Разделение переменных в аргументах решений уравнений с частными производными, движения во многомерновременных пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Бобков Ю.А. ©

Федеральный научно-производственный центр Открытое акционерное общество "Научнопроизводственное предприятие "Полет", Нижний Новгород

РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В АРГУМЕНТАХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ, ДВИЖЕНИЯ ВО МНОГОМЕРНОВРЕМЕННЫХ

ПРОСТРАНСТВАХ

Аннотация

Доказывается теорема о преобразовании уравнений в частных производных в обыкновенные дифференциальные зависимости в линейных точечных (векторных) пространствах, что позволяет расширить круг возможных решений, в том числе краевых задач. Приводятся новые решения уравнений всех типов. Моделируются движения во многомерновременных пространствах. Рассматривается краевая задача совместного исследования продольных и поперечных колебаний струн.

Ключевые слова: разделение переменных, многомерность времени, моделирование движений. Keywords: separation of variables, multidimensional time, modeling movements.

Математическое (количественное) моделирование многих реально возникающих проблем физики и других наук часто приводит к необходимости поиска решений дифференциальных уравнений с частными производными (или их систем) в виде функции U(q\, q2,..., qn) от независимых величин qm (m=1, 2,..., n), качественно описывающих изучаемый объект.

В качестве величин qm - в физике их называют обобщенными координатами [1, с. 9] -могут использоваться не только качественные характеристики исследуемого физического (экономического, или любого иного) объекта, но и количественные (математические или безразмерные по физическим понятиям) - соотнесенные к выбранным эталонам величин. В уравнениях математической физики в качестве независимых величин применяются пространственные координаты и время.

В качестве базовых характеристик пространства чаще всего используются длина х и (или) длительность (время) t. В физике для описания объектов применяются также величины (обобщенные координаты): частота, скорость, энергия, масса, заряд, температура и прочие. В экономике - стоимость, цена, производительность, валюта, отчетный период и другие. Используются также приведенные к ним через системы физических (других наук) мер (единиц) величины, например, при использовании длины в качестве базовой пространственной компоненты искомой функции U время t представляется через соотношение t=x/c (или x=ct , где c - постоянная скорость рассматриваемого объекта, явления или процесса), как одна из координат единого пространства-времени. Тем более, что единицы этих величин воспроизводятся единым эталоном частоты - времени - длины [2, сс. 38 - 50].

Далее, не теряя общности математических рассуждений, будем использовать в качестве координат базовые компоненты - длину xm и (или) время t.

Один из основных методов нахождения решений уравнений с частными производными -классическое разделение переменных [3, с. 300; 4, с. 332]. Он предусматривает возможность во многих случаях представления результата в виде произведения (или суммы) пары функций, первая от одной и вторая от прочих координат. Это позволяет записать исходное уравнение в разделенной форме и две эти функции должны удовлетворять каждая своему уравнению с константой разделения. Причем первая формирует обыкновенное дифференциальное уравнение. Для другого уравнения иногда возможно повторение процесса, зачастую до полного разделения на n сомножителей (слагаемых).

© Бобков Ю.А., 2015 г.

Наряду с таким подходом разделение переменных можно начинать на уровне аргументов искомых решений представлением их линейной комбинацией всех или части координат, совмещая его с поиском решений в виде произведения (суммы) пары функций, как в классическом случае.

Остановимся далее на методах разделения независимых переменных в аргументах с примерами решений уравнений с частными производными всех типов, где аргументы представлены линейной комбинацией или всех (полное разделение независимых переменных в линейных точечных или векторных пространствах), или части переменных (частичное или неполное).

1. Теорема о полном разделении независимых переменных в аргументах решений

уравнений с частными производными

Если аргумент решения U(x\, x2,..., xn) от n независимых переменных дифференциального уравнения с частными производными порядка г, то есть функциональной зависимости F вида [3, с. 299; 4, с. 331]

^ тт ди ди ди Э2U Э2U ЭrU ч _

F (xi, Х2,..., Xn ;U ;^ ,^ ,..., ^ ; 2 ,^ Л ,-.;-.; r ,...) = 0, (1)

Эх Эх Эх Эх, Эх Эх, dx

12 n 112 1

является линейной комбинацией независимых переменных (коэффициенты координат km=const)

W = k1x1 + k2x2 +.+ knxn = Z k

. x ,

m m ’

(2)

m=1

то исходное уравнение (1) сводится к обыкновенной дифференциальной зависимости

n dU n n d 2U n n drU

f ( y;U (y); Z kmdy-; ZZ ^У-;...; z ...Z К...k^ )=о.

m=1 d y m=1 j=1 d y m=1 j=1 d y

Доказательство. Осуществляется приведением в линейном точечном (векторном) пространстве частных производных функции U(x1, x2,..., xn) многих независимых переменных к обыкновенным. Для этого рассмотрим предварительно лемму.

Лемма о приведении в линейном точечном (векторном) пространстве частных производных функции U(k1x1 + klxl +...+ k„x„) от линейной комбинации независимых

переменных в обыкновенные

В соответствии с определениями производных (обыкновенной функции единственного аргумента и частной - зависимости от нескольких независимых переменных [3, с. 107; 4, сс. 225 - 231]) и правилами дифференцирования [3, сс. 110 - 111; 4, сс. 232 - 236], поскольку частные производные Эу ^xm = km = const, (m=1, 2,., n), следует считать U(y) функцией единственного аргумента и частная производная по пространственной координате xm становится пропорциональной полной производной, то есть Эи/дxm = km dU/dy. Соответственно, частные производные порядка г будут пропорциональны полной производной drU/dy с коэффициентом в виде г- суммы произведений Zm^^'Zj=1 km ...k, , что и требовалось показать.

Возвращаясь к доказательству теоремы, заметим, что дифференцирование предполагаемого решения U(k1x1 + k2x2 +...+ knxn) с последующей подстановкой в (1) и заменой переменных (2) приводит к указанному обыкновенному дифференциальному уравнению, что и требовалось доказать.

Следствие теоремы о полном разделении независимых переменных в аргументах решений

уравнений с частными производными

Если уравнение (1) - линейное и в него входят только производные одного порядка r, то оно сводится к алгебраической зависимости вида r-суммы произведений коэффициентов

координат XL=r--Z j=1 km -kj = 0

Примеры решений уравнений математической физики с применением аргумента искомых функций в виде линейной комбинации независимых переменных Уравнение Лапласа (эллиптическое)

n Д 2J

V 2j = zfJ=0

m=1 WA

(3)

допускает в таком линейном точечном (векторном) пространстве, наряду с классическими экспоненциальными зависимостями [3, с. 322], получаемые классическим полным разделением переменных - решения в виде произвольных дважды дифференцируемых функций f

Jk1k2...kn (ХЪ x2,..., Xn ) = f (k1 X1 + k2X2 + ... + knXn X (4)

если постоянные km (m=1, 2,..., n) - любые действительные или комплексные числа, удовлетворяющие условию

Z k, = о.

(5)

m=1

Для km=am+ibm (am и bm - постоянные действительные числа; г = -1; m=1, 2,..., n) условие

(5) распадается на два Zm=lam = Zm=l ambm и Z,=lambm = 0, а решение (4) принимает

вид

J

ambm

f (z

m=1

amXm + 1

+ 1 Z bmxm ) = f

m =1

1/

(ZamXm) +(ZbmXm)

m =1

m =1

exp(i j)

tgj = Z bmXm ( Z amXm ) 1.

m =1 m =1

Если из всех чисел km действительны p (bm=0 при m=1, 2,..., p) условие (5) принимает

вид

Zm=1 am=Zm=p+1bmи Zm=p+1 a,b,=°, и решение (4)

2

m=1 m p+1

J

ambmP

f ( z

m=1

amXm + 1

m=p+1 m^m

+ 1 Z bmXm ) = f

m=p+1

1/

(ZamXm) +( ZbmXm)

m =1 m = p +1

exp( ij)

\—1

tgj = Z bmXm ( Z amXm )~

m=p+1 m=1

При p действительных km, а остальных чисто мнимых ( am=0 при m > p; bm=0 при m=1,

X-1 p 2 v^n j 2

2,.,p), соответствующее условие будут выражаться формулой Zm=1 am = Zm = +1 bm и

J

ambmp

=f (Z

m=1

amXm + 1

+ 1 Z bmXm ) = f

да=p+1

( Z amXm )2 + ( Z bmXm X

m =1 m = p +1

\

exp(i j)

tgj = Z bmXm ( Z amXm ) m=p+1 m=1

—1

exp(i j) = cos j + i sin j.

n

n

n

n

Уравнение Гельмгольца (эллиптическое)

V 2U + к 2U = X

2 7

Э 2и 7 2

2

\-к 2U = 0

(6)

т=1 Эхт

имеет при представлении аргумента функции U в виде линейной комбинации (2) более общие, чем классические [3, с. 324], решения вида

n _ 1/ п

икк1к2...кп (X1,xn) = exp

_ т=1 т=1

для любых действительных или комплексных к и кт (т = 1, 2,..., п).

Уравнение теплопроводности (диффузии) (параболическое)

п I/ п

1к( X к^) /2( X ктХт )

V 2U _ g

_2 ЭU

0

обладает частными решениями (g=const, c=const)

U

(-1, x2,..., -п, t) = exp

к1к 2...кпс7

Волновое уравнение (гиперболическое)

cg2 (Xп , к2т)_' (ct + Xп , кг)

' \7-^т=1 т/ \ Х-ит =1 т т/

V2U _ с

_ 2 aU

Эt2

=о

(ct=const) при выполнении дисперсионного соотношения ct = с

.=сХ т=1 кт, 1

(7)

(8)

может иметь решения в виде произвольных дважды дифференцируемых функций f Uk1k2...knсt (хи Х2 ,..., xn ) = f (ctt + к1 Х1 + к2 x2 + ... + кпХп X

'п к 2 )^2

,т=1кт,

Таким образом, метод полного разделения переменных в аргументах решений уравнений с частными производными в линейном точечном (векторном) пространстве с применением аргумента искомых функций в виде линейной комбинации независимых координат позволяет находить новые зависимости.

2. Метод совместного использования классического и полного разделения независимых

переменных в аргументах функций

Будем искать решение в виде произведения или суммы двух функций U1(x1, х2,..., xp) и U2(xp+1, xp+2,..., хп), каждая от своей линейной комбинации независимых переменных (1 < p < п-1)

p

¥1 = к^ + k2Х2 +.+ к^р = X к^т ,

т=1

¥2 kp+1xp+1 + k'p+2xp+2 +.+ кпХп X 1 kmХm ,

т=р+1

и если после подстановки предполагаемого решения в (1) удается записать исходное уравнение в разделенной форме, то две эти функции должны удовлетворять каждая своему обыкновенному дифференциальному уравнению с константой разделения А

UХк.d2Uj . d'U, <р ^

d^1 т=1 d^1 т=1 j=1

F( У1;U1 (y1);-3-1 Xкт;^ XXkmkj;...;X...Xкт..к )=А

dy[

т =1 j =1

dU п d 2U п п drU п п

F2 ( y2;U2(y2); dy X кт; X X ктк3..... dUr2 X ... X кт ...к, ) = А

dy2 т=р+1 j j

dy

2 т=р+1 j=р+1

dy

r т--- j

2 т=p+1 j=p+1

Примеры решений уравнений математической физики при совмещении классического и полного разделения независимых переменных в аргументах функций

Уравнение Лапласа (3)

допускает решения в виде зависимостей с точностью до постоянной

p n n

Uklk2...kn (х1,) = 2_1 Z(Vl + ••• + kpxp)2 + 2_1 Z (kp+ixp+l + ••• + knxn)2 + Tkmxm>

m=1 m=p+1 m=1

если величины km (m=1, 2,..., n) - любые действительные или комплексные числа, удовлетворяющие условию zm= =1 km °

Уравнение может также иметь решения для произвольных дважды дифференцируемых функций f и g

U

k1k2...kn (x1, x2,..., Xn ) f

\ f n ^

Z k x

/ i m m \m=1

+ g

Z k x

/ ^ m m

ym=p+1 j

при zm=1 km=° и zm=»+1

m=p+1

Уравнение Г ельмгольца (6)

обладает решениями вида

(p 2 x^2 p

Ukklk2:kn (x^ X2,..., xn ) = eXP ik Z km Z kmxm

\m=1 J m=1

Уравнение теплопроводности (7)

допускает решения типа

+ exp ik

\ У2

Z km

\m=p+1 J

Z kmxm

m=p+1

U

k1k 2::knc^ ‘У’-^2

(x1, x2,..., xn, t)=expi cr~2 (z m=1 km) \ct+Zm=1 kmxm)

+ exp

cr

m=1 m

2 (z m=p+1 km )-1 (ct+z m=,+1 )

+

Волновое уравнение (8)

может иметь для произвольных дважды дифференцируемых функций f и g решения в форме

p n

Uk1k2 •••knc1c2 (X1, X2,..., xn, t) = f (c1t + Z kmxm ) + g(c2t + Z kmxm X

m=1 m = p+1

при c=c^j z m=1 kmи ^2=z/ z

k 2

dm=p+1 m

n

n

Применение метода позволяет находить и другие возможные решения уравнений с частными производными

3. Метод совместного использования классического и неполного разделения переменных

в аргументах решений

Осуществляется поиск ответа в виде произведения (суммы) пары (нескольких) функций, когда аргумент хотя бы одной из выделенных зависимостей представлен линейной комбинацией не менее чем из двух выбранных координат, а другой (другие) - либо от оставшихся переменных, либо от их линейной комбинации Это позволяет записать исходное уравнение в разделенной форме и эти функции должны удовлетворять каждая своему уравнению с константой разделения. Причем хотя бы одна из выделенных функций удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению • Для некоторых уравнений иногда возможно повторение процесса.

В качестве выделенной зависимости можно, например, использовать функции бегущих волн Использование неполного разделения переменных до аргумента функций бегущих волн

вида (ctt ± Xi) [5, с. 24] позволяет находить новые решения уравнений математической физики, в том числе в нелинейных пространствах, например в полярных, цилиндрических и других координатах.

Примеры решений уравнений математической физики при совмещении классического и неполного разделения переменных до аргументов функций бегущих волн Волновое уравнение (8) допускает, что при неполном разделении переменных до волнового аргумента наряду с зависимостями вида

или

U с (Xb X2 ^.^ Xn , t) = YL=\ fm (ct ± Xm X Uk2...knct (X1, Xn, t) = f (ctt ± Xi) + Zm=2 f (ctf ± kmXm X

- 1/

при ct = cn

1 + У m=2 km

2 ^2

либо

Uk2...k„X ...cx„ (хъ X2,..., Xn , t) = f (cXi t ± Xl) + Zm=2 f (cxmt ± kmXm X

2••• ^n^xi ••• uXn

если У" .cl = c2(1 + Zn ,k2m),

*-^m =1 xm v t^m=2 m/

моделирующими суперпозицию плоских волн бегущих вдоль осей координат с одинаковыми или различными скоростями, также решения в форме действительных функций:

n

Uk2...knct (ХЪ ^^.^ Xn , t) = exP(- У |kmXm \) sin(ctt ± X1X

m=2

Uk2 kct (X1, x2,..., Xn, t) = П Sin(kmXm ) exP(-| ctt ± Xl|);

m=2

n

Uk2 ...knct (xb x2,..., Xn, t) = sin( У kmXm ) eXP(-| ctt ± X1 |X

m=2

описывающих бегущие вдоль координаты x1 с произвольной постоянной скоростью ct неоднородные плоские гармонические или апериодические (гиперболические) волны при

выполнении дисперсионного соотношения ct = c 1 - zm=2 km

В частности, в трехмерном пространстве Эвклида со временем (четырехмерном пространстве-времени Минковского) в системе отсчета 0xyzt возможны решения в виде функций, моделирующие бегущие волны:

- гармонические (синусоидальные)

Uc (x, y, z, t) = exp(-| y|- Izl) sin(ct ± xV3);

- гиперболические (апериодические)

Uc (x, y, z, t) = sin(y + z) exp(- ct ± xV3); Uc (x, y, z, t) = sin y sin z exp(- ct ± xV3).

Полученные выражения могут быть преобразованы поворотом осей координат в евклидовом пространстве, являющимся ортогональным преобразованием, к зависимостям, соответствующим волнам, распространяющимся в произвольном направлении, заданном направляющими косинусами [3, с. 80].

Возможны и некоторые другие решения волнового уравнения, в том числе функционально-инвариантные, часть из которых приведена в [6].

Волновое уравнение в полярных координатах (р, ф)

Р

-1 Э

Р

ЭU

Эр I Эр

+р

-2 Э2U

Эцт

-2 Э2U ' Эt2

= 0

допускает решения, для произвольных дважды дифференцируемых функцийf вида

Uc (р, j; t) = р 22 f (ct ± p) sin jj2 ,

моделирующих поверхностные бегущие неоднородные круговые волны.

Волновое уравнение в цилиндрических координатах (р, ф, z)

Р

-1 э

р

эи

др Эр

+р

-2 э2и э2и -2 э2U

Э j2 Эz2

c

э2

0

имеет решения в виде плоских волн

Ukcct (pj z, t) = Р kf (ctt ± cc lz )sin kj

Двумерновременное волновое уравнение

V 2U - c “2 - d "2 = 0.

Эt2 э-т2

Здесь c и d можно интерпретировать как фазовые скорости распространения классических поперечных и продольных волновых возмущений [9, с. 286].

При моделировании колебаний в пространственно одномерных струнах уравнение допускает решения в виде произвольных дважды дифференцируемых функций f

UkctdT = f (ctt + dTT + kx)

при k 2 = ct2c "2 + d?d "2. В частности,

Ucd = f (ct + dr + W2),

или

U

cctd f

ctt + d(l-ct2c 2у2т + x

При неполном разделении переменных до аргумента бегущих волн типа (ctt ± x) возможны суперпозиционные решения, совпадающие с классическими решениями одномерных уравнений в отдельности для поперечных и продольных волн

Ucd (x,t,т) = f (ct ± x) + g(dT± x), где g - произвольная дважды дифференцируемая функция, или

UkctdT (x, t,T) = f (ctt ± kx) + f (dTT ± x)

2 j-2

если k 2 = c2c '2 + d^d '2 - l.

А также

U

kcctddT

sin(dTr) sin

-V

или

U

kcctdT

= sin

dTd 1(k2 -cfc 2)22(ctt + kx)

i

dT(k2 -cfc 2у2т

sin( ctt + kx).

Эллиптическое уравнение (аналог уравнения Лапласа) при приведении времени к одной из пространственных координат, приобретающее вид

Ъ2ТТ -2 э2U n э2U -2 э2U _

V2U + c —— = ^—— + c —— = 0,

э t

j=i эх^

m

Эt2

имеет при неполном разделении переменных до волнового аргумента решения в форме действительных функций:

U,

k2 ...knct

(xi, x2,..., xn, t) = exp(- 2\Kxm |) sin(cft ± xi)

m=2

U

k 2...knct

(xl, x2,..., xn, t) = П sin kmxm exp(-| ctt ± x1 |X

m=2

Uk 2 ...knct (xb xn, t) = Sin( 2 kmxm ) exP(-| ctt ± x1|X

m=2

отображающие бегущие вдоль координаты x1 с произвольной постоянной скоростью ct неоднородные плоские гармонические или апериодические (гиперболические) волны при

выполнении дисперсионного соотношения Ct = С fern. =2 km ^Y'

В частности, в системе отсчета (x, y, z, t) возможны решения в виде функций, моделирующих бегущие со скоростью c волны:

- гармонические (синусоидальные)

Uc (x, y, z, t) = exp(-y - |z|) sin(ct ± x);

- гиперболические (апериодические)

Uc (x, y, z, t) = sin( y + z) exp(-ct ± x\);

Uc (x, y, z, t) = sin y sin z exp(—ct ± x|).

Эллиптическое уравнение, полученное из уравнения Гельмгольца (6) приведением времени к длине,

э 2U

Э2U -2 э2U

V 2U + с ■ + k 2U = 2^ + c ■ 2^Т + k 2U = 0

Эt2

?=1 эxm

Эt2

допускает при неполном разделении переменных до аргумента (ctt ± x1) решения в форме функций:

U,

kk2 ...kncct

exp(- 2 m=2 ikmxm i)sin (k2+2m=2 km Y1+c?c 2) ^ (^ ± xi)

U

kk2 ...kncct

sin

(1+k

+ k2 + c}c 2

12 Z m=2 km )rYi z m=2 ^

exp(- w ± x1\

моделирующих бегущие вдоль координаты x1 с произвольной постоянной скоростью ct неоднородные синусоидальные или апериодические плоские волны, соответственно.

Параболическое уравнение теплопроводности (7) имеет частные решения, при неполном разделении переменных до волнового аргумента, вида

Ukik2...kncg sin

i+cg-2 p 2=2 km \1 zm=2 k

m=2 m m

exp(- |ct ± x11).

моделирующие бегущие неоднородные апериодические (гиперболические) волны. Например, в системе отсчета (x, y, z, t) допустимы зависимости в форме действительных функций

Ucg( x, y, z, t) = sin

2 ^2 (1 + cg 2 K2 (y + z)

exp(- |ct ± x|)

Таким образом, уравнения математической физики всех типов имеют динамические решения, соответствующие бегущим волнам, в том числе распространяющимися с произвольной скоростью. Это противоречит общепринятому утверждению о том, что для эллиптических уравнений типично описание стационарных процессов, а для параболических и гиперболических - переходных и процессов распространения возмущений [3, с. 319]. Отсюда требуется более глубокое осмысливание теории уравнений с частными производными.

Найденные описанными выше методами частные решения уравнений математической физики позволяют ставить новые линейные краевые задачи и искать известными способами [3, с. 321] удовлетворяющие им зависимости, в том числе и для краевых задач с заданным частным решением [10].

Для описания совместно протекающих процессов различной длительности ниже рассматривается возможность математического моделирования движений во

многомерновременных пространствах. В качестве примера приводится одно из решений краевой задачи о распространении продольных и поперечных колебаний в струнах.

4. Моделирование движений во многомерновременных пространствах (поперечные и

продольные колебания струн)

По современным научным представлениям пространство, как философская и физическая категория, наряду со временем является одной из основополагающих форм материи. Физическая величина, качественно характеризующая пространство - длина (количественно протяженность вдоль заданной линии - направления x в выбранных единицах - эталонах) тесно связана со временем (качественно определенной длительностью или последовательностью-скоростью смены процессов, явлений, состояний объектов в заданных количественных единицах - эталонах t). Причем единицы (количественные эталоны) этих качественных величин (длина и длительность) базируются сегодня практически на одних и тех же измерениях частоты электромагнитных излучений [2, сс. 38 - 50].

Однако если в отношении пространства (длины) общепринята его качественная многомерность - протяженность объекта, например, в декартовой системе координат 0xyz вдоль не только одной, но двух, трех и более ортогональных линий, то молчаливо подразумевается, что время (длительность) - всегда качественно одномерно (едино). При всем многообразии единиц его измерения и хранения (количественных эталонов: астрономических, электромагнитных, механических, гидродинамических, химических, биологических и др.).

При этом даже в пространственно одномерных системах могут совместно и независимо (математически ортогонально) происходить несхожей длительности (интервалов времени) процессы как одной, так и различной природы. Например, в механических объектах - струнах (тонких стержнях) распространяются отличной длительности (с различной скоростью) как продольные, так и поперечные акустические волны [7, сс. 27, 33; 8, с. 26]. Таким образом, один и тот же бесконечно малой протяженности элемент струны dx (материальная точка определенной массы dm - линейной плотности р = dm/dx) участвует в каждой пространственной точке х сразу, по меньшей мере, в двух процессах разных временных интервалов t и т, то есть можно представить, что он находится в трехмерном пространстве-времени

(одномернопространственной, но двумерновременной системе отсчета 0xtT).

Поэтому можно предположить, что время (длительность) также качественно многомерно, как и пространство (длина).

Представляется разумным при этом обобщить повсеместно применяемый в теории принцип наименьшего действия [1, с. 10] на многомерновременное пространство-время. Используя вариационное исчисление для нахождения экстремумов кратных интегралов действия [3, с. 354] при зависимости функции Лагранжа L от нескольких независимых ортогональных времен (для примера, в и-пространственномерном и двумерновременном пространстве-времени t и т, то есть в системе координат (отсчета) 0qtT, L(q, qt , qT , t, т), qt(T)=dq/dt(T), q = (^1, q2,..., qn) - обобщенные координаты), в частности в трехмернопространственной и двумерновременной декартовой системе 0xyztt получим для первых вариаций систему из трех уравнений:

э ЭL э 1 ЭL ЭL

dt Эxt Г Эт ^xt Эx

э ЭL э 1 ЭL ЭL

Эt tyt Г Эт ЭУт ЭУ

э ЭL э 1 ЭL ЭL

Эt Э?г Г Эт Э^т Эг

= 0,

= 0,

0.

В одномернопространственном

и двумерновременном, в целом трехмерном пространстве-времени (декартовой системе координат - отсчета 0xtT ), для первых вариаций получим математический аналог известного уравнения Остроградского-Эйлера (в классической механике уравнение Лагранжа [1, с. 12])

Э ЭL Э ЭL dL

+

= 0,

(9)

Эt Эх( Эт Эхт Эх

здесь xt, хт - скорости материальной точки х в ортогональных временах.

В теоретической физике выводится, что функция Лагранжа равна сумме кинетической и потенциальной энергий физического объекта (материальной точки) [1, с. 17]. Плотность потенциальной энергии dW, накопленной в едином деформированном элементе струны dx в первых приближениях и учете производных только первого порядка, можно считать равной

dW = М F(Эи/ V

dx, здесь F - сила деформации, U(x,t,r) - смещение точек струны от

'2U /Эх'

положения равновесия, вызванное распространяющимися в ней поперечной и продольной волнами. Плотность кинетической энергии dT элемента струны (стержня) в предположениях работы [7, сс. 27 - 35] для поперечных и продольных колебаний записывается в виде

Г Эи Л2 Г Этт Л2

dT = - pS 2й

Эt

dl +

Эи

Эт

dr

где р - линейная (объемная) плотность струны, S - площадь ее поперечного сечения, dl и dr -линейные размеры деформированного поперечной и продольной волнами элемента dx -проекции его на плоскости 0xt и 0хт , соответственно. Таким образом, линейная (погонная) плотность функции Лагранжа будет иметь вид

L = -

2

ps

Эи

Эt

Л2 „ Г Эи Л dl +

Эт

dr

F

Эи Л

Эх

dx

(10)

Подставляя (10) в уравнение Лагранжа (9) при представлении, что линейные размеры деформированных независимо распространяющимися поперечными и продольными волнами элементов струны пропорциональны силе деформации, то есть dl=FNldx и dr=FElSldx (N -сила натяжения струны, E - модуль Юнга) получаем математический аналог пространственно одномерного, но двумерновременного волнового уравнения

_2 Э2и л_2 Э2и Э2и

+ d

0,

Э t2 Эт2 Эх2 '

где c 2 = N/pS и d = E/р, соответственно квадраты фазовых скоростей поперечных и продольных волн, распространяющихся в струне (тонком длинном стержне) [9, с. 286].

Одномернопространственное двумерновременное уравнение в трехмерном точечном (векторном) пространстве-времени допускает при неполном разделении переменных до аргумента функций, описывающих бегущие волны [5, с. 24; 6] типа зависимостей от (ct ± х), как отмечено выше,

иксЛ (^ t, т) = f (ctt ± кх) + g(dt ± хХ

естественные суперпозиционные решения вида невзаимодействующих поперечных и продольных волн исё (х, t, т) = f (ct ± х) + g(dt ± х),

где f и g - произвольные дважды дифференцируемые функции, так и решения типа иСс1, (х, t,f) = f (ctt ± кх) + Af(dтт± х), если к 2 = ct2c -2 + A(dT2d -2 - 1) или A=(k 2-ct2c2)(dz2d 2 1

-1)- = const, либо решение вида

и,

= 2 1 C1(ctt ± kx)2 + 2 1 C2(dтт± х)2 + C3(ctt ± kx) + C4(dтт± х) + C5,

>_1

CikctdT

при C2=C1(ct2c'2-k2)(1-dr2d'z)-1, где С1 - константа разделения, а С3, С4 и С5 - постоянные

интегрирования.

Допустимы также решения в виде неоднородных гармонических волн

_1/

t

12 »-2,-1

и

kcctddT

= sind^ sin

drd l(k2 _ ct2c 2) /2(ctt + kx)

2

2

или

Ukcetdt = Sin

dt(k1 -c2c- )/2т

sin(ctt + kx).

Стоячие гармонические волны двумерновременного одномернопространственного волнового уравнения описываются следующими действительными функциями:

U(x,t,т) = Л1 cos( wt + j)cos(kx + g1) + A2cos(Wt + y)cos(mx + g2), (11)

при k = ас1 и m = Qa (Л1 и Л2 - const), либо (Л - const)

U (x, t,t) = Л cos(wt + j)cos(Wt + y)cos(kx + g), (k2 = a2c'2+Q2d“2). (12)

В классической постановке линейных краевых задач, например для свободных колебаний упругой струны [3, с. 328], вместе с исходным уравнением задаются начальные (0 < x < L)

U (х,0,т)|т=о = Uот( x), dU ( x,0,t)

at

r=0 =V 0t( x),

U (x, t ,0) |t=0= dU ( x, t,0) | дт

U0t (x),

t=0 =V 0t( x),

и граничные условия

U (0, t, т) = Ua (t, т), U (L, t, т) = Ub (t, т).

Для случая абсолютно жесткой границы Ua(t,r) = Ub(t,r) = 0 стоячие волны (11) удовлетворяют таким краевым условиям, в частности, когда

у1 = у2 = п/2, а aL = упс и QL = pnd (j = 0, 1, 2,...; p = 0, 1, 2,...). При выписывании решения в виде рядов

U (x, t ,т) = Z (aj cos jwcL V + bj sin jwcL V)sin jpL 1 x +

j =1

+ Z (ap cos ppdL 1т + b sin ppdL !r)sin ppL 1 x

p=1

можно определить aj, bj и ap, bp из начальных условий, пользуясь формулами для коэффициентов рядов Фурье

aj = 2L 1J U0r( x)sin jpL 1 xdx,

0

L

bj = 2(ipc)-1 J V0H( x)sin jpL~1 xdx.

—I r —I

ap = 2L J U0t (x)sin ppL xdx,

0

L

— I r —I

bp = 2(ppd) J V0t (x) sin ppL xdx.

L

L

0

0

Решение представляет сумму стоячих гармонических поперечных и продольных волн, возбужденных заданными начальными условиями.

Возможны и другие решения, так как кроме рассмотренного случая нулевые граничные условия, моделирующие идеальное зеркало, выполняются, когда справедливо соотношение

cos mL — cos kL + tg sin kL — tg g2 sin mL = 0,

или cos mL(1 — tgg2tgmL) — cos kL(1 — tgg:tgkL) = 0.

Последнее выполняется, в частности, если а = Qcd‘1+2ncL"1j и у1 = y2+pn.

Интерес представляет и рассмотрение краевой задачи на базе решения (12).

Литература

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. - М.: Наука, 1988. - 216 с.

2. Чертов А.Г. Физические величины. - М.: Высш. шк., 1990. - 335 с.

3. G.A. Kom, T.M. Kom. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. N.Y. etc.: McGraw-Hill, 1968. = Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). - М.: Наука, 1978. - 832 с.

4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. -М.: Наука, 1986. - 544 с.

5. Толковый словарь по радиофизике. - М.: Рус. яз., 1993. - 357 с.

6. Бобков Ю.А. О некоторых частных решениях волнового уравнения // Дифференциальные уравнения. - 2009. - Т. 45. - № 6. - С. 888-889. Рукопись полностью депонирована в ВИНИТИ 25.03.2008, № 241В2008 = Bobkov Yu. A. On some particular solutions of the wave equathion // Differential equathions. - 2009. - Vol. 45. - No. 6. - P. 907-908.

7. Весницкий А.И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 320 с.

8. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. - М.: Наука, 1990. - 432 с.

9. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. - М.: Наука, 1985. - 512 с.

10. Бобков Ю.А. Краевые задачи с заданным частным решением // Дифференциальные уравнения. -2009. - Т. 45. - № 8. - С. 1192-1193. Рукопись полностью депонирована в ВИНИТИ 25.03.2008, № 242В2008 = Bobkov Yu. A. Boundary value problems with a given particular solution // Differential equathions. - 2009. - Vol. 45. - No. 8. - Р. 1216-1217.