственный вектор матрицы парных сравнений.

Отметим, что в типовой процедуре метода анализа иерархий точное решение получается путем возведения матрицы парных сравнений в произвольно большие степени и деления суммы каждой строки на общую сумму элементов матрицы. Умножив матрицу парных сравнений справа на полученную оценку вектора решений, получается новый вектор. Разделив первую компоненту этого вектора на первую компоненту оценки вектора решения, вторую компоненту этого вектора - на вторую компоненту оценки вектора решения и т. д., получаем ещё один вектор. Разделив сумму компонент этого вектора на число компонент, получаем приближение к

Описанная вычислительная процедура является достаточно сложной и громоздкой, главным недостатком которой является возведение матрицы парных сравнений в произвольно большие степени для достижения приемлемой точности результата. Вычисление осуществляется на основе полученной оценки вектора решений, т. е. реализуется схема (^1, W2,...Wn ) ^ Атх.

Ниже предлагается вычислительная процедура нахождения максимального собственного значения и главного собственного вектора матрицы парных сравнений, которая, по крайней мере, не уступает в точности типовой процедуре и превосходит её с точки зрения вычислительной реализации. Последнее превосходство достигается благодаря учету особенностей строения матрицы парных сравнений, что позволяет эффективно использовать обратную схему вычислений, т. е. ^ ^^w2,...wn) .

Под однородностью (согласованностью) суждений эксперта будем понимать соблюдение условий транзитивности и кардинальности этих суждений. Условие транзитивности выражается в соблюдении отношений эквивалентности и порядка относительно сравниваемых объектов. Отношение Я является транзитивным, если для любых объектов х, у и г из хЯу и уЯг следует хЯг.

Соблюдение условия кардинальности для матрицы парных сравнений с однородными суждениями Аод (в дальнейшем просто однородной матрицы) выражается в виде выполнения соотношения:

аг _1!!

аг5 = г при г > 1, г < 5. (3)

аг _1,Г

Из выполнения соотношения (3) следует линейная зависимость между строками однородной матрицы, т. е. её ранг равен единице:

Гкд = 1, (4)

а определитель - равен нулю:

ёе^Аод) = 0. (5)

Из условий (4) и (5) следует, что однородная матрица порядка п имеет п-1 собственных значений X, равных 0, и одно собственное значение ^ж, равное п. Невыполнение соотношения (3) приводит к нарушению однородности суждений и изменению собственных значений матрицы парных сравнений. Причем, чем больше нарушена однородность матрицы, тем больше отклонение от п. При несущественных отклонениях суждений от условия транзитивности будет существенно больше остальных собственных значений и приблизительно равно порядку матрицы п.

Для нахождения собственных значений матрицы парных сравнений воспользуемся характеристическим (вековым) уравнением:

Р(Х)=0, (6)

а11 — X а12 а1п

где р^) = а21 а22 -X а2п - характеристический многочлен матрицы А

ап1 ап2 апп -X

Уравнение (6) представляет собой алгебраическое уравнение п-ой степени относительно X:

р(Х) = ёе^А-ХЕ) = (-X)п + Ъх (-X)п-1 +... + Ъп_х (-X) + Ъп = 0, (7)

где Ъ1 = ¿г(А) = а11 + а22 +... + апп - след матрицы А;

Ът = ^ М(т) - сумма всех главных миноров т-го порядка; Ъп = ёе^А) - определитель матрицы А.

Ниже предлагается модифицированный метод нахождения коэффициентов характеристического многочлена в уравнении (7), учитывающий особенность строения матриц парных сравнений, применяемых в методе анализа иерархий.

Особенность строения матриц парных сравнений заключается в выполнении следующих двух условий:

1) ап = а22 =... = апп=1;

2) а1} = — .

ап

Данные условия позволяют ускорить нахождение коэффициентов уравнения (7).

Из выражения Ъ1=г(А)= а11 + а22 +... + апп и условия а11 = а22 = ... = апп=1 следует, что Ъ1 = п.

Для коэффициента Ь2 докажем следующую теорему.

Теорема. В характеристическом многочлене матрицы парных сравнений коэффициент

¿2 = 0.

Доказательство.

Для доказательств теоремы воспользуемся определением главного минора. Главным минором матрицы А называется минор, если номера строк, в которых он расположен, совпадают с номерами столбцов.

