CC BY
523. Винокурова, Н.Ф. Коэволюционная парадигма экологического образования для устойчивого развития: методологические основы / Н.Ф. Винокурова // Ученые записки Забайкальского государственного университета. - 2021. -Т. 16. - № 4. - С. 65-74.
4. География в современной школе / А.А. Лобжанидзе, И.И. Баринова, Н.Ф. Винокурова, В.В. Николина, Сухоруков
B.Д. - Москва, 2014.
5. Зулхарнаева, А.В. Педагогические технологии формирования экогуманистического мировоззрения в курсе школьной географии / А.В. Зулхарнаева, Н.Ф. Винокурова // Современные наукоемкие технологии. - 2016. - № 2-3. - С. 486-490.
6. Лес и человек: учебное пособие / Н.Ф. Винокурова, Г.С. Камерилова, В.В. Николина и др. - М.: Дрофа, 2017. - 128 с.
7. Лескова, И.А. Идея образования: структура и содержание в контексте смены философских оснований [Электронный ресурс] / И.А. Лескова // Вестник Мининского университета. - 2021. - Т. 9. - № 3 (36). - Электрон. дан. URL: https://vestnik.mininuniver.ru/jour/article/view/1258.
8. Лучшие практики экологического образования в интересах устойчивого развития. Монография. Сер. "Научные школы академии" Под общей редакцией С.В. Алексеева, А.Н. Захлебного. - Санкт-Петербург, 2018.
9. Малинин, В.А. Формирование духовно-нравственных качеств личности обучающихся в условиях современного образования / В.А. Малинин, Ф.В. Повшедная, А.В. Пугачев // Вестник Мининского университета. - 2022. - Т. 10, No 1. -
C. 2. - https://vestnik.mininuniver.ru/jour/article/view/1324.
10. Педагогика: личность в гуманистических теориях и системах воспитания учебное пособие / Под общей редакцией Е.В. Бондаревской. - Москва-Ростов-н/Д: Творческий центр "Учитель", 1999. - 560 с.
11. Примерная рабочая программа по географии. - М.: ФУКО. - 2021. - 122с.
12. Урсул, А.Д. Модель опережающего образования / А.Д. Урсул // Глобальный кризис западной цивилизации в России. - М., 2009.
Педагогика
УДК 372.851
кандидат физико-математических наук Войтенко Татьяна Юрьевна
Филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М.Ф. Решетнева» (г. Лесосибирск); кандидат педагогических наук Фирер Анна Владимировна
Лесосибирский педагогический институт - филиал Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Сибирский федеральный университет» (г. Лесосибирск)
РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПОНЯТИЯ ВЕРОЯТНОСТИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
Аннотация. В современном информационном обществе роль теории вероятностей и математической статистики постоянно возрастает. Знания и умения, полученные в процессе изучения вероятности и статистики, позволяют анализировать, представленную различными способами, информацию; понимать вероятностный характер многих реальных событий и в целом способствуют формированию функциональной математической грамотности обучающихся. Целью статьи «Различные подходы к определению понятия вероятности в курсе математики основной школы» является сравнительный анализ подходов к определению понятия вероятности в курсе математики уровня основного общего образования. Актуальность статьи обусловлена введением с сентября 2022 года обновленных Федеральных государственных образовательных стандартов основного общего образования, в которых обозначен новый учебный курс «Вероятность и статистика». Это, в свою очередь, требует анализа и переосмысления уже имеющейся учебной литературы и методических подходов. Центральным понятием теории вероятностей является само понятие вероятности - основа построения всех вероятностных моделей, описывающих широкий спектр случайных явлений. В математике существует несколько определений понятия вероятности случайного события: статистическое, классическое, геометрическое и аксиоматическое. Эти понятия обобщают и дополняют друг друга. Подходы к последовательности введения этих определений могут быть различными. Авторами проанализированы учебно-методические комплекты по алгебре, рекомендованные Министерством просвещения, и выделены два основных подхода к определению понятия вероятности: классический и статистический.
Ключевые слова: вероятность, статистика, комбинаторика, классическое определение вероятности, статистическое определение вероятности.
