Разложение функций в двумерном варианте метода «Гусеница»-SSA и связанные с ним системы уравнений в частных производных Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2009. Вып. 3

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 004.932.2+517.95 К. Д. Усевич

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ДВУМЕРНОМ ВАРИАНТЕ МЕТОДА «ГУСЕНИЦА^-SSA И СВЯЗАННЫЕ С НИМ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ *>

1. Введение. Двумерный вариант метода «Гусеница»-88А (2D Singular Spectrum Analysis, 2D-SSA, [1, 2]) предназначен для разложения функций двух переменных (например, цифровых изображений) в сумму компонент различной структуры: медленно меняющихся, регулярных (осциллирующих) компонент и шума. Метод 2D-SSA существует для случаев непрерывных и дискретных переменных. В дискретном случае он основан на сингулярном разложении двухуровневой ганкелевой (Hankel-block-Hankel) матрицы и довольно подробно описан в [2]; в непрерывном случае - на разложении Шмидта некоторой функции, построенной по исходной функции.

В теории методов типа «Гусеница» важным классом функций являются функции конечного ранга, имеющие конечное количество слагаемых (ранг) в соответствующем разложении. Возможно ли найти общий вид таких функций? В настоящей статье дается утвердительный ответ на этот вопрос для метода 2D-SSA в непрерывном случае. Оказывается, что достаточно гладкая функция конечного ранга - по сути, решение специальной системы уравнений высшего порядка в частных производных, а общий вид решения такой системы известен: это суммы произведений полиномов, экспонент и косинусов. Стоит отметить, что условия на гладкость, налагаемые на функцию в данной статье, довольно слабые.

Общий вид функций конечного ранга позволяет ответить на многие вопросы в теории 2D-SSA, в частности, в п. 5 показана инвариантность ранга относительно параметров метода (размеров окна). Но, пожалуй, основным результатом стоит считать развитый в статье математический аппарат. От линейных систем уравнений в частных производных можно перейти к их конечно-разностным аналогам (линейным рекуррентным формулам), с помощью которых можно решать различные задачи обработки двумерных данных, как-то заполнение пропущенных наблюдений или оценка параметров.

В п. 2 приведены вид разложения в методе 2D-SSA и основные утверждения из [1] о функциях конечного ранга. Подход к решению задачи о нахождении общего вида функций продемонстрирован выкладками для одномерного случая [3] (непрерывного варианта метода «Гусеница» для временных рядов). В п. 3 составлен обзор теории систем линейных уравнений в частных производных [4], а именно систем Пфаффа и связанных с ними систем высших порядков. Определения и утверждения изложены

Усевич Константин Дмитриевич — аспирант кафедры статистического моделирования математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: проф. С. М. Ермаков. Количество опубликованных работ: 5. Научные направления: математическое моделирование, прикладная статистика, анализ временных рядов, цифровая обработка изображений. E-mail: usevich.k.d@gmail.com.

+ ) Работа выполнена при финансовой поддержке программы Правительства Санкт-Петербурга для аспирантов в 2008 г. (грант № 2.1/30-04/27).

© К. Д. Усевич, 2009

для случая двух переменных. В п. 4 содержатся основная теорема, позволяющая найти общий вид функций конечного ранга, и следствия из нее. В п. 5 сформулированы дополнительные следствия о виде и порядке системы дифференциальных уравнений для функций конечного ранга.

2. Разложение функций. Ранг функций. Пусть V = [0; Ьх] х [0; Ьу] и задана функция / : V ^ М. Определим разложение функции / для непрерывного варианта метода 2D-SSA [1].

Зафиксируем параметры метода (размеры окна) (тх,ту) : 0 < тх < Ьх, 0 < ту < 1у.

Обозначим V1 = [0; тх] х [0; ту], = [0; Ьх — тх] х [0; Ьу — ту]. Пусть функция д : V1 х'02 ^

М, определенная как д ((и,у), (в,£)) == /(и + в,у + ¿), принадлежит классу Ь2(VI х V2). Тогда существует разложение Шмидта (см. [5])

/(и + 5, V +г) = д((и,у), (в, I)) = ^ у^Хк(рк(и,у) Фк{8,1), (1)

к=1

где к }+=1 и {фк}+=<1 - ортонормированные системы в Ь2 (VI) и L2(V2) соответственно, а также А1 ^ А2 ^ ... ^ Ак ^ ••• ^ 0. Разложение (1) является разложением функции / в непрерывном варианте метода 2D-SSA.

Определение 1. Количество ненулевых слагаемых в разложении (1) будем называть (тх ,ту) -рангом

гапк(Тх Тн)(/) = тах{к > 1 : Ак > 0}.

В этом случае также будем говорить, что функция / имеет конечный (тх ,ту)-ранг (или / - конечного ранга). Положим гапк(ТхТу)(/) = (/ - бесконечного ранга),

если все Ак > 0.

Если некоторая функция допускает конечное разложение, разделяющее переменные в сумме, то она является функцией конечного ранга, что показывает следующая лемма.

Лемма 1 ([1, лемма 6]). 1) Если существуют рг € Ь2(VI) и € Ь2^2) такие, что

Г

/ (и + в,У + ¿)=^2 Рг(и,у) Яг(8,г), (2)

г=1

где (и,у) € V1, (в,£) € V‘2, и равенство (2) выполняется почти везде, то (тх,ту)-ранг / не превосходит г. Более того, каждая функция фк из (1) является линейной комбинацией функций рг, а каждая функция к - линейной комбинацией цг.

2) Если обе системы {рг}Т=1 и {чг}Г=1 к тому же линейно независимы в ь2^) и ь2^2), то функция / имеет в точности (тх,ту)-ранг г.

Замечание 1. Если (тх,ту)-ранг равен !, то не существует представления (2) с г < !.

Нас интересует общий вид непрерывных функций, имеющих разложение вида (2). В случае одной переменной задача имеет сравнительно простое решение [3]. Пусть

Г

/(и + в) = ^рк(и) qk(s), к = 1

где рк и qk достаточно гладкие. Это равенство можно продифференцировать по и:

(«г) =

' и‘ к=1

и получить, что т +1 производных / выражаются как линейные комбинации т функций:

Г

/ (г)(в) = X) ркг) (0) qk(s), к=1

следовательно, производные линейно зависимы и / является решением некоторого линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) высшего порядка

Ьо/ + Ь1/(1) + ... + Ьг /(Г) =0

с постоянными коэффициентами. Стандартным способом такое уравнение сводится к нормальной системе дифференциальных уравнений

¥'(х) = А¥ (х), (3)

в которой ¥ = (/, /(1),..., /(г-1)) и А - матрица г х г, составленная из коэффициентов Ьг. Нормальная система (3) может быть проинтегрирована, например, с помощью матричной экспоненты (см. [6]):

¥ (х) = С ехр(Аж),

а значит, / имеет представление в виде линейной комбинации произведений полиномов, экспонент и косинусов.

В настоящей статье докажем аналогичный результат для случая двух переменных. Мы покажем, что непрерывная функция, допускающая представление (2), является решением некоторой линейной системы уравнений высшего порядка в частных производных, для которой известен общий вид решения: линейная комбинация произведений полиномов, экспонент и косинусов.

3. Линейные системы уравнений в частных производных. Теория многомерных (в частных производных) аналогов линейных ОДУ изложена, например, в [4]. Приведем здесь основные определения и утверждения из [4] для случая двух переменных.

