CC BY
12Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 18.2013
УДК 531.1
ОБ УРАВНЕНИЯХ ШРЕДИНГЕРА РЕПАРАМЕТРИЗАЦИОННО-ИНВАРИАНТНЫХ СИСТЕМ
Костяков И.В., Куратов В. В.
Уравнение Шредннгера получено предельным переходом процедуры квантования релятивистской частицы при с ^ ж.
1. Введение
Обычно, уравнение Шредннгера вводится аксиоматически, а в качестве мотивировки приводятся идеи волн де Бройля и оптпко-,механической аналогии Гамильтона [1]. В данной работе мы будем рассматривать эти уравнения как следствия наличия связей для репараметризационно-инвариантных (РИ) лагранжианов свободных рблятивистскои И Нбрб-лятивистской частиц. Главная особенность квантования РИ систем [21 заключается в невозможности сразу записать уравнение Шредннгера из-за тождественного зануления гамильтониана Н = 0. Другая особенность состоит в появлении дополнительных уравнений связей К = 0, которое нужно как-то учитывать при квантовании. Обе особенности происходят из свойства РИ системы и, в некотором смысле, компенсируют друг друга, делая процедуру квантования интуитивно более понятной. Попросту говоря, уравнение Шредннгера исчезает, а его роль берет на себя квантовое условие связи К\ф) = 0, что выглядит весьма
Оказывается [3], любое действие можно преобразовать к РИ виду, где квантование редуцируется к уравнению связи К\ф) = 0. Обычно, лагранжиан содержит некоторые физические параметры, которые при предельных значениях кардинально меняют симметрию действия и свойства описываемой системы. Если одно из действий связыванных таким предельным переходом обладает свойством РИ, то этого можно ожидать и от другого. Тогда и квантование одной системы должно
© Костяков И.В., Куратов В.В., 2013.
быть связано с квантованием другой предельным переходом. В данной заметке мы продемонстрируем это на примере предельного перехода от квантования релятивистской частицы к нерелятивистской.
2. Нерелятивистское квантование
Напомним каноническую процедуру квантования [1, 4]. Она основывается на понятиях гамильтониана и скобок Пуассона. При этом время не является динамической переменной, а выступает как параметр эволюции системы. Уравнения движения в гамильтоновой форме для классической нерелятивистской механической системы с действием
Б = ! Ь(х,х)АЬ, (1)
каноническим импульсом
= д^.
Р дхг
и функцией Гамильтона
Н (р,х) = piXг — Ь(р,х), (2)
имеют вид
хг = {хг, Н}, рг = {рг, Н}, (3)
где скобки Пуассона для функций А(х,р) и В(х,р) от координат хг и
рг
= Л(дАдВ_дАдВ \ (4)
' ¿V дхг дрг дрг дхг)'
В частности,
{хг/ру} = Ьгу. (5)
Состояние квантовой системы определяется комплексным вектором \ф) гильбертова пространства с нормировкой (ф\ф) = 1. Постулируется, что все динамические переменные становятся операторами, а скобки Пуассона заменяются на коммутаторы. В частности, координата и импульс хг и рг, удовлетворяют коммутационным соотношениям
[хг,ру] = 1К{хг,ру} = 1К5гу, г,] = 1, 2, 3,
(6)
и образуют алгебру Гейзенберга, которую можно реализовать действием на функциях ф(х) операторами
хг = х, рг = —г» ^ (7,
А
функцией А(х,р), сопоставляется оператор А = А(х,р), действующий в гильбертовом пространстве и зависящий уже от операторов координат х и импульсов р. Измерение величины А в состоянии \ф) дают разные собственные значения оператора А. Среднее значение величины А в состоянии \ф) вычисляется по формуле А = (ф\А\'ф), а его эволюция
определяется уравнением Гейзенберга А = »[А, Н].
Эволюция вектора состояния со временем определяется унитарным оператором эволюции, сохраняющим длину вектора \ф,г)
\ф,1) = и(I) \ф, 0) = е-*Н \ф, 0). (8)
Дифференцирование (8) дает уравнение эволюции состояния \ф,г), которое называют уравнением Шредингера
д
г»- \ф,1) = н \ф,г). (9)
Вектор состояния \ф,1) в координатном представлении можно разложить по собственным \ х) х {.х \х) = 8(х'—х) и получить уравнение Шредингера для волновой функции ф(х,Ь) = (х\ф,г)
д
г»—Ф(х,г) = нф(х,г). (ю)
Разные физические системы могут приводить при квантовании к разным уравнениям. Например, для нерелятивистской свободной частицы с гамильтонианом
Н = ^ = ——А (11)
2т 2т ' 1 ;
уравнением Шредингера является уравнение теплопроводности в комплексном времени
г»^ = — - Аф, (12)
дг 2т к '
которое и было открыто Шредингером в 1925 году, а для релятивистской свободной частицы уравнением Шредингера оказывается уравнение Клейна-Гордона. В этом смысле уравнение (9) является самым общим уравнением Шредингера.
В следующем пункте мы расширим коммутационные соотношения (6), добавив туда время Ь, как новую динамическую переменную.
2. Квантование релятивистской частицы
Действие для свободной релятивистской частицы задается длиной мировой линии Хг(т), г = 0,1, 2, 3, Х0 = сЬ, т - параметр мировой линии
Б = J Ь(Хц)ёт = —mcJ уХ2 — Х2 ¿т. (13)
Канонические импульсы
дЬ тсХ0 дЬ тсХг
дХ0 л/^—Х2 дХг Ф0—Щ
удовлетворяют соотношению Эйнштейна
Крел = р1 — т2с2 = 0, (15)
которое является первичной связью и следствием вырожденности гессиана [5]
д2Ь
С = .
д Х г дд Х J
Рассмотрим
квантование свободной релятивистской частицы. Появ-
Х0
необходимости расширить коммутационные соотношения (6)
[Х^,Ри] = —гКп^, = 0,1, 2, 3, = (+----). (16)
т
ляется унитарным преобразованием
\ф,т) = и(т) \ф, 0) =е"*йт \ф, 0). (17)
что приводит к уравнению Шредингера
д
гК— \ф) = Н \ф). (18)
Действие (13) обладает свойством РИ
т ^ т'(т),
следствием чего, по второй теореме Нетер, является равенство нулю гамильтониана
Н = РХ — Ь = 0. (19)
Поэтому обычная схема квантования [4, 5], приведенная выше для нерелятивистского случая и связанная с гамильтонианом, здесь не проходит. Действительно, в уравнении эволюции (18) правая часть равно нулю. т
часть тоже равна нулю. Оказывается [5], единственным условием на вектор состояния будет операторное уравнение связи (15)
Крел \ф) = (Р0 — Р2 — т2с2) \ф) = 0, (20)
\ Х)
Х Ц Х Э, Р ц
дд Ро = гК—, Рг = —гК—, (21)
сдЬ дХг
даст уравнение Клейна-Гордона
1 д2 т2с2
С2 оТ2 Ф — ДФ + Ф = °. (22)
Данная схема квантования не использует уравнение Шредингера (18), а время и координаты содержит равноправным образом [6].
3. Нерелятивистский предел
Теперь рассмотрим нерелятивистский предел с ^ ж описанной выше схемы квантования. Действие для нерелятивистской частицы получаем предельным переходом Х0 ^ Хг
Б = —тсу л/ Х02 — Х2 ¿т =
V
= — тс
1 — ¿т
Х 0
(23)
2
т
Х2
тс
Ш +2
Обычно на этом шаге выбирают калибровку г = т, после чего РИ нарушается, а лагранжиан принимает знакомый вид
• 2
I = (М)
Мы, однако, не будем фиксировать калибровку. Тогда действие (23)
Н
и наличию связей:
дЬ 2 тх2
р = Ж = —тС — ^,
р = дЬ = т1, ^
дхг г
рг2 2
Кнерел = рг — ^т + тС = 0.
Как и в случае для релятивистской частицы, при квантовании, единственным условием на вектор состояния будет К\ф) = 0 или
д »2
г»— \ф) + тс2\ф) = — — А\ф). (26)
Поскольку, вектор состояния определен с точностью до фазового множителя, сдвигая фазу состояния
\ф)^ е*\ф),
мы избавляемся от второго слагаемого в (26) и приходим к уравнению Шредингера (12).
4. Выводы
Мы обсудили особенности и естественность квантования РИ систем, см. также [3]. Мы показали также, что результаты [3] можно получить и предельным переходом процедуры квантования свободной релятивистской частицы с РИ действием.
Литература
1. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Квантовая механика ^нерелятивист-екая теория).// М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 808с.
2. Henneaux М., Teitelboim С. Quantization of gauge systems. // Princeton Univ. Press, New Jersey, 1992. 540p.
3. Deriglazov A, Rizzuti B.F. Eeparametrization-invariant formulation of classical mechanics and the Schrodinger equation.// American Journal of Physics, V.79, N 8, 2011, Pp. 882-885. ArXiv:1105.0313 [math-ph].
4. Дирак П.A.M. Лекции по квантовой механике. // Любое издание.
5. Гитман Д.М., Тютин И.В. Каноническое квантование полей со связями.// М.: Наука, Гл.ред. физ.мат. лит., 1986. 216с.
6. Уэст П. Введение в суперсимметрию и супергравитацию. // М.:Мир, 1989. 332с.
Summary
Kostyakov I.V., Kuratov V.V. Schrodinger equations of EI systems. The Schrodinger equation is derived by limiting transition of quantization procedure for relativistic particle.
Отдел математики КНЦ УРО РАН Поступила, Ц.11.2014
