CC BY
52Факторизация матриц матрицами Фробениуса
Воронов А.Л., Орлов И.И. [email protected])
Институт Солнечно-Земной Физики СО РАН, г. Иркутск
1. Введение.
Большинство прямых методов обращения матриц используют разложение матрицы в произведение легко обращаемых сомножителей [1]. Типичным и достаточно распространенным методом обращения матриц является метод Жордана. В данной работе рассмотрен иной способ факторизации матриц, основанный на использовании матриц Фробениуса.
Введем основные обозначения. Пусть ¥ - матрица фробениусова типа, что соответствует представлению ее в виде ¥ = ||е2,е3,...,еп,/|| [2], где ек вектор-столбцы
канонического базиса, то есть вектора с координатами (ек)р = екр = бкр. Здесь 5кр -символ Кронекера. Считаем, что вектор-столбец / имеет координаты /к . В этом случае определитель матрицы ¥ равен (—1 )п+1 /1, следовательно, при условии /1 Ф 0 матрица ¥ будет обратимой. Обратная матрица для матрицы ¥ может быть записана в виде
¥ -1 =
/,е1,е2,... ,еп—1 , где элементы вектор-столбеца / = (/1,/2,... ,/п) определяются
по формулам
/к =—/ш//1, к = 1,(п — 1),/п = 1//1. (1)
Действие матрицы ¥ справа на некоторую матрицу А = ||а1,а2,...,аЛ, где ак вектор-столбцы, сводится к сдвигу вектор-столбцов матрицы А влево на одну позицию и образованию нового (п -го) столбца по правилу
п
А¥ = \a2,a3,...,an,an\, ап =Е ак/к. (2)
к=1
Здесь ак = (а1к ,а2 к ,...,ап к ) - вектор-столбцы, а А = ||а;д||п. Легко проверить, что имеет место равенство
т
йе(¥1¥2...¥т = (—1)т(п+1) П/((к), ¥к = \е2,е3,...,еп,/(к)\. (3)
к=1
и, как следствие из него
йег¥1¥2...¥п =П\/((к>. (4)
к=1
2. Условия представимости матриц в виде произведения Фробениусовых матриц.
2216
Покажем, что для матриц фробениусова типа имеет место следующая теорема. Теорема 1. Пусть матрица А представима в виде произведения п фробениусовых матриц. Тогда все определители главных миноров матрицы А ненулевые. Обратно, если все определители главных миноров матрицы А не нулевые, то матрица А представима в виде произведения п матриц Фробениуса.
Доказательство. Пусть А = ¥1¥2...¥т. Введем следующие обозначения, представив матрицу А в блочной форме,
А =
Здесь
Ап = А
А21 = А
1,2,.
.,т
1,2,...,п — т
, А
АА
^11 12
АА
21 П22 у
1,
(5)
12
2,
..,т
п — т + 1,п — т + 2,..., п
т + 1,т + 2,..., п л 1, 2, ...,п — ту
, А22 = А
т +1, т + 2, ...,п п — т + 1,п — т + 2,..., п
(6)
В формулах (6) индексы в верхнем ряду указывают на номера строк исходной матрицы, использованные при образовании соответствующего блока, а нижние индексы - на номера столбцов. Обозначим также через Бт определитель матрицы А12 размера т х т
йегА2 = Бт = Б
12 т
1,
2,
.,т
(7)
п — т + 1,п — т + 2,..., пу
Так как при умножении матрицы на фробениусову справа столбцы исходной матрицы смещаются влево на одну позицию, то матрица А21 будет единичной матрицей размером (п — т) х (п — т), а прямоугольная матрица А11 будет нулевой. Поэтому, в силу теоремы Лапласа о вычислении определителей через миноры и алгебраические дополнения к ним [3], имеем
йе(А = (—1)
т( п—т )
Б.