Пусть А и В - вещественные (или комплексные) матрицы т х т, а П - односвязная область в М2. Система

дФ л*

7Г = Аф’

дх (4)

дФ (4)

— = ВФ ду

где Ф = (у>1,..., )т - гладкая вектор-функция П ^ Мт (или П ^ Ст), называется

однородной линейной системой Пфаффа с постоянными коэффициентами. Такая система является аналогом нормальной системы (3) ОДУ. В [4] показано, что система (4) имеет решение для любых начальных условий

Ф(хо,уо) = Фо, (хо, уо) € П (5)

тогда и только тогда, когда матрицы А и В коммутируют, т. е. АВ = ВА. Более того, в этом случае у решения есть удобное представление.

Предложение 1 ([4, предложение 4.1]). Пусть матрицы А и В коммутируют. Тогда решение задачи (4) с начальными условиями (5) можно выразить как

Ф(х, у) = (ехр (А(х - хо)) ехр (В(у - уо)))фо. (6)

Предложение 1 имеет место как для вещественного, так и для комплексного случая.

Теперь перейдем к системам высшего порядка в частных производных. Введем крат-

2.

0-

кое обозначение для производной по мультииндексу (а, в) & №2:

(а,/з) ^ да+/3д дхаду13

и некоторые определения для множеств мультииндексов.

Определение 2. Конечное множество мультииндексов А С М2, А = 0, будем

называть связным вниз, если для любого (а, в) е А \ {(0, 0)} существует (р,т) € А

такое, что либо (а, в) = (р + 1, т), либо (а, в) = (р,т +1).

Очевидно, что если А - связное вниз, то (0, 0) е А.

Определение 3. Границей множества А называется

5(А) — ^(Л + (1,0)) и (Л + (0,1))^ \Л,

где А + (а, в) = {(р, т) € N0 : (р — а,т — в) € А}.

Пусть А - связное вниз множество. Система уравнений

д

(а,в) — Е а(а,в),(Р,г)д(р,Т), (а, в) & ¿(А), (7)

(р, т )еА

где д : О ^ М достаточно гладкая, а а,(аф),{р,т) - вещественные, называется системой уравнений высшего порядка. Наряду с вещественной системой (7) будем рассматривать комплексную систему, в которой д : О ^ С и коэффициенты а(а,в),(р,Т) & С.

Систему (7) можно свести к системе Пфаффа. Перенумеруем элементы множества мультииндексов, для определенности, в лексикографическом порядке:

А — {(а1,ві),...,(ат,вш)}, (8)

т. е. для любого і & {1,. ..,т- 1} либо а.і < аі+і, либо а.і — аі+і и ві < ві+і. Очевидно, что для связного вниз множества (аі,ві) — (0, 0). Рассмотрим вектор-функцию

ф— (д(а1’в1),...,д(ат ,^т))Т. (9)

Тогда систему высшего порядка можно свести к системе Пфаффа

где

дф л Л,

7Г- = АіФ’ дх

дф л Л,

ду

1, если (аі + 1, ві) — а,ві),

(Аі)і,і — \а(аі+і,ві),(аі во), если (аі + 1,ві) & ¿(А),

0, иначе,

(1, если (аг,вг + 1) = (а.,-,в,),

а(а€,Рг+1),(ч,вэ), если (а*, в + 1)6 5(А),

0, иначе.

Если А1А2 = А2А1, то из равенства (6) легко найти общий вид решения системы (7): оно будет линейной комбинацией произведений полиномов, экспонент и косинусов.

Явный вид решения системы высшего порядка можно найти и в общем случае, когда матрицы А1 и А2 не обязательно коммутируют. С системой (7) связана система характеристических уравнений

хаув - Е а(°-,в),(р,т)ХРУТ = 0, (а, в) 6 ¿(А). (11)

(р , т )еЛ

Теорема 1 ([4, теорема 6.4], частный случай). Следующие утверждения эквивалентны:

1) (Х, л) 6 С2 является корнем системы (11);

2) существует вектор И 6 Мт \ {0} такой, что А1И = ХИ и А2И = цЬ, т. е. X и л - собственные числа матриц А1 и А2, соответствующие общему собственному вектору;

3) функция /(х, у) = ехр(Хх + лу) является решением комплексной системы (7). Замечание 2. Если система (7) имеет вещественные коэффициенты, то либо корень

(Л, у«) системы (11) вещественный и ехр(Лж + лу) - решение вещественной системы (7), либо ему соответствует сопряженный корень (Л, /I) системы (11) и функции ехр(Аж + Л'у) ±ехр(Аж + лу) есть решения вещественной системы (7).