Annotation. In the modern information society, the role of probability theory and mathematical statistics is constantly increasing. The knowledge and skills gained in the process of studying probability and statistics make it possible to analyze information presented in various ways; to understand the probabilistic nature of many real events and, in general, contribute to the formation of functional mathematical literacy of students. The purpose of the article "Various approaches to the definition of probability in the mathematics course of primary school" is a comparative analysis of approaches to the definition of probability in the mathematics course of basic general education. The relevance of the article is due to the introduction of updated Federal State Educational Standards of basic general Education from September 2022, which designate a new training course "Probability and Statistics". This, in turn, requires an analysis and rethinking of the existing educational literature and methodological approaches. The central concept of probability theory is the very concept of probability - the basis for the construction of all probability models describing a wide range of random phenomena. In mathematics , there are several definitions of the concept of probability of a random event: statistical, classical, geometric and axiomatic. These concepts generalize and complement each other. Approaches to the sequence of introduction of these definitions may be different. The authors analyzed the algebra teaching kits recommended by the Ministry of Education, and identified two main approaches to defining the concept of probability: classical and statistical.
Key words: probability, statistics, combinatorics, classical definition of probability, statistical definition of probability.
Введение. В 2021 г. приказом Министерства просвещения Российской Федерации вводятся обновленные государственные образовательные стандарты основного общего образования [18], где указано, что «учебный предмет «Математика» предметной области «Математика и информатика» включает в себя учебные курсы «Алгебра», «Геометрия», «Вероятность и статистика». Изучать новый самостоятельный учебный курс «Вероятность и статистика», включающий в себя содержательно-методические линии «Представление данных и описательная статистика»; «Вероятность»; «Элементы комбинаторики»; «Введение в теорию графов», рекомендовано в 7-9 классах 1 учебный час в неделю в течение каждого
года обучения. Отметим, что на сегодняшний день государственная итоговая аттестация уже содержит результаты освоения всех трех учебных курсов.
Например, в контрольно-измерительных материалах ОГЭ по математике с 2010 года предусмотрено одно задание по разделу «Статистика и теория вероятностей», которое, в основном, предполагает использование классического определения вероятности. В ЕГЭ по математике базового уровня предусмотрено также одно задание на классическое определение вероятности и формулы сложения и умножения вероятностей событий. В экзамен по математике профильного уровня 2022 года включено уже две задачи из раздела «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей», одна из которых преимущественно на классическое определение вероятности, а другая предполагает вычисление вероятности сложных событий.
Помимо государственной итоговой аттестации задания вероятностно-статистической линии также включены и в другие оценочные процедуры качества образования, такие как: краевые диагностические работы по математической грамотности в 7 классе (содержательная область «неопределенность и данные»); всероссийские проверочные работы по математике в 5-8 классах (проверяемые элементы содержания - «статистика и теория вероятностей»); TIMSS (содержательная область «представление данных и вероятность»); PISA (содержательная область «неопределенность и данные»).
Изложение основного материала статьи. Появление в оценочных процедурах заданий по вероятности и статистике можно объяснить тем, что начиная с 2003 года, Министерством образования было рекомендовано общеобразовательным учреждениям поэтапно включать элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы.
Это, в свою очередь, обусловлено тем, что в современном информационном обществе роль теории вероятностей и математической статистики постоянно возрастает. Знания и умения, полученные в процессе изучения вероятности и статистики, позволяют анализировать, представленную различными способами, информацию; понимать вероятностный характер многих реальных событий и в целом способствуют формированию функциональной математической грамотности обучающихся.
Следует отметить, что эта не первая попытка ввести элементы теории вероятностей и статистики в школьное математическое образование. Начиная с XIX века, выдвигались инициативы по введению элементов стохастики в школьный курс математики. В процессе реформы школьного математического образования в 60-е годы XX века была разработана, в том числе, методика обучения теории вероятностей как отдельного раздела предмета «Математика». Однако все эти попытки не носили систематического характера, возможно, по причине обособленности материала по отношению к привычным для отечественного образования курсам алгебры, геометрии и трудности установления внутрипредметных связей. Уже в 70-е годы элементы теории вероятностей были полностью исключены из обязательных образовательных программ. Позже, в 80-е годы эти разделы математики было решено включать только в программы профильных классов и факультативов.
Вполне возможно, что все это послужило причиной отсутствия глубоких традиций в преподавании и методике обучения теории вероятностей и статистики, и как следствие, недостаточного количества учебных и учебно-методических материалов по этому разделу математики.
Поэтапное включение вероятностно-статистической линии в школьный курс математики должно было сократить число вопросов, неизбежно возникающих у преподавательского сообщества. Тем не менее, на сегодняшний день таких вопросов остается еще достаточно много. Начиная с содержания и последовательности изложения основных составляющих курса (комбинаторной, статистической и вероятностной) и заканчивая вопросами терминологии и обозначений.
Очевидно, что центральным понятием теории вероятностей является само понятие вероятности - основа построения всех вероятностных моделей, описывающих широкий спектр случайных явлений. К этому понятию можно подходить с различных точек зрения из разных областей человеческого знания, причем эти подходы к изучению вероятности существенно различаются. Недаром, основоположник аксиоматической теории вероятностей А.Н. Колмогоров понятие вероятности всегда дополнял определением «математическая». Предметом изучения теории вероятностей является именно вероятность математическая как объективная мера возможности наступления случайного события.
Теория вероятностей изучает не субъективные мнения отдельных людей, а математические модели, отражающие существенные объективные характеристики реальных явлений.
В настоящее время в математике существует несколько определений понятия вероятности случайного события (статистическое, классическое, геометрическое и аксиоматическое), которые обобщают, дополняют друг друга, так как по причине ограниченности условий применимости ни одно из них не является исчерпывающим. В силу этого традиционное изложение курса теории вероятностей включает в себя все четыре определения. Однако подходы к последовательности введения этих определений могут быть различными. В большинстве действующих учебниках алгебры рассматриваются только статистическое и классическое определения вероятности, геометрическая вероятность не является обязательной для изучения (например, в разделе «кому интересно» [2]).
В ряде учебно-методических комплектов (УМК) [1, 8, 9] сначала дается статистическое определение вероятности. Например, в УМК Ю. Н. Макарычева и др. [8] преобладает статистический подход к изложению элементов теории вероятностей и статистики. В 7-8 классах авторы рассматривают вопросы представления числовых данных и их статистические характеристики, а в 9 классе после изучения элементов комбинаторики приводятся статистическое, а затем классическое определения вероятности. Аналогичной последовательности придерживаются и авторы УМК А.Г. Мерзляка и др. [9], рассматривая в разделе «Элементы прикладной математики» в 9 классе сначала элементы комбинаторики, затем частоту случайного события, статистическое определение вероятности и, заканчивая, классическим определением. Наиболее полно и последовательно вероятностно-статистическая линия отражена в УМК Г.В. Дорофеева и др. [1-3]. Уже в 7 классе вводятся статистические характеристики, комбинаторные методы подсчета вариантов, понятия частоты и вероятности случайного события, в 8 классе рассматривается вероятность равновозможных событий и дается классическое определение вероятности, а в 9 классе достаточно подробно рассматриваются вопросы статистики, но вычисление вероятности события с помощью комбинаторных подсчетов является необязательным разделом.
Другой подход к введению понятия вероятности предусматривает сначала классическое определение, а затем статистическое. Этот подход прослеживается в ряде УМК [4, 5, 10, 13, 16,] и является традиционным для высшей школы, где курсу математическая статистика, как правило, предшествует курс теории вероятностей, который обычно состоит из двух основных разделов: случайные события и случайные величины. Понятие случайной величины вместе с ее законом распределения, различными числовыми характеристиками берется за основу при изучении математической статистики. При этом характерна следующая последовательность введения определений вероятности: классическое, статистическое, геометрическое и аксиоматическое.