(—1)т(п+1) П/1(к), и Бт =П
(к)
(8)
к=1
к=1
При последовательном перемножении матриц фробениусового типа квадратная матрица, стоящая в правом верхнем углу, смещается влево и увеличивается в размерах на единицу. Тем самым показано, что все определители Бк главных миноров матрицы А = ¥1¥2...¥п отличны от нуля.
Известно, что все матрицы с не нулевыми определителями Бк образуют множество регулярных матриц С [4]. Такие матрицы могут быть представлены в виде произведения верхней и нижней треугольных матриц [5]. Кроме того, множество С
2217
всюду плотно в множестве не особых матриц G . Так как матрицы фробениусового типа F характеризуется п параметрами, то множество таких матриц (f1 ^ 0 ) будет системой образующих для множества Greg и, следовательно, по непрерывности для множества
G всех обратимых матриц.
Докажем теперь обратное утверждение, заключающееся в том, что любая регулярная A матрица (размером п х п ) представима в виде произведения п матриц Фробениуса. Для этого будем искать такую обратную матрицу к матрице фробениусового типа Fl-1 (не особую), действие которой на матрицу A справа приводит к смещению всех столбцов вправо на одну позицию, а в качестве первого столбца для новой матрицы A1 дает столбец еп - один из векторов канонического базиса. В этом случае, если
обозначить первый столбец Fl-1 через f(1), то задача сводится к уравнению AF¡1 = А1, где
A = |«1,a2,...,а^\, A1 = \\сп ,а1,а1 у^п^. (9)
В силу специальной структуры преобразующей матрицы уравнение для вектора f(1) примет вид Af(1) = еп . Заметим, что матрица A1 не особая, так как ее определитель, по теореме Лапласа, определяется формулой
detAl = (~1)п+^п_1, (10)
где Dn_1 определитель минора исходной матрицы A . Отсюда получаем, что
detF-1 = (_1)п+^п_1 /Dn = (_1г1Ц1). (11)
Далее, действуя по индукции, рассматриваем уравнение A1F~1 = A2, где матрица A2 выбрана в виде
^ = \еп_1,еп,а1,а2,...,ап_2\ (12)
В этом случае задача также сводится к системе линейных уравнений вида A1f<2> = еп_1. Так как матрица A1 не особая, то эта система линейных уравнений имеет единственное решение.
Определитель A2, в соответствии с теоремой Лапласа, равен
detA2 = (_1)2(п+1^п_2, (13)
откуда получаем, что
detF;1 = (_lr1Dn_2/Dn_1 = (_1)п+1~(2>. (14)
Предположим теперь, используя индукцию, что на т -ом шаге определитель матрицы Am равен
2218
йеглт = (-1)т<п+1> Б п_т, (15)
где величины Бк - определители главных миноров исходной матрицы А . Матрица Ат имеет вид
Ат = \еп+1_т ,еп+2_т''"'еп'а1'а2''"'ап_т||' (16)
Рассмотрим следующий шаг индукции, определяя матрицу Ат+1 в виде произведения А^т^ = Ат+1, где матрица Ат+1 ищется в следующей форме
Ат+1 = \еп_т'еп+1_т,"',еп,а1 ,а2 т-1 ||* (17)
Эта матрица содержит все известные элементы, а искомой величиной является первый столбец обратной фробениусовой матрицы ¥_1. Как и ранее задача сводится к системе линейных уравнений вида Ат/<т+1) = еп-т . Так как йе1 Ат = Бт Ф 0, то система имеет единственное решение.
Для определителя матрицы Ат+1, как и ранее, используя теорему Лапласа, имеем
йе1Ат+1 = (_1>(т+1)(п+1)Вп_т_1. (18)
Соответственно, для обратной фробениусовой матрицы получаем
¿е1¥-т[1 = (_1)п+1Вп-т_1 /Бп_т = (-гг1!^. (19)
Тем самым доказано, что после ( п — 1 )-го шага мы получим матрицу
Ап = \\е2,е3,...,еп,аЛ> (20)
имеющую фробениусову форму. Тем самым установлено, что любая регулярная матрица представима единственным образом в виде произведения п фробениусовых матриц, что и завершает доказательство теоремы 1.