Если корень (X, л) комплексной системы (11) является кратным, то ему соответствует некоторое пространство решений системы (7) вида р(х, у)ехр(Хх + лу), где р(х,у) - полином. В статье [4] случай кратных корней и структура решения в этом случае достаточно подробно изучены, более того, доказана теорема об общем решении системы.

Теорема 2 ([4, теорема 7.1]). Общее решение комплексной системы (7) имеет вид

д(х, у) = Е СгРг(х, у) ехр(Х*х + лгу), (12)

1=1

где Хг,лг 6 С, а рг(х,у) - комплексные полиномы.

Предложение 2. Любое вещественное решение системы (7) с вещественными коэффициентами можно выразить как

К

д(х, у) = ^2Рг(х,у)ехр(Хгх + лгу) сов(согх + аг)со$,(вгу + вг), (13)

г=1

здесь Хг, лг, шг, Ог, аг, вг 6 К, а Рг - вещественные полиномы.

Доказательство. По теореме 2 функция д предстает в виде (12), кроме того, она вещественная, следовательно,

д(х, у) = ^2 (&е Сг ■ Ие (рг(х, у) ехр(Хгх + лгу)) +

г=1

+ Іт Сі ■ Іт (рі(х, у) ехр(ЛіХ + ціу))

т. е. функция д имеет представление (13). □

Заметим, что в условиях теоремы 2 нет никаких условий на коэффициенты системы. Однако, когда матрицы Аі и А2 коммутируют, размерность пространства решений системы (7) равна #А.

Следствие 1 ([4, следствие 7.2]). Размерность линейного пространства решений комплексной системы (7) равна количеству корней (с учетом кратности) характеристической системы (11).

Как и в случае ОДУ (см. [6]), если коэффициенты системы (7) вещественные, то размерность линейного пространства комплексных решений системы равна размерности пространства вещественных решений.

Теорема 3 ([4, ТИ. 6.3]). Количество корней (11) не превосходит #А. Более того, оно равно #А тогда и только тогда, когда матрицы А1 и А2 коммутируют.

4. Общий вид функций конечного ранга. Здесь мы представим способ построения системы высокого порядка для функции ], имеющей разложение (2), что позволит найти общий вид функций конечного ранга.

Определение 4. Систему {фк}к=1 функций С ^ М будем назвать линейно независимой на С С М2, если не существует таких коэффициентов ак Є М, к є{1,..., ¿},

что ^ акфк = 0 на С.

к=1

Заметим, что если С - ограниченная область в М2 и система {фк}к=і состоит из непрерывных функций на С (замыкании С), то их линейная независимость на С эквивалентна линейной независимости в Ь2(О). Если же система состоит из одной функции фі, то линейная независимость означает фі ф 0.

Введем обозначение для систем частных производных функции. Для Н : С ^ М обозначим

тА = {н(р,т %,Т )еЛ,

где Ас М2.

Пусть П - односвязная область в М2, А - связное вниз множество и задана функция д : П ^ М, у которой существуют непрерывные на П производные д(а,в) для (а, в) Є

А и ¿(А).

Лемма 2. Если система {д* }а линейно независима, и она перестает быть линейно неза,висимой, если добавить любую из производных д(а,в), (а, в) Є ¿(А), то д на П может быть представлена в виде (12) или (13).