Из определения главного минора следует, что его диагональные элементы совпадают с диагональными элементами матрицы А. Так как диагональные элементы матрицы парных сравнений равны 1, то и диагональные элементы главных миноров также будут равны 1.

Из данного свойства и свойства матрицы парных сравнений а. = -1 следует, что

а.

главные миноры 2-го порядка М2 представляют собой определители вида:

М(2) =

1

а.

а..

(8)

Раскрывая определитель (8), получаем:

1

М(2) =

а,.

— 1

а..

= 1 - а . — = 0

а

(9)

1

Применяя выражение Ьт = ЕМ(т) к характеристическому многочлену матрицы парных сравнений, получаем:

п!

2( и-2)!

¿2 = Е Мг(2) = 0. (10)

1=1

Таким образом, учитывая, что Ь1 = и, а Ь2 = 0, характеристический многочлен р(Х) матрицы парных сравнений запишем в следующем виде:

р(Х) = (-Х)и + п(-Х)и-1 + 0 • (-Х)и-2... + Ьп-Х(-Х) + Ьи =

(-А.)п + п(-Х)п-1 + Ьз(-Х)п-3... + Ьп-Х(-Х) + Ьп. (11)

В табл. 3 представлены характеристические многочлены от 3-го до 6-го порядка включительно, которыми приходится пользоваться наиболее часто в практике принятия военно-экономических решений на основе метода анализа иерархий.

_Таблица 3

Порядок многочлена р(к) Вид многочлена р(Х)

3 _Х3 + 3^2 + Ь3

4 _ 4А,3 _ Ь3Х + Ь4

5 + 5^4 + Ь3 X _ Ь4^ + Ь5

6 А,6 _ 6А5 _ Ь3 А3 + Ь4 А2 _ Ь5 А + Ь6

п (_А)п + п(_Х) п_1 + Ь3(_Г) п_3... + Ь«_1(_^) + Ьп

Исследуем вид аналитического выражения коэффициента Ь3.

Теорема. В характеристическом многочлене матрицы парных сравнений коэффициент Ь3 определяется выражением:

п_2 «ч^ _ агг)

г=1 ] >г г > ]

аг,а1гагг

(12)

Доказательство.

Для матрицы произвольного порядка п коэффициент Ь3 будет равен сумме всех главных миноров 3-го порядка:

3( п_3)!

Ь = Е м(3) =1

(13)

Так как главные миноры матрицы парных сравнений наследуют её специфические свойства (а11 = а22 = ... = апп=1; а.. = -1), то все главные миноры 3-го порядка будут пред-

а.

ставлять собой определители вида:

1 а

1 1

а

1 1

Ь с

(ас_Ь)2 аЬс

(14)

Возьмем в качестве опорного элемента главного минора элемент а. Так как, по определению, главный минор располагается в строках и столбцах, номера которых совпадают, то в качестве элемента Ь могут выступать только элементы этой же строки матрицы, а в качестве элемента с могут выступать только элементы, у которых номер столбца совпадает с номером столбца элемента Ь, а номер строки совпадает с номером строки элемента 1, т. е. с но-

а

мером столбца элемента а. Таким образом, принимая а = а у, можно записать:

Ь = агг, где г >у; с = ауг, где у > гг > у, следовательно, все главные миноры 3-го порядка будут иметь вид:

Ь

с

1 aij air

ij ir

aji 1 a jr

ji jr

ari a . 1

ri rj

(aijajr - air )2

aijajrair

(15)

Так как в главных минорах 3-го порядка у элемента a = aij максимально возможный номер строки imax = n-2, максимально возможный номер столбца jmax = n-1, а j < r < n, то сумма всех главных миноров 3-го порядка может быть записана в виде выражения:

П_2 « (ajajr - air)2

ZZZ^-' ч т- д.

i =1 j >i r > j

ajajra,r

Получить компактное аналитическое выражение коэффициента Ь4 через элементы матрицы парных сравнений не удается, но есть возможность произвести эффективное разложение определителя матрицы парных сравнений (главных миноров) 4-го порядка по определителям 3-го порядка.