Следствие. Так как любая обратимая матрица А, не обязательно регулярна, то с помощью матрицы перестановки столбцов Т она может быть преобразована к регулярной матрице по формуле АТ = А, то Аг^ = АТ . Следовательно, любая не особая матрица
может быть представлена в виде произведения п фробениусовых матриц и матрицы перестановки столбцов или строк.
3. Алгоритм решения систем линейных уравнений. Рассмотрим алгоритм решения системы линейных уравнений Ах = g, основанный
на использовании представления обратимой матрицы А = ||а1,а2,...,а^| в виде произведения п фробениусовых матриц и матриц перестановки столбцов. На первом шаге, с помощью матрицы перестановки двух столбцов Т1 , преобразуем матрицу А так, чтобы первый элемент первого столбца новой матрицы был отличен от нуля. Тогда
2219
система уравнений примет вид (AT1 )Т1х = A1T1x = A1x1 = g . Здесь матрица Т1 является либо единичной, либо задает нетривиальную перестановку двух столбцов. Далее, вводя матрицу ¥1 = е2,е3,...,еп,/(1> , в которой вектор f(1) = , вычисляем матрицу
A1 = F~1A1, имеющую вид A1 = еп,а(21> ,а(31> ,...,а(п1> . Исходная же система уравнений
заменяется следующей F~1 A1x1 = A1x1 = F~1 g = g1. Заметим, что матрица A1 обратима.
На втором шаге, действуя аналогично первому шагу, в случае необходимости, осуществляем перестановку пары столбцов A1 таким образом, чтобы первый элемент второго столбца стал отличным от нуля. Это возможно в силу обратимости матрицы A1. Тогда система уравнений примет вид (A1T2)T2x1 = A2T2x = A2x2 = g1. Преобразуя
матрицу A2 по формуле A2 = F21A2, где ¥2 = е2,е3,..., еп,/(2> , а f<2> = а
•(2)
2
е е а(2) а(2)
получаем, что A2
В результате, после конечного числа шагов, решение исходной системы линейных уравнений описывается формулой Т^Т^.^Т^ = Fn_1 Fn_-,1...F-1 g. Очевидно, что наряду с получением решения системы линейных уравнений, одновременно получается набор матриц Fl-1, имеющих фробениусов вид, произведение которых определяет обратную
матрицу по формуле A~1 = T1T2...Tn_1Fl_'1 F|_-.1...F1~1. Кроме этого, приведенная выше
процедура дает также величины определителей главных миноров исходной матрицы, так как последние выражаются через произведения первых элементов определяющих вектор-столбцов матриц Фробениуса. Оценка числа операций, необходимых для построения решения системы линейных уравнений по предложенному алгоритму однотипных операций, дает величину порядка п3 _ п2 / 2. Алгоритм Гаусса для решения системы линейных уравнений имеет тот же порядок по числу операций [5].
4. Представление обратимой матрицы в виде произведения матриц Фробениуса. В этом разделе рассмотрен общий случай представимости произвольной не особой матрицы в виде произведения фробениусовых матриц. Имеет место теорема.
Теорема 2. Произвольная обратимая матрица представима в виде не более чем (2п _ 1) фробениусовых матриц. Существуют обратимые матрицы, не представимые в виде произведения (2п _ 2) фробениусовых матриц.
