CC BY
14Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып. 15.2012
УДК 517
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ МАТРИЦ С ДИАГОНАЛЬНЫМ ПРЕОБЛАДАНИЕМ
Е. В. Головнева
Работа посвящена изучению свойств определителей одного класса вещественных матриц с диагональным преобладанием, важных для теории однородных Марковских процессов с конечным числом состояний.
Ключевые слова: определитель, Марковский процесс.
Рассмотрим квадратные вещественные матрицы произвольной размерности п х п, такие, что сц < 0 при г ф j, а сц — — сц) — /¿, где
fi < 0. Матрицы такого типа, но с противоположным соглашением о знаках элементов, естественно возникают при изучении спектральных свойств Марковского процесса с конечным числом состояний и непрерывным временем [1-4]. В частности, нахождение обратного оператора в случае сдвига на матрицу, кратную единичной, является по сути вычислением резольвенты генератора.
Задача о знаках матричных элементов обратного оператора при сдвигах в сторону диагонального преобладания может быть решена прямым разложением в матричный ряд. В самом деле, в силу принятого условия на матричные элементы, матрица С^п\ определяемая равенством
CW = diag(cn,c22,...)-(I + CW),
имеет построчную /i-норму, строго меньшую единицы: ||С^|| < 1. Как следствие, обратная к матрица существует (что, впрочем, гарантируется обычной теоремой Гершгорина [5,6]) и может быть найдена суммированием сходящегося по операторной /i-норме ряда
— 1 / оо \
(С^) Ц/ + C[n]) -diag(cu, с^1, ...)=( (-C'W) I -diag(c^, cj2\ ...),
\m=0 /
(с) Головнева Е. В., 2012.
где ^—(7^ = /. В силу того, что по условию все диагональные эле-
менты матрицы положительны, а все элементы матрицы - отрицательны, очевидно, что все матричные элементы (С1^) строго положительны.
Приведеное выше рассуждение с разложением в матричный ряд достаточно гибко и позволяет, например, решать задачу о знаках вещественной части матричных элементов обратного оператора при комплексных сдвигах. Однако, для случая строго вещественного сдвига, прямое элементарное рассуждение представляется достаточно поучительным и составляет предмет данной заметки.
Теорема 1. Для любой вещественной пхп матрицы С^п\ такой,
что Сц < 0 при г ф а сц — — с^) — где все < 0; справедливы
Зфъ
следующие утверждения
1. йеЮМ > О
2. С\^ > 07 где С\^ - алгебраическое дополнение элемента матрицы С^п\
Замечание.
В случае противоположного соглашения о знаках элементов знаки всех детерминантов и алгебраических дополнений очевидно чередовались бы с изменением размерности матрицы.
Доказательство. Доказательство будем проводить методом математической индукции.
1. Легко проверить, что для матриц 2 х 2 и 3 х 3 утверждения верны.
2. Индукционное предположение. Пусть до некоторого т > 3 утверждение теоремы верно.
3. Индукционный переход. Докажем его для матрицы размера £ = т + 1.
Начнем с алгебраических дополнений. Для дополнений диагональных элементов все очевидно просто по индукционному предположению, так как диагональные миноры удовлетворяют тем же условиям, что и матрицы С^~1\ для которых детерминант, по предположению, положителен. Докажем теперь, что алгебраические дополнения с\^ внедиа-гональных элементов матрицы С М положительны. Очевидно, что для любого минора м|^,г ф соответствующая ему матрица приводится
перестановкой строк и столбцов к виду
Гп П2 Г13 П г-1 \
Г21 — ¿2 ~ ^ Г2 к кф2 ^23 г2 г-1
Г31 Г32 -к - X) Г3 к к ф-Ъ гз г-1
V“11 Г1-1 2 Гг-1 г-2 1ь—1 1 к кф1— 1 /
где ^ < 0 и по абсолютной величине не меньше чем величины исходной матрицы При этом с1еШ = (—1)р+дМ^ где ряд- число перестановок строк и столбцов соответственно.
Определим связь р и 5 с индексами i и j минора м]^ . Рассмотрим два случая. Пусть для начала ^ > г, то есть вырезается наддиагональ-ный элемент. В этом случае неположительная строка оказывается на —1)-ом месте, следовательно она окажется на первом месте после j — 2 перестановок. Значит, р — j — 2. Число положительных элементов, оказавшихся после перестановки строк на единицу левее диагонали, равно г — 1. Но таких элементов быть не должно, следовательно необходимо произвести г — 1 перестановку столбцов, то есть д = г — 1. Получается = (—1 )г+^'_3м|^. Комбинируя со знаком при миноре в определении
алгебраического дополнения, получаем с\^ = (—1)г+-?-3(—1)г+^е^Д, или
С\^ = = —с1ет. Во втором случае j < г, и мы находим
р = ^ — 1ид = г — 2, из чего точно также следует, что С\^ = —(¿еШ.