Рассмотрим определитель 4-го порядка матрицы парных сравнений:

1 a12 a13 a

a21 1 a23 a

a31 a32 1 a

a41 a42 a43 1

24

(16)

Разложим определитель (16) по элементам первой строки:

1 a12 a13 a14 1

1 a23 a24 a21 a23 a24

a21 a23 a24 1 1

1 - a32 a34 - a12 a31 a34

a31 a32 a34 1 1

1 a42 a43 a41 a43

a41 a42 a43

+

a21 1 a24 a21 1 a23

+ a13 a31 a32 a34 - a14 a31 a32 1

a41 a42 1 a41 a42 a43

(a23 a34 a24)

a 23 a34 a24

1 a12 a23 a12 a24 1 a13 a32 a13 a34 1 a14 a42 a14 a43

a31 1 a34 - a21 1 a24 - a21 1 a23

a41 a43 1 a41 a42 1 a31 a32 1

Легко заметить, что в представленном разложении алгебраические дополнения (миноры 2-ого порядка) первых диагональных единиц равны 0, что существенно упрощает вычисление определителей.

Вместе с тем следует отметить, что для характеристических многочленов 5-ой степени подобное разложение должно быть повторено С54 = 5 раз и, кроме того, должен быть рассчитан определитель 5-ого порядка, в разложении которого главный минор 4-го порядка встретится всего один раз и 4 раза встретятся миноры, для которых подобное разложение не приемлемо. Поэтому приходится констатировать, что для нахождения коэффициентов характеристических многочленов 5-ой степени и выше следует использовать более эффективные

14

34

2

вычислительные процедуры, какими являются, например, процедуры Фаддеева или Левер-рье.

При написании программных процедур нахождения коэффициентов характеристического многочлена за основу был взят метод Леверрье, суть которого состоит в следующем:

1) определяются 51, £2, ..., 8п - следы матрицы А, А2, ..., Ап;

2) коэффициенты Ь\, Ь2, ..., Ьп последовательно определяются по формуле кЬк = Бк _ Ь15^_1 _... _ Ьк151, к = 1,п. При к = п значение коэффициента Ьп при подстановке в уравнение (7) следует изменить на противоположное.

После составления характеристического многочлена р(Х) находятся корни уравнения (7), являющиеся собственными значениями матрицы парных сравнений А.

Согласно теореме Абеля [1], при п > 5 общее алгебраическое уравнение степени п

/ (х) = а0 хп + а1 хп_1 +... + ап_1 х + ап = 0 (17)

не разрешимо в радикалах, поэтому (за исключением уравнений специального вида) уравнение (17) решается численными методами.

Теория решения уравнений f(x) = 0 разработана достаточно подробно и обычно предполагает два основных этапа:

1. Отделение корней, т. е. нахождение достаточно малых окрестностей, в которых содержится одно значение корня.

2. Уточнение корней, т. е. вычисление корней с заданной степенью точности в определенной окрестности.

Для отделения корней уравнения fx)=0 обычно используют следующие очевидные положения:

а) если непрерывная на отрезке [a, b] функция fx) принимает на его концах значения разных знаков (т. е. fa)xf(b)<0), то уравнение имеет на этом отрезке по меньшей мере один корень;

б) если функция fx) к тому же еще и строго монотонна, то корень на отрезке [a, b] единственный.

Для уточнения корней уравнения fx)=0 используют численные методы, наиболее известными из которых являются метод половинного деления (метод бисекций), метод хорд, метод Ньютона, метод простой итерации [5, 8].

Рассматривая характеристическое уравнение p(A)=0, заметим, что нас интересует только наибольший действительный корень Amax, которому соответствует главный собственный вектор матрицы парных сравнений. Так как корень является наибольшим, то его нахождение целесообразно производить, двигаясь влево от правой границы заданной окрестности. В этом случае возникает задача оценки минимальной правой границы окрестности, в которой гарантированно находился бы корень Amax.

Очевидно, что Amax будет располагаться на оси действительных чисел тем правее, чем большей неоднородностью обладает матрица парных сравнений. Тогда задача оценки минимальной правой границы, в которой гарантированно находился бы корень Amax, сводится к задаче нахождения Amax для матрицы с максимальной неоднородностью.