Доказательство. Так как для любого (а, в) Є ¿(А) система {д*}ли{(а,@)} линейно зависима, а система {д*}л линейно независима, то д удовлетворяет некоторой системе (7) с вещественными коэффициентами. По предложению 2 функция д имеет вид (13) (или (12)) на П. □

Далее будем обозначать Н Є Ск(С), существование у функции Н : С ^ М всех производных Н(а,в) порядка вплоть до к (т. е. таких (а, в) Є М2, что а + в ^ к) на С0 (внутренность С), вместе с непрерывностью функции и ее производных на С.

Пусть, как и в п. 2, V = [0; іх] х [0; іу] и задана функция / : V ^ М. Кроме того, заданы размеры окна (тх ,ту) : 0 < тх < іх, 0 < ту < іу. Как и раньше, Г01 = [0; тх] х [0; ту], 'П2 = [0;іх - тх] х [0;іу - ту].

Теорема 4. Пусть ненулевая функция / Є Ст+1(О) имеет разложение (2) с г = т, причемрк и дк из (2) принадлежат Ст+1(О1) и С(О2) соответственно, для любого к Є {1,..., т}. Тогда / является суммой произведений экспонент, полиномов, косинусов.

Доказательство. Для непрерывных функций равенство почти везде (2) является равенством всюду на Оі хО2. Значит, для всех (а, в) Є М2 : а + в ^ т

да+в т

¿и^^и + ^'и + ^= (м> '») 9к(я, і),

к = 1

где (и, V) єОі и (й,і) Є О. Полагая и = ио, V = и обозначая = рк*,в(ио,^о),

приходим к равенствам

т

/(а’в\х, у) = ^2Р{к0в)Чк(х,у), (14)

к=1

которые выполняются при (х, у) Є По = П(ио, vо) = (ио; ио+іх-тх) х ^о; vо+ty-ту). Покажем, что существует такое множество А, для которого выполняются условия леммы 2 с П = По. Будем строить последовательность связных вниз множеств А таким образом, что #А = і и система {/*}а. - линейно независима. Положим Аі = {(0, 0)}. Пусть уже построено множество А*. Если для любого (а,в) Є ¿(Аі) система {/*}^и{(а,в)} линейно зависима, то мы нашли необходимое множество А = А*. Если это не так, обозначим (а*,вг) тот элемент ¿(А*), для которого система {/*}Аіи{(аі,ві)} линейно независима, положим А+1 = А и {(а*, ві)} и продолжим построение последовательности множеств. Заметим, что этот процесс закончится либо при і < т, либо при і = т, так как для любого (а, в) Є 6(Ат) система {/*}лти{(а , в)} будет состоять из (т + 1) функций, которые по равенствам (14) выражаются через т функций, следовательно, любая система {/*}лти{(а , в)} линейно зависима. Таким образом, по лемме 2 функция / на По (и по непрерывности на замыкании По) имеет представление (12).

Выберем точки {(иі, VI),..., (иг, vr)}, чтобы замыкания областей Пк = П(ик, Vk) покрывали прямоугольник О и пересекались на множествах ненулевой меры. Например, для тх < гх/2, ту < гу/2 достаточно взять точки {(0, 0), (тх, 0), (0, ту), (тх, ту)}. Как уже ранее доказано, функция / на каждой области Пк имеет представление вида (12), т. е.

^к

/(х, у) = ^2 Ск,іРк,і(х, у) ехр(Лмх + Цк,іУ) (15)

і=1

на Пк, причем можно считать, что пары (Лкі, Цк,г) Є С2 различны для і Є {1,...,Нк}. Так как области Пк пересекаются, количества слагаемых, параметры функций и константы для представлений (15) совпадают. Таким образом, / на О имеет представление вида (12), а значит и вида (13), что и требовалось доказать. □

Следствие 2 (об общем виде функций конечного ранга). Если / Є Ст+1(О) и для некоторых размеров окна / имеет (тх, ту )-ранг т, то она имеет представление (13) на О.