Опеределим знак (1ет. Для этого разложим его по первой строке. Перестановкой j — 2 столбцов миноры внедиагональных элементов гц приводятся к тому же виду, что и сама матрица Д, а минор элемента Г и имеет вид С^ 2\ Имеем
где гц < 0, с1еЮ^~2} > 0, а алгебраические дополнения являются детерминантами матриц того же типа, что и сама Д, но на единицу меньшей размерности и с дополнительным множителем (—1)1+:/ (—1 У~2 = — 1. Однако, поскольку для т < £ по предположению индукции с\™^ >
О, то все такие детерминанты отрицательны, а > 0. Следовательно, с1еШ^ < 0, а потому алгебраические дополнения с\^ > 0.
Осталось доказать, что определитель самой матрицы положителен. Для этого докажем более сильное утверждение, а именно, что
в разложении detCМ по всевозможным произведениям положительных величин (—/¿) все коэффициенты положительны. Это легко установить для матриц 2х2иЗхЗ, и, в рамках рассуждения по индукции, будем предполагать это свойсто верным для всех т < t.
Рассмотрим две функции от элементов множества / = {/¿}
t
detC[t] =
к=1 {z}
пл = ¿(-A)CÜ = ¿ Е )•••(-/«)
/с=1 /с=1 {z}
где последние суммирования производятся по всевозможным наборам номеров элементов множества / без повторений, а равенства служат определением коэффициентов L{¿} и D{zy Заметим, что слагаемое с к — 0 в детерминанте отсутствует, поскольку детерминант генератора Марковского процесса при равных нулю сдвигах обращается в ноль. Докажем справедливость соотношения
D{z} - kL{z} j
где к - мощность выбранного подмножества. Можно просто сравнить производные по параметрам / в нуле от этих двух полиномов. Но проще заметить, что утверждаемое соотношение эквивалентно равенству F = Y^iíi^fdetC[t\ которое в свою очередь следует из элементарного тождества
¿rdetC[t] = -^-detC[t] = -Cf. dfi дсй
Из полученного соотношения между и D{z} следует, что достаточно проверить знаки коэффициентов полинома F(f). А они легко
находятся из определения F(f) и индукционного предположения. В са-
/^i\t— 1]
мом деле, по предположению индукции Скк раскладываются в ряд по положительным величинам — /¿, г = 1, ••*,£ — 1, с положительными коэффициентами. При этом —fi = — /¿ — cfl > —fi для i < к и —]i — — fi+i — k > ~fi+1 для i > к. Это рассуждение завершает доказательство теоремы. □
Непосредственным следствием доказанного утверждения является положительность всех элементов матрицы, обратной к С^\ поскольку они получаются делением алгебраических дополнений на детерминант.
Можно также проверить, что замена неравенства сц < 0 при i ф j на нестрогое приводит к тому, что внедиагональные элементы обратной матрицы могут обращаться в нуль, но остаются неотрицательными. Кроме того, как видно из разложения ((7^) в матричный в ряд, данное следствие распространяется и на бесконечномерные матрицы С^ конечной операторной /i-нормы, хотя в силу очевидных сложностей этого и нельзя установить путем элементарных выкладок с детерминантами и алгебраическими дополнениями (см. также [7]).
Литература
1. Булинский A.B., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М. ФизМатЛит 2003
2. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. Изд. Иностр.Литературы, Москва 1962.
3. Ф. Клемент, X. Хейманс и др. Однопараметрические полугруппы. М. Мир 1992
4. Goldschtein J.A. Semigroups of linear operators and applications. Oxford Mathematical Monographs. New York: Oxford University Press; Oxford: Clarendon Press. X 1985.
5. Ланкастер П. Теория матриц. Москва, Наука 1982 Moskva: "Nauka". 269 р. R. 1.40 (1982).
6. Gerschgorin S.A. bber die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix. Bull. Acad. Sc. Leningrad 1931, 749-754 (1931).
7. E. В. Головнева, Об эргодических свойствах однородной марковской цепи, Владикавк. матем. журн., 14:1 (2012), 37-46.
Summary
Golovneva Е. V. A class of matrices with diagonall domination
The article is devoted to a special class of real valued matrices with diagonal domination. This class is of considerable importance for the theory of homogeneous Markov processes with continuous time and discrete state space.
Keywords: determinant, Markov process.
Институт эволюционной физиологии и биохимии им. И.М. Сеченова РАН Поступила 03.04-2012