Доказательство. Рассмотрим сначала второе утверждение, предположив справедливым первое утверждение теоремы. Пусть первый столбец матрицы A имеет нули в первых (п _ 1) строках. Очевидно, что существуют не особые матрицы с этим свойством. Такой
2220
матрицей будет, например, антидиагональная матрица, состоящая из единиц вдоль второй диагонали. Предположим, что такая антидиагональная матрица представляется в виде произведения (2п — 2) фробениусовых матриц, то есть А = ¥1¥2...¥2п_2. Тогда первый
столбец матрицы А совпадает с (п _ 1) -м столбцом произведения ¥1¥2...¥п. Это имеет
место в силу того свойства фробениусовых матриц, что, при умножении на такие матрицы справа, столбцы исходной матрицы сдвигаются на одну позицию влево.
Поскольку, согласно теореме 1, все определители главных миноров матрицы ¥1¥2...¥п не нулевые, то и определитель главного минора, размером (п _ 1) х (п _ 1) не равен нулю. В то же время, согласно предположению, первые (п _ 1) компонент 1 -го столбца матрицы ¥1¥2...¥п нулевые , откуда определитель главного минора размером (п _ 1) х (п _ 1) равен нулю и мы пришли к противоречию. Тем самым антидиагональная матрица представляется точно в виде (2п _ 1) фробениусовых матриц.
Покажем теперь, что произвольная неособая матрица представима в виде произведения (2п _ 1) фробениусовых матриц. Для этого докажем, что существует такое
произведение не особых фробениусовых матриц ¥1¥2...¥п_1, что матрица А¥_¥_¥~!_1
будет регулярной. Тогда нужное утверждение будет следовать из теоремы 1.
При умножении произвольной матрицы на матрицу вида ¥1_1 справа элементы первого столбца получаются умножением строк исходной матрицы на первый столбец матрицы ¥1_1 , а остальные столбцы исходной матрицы сдвигаются вправо на одну позицию. Покажем, что можно так выбрать матрицу ¥_, чтобы для элементов первого столбца матрицы А1 = А¥_ были выполнены равенства и(11^ = хк1, где х1 - некоторое не нулевое число. Пусть а(11) - первый столбец матрицы А1 и - первый столбец матрицы ¥_1. Тогда /¡1 = А~1а(11) и для обратимости матрицы ¥1 нам нужно добиться, чтобы п -ая компонента вектора /_1 была ненулевой. Эта компонента фактически является скалярным произведением п -й строки матрицы А_ на вектор и(11). Поскольку матрица А обратима, то п -я строка матрицы А _1 не нулевая и потому это скалярное произведение представляет собой тождественно не равный нулю полином от х1. Если выбрать число х1 так, чтобы оно не было корнем этого полинома, то нужное условие будет выполнено.
Рассматривая теперь матрицу А1 = А¥~1 в качестве исходной, можно будет перейти к матрице А2 = А¥1_1¥21 по только что описанному алгоритму, выбирая х2 Ф х1.
2221
В результате этой операции у матрицы A2 первые два столбца будут иметь вид а{1 к> = x2 , а(22к) = x'k . Продолжая такие построения, после (п _ 1) -го шага, получаем матрицу An_1 = AF~1F21...Fn11, обладающую тем свойством, что ее первые из (п _ 1) столбцов совпадают с первыми (п _ 1) столбцами матрицы Вандермонда относительно чисел xn_1,xn_2,...,x1. При этом считаем, что все числа xn_1,xn_2,...,x1 отличны друг от друга.
Поскольку все определители главных миноров такой матрицы совпадают с определителями некоторых матриц Вандермонда, то определители всех этих миноров не нулевые, вследствие невырожденности матриц Вандермонда. Поэтому матрица An_1 будет
регулярной и тем самым, в соответствии с теоремой 1 представимой в виде произведения п матриц фробениусова типа. Таким образом, теорема 2 доказана. Литература
1. Математическая энциклопедия. Т. 3. М.: Советская энциклопедия, 1982. 1184 с..
2. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. М.:Наука, 1969. 476 с..
3. Фаддеев Д.К. Лекции по линейной алгебре. М.:Наука, 1984. 416 с..
4. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления. М.:Наука, 1970. 664 с..
5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.:Наука, 1988, 548 с..