В учебном пособии Г.К. Муравина и др. [13] учащиеся сначала знакомятся с равновероятными возможностями, а затем с классическим определением вероятности события и подсчетом числа вариантов с использованием основных
комбинаторных формул с общепринятыми обозначениями. В 8-9 классах учащиеся узнают о формулах вычисления вероятности сложных событий, а с элементами статистики знакомятся только в конце изучения темы в 9 классе. Отметим, что существует авторитетное мнение, согласно которому «Говоря о формальных комбинаторных обозначениях в школьном курсе, ... следует ограничиться их минимальным числом» [17, С. 8].
Традиционной линией изложения придерживаются и авторы УМК Ю.М. Колягина и др [4, 5], начиная с комбинаторики и классического определения вероятности, и, заканчивая случайными величинами и основными понятиями математической статистики.
В учебнике С.М. Никольского и др. [16] вероятностно-статистическую линию открывает параграф «Описательная статистика», затем подробно рассматриваются основные понятия и формулы комбинаторики (аналогично пособию [13]), а далее дается классическое определение вероятности с формулами суммы, произведения и разности событий. Заканчивается изложение материала статистическим определением.
Похожей последовательности придерживаются и в линии УМК А.Г. Мордковича и др. [10-12], распределяя материал следующим образом: 7 класс - «Описательная статистика»; 8 класс - «Вероятности случайных событий» (начиная с классического определения); 9 класс - «Нахождение вероятностей с помощью комбинаторных формул».
В целом стоит отметить, что большинство УМК для 7-9 классов придерживаются рекомендаций Министерства просвещения и начинают изучение элементов теории вероятностей и статистики с раздела «Представление данных и описательная статистика». И это возможно объясняется тем, что элементы статистики, рассматриваемые в школьном курсе математики, представляются более наглядными и понятными для учащихся, чем формализованный язык теории вероятности.
Выводы. Несмотря на то, что введение новой содержательной линии началось еще в 2003 году, вопросы подхода к определению вероятности, соотношения и порядка изложения трех ее составляющих (статистики, комбинаторики и теории вероятностей) остается по существу открытым.
В связи с введением в новом ФГОС ООО учебного курса «Вероятность и статистика» данный вопрос становится еще более острым и требует исследований на научно-методическом уровне. Перед педагогическим сообществом стоит первоочередная задача по созданию учебно-методических комплектов, способных сформировать вероятностно-статистические знания и культуру обучающихся.
Литература:
1. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович [и др.]. 8-е изд., перераб. - М.: Просвещение, 2019. - 287 с.
2. Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович [и др.]. -М.: Просвещение, 2019. - 352 с.
3. Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович [и др.]. -М.: Просвещение, 2019. - 336 с.
4. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. - М.: Просвещение, 2021. - 319 с.
5. Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. - М.: Просвещение, 2021. - 336 с.
6. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2018. - 256 с.
7. Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2021. - 288 с.
8. Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2021. - 288 с.
9. Алгебра: 9 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. - М.: Вентана-Граф, 2020. - 256 с.
10. Алгебра. 7 класс / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, Л.А. Александрова, Е.Л. Мардахаева. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2019. - 368 с.
11. Алгебра. 8 класс / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, Л.А. Александрова, Е.Л. Мардахаева. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2019. - 384 с.
12. Алгебра. 9 класс / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, Л.А. Александрова, Е.Л. Мардахаева. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2019. - 368 с.
13. Алгебра. 7 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений / Г.К. Муравин, К.С. Муравин, О.В. Муравина. - М.: Дрофа, 2018. - 288 с.
14. Алгебра. 8 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений / Г.К. Муравин, К.С. Муравин, О.В. Муравина. - М.: Дрофа, 2018. - 256 с.
15. Алгебра. 9 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений / Г.К. Муравин, К.С. Муравин, О.В. Муравина. - М.: Дрофа, 2018. - 320 с.
16. Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - 6-е изд., перераб. - М.: Просвещение, 2019. - 335 с.
17. О теории вероятностей и статистике в школьном курсе (методические рекомендации / [Е.А. Бунимович и др.] // Математика в школе. - № 7. - 2009. - С. 3-13.
18. Приказ Министерства просвещения Российской Федерации от 31.05.2021 № 287 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования». - URL: http://publication.pravo.gov.ru/Document/View/0001202107050027 (дата обращения: 28.03.2022).