Так как для матрицы парных сравнений с полной однородностью выполняется соотношение (3), то для матрицы парных сравнений с полностью неоднородными суждениями будет выполняться соотношение:

ar1 r

ars = r ,r при r > 1, r < s. (18)

a ,

r-1,s

Принимая во внимание, что min aiJ = 9, a max aiJ = 9, то матрица с полностью неод-

нородными суждениями будет иметь один из следующих возможных видов: • при нечетном п

а)

1 9

I 1

9

9 I 1

9

919

9

б)

1 I 9 9

11

9

191

9

9

191

99

(19)

при четном п

а)

191

9

11

9

9 1 1

9

9

191

99

б)

1 1 9

9

9 1 1

9

191

9

919

9

(20)

Оценим ^ используя приближенную процедуру нахождения максимального собственного значения матрицы парных сравнений через среднее геометрическое. В этом случае будет рассчитываться по формуле:

к тях = Е "

(21)

где si = Е ау , г = 1, п - сумма элементов матрицы по столбцам;

1=1

ж = ■

- г-ый элемент главного собственного вектора;

Е Рг

г=1

рг = ^аг1 ■ аг2...агп - среднее геометрическое элементов г-й строки.

Принимая во внимание, что элементы строк матриц являются обратными числами (за исключением аг]. = 1 при /=/'), то при нечетном п для матриц (19а) и (19б) будут выполняться

следующие соотношения:

Л( п -П 1 1 1

= 9—I-I +1, рг = 1, = —, откуда

г 91 2 ) п

к_ = п х

99 (^)+1

1 1 (п -5 5

х- = 9-I-1 +1 = 4-п - 3-.

п 9 ^ 2 ) 9 9

(22)

1

1

1

г=1

Для матриц (20а) и (20б) подобные соотношения будут являться более сложными, так как п является четным. Приведем такие соотношения для матрицы (20а):

n

s, =--+ 4,5(n - 2) +1, если столбец нечетный;

, 18

s. = 4,5n +--(n - 2) +1, если столбец четный;

' 18

p, = , если строка нечетная; 1

pt = <у 9 , если строка четная; 2^9

w, =-j=, если строка нечетная;

n(n[9 + J 9)

V 9

2JI

V 9

w, =-!—1=, если строка четная;

n(#+J!)

V 9

n

Xmax = -(sнечwHe4 + sчетw4em) . (23)

max 2

Для матрицы (20б) выполняются аналогичные соотношения, отличие состоит только в обратном порядке четности (нечетности) строк и столбцов.

Корень Xmax был рассчитан для матриц порядка n=3...15 по выражениям (22), (23), а также получен на основании решения характеристического уравнения (7) (см. табл. 4).

_Таблица 4_

п Атгх по уравнению Атгх по формулам п Атгх по уравнению Атгх по формулам

3 10,11 10,11 10 41,66 41,04

4 13,75 12,44 11 46,56 46,56

5 19,22 19,22 12 50,83 50,31

6 23,20 22,22 13 55,67 55,67

7 28,33 28,33 14 59,98 59,53

8 9 32,46 37,44 31,70 37,44 15 64,78 64,78

Полученные результаты свидетельствуют, что формула (22) позволяет получить точные значения А^, а формула (23) - несколько заниженные, поэтому для определения правой границы окрестности следует пользоваться формулой (22).

Для определения главного собственного вектора матрицы парных сравнений подставим ^^ в систему уравнений

(1 тях )Щ1 + а12Щ2 + ... + а1п^п = 0

а21 Щ1 + (1 тзхК + ... + а2п™п = 0, ап1 Щ + ап2 Щ2 + ... + (1 тхК = 0.

(24)

Система (24) однородная (Ьг=0), поэтому имеет бесконечное множество решений. Одно решение может быть выбрано произвольно. В этом случае можно определить отношение корней:

щ : Щ : ... : Щ = |Хя| : |Хг-2| : . : |ХШ| , где X - алгебраическое дополнение элементов любой строки.

Тогда щк может быть найдено из выражения (25):

Щ = , (25)

I |Х1к|

к=1

где |Х1к| - алгебраическое дополнение к-го элемента первой строки.

Для выделения алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы парных сравнений было разработано следующее правило перенумерации элементов матрицы, используемое перед применением вычислительных процедур расчета определителей.

Пусть |Хк| - алгебраическое дополнение к-го элемента первой строки матрицы парных сравнений. Тогда

х^ = ау при] < к и I = 2, п; хг-1У-1 = ау при] > к и I = 2, п.

Алгебраическое дополнение |Хк| является определителем квадратной матрицы поряд-

ка ш=п-\, поэтому для его нахождения может быть использована любая процедура расчета определителя. Учитывая особенность строения обратносимметричных матриц, в качестве эффективного алгоритма расчета алгебраического дополнения X предлагается алгоритм, основанный на идее представления матрицы в виде произведения двух треугольных матриц. Суть данного алгоритма состоит в следующем [8].