Доказательство. Достаточно доказать, что в равенстве (1) к Є Ст+1(О1) и фк Є С (О 2) для любого к Є {1,..., т}. Функции к являются собственными функциями интегрального оператора 8 : Ь2 (Оі) ^ Ь2(Оі)

(БН)(и,у) = J Б (п,у,х,у)Н(х,у)йхйу,

V1

где

Б(п,у,х,у) = J /(п + в,у + ¿)/(х + в, у + 1)3,ад;Ь.

Легко убедиться, что ядро Б(п/и,х,у) € Ст+1(Р1 х Р). Известно (см. [5, гл. VI]), что собственные функции ^к интегрального оператора с непрерывным ядром непрерывны на Р\. Покажем, что они являются достаточно гладкими. Так как собственные числа Лк не равны нулю для 1 ^ к ^ т, выполняется

1 1 Г

<рк(и,ъ) = — 8^к = — Б{и^,х,у)1рк{х,у)с1хс1у. (16)

Лк Лк .]

VI

Правую часть (16) можно продифференцировать под знаком интеграла до т+1 раз по п или по V, следовательно, к € Ст+1(Р1). Аналогично, фк € Ст+1(Р2), и мы получаем условия теоремы 4. □

Важным следствием для теории метода 2D-SSA является независимость ранга от размеров окна.

Следствие 3. Если / € Ст+1(Р) и для некоторых размеров окна (тх0, ту0) / имеет конечный ранг, т. е. гапк(Тх0,Ту0)(/) = т, то для любых (тх,ту), таких что 0 < тх < Ьх, 0 < ту < 1у, (тх,ту)-ранг функции / равен т.

Доказательство. По следствию 2 / имеет вид (13). Очевидно, что существует представление

Г

/ (п + s,v + ^

= Е Рк (п,^Цк (S,t), (17)

к=1

где т < г, (п,v) € Р1,о = [0; тх,о] х [0; ту,о], (s,t) € Р2,о = [0; 1х}о - тх,о] х [0; 1у,0 - ту,о], а Рк ,Як - суммы произведений полиномов экспонент и косинусов, т. е. слева и справа в равенстве (17) стоят функции вида (13). Следовательно, можно продолжить функции /, рк и Цк на всю плоскость М2 и считать, что равенство (17) имеет место для любых (п, V, в, £) € М4.

По лемме 1 функции ^к и фк в разложении

т

5,г> + £) = ^2 фк{в,1) (18)

к=1

являются линейными комбинациями функций рк и Цк, а значит, <рк и фк - суммы произведений экспонент, полиномов и косинусов и их тоже можно формально продолжить на всю плоскость М2, с сохранением равенства (18) для всех (п^,в,1) € М4. Таким образом, для любых размеров окна (тх,ту) имеет место разложение (18), причем к и фк - линейно независимы на Р и р (так как к и фк линейно независимы на Р1,о и Р2,о). По лемме 1 (тх,ту)-ранг равен т. □

Далее для достаточно гладких функций (тх,ту)-ранг будем называть рангом функции.

5. Свойства системы высшего порядка. Покажем связь между рангом функции и свойствами системы уравнений в частных производных, которой она удовлетворяет. Ранг функции оказывается равным минимальному порядку систем уравнений, для которых данная функция является решением.

Лемма 3. Если для П = Т>° (внутренности D) выполнены условия леммы 2, то g допускает разложение вида (2) с r = #А (иными словами, ранг функции g не превосходит #А).

Доказательство. Разобъем доказательство на два шага.

Шаг 1. По лемме 2 g имеет вид (13), она бесконечно дифференцируема на П, и любая ее частная производная является решением системы (7), так как можно продифференцировать левые и правые части уравнений любое количество раз. Таким образом, система {д*}л будет системой линейно независимых решений (7), а значит, размерность пространства всех решений системы (7) не менее #А. Следовательно, размерность равна #А по теореме 3 (с учетом следствия 1).

Ша,г 2. Перенумеруем элементы множества А в лексикографическом порядке (8). Вектор-функция Ф из (9) является решением уравнения (10) с некоторыми начальными условиями (5). Из шага 1 доказательства по теореме 3 следует, что матрицы Ai и A2 в системе (10) коммутируют. Тогда для функции д = (1,0,... ,0)Ф по предложению 1 можно получить разложение

g(u + s,v + t) = (1,..., 0)Ф(и + s,v + t) =

= (1,..., 0) ^exp ((u + s - x0)Ai) exp ((v +1 - yo)A^ Ф0 =

= (1,..., 0) exp ((u - xo)Ai) exp ((v - yo)A^ exp (sAi) exp (tA^Ф0 =

m

= E Pk(u,v)qk(s,t), k = 1

где

(pi(u,v),...,pm(u,v)) = (1,..., 0) exp ((u - xo )Ai) exp ((v - yo)A^,

(qi(s,t),...,qm(s,t))T = exp (sAi) exp (tA^Ф0,

т. е. для g существует представление (2) с r = #А. По замечанию 1 ранг функции g не превосходит г. □

Предложение 3. Если выполняются условия теоремы 4 и количество слагаемых в разложении (2) минимально (т. е. ранг функции f равен т), то

1) существует связное вниз множество Ат мощности т, такое что f удовлетворяет некоторой системе (7) с А = Ат;

2) для любого связного вниз множества А, для которого f удовлетворяет некоторой системе (7), мощность А не может быть меньше т.

Доказательство. 1) Положим (so, to) = (0,0), и проведем для этой точки этап построения множества индексов, как в теореме 4. Пусть он завершился на множестве Аj, где j ^ т. Положим А = Аj, П = D°. По теореме 4 набор функций {f *}Aj является линейно независимой на П системой решений некоторого уравнения

f(ав) = £ 0(a,eUP,T)f (Р’Т), (а, в) € 6(А). (19)

(Р,Т )еЛ

Так как по теореме 4 функция f представляется в виде (13), получаем, что на всем D система {f *}д линейно независима и сохраняются линейные соотношения (19), следовательно, по лемме 3 f имеет представление вида (2) с r = #А = j. По условию

предложения, так как ранг f равен т, r должно быть не меньше т, таким образом, j равно т, и мы построили искомое Ат = Aj.

2) Предположим противное, т. е. что существует А : #А = к < т и f удовлетворяет системе (7). Тогда все частные производные f выражаются через к производных {f *}д. Из п. 1) известно, что существует такое связное вниз Ат, что f является решением системы вида (7). Кроме того, по построению в доказательстве предложения 3, система т функций {f *}лт линейно независима. Однако все функции этой системы выражаются через к < т частных производных {f *}д. Противоречие. □

Литература

1. Голяндина Н. Э., Усевич К. Д. Метод 2D-SSA для анализа двумерных полей // Труды VII Междунар. конференции «Идентификация систем и задачи управления» (SICPRO’08), Москва, 28-31 января 2008 г. М.: Ин-т проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2008. С. 1657-1728.

2. Golyandina N., Usevich K. 2D-extension of Singular Spectrum Analysis: algorithm and elements of theory // Matrix Methods: Theory, Algorithms, Applications / eds: V. Olshevsky, E. Tyrtyshnikov. Singapore et al.: World Scientific Publishing. P. 450-474 (in press 2010).

3. Некруткин В. В. Разложения временных рядов // Главные компоненты временных рядов: метод «Гусеница» / под ред. Д. Л. Данилова, А. А. Жиглявского. СПб.: Пресском, 1997. С. 194-227.

4. Hakopian H., Tonoyan M. Partial differential analogs of ordinary differential equations and systems // New York Journal of Mathematics. 2004. Vol. 10. P. 89-116.

5. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с.

6. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: Ижевск. республ. типография, 2000. 368 с.

Статья рекомендована к печати член-кор. РАН, проф. Г. А. Леоновым.

Статья принята к печати 5 марта 2009 г.