Релятивистская динамика точки как эмерджентное явление в системе стоячих волн Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 53

Релятивистская динамика точки как эмерджентное явление в системе стоячих волн*

А.И. Гончаров

Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)

Relativistic Dynamics of a Point as an Emergent Phenomenon in a Standing Wave System

A.I. Goncharov

Altai State University (Barnaul, Russia)

В результате исследования релятивистской кинематики получена формула для закона колебаний U (x, t) = cos ф(1) ( x, t) cos S(x, t) бесконечной струны, при котором обеспечивается движение фазы Ф(1) =0 по произвольному заданному закону x = X(t) (|v| < с, где v = X; с — скорость звука). С помощью этой формулы прослеживается возникновение законов одномерной релятивистской динамики материальной точки. Показано, что функция S(x, t) является решением уравнения Гамильтона — Якоби и может рассматриваться как действие «частицы», отождествляемой с фазой Ф(1) = 0. Показано, что движение этой фазы происходит как бы под действием потенциала V(x,t) = p(t)(X(t) — x) (где p — импульс, соответствующий скорости v) и подчиняется уравнению Ньютона и уравнениям Гамильтона. Показано, что функция Ф = exp (iS) является решением уравнения Шредингера с релятивистским гамильтонианом, в котором сделано формальное разложение оператора л/—c2V2 + m2c4 в ряд, и содержащим потенциал V(x, t). В нерелятивистском случае, когда скорость «частицы» v ^ с, это уравнение совпадает с обычным уравнением Шредин-гера. Отмечена связь релятивистского уравнения с одномерным уравнением Дирака при отсутствии магнитного поля в представлении Фолди — Ваут-хайзена. Обсуждается возможность введения объектов, имеющих сложную структуру, в рамках линейной волновой модели.

Ключевые слова: специальная теория относительности, стоячие волны, динамика, квантовая

механика.

DOI 10.14258/izvasu(2015)1.1-02

In this paper, problems of relativistic kinematics are studied, and a formula of infinite string oscillations U (x, t) = cos x, t)cos S(x, t) with the phase motion $(1) =0 in accordance with the arbitrarily given law x = X(t) (|v| < c, where v = X; c is the sound velocity) is obtained. The obtained formula allows us to trace the emergence of one-dimensional relativistic dynamics laws for a material point. It is shown that S(x, t) is a solution of Hamilton — Jacobi equation and can be considered as the action of the «particle» with $(1) = 0 phase. The phase motion is likely to be influenced by the potential V(x, t) = p(t)(X(t) — x) (where p is a momentum of the velocity v), and obeys the Newton equation and the Hamilton equations. The function ^ = exp (¿S) is a solution of the Schrodinger equation with a relativistic Hamiltonian operator with the potential V(x,t), in which the operator %/—c2V2 + m2c4 is expanded into series. In a non-relativistic case with the particle speed v C c, this equation coincides with the normal Schrodinger equation. It is demonstrated that the relativistic equation is linked with the one-dimensional Dirac equation in the Foldy — Wouthuysen representation under condition of magnetic field absence. Further, the possibility of complex structure objects introduction in the framework of a linear wave model is investigated. Key words: special relativity, standing waves, dynamics, quantum mechanics.

Введение. Многие успехи физики дискретной материи были достигнуты в результате анализа волновых процессов. Исходя из ковариант-

* Работа выполнена при частичной поддержке Программы стратегического развития Алтайского госуниверситета (НОК-2, подпроект 2.1.2.1).

ности волновых уравнений были выведены преобразования Лоренца [1; 2]. Еще Гамильтоном была установлена связь законов движения материальной точки и распространения волн [3]. В дальнейшем эта связь послужила одним из источников для гипотезы де Бройля о волнах материи [4]

и создания волновой механики Шредингера [5]. Перспективными теориями в физике элементарных частиц являются теория струн [6] и теория солитонов [7].

В работе [4] де Бройль рассмотрел задачу согласования квантового соотношения E = = hv с релятивистскими соотношениями Е = = тос2/У1 - (v/c)2 и At0 = Aty/1 - (v/c)2. Для разрешения возникающего при этом парадокса он предположил, что частица, движущаяся со скоростью v, всегда сопровождается нематериальной монохроматической волной Ф, бегущей со скоростью c2/v > c («фазовая волна»), которая составляет с частицей единое целое. Он показал, что групповая скорость пакета фазовых волн равна скорости частицы v. В последующих работах он показал, что фаза этой волны подчиняется уравнению Гамильтона — Якоби, установив тем самым связь фазы с действием частицы S, в том числе и при наличии внешних полей [8], и вывел релятивистское волновое уравнение (уравнение Клейна — Гордона — Фока). Таким образом, для объяснения релятивистских и квантовых (в смысле волновых) закономерностей следовало построить модель материального носителя фазовой волны. Такие попытки были предприняты де Бройлем и Д. Бомом в теории волны-пилота [9].

В работе [10] в составе сложной модели были рассмотрены движущиеся стоячие волны, которые возникают в упругой среде при сложении двух встречных гармонических волн с одинаковыми амплитудами, но разными частотами; оказалось, что один из сомножителей функции, описывающей эту волну, соответствует фазовой волне де Бройля. В работах [11-13] было показано, что в системе стоячих волн естественным образом возникает релятивистская кинематика материальных точек. Независимо модель стоячих волн была предложена в наших работах [14-16] и сделаны аналогичные выводы. В настоящей статье с помощью метода стоячих волн прослеживается возникновение законов одномерной динамики материальной точки. В отличие от теорий волны-пилота, к числу которых относится и [10], в которых частица является в значительной степени самостоятельным объектом, наша модель основана на представлении, что все материальные объекты и процессы являются проявлением колебаний некоторой «упругой» среды (материального пространства).

1. Равномерное движение. Пусть по струне бегут две встречных волны с одинаковой амплитудой и частотой; складываясь, они создают стоячую волну u(x, t) = ^ cos к(х + ct) + ^ cos к{х — ct) = cos tp^ cos где = kx, = kct, c > 0 — скорость звука, к > 0 — волновое число. Пусть в момент to

на струну оказано воздействие, в результате которого волна u(x,t) была погашена и создана новая волна

U (x,t) =

= i cos {к(хо + cío) + к[х - х0 + c(t - í0)]/<5}+

+ — cos {к(х о — cío) + к[х — хо — c(t — ío)]<5} =

= ^Ф(1) ^Ф, (1)

где Ф(1) = k{x0 + y[x -x0 -вф -10)]}, Ф = k{ct0+ +7[c(t-t0)-/3(x-x0)]}, (5 > 0, /3 = (¿2-l)/(¿2 + l), 7 = (ó2 + 1)/2(5 = í/y/í — /З2. Это преобразование мы называем разделением (разведением) частот в момент t0 относительно точки x0. Значение функции U в этой точке при разделении частот не изменилось: U(x0,t0) = u(x0, t0). Не изменились также x-координата фазы фЧ1) = kx0 (в отличие от координаты любой другой фазы) и собственное время в точке фЧ1) , определяемое «фазой колебаний» Ф. Можно считать, что в малой окрестности точки ФЧ1) гашение старой волны и создание новой не производилось.

В [14-16] мы рассматривали кинематику, и в связи с этим фазу фЧ!1) называли «непрерывным наблюдателем». Сейчас мы рассматриваем динамические аспекты модели, в связи с чем будем называть эту фазу «частицей». Фазы Ф(1) = const движутся с постоянной скоростью v = @c, т.е. частица ФЧ1) — свободная. Так как в = v/c, то y имеет смысл лоренц-фактора. Перейдем к привычным обозначениям, в связи с чем k/c = m будем называть массой, ckY = H — энергией, квY = Р — импульсом частицы. Для них справедливо релятивистское соотношение Н = \/с2р2 + т2с4.

Для фазы Ф имеют место соотношения ^ = = Н, = —р, откуда следует, что величина —Ф выполняет роль действия S частицы, которое удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби для

свободной частицы + ^Jс2(^Ц)2 + т2с4 = 0. В этих формулах координата x является независимой переменной; законы же движения фиксированных фаз Ф(1) получаются в результате решения характеристических уравнений (уравнений Гамильтона) [17] х = Щ-, р = —-f^f- Так как

Н = \Jс2р2 + m2c4, то р = 0, т.е. р = const; тогда v = const. Вычислив производную, находим = V, и 1-е уравнение Гамильтона принимает вид x = v, откуда находим семейство характеристик x(t) = vt + const. Так как для фазы Ф^1) (т.е. для частицы) x(t0) = x0, то ее закон движения x(t) = x0 + v(t — t0).

Функция *(x,t) = cosФ соответствует фазовой волне де Бройля [10; 13; 14]; она удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона — Фока (если

пользоваться системой единиц, в которой постоянная Планка Н = 1): -¿г^и — ФХх + гп2с'2 = 0, что было установлено еще самим де Бройлем. В связи с этим будем называть Ф(ж, ¿) волновой функцией частицы. Однако в рассматриваемой модели отсутствует вероятностная трактовка этой функции, поэтому аналогия с квантовой механикой ограничена.

2. Движение по произвольному закону. Функция (1) образована в результате однократного разделения частот. Будем выполнять разделение частот непрерывно, причем в каждый момент — относительно той точки, в которой находится фаза Ф^ = 0, которую мы называем «частицей». В момент ¿о =0 она находилась в точке жо = 0. В результате получим функцию [15; 16]

где

U(x, t) = cos Ф(1) cos Ф,

(2)

где

Ф(1) ( x, t) = mcY (t)

t

jv(t)dr — x

Ф(^) =

t t mc2 J v7! - ¡32{т)д,т + p(t) J v(r)d

(3)

Отметим, что U(x, t) — отклонение струны от равновесия в произвольный момент времени t в произвольной точке x, так что координата x (так же как и время t) — независимая переменная; функции Ф^, t), ^(x, t) = cos Ф(x, t) описывают некоторое поле. Однако в ходе построения закона колебаний струны U(x, t) в функции Ф, Ф был заложен

закон x4(t) = J v(t)dr движения фазы фЧ1) . Так

о

как это движение, вообще говоря, неравномерное, то можно предположить, что для частицы-фазы существуют понятия и законы, аналогичные известным понятиям и законам динамики. Информацию о них нужно искать в функциях Ф, Ф. Подберем уравнение, которому удовлетворяет функция S = — Ф. Необходимо иметь в виду, что e(t), v(t), p(t) — известные функции времени, поскольку они определяются заданным законом S = S(t) разделения частот. Вычислим частные производные ^ при х = const и при t = const. Так как р зависит только от t, то = ^ = р (для -y(t) — аналогично). В результате находим

dS

—— = mc2 v^l — /З2 + рт + У (ж, t)

= VcV + m2c4 + V(x,t), (4)

V (x, t) = p(t)

t

/v(T )dT — x

о

(5)

Очевидно, = Р- Подставив эту производную вместо р в (4), получим уравнение для функции 5 (ж,

-1Нс2Ш (6)

Из структуры этого уравнения следует, что это — уравнение Гамильтона — Якоби [17], а 5 — действие некоторой частицы. Известно, что характеристическими уравнениями для (6), которым подчиняется движение частицы, являются уравнения Гамильтона

дН

dp '

р = —

дН

dx '

(7)

где гамильтониан Н — это, по определению, правая часть уравнения (4):

Н(р, ж, = \/с2р1 + т2с4 + У(ж,£). (8)

Поэтому V(ж, ¿) — силовая функция (для краткости — «потенциал»). Отметим, что в точке ж = г

= / ^(тпотенциал V = 0, что обусловлено по-

о

движным началом его отсчета; градиент же его отличен от нуля. Из (5) следует уравнение Ньютона

8V

dx

= Р-

(9)

Найдем решение характеристических уравнений. Второе из уравнений (7) удовлетворяется тождественно. Продифференцировав (8), найдем ^ = v. Тогда первое уравнение принимает вид

x = v(t), откуда находим семейство характери-t

стик x = J v(t)dr + const. Характеристика, удо-

о

влетворяющая начальному условию x(0) = 0, со-

t

ответствует закону движения x4(t) = J v(t)dr

о

частицы-фазы фЧ1). Значит, движение этой частицы подчиняется динамическим законам (6), (7),

(9).

Подведем итог: при воздействии на струну, которое приводит к непрерывному разделению частот, фаза, относительно которой производится это разделение, движется как бы под действием силы согласно законам релятивистской динамики нашего мира.

3. Функция Ф(^) и уравнения квантовой механики. Вместо струны, колеблющейся в одной плоскости, рассмотрим вращающуюся струну. С точки зрения внешней геометрии отклонение от равновесия представляет собой вектор и в плоскости YZ, перпендикулярной струне.

Пусть оси X, У, Z образуют правую тройку. Вместо вектора используем комплексную функцию и, такую, что Ие и и 1т и равны (для внешнего наблюдателя) проекциям вектора и соответственно на оси У, Z. О поляризованных волнах и комплексных волновых функциях см., например, [18]. С внутренней точки зрения использование комплексной функции вместо вектора и естественно, так как для «волновых» наблюдателей, живущих на струне (см.: [14—16]), пространство одномерно.

Пусть исходная стоячая волна и(х, £) поляризована по кругу вдоль +х или —х:

(х,*)± = -[е+^+^+еТ <*(*-<*)] = (со акх)

2

±гксг

В результате разделения частот в момент £ = 0 относительно точки х = 0 получается функция

±гк-у (сЬ-@х)

и (х, = [сов (х — вс£)]е

В случае непрерывного разделения частот вместо (2) получим и(х,£)± = Ф(1)Ф±, где Ф(1) = = совФ(1), Ф± = е±гф, где Ф определяется формулой (3). Функции Ф = Ф_ = е_гф и Ф* = егф строго удовлетворяют уравнениям Шредингера (в системе единиц Н =1)

дФ

'зГ = ЯФ'

д Ф*

"зГ

НФ*

(10)

с релятивистским гамильтонианом

# = Н0 + V (х,£),

где

Я0 = ^-^У2 + :

■ЯгА -

1 + Е

к=0

п=0 (п + 1)!(тс)2п+2

у2п+2

V = и силовой функцией У (ж, £), определяемой формулой (5). Для проверки уравнений (10) следует после вычисления производных УФ = = грФ просуммировать ряд формально, независимо от того, выполняется или нет условие сходимости; это приводит к ЙоФ = -у/с2р2 то2с4ф Согласно [19], использованное разложение Но известно и применяется в нелокальных теориях.

Тот факт, что в данной модели волновая функция Ф однозначно связана с классическим действием Б посредством формулы Ф = ехр (гБ), объясняется тем, что зависимость Б от х линейна, так

что У2Б = 0. Несмотря на это, классический за-

г

кон движения точки Ф(1) =0, х = § «(т)йт, кото-

0

рый неявно содержится в Б(х, £), может быть как угодно сложным.

Если \/3(г)\ < 1Ш, то тс2 у/1 - /З2 = тс? -—ту2/2, р = ту, Но = тс2 — ■¿У2, и получа-

ем, что функция

Ф

гФ

ехр < г

— ту2 (т)д,т—

г

— «(Т^ — х]

удовлетворяет уравнению Шредингера (в системе единиц Н =1)

дФ

гт

с потенциалом

1 д2ф 2т дх2

+ V (х,£)ф

г

V (х,£) = т^)[/ — х].

Этот потенциал содержит функцию хч (£) =

г

= I«(т, которая представляет собой класси-

0

ческий закон движения частицы, находившейся в момент £ = 0 в точке х = 0.

Учтем в разложении Но третье слагаемое и сравним полученное уравнение с уравнением Дирака для одномерного случая при нулевом векторном потенциале в представлении Фолди — Ва-утхайзена с учетом членов до ~ 1/т3 [19]. В этом случае уравнение Дирака распадается на четыре отдельных уравнения, два из которых независимы:

У4 )ф(±)+

с2 _ _ П4

2т 8т3с2

+ + (11)

здесь V = еу>, е — заряд электрона, ^ — скалярный потенциал. При подстановке потенциала (5), для которого У2V = 0, в первое из уравнений (11), которое описывает состояния с положительной энергией, оно превращается (при Н = 1) в первое из уравнений (10) в указанном приближении для Но.

4. Скрытые структуры [16]. Реальные физические системы имеют сложную структуру. Для «нас», внешних наблюдателей, кажется естественным связывать существование структур в колеблющейся среде с наличием стабильных локализованных профилей, например таких, которые встречаются у солитонов. В теории двойного решения Л. де Бройля [20] частицы отождествляются с сингулярностями волн. Отметим возможность введения в рамках линейной модели струк-

е

2

тур другого, более простого и в то же время более абстрактного типа. Эти структуры образованы конфигурациями фаз типа Ф(1) движущихся гармонических стоячих волн, у которых одна и та же скорость вс, но разные частоты. Рассмотрим следующий простой пример. Пусть на струне существуют две движущиеся стоячие волны, Y = sin fe¿Y(х — ect) cos k¿Y(ct — вх), i = 1, 2, причем волновые числа k таковы, что их отношение иррационально. Рассмотрим суперпозицию этих волн Y = Y1 + Y2. Нуль функции Y, движущийся по закону х = ect, выделяется тем, что, во-первых, он является нулем обеих функций Yi, Y2, в связи с чем назовем его двойным нулем; других нулей с таким свойством нет. Уже поэтому можно сказать, что волна Y содержит уникальный, а поэтому и локализованный элемент. Во-вторых, он — единственный нуль функции Y, который существует постоянно. Двойной нуль доступен для непосредственного наблюдения, в том числе и для внешних наблюдателей. Теперь рассмотрим пару каких-нибудь двух других близко расположенных нулей функций Yi, Y2. Расстояние между ними постоянно и уникально, и такая пара тоже представляет собой выделенный объект; наряду с нулями можно использовать и другие заранее заданные фазы. Увеличивая число слагаемых, можно получить любые устойчивые одномерные конфигурации, в которых может быть зашифрована любая

информация; они и создают ту структуру, о которой идет речь. Этот подход к понятию структуры можно назвать информационным. Такие структуры являются скрытыми в том смысле, что их выявление требует применения гармонического анализа. Если волновые наблюдатели обладают способностью к такому анализу в режиме online, то структуры будут восприниматься ими непосредственно.

Заключение. Рассмотрены вынужденные колебания U(x, t) бесконечной струны, при которых одна из фаз («частица») движется по заданному закону. Показано, что функция U(x, t) содержит в себе действие S(x, t) частицы, которое подчиняется уравнению Гамильтона — Яко-би. На основе действия найден гамильтониан частицы-фазы и показано, что ее движение подчиняется второму закону Ньютона и уравнениям Гамильтона. Показано, что функция Ф^, t) = = exp {¿S (x, t)}, которая входит в U в виде сомножителя, является решением уравнения Шредин-гера с релятивистским гамильтонианом, в котором сделано формальное разложение оператора a/-c2V2 + m2c4. В рассмотренной модели аналогия между функцией Ф и обычной квантово-механической волновой функцией является ограниченной; в частности, отсутствует ее вероятностная трактовка.

Библиографический список

1. Voigt W. Ueber das Doppler'sche Princip // Göttinger Nachr. — 1887. — №8.

2. Лоренц Г.А. Электромагнитные явления в системе, движущейся с любой скоростью, меньшей скорости света // Принцип относительности: сборник работ классиков релятивизма. — Л., 1935.

3. Гамильтон У.Р. Об общем методе представления путей света и планет частными производными характеристической функции / / Избранные труды. — М., 1994.

4. Бройль Л. де. Исследования по теории квантов // Избранные научные труды. — Т. 1. — М., 2010.

5. Шредингер Э. Квантование как задача о собственных значениях // Избранные труды по квантовой механике. — М., 1976.

6. Поляков А.М. Калибровочные поля и струны. — Ижевск., 1999.

7. Рыбаков Ю.П., Санюк В.И. Многомерные солитоны. Введение в теорию и приложения. — М., 2001.

8. Broglie L. de. An ¡introduction to the Study of Wave Mechanics. — Methuen & Co. Ltd, 1930.

9. Holland P.R. The Quantum Theory of Motion: An Account of the de Broglie—Bohm Causal Interpretation of Quantum Mechanics. — Cambridge, 1993.

10. Zheng-Johansson J.X., Johansson P-I. Unification of Classical, Quantum and Relativistic Mechanics and of the Four Forces. — N.Y., 2006.

11. Иванов Г.П. Стоячая волна — верховный учитель физики [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://www.tts.lt/ nara/stechwelle/stechwelle.htm (дата обращения: 24.4.2014).

12. German D.A. Special Relativity [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http:// www.relativity4u.com/index.html (дата обращения: 13.5.2014).

13. Shanahan D. A Case for Lorentzian Relativity // Foundations of Physics. — 2014. — Vol. 44, Issue 4.

14. Гончаров А.И. Стоячие волны как системы отсчета: классическая модель релятивистского пространства-времени // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2013. — 1/2(77).

15. Гончаров А.И. Наглядная интерпретация релятивистской кинематики с помощью метода стоячих волн (часть 1) // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2014. — 1/2(81).

16. Гончаров А.И. К проблеме наглядной интерпретации релятивистской кинематики : препринт АлтГУ. — Барнаул, 2014.

17. Багров В.Г., Белов В.В., Задорож-ный В.Н., Трифонов А.Ю. Методы математической физики. IV. Уравнения математической физики. — Томск, 2002.

18. Крауфорд Ф. Волны. — М., 1976.

19. Бьеркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. — Т. 1. — М., 1978.

20. Бройль Л. де. Волновая механика и корпускулярная структура вещества и излучения // Избранные научные труды. — Т. I. — М., 2010.