Пусть имеется алгебраическое дополнение 1X1, соответствующее квадратной матрице X т-го порядка:

(

X =

х11 х12

Х21 Х22

X

1т

Л

V Хт1 Хт 2 ••• Хтт J

Представим матрицу X в виде:

где

X = Y х Z

(

Y =

У11 0

У 21 У 22

0 ^ 0

V Ут1 Ут2 ... Утт J V

Z

Г1

0

12 1

0 г.

2т

1

Из линейной алгебры известно, что определитель произведения матриц равен произведению определителей перемноженных матриц. Поэтому

1X1 = ДО х

Но определитель матрицы Z равен 1, а определитель матрицы Y равен произведению её диагональных элементов. Таким образом, имеет место равенство:

1X1 = У11 Х У22 Х ... Х Утт ■

Перемножая матрицы Y и Z и приравнивая элементы матрицы-произведения соответствующим элементам матрицы X, получаем следующие вычислительные формулы:

1 -1

Ун = ХЦ ; У1} = Хч-Е У к х ^ при 1 ^1;

к=1

Х11

1и =—; ^ =■ У11

х и Укх ^ к=1

У

при 1 <1 .

X

2т

I

1т

С

Начало

Ввод числа сравниваемых объектов

в

Формирование матрицы парных сравнений

ы

1 г

Расчет следов вспомогательных матриц

1 г

Расчет коэффициентов характеристического полинома

г

Отделение наибольшего корня характеристического полинома ^,тзх

1 г

Уточнение наибольшего корня характеристического полинома ^,тзх

1 г

Нахождение алгебраических дополнений и их определителей

1 г

Расчет элементов главного собственного вектора

1 г

с

Конец

Рис. 1. Укрупненный алгоритм нахождения главного собственного вектора матрицы парных сравнений в методе анализа иерархий

Таким образом, получены и теоретически обоснованы вычислительные процедуры нахождения максимального собственного значения и главного собственного вектора матрицы парных сравнений, учитывающие её специфическое строение. Укрупненный алгоритм нахождения главного собственного вектора матрицы парных сравнений представлен на рис. 1.

Разработанные вычислительные процедуры позволяют получить точные значения для максимального собственного значения и главного собственного вектора матрицы парных сравнений. Вместе с тем, следует заметить, что точные вычислительные процедуры реализуются, как правило, только в специализированных программах. Для построения фрагментов СППР на основе офисных приложений их реа лизация может вызвать существенные затруднения. В этом случае решение вопроса видится в двух направлениях.

Первое направление связано с написанием библиотеки пользовательских функций, реализующих точные процедуры. Библиотека таких функций может затем распространяться и подключаться стандартным образом к офисным приложениям. Например, в MS Excel такая библиотека может быть реализована в виде специальной надстройки (файла с расширением xla), которая легко подключается в диалоговом окне "Надстройки". Однако само написание библиотеки пользовательских функций требует привлечения программистов-математиков или, как минимум, очень квалифицированных пользователей.

Второе направление связано с применением приближенных методов, которые, как правило, бывают существенно проще точных методов. В работе [9] предложены четыре приближенные вычислительные процедуры нахождения главного собственного вектора матрицы парных сравнений, который после нормализации становится вектором приоритетов. Предложенные процедуры отличаются как точностью получаемых оценок, так и сложностью вычислительных действий. Если погрешность приближенного метода допустима для решения практических задач, то его реализация является вполне оправданной.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. - М.: Наука, 1976.

2. Андрейчиков А. В., Андрейчикова О. Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. - М.: Финансы и статистика, 2000.

3. Борисов А. Н., Крумберг О. А., Федоров И. П. Принятие решений на основе нечетких моделей. - Рига: Зинатне, 1990.

4. Глотов В. А., Павельев В. В. Векторная стратификация. - М.: Наука, 1984.

5. Заварыкин В. М., Житомирский В. Г., Лапчик М. П. Численные методы. - М.: Просвещение, 1991.

6. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. - М.: Мир, 1976.

7. Макеев С. П., Шахнов И. Ф. Упорядочение объектов в иерархических системах // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. - 1991. - № 3.

8. Ракитин В. И., Первушин В. Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров. - М.: Высш. шк., 1998.

9. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. - М.: Радио и связь, 1989.

10. Фишберн П. С. Теория полезности для принятия решений. - М.: Наука, 1977.