CC BY
72
УДК 531.08
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ДАЛАМБЕРА К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
С. В. Баев, д. т. н., проф., Ю. С. Пикуш, студент
Актуальность проблемы. К решению волнового уравнения приводят многие задачи о поперечных колебаниях натянутой струны, крутильных колебаниях валов, продольных нелинейных колебаниях стержня. Известная в литературе [1—3] процедура построения этого решения при заданных начальных и ненулевых граничных условиях довольно громоздка, что приводит к большим трудностям при исследовании решения. В связи с этим представляет интерес построение решения краевой задачи для однородного линейного волнового уравнения с неоднородными граничными условиями, удобного для исследования. Для этого можно применить метод бегущих волн.
Постановка задачи. Построим решение уравнения поперечных колебаний натянутой струны
Э2и 2 Э2и
Эг2
■ а
Эх2
при заданных начальных условиях
г = о Эи
Эг
г = о
= I (х)
= Р (х)
и неоднородных граничных условиях
и
х = 0
= У(г К
х = Ь
= у2(г).
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Здесь и = и (х, г) — поперечное перемещение точек струны, х — абсцисса, г — время, Ь — длина струны. Функции у(г) и у2(г) определяют закон вертикального перемещения левой и правой опор, на которых крепится струна. Предполагается, что они непрерывны и периодические, в отличие от работы [6], с разными периодами, которые соответственно равны 21 и 211. Очевидно, начальные и граничные условия должны быть совместными, т. е. удовлетворять равенствам
I (0) = у (0), I (Ь) = у (0), Р (0) = у' (0), Р (Ь) = у; (0).
(6)
Решение задачи. Для решения линейной задачи справедлив принцип суперпозиции. Будем искать решение задачи в виде суммы двух функций:
и( х, г) = у1 (х, г)+у2 (х, г).
(7)
Пусть первая функция У1 (х, г) удовлетворяет однородным граничным условиям и определенным начальным, которые определим позже. Тогда вторая функция У2(х, г) должна удовлетворять неоднородным граничным условиям (4) и (5):
х = 0
(8)
и
V
2
x = L
= y2(t).
(9)
В отличие от решения, предложенного в работе [4], используем следующий прием. Поменяем ролями переменные х и ^. Перепишем уравнение (1) в виде
Э2u _ 1 Э2и Эх2 a2 Эt2 '
(10)
Его решение v2 (х, t) методом Даламбера имеет вид
y It - х I + y i [ t + х I t+a
лч V a) I a) a г ... . v2 (x, t) = —^-J—-^-J- + - I f (z)dz
2
2
(11)
и удовлетворяет условиям
v.
2
/ ч Эv2 = ¥i(t), ^ x = 0 Эх
x = 0
= f(t).
(12)
v
2
x
t -
a
Функцию ) определим позже. Разложим функцию ) в ряд Фурье с периодом Т = 21, а пока не определенную функцию ) представим в виде суммы двух рядов Фурье с периодами Т = 21 и Т = 211:
ап ¥
y(t) = -0 + S an cos — +bn sin —, (13)
2 n=i
c _ f(t) = f + S Cn cos
2 ^ n
n=1
*
npt +bn . npt
sin-,
l n l
npt +d„ . npt
sin--+
l n l
c0 -A * npt ,* . npt +—- + > с cos--+dn sin-.
nn 2 n=1 l1 l1
(14)
где коэффициенты Фурье a0, an, bn определяются известными формулами. Подставляя в
х х
равенство (13) вместо t сначала t--, а затем t +— и складывая результаты в левой и правой
a a
части, получим разложение в ряд Фурье для первого слагаемого правой части формулы (11):
y It - х I + y It + х I ¥ p p
V a) V a) a0 ^ npt npx , . npt npx
—------- =--+ > an cos--cos--+ bn sin--cos-. (15)
2 2 tí n l a ■ l n l a ■ l
Второе слагаемое формулы (11) с учетом равенства (14) преобразуется к виду
х t-+-
a "
2
a
J ffz)dz =
a í * Л
a f I c0 nnz . npz c0 * npt * . np =—• I — + > cn cos--Ш„ sin--I-— + > c cos--Ш„ sin—
9 J 9 n 1 n 1 П ' n J n 1
2 x V 2 n=1 l l 2 n=1 1 1 )
a
dz.
После упрощения находим:
^^чт c0 'х v^ al npt . npx 1 al . npt . npx c*x
— I f(z)dz =--+ У cn---cos--sin--+ dn---sin--sin--\---+
2 Jx 2 n=i np l al np l al 2
t—
a
* aL npt . npx 7* aL . npt . npx cn--cos-sin--+dn--sin-sin-.
n=1 np l1 al1 np l1 al1
Складывая выражения (15) и (16), находим функцию v2 (x, t) :
v2( x; t) = ^ + Cox + ^ +
2 2 2
■A npt npx 1 . npt npx
+ У an cos-cos--+ bn sin-cos--+
l al l al
n=1
al npt . npx , al . npt . npx
cn — cos-sin--+ dn — sin-sin--+
n=1 n np l al n np l al
Z* al1 npt . npx al . npt . npx
cn —L cos-sin--+ dn —L sin-sin -
n=1 np l1 al1 np l1
Разложим функцию y2 (t) с периодом 2l1 в ряд Фурье:
Теперь определим коэффициенты c*, c* и d*. Подставляя x = L в равенство (17) и учитывая граничное условие (9) и равенство (18), приходим к тождеству:
a0 -A npt п . npt a0 npt npL . npt npL
--+ У an cos--+p„ sin-=--+ У an cos-cos--+ bn sin-cos--+
2 tí " l1 l1 2 tí " l al n l al
c0L ^ al npt . npL „ al . npt . npL
+---+ У cn — cos-sin--+ dn — sin-sin--+
2 n=1 n np l al n np l al
c*L * al, npt . npL .» al, . npt . npL +---+ У cn —Lcos-sin--+ dn —Lsin-sin-.
2 n=1 n np l1 al1 n np l1 al1
(17)
a0 ^ npt _ npt /юл
У2 (t) = + yan cos — +bn sin— . (18)
2 1 4 l
n=1 1 1
x t+-
^ , , , npt npt . npt
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях sin—, cos^—, sin —— и
npt
* 7 7*
cos- в левой и правой части, найдем c0 + c0, cn, dn, cn и dn:
li
npL 1 npL _ an cos--bn cos-
co + c,*-^0, cn -_--d - al
L ' n al . npL' n al . npL'
— sin--— sin-
np al np al
* „p 1
c* = «
n n
al • npL
al
,» „ np 1 d* =ß„ — ■
sin-
al ■ npL 1 sin-
al1
Подставляя эти коэффициенты в равенство (17), находим функцию v2 (x, t) :
/ ч a0 npt npx 1 . npt npx « - a0 x v2(x;t) =--+ Zan cos-cos—— + b„ sin cos—— +
2 „=, l
n=1
npL
al
l al npL
— +
L2
¥ (- a„)cos- _ (- b„)cos- _
Z4 „' ai npt . npx 4 n' ai npt . npx
-— cos-sin-+-— sin-sin-+
. npL l al ■ npL l al
sin
al
. npL
sin-
al
1 npt . npx n 1 . npt . npx
a„-cos-sin--+ ß„-sin-sin-.
n=1 n . npL I al „ . npL I al,
sin
Упрощая, получим:
(x; t) = 041 - x I + ^ + Z
al
x I x
sin
L ) 2 L
an cos-
„pt
n=1
al
„pL
cos-
npx al . npx
cos---sin-
al . „pL al
sin-
al
+
f
-A 7 . npt
+ Z b„ sin-
n
„=, l
npL
cos-
npx al . npx
cos---^-r- sin-
al . „pL al
sin-
al
+Z«„
n
sin
1 npt npx
-— cos-sin--+
npL l1 a/j
al
(20)
+Zßn
sin
1 npt np x sin-sin-.
al
npL l
al
Здесь коэффициенты
ao, a„, bn, «о, «„, ßn определяются формулами
an =-
1 1 1
- yx(t)dt, a„ = - JVj(i) ■ cos „—dt , bn = - Jy,(t) • sin „—dt ,
-l
«о = —
if 1 f npt 1 f npt
- J У2 (t)dt, an = — Jy2{t) ■ cos—dt, ß„ = — J ^(0 ■ sin—dt,
-l
-l
-l
Проверка показывает, что построенная функция удовлетворяет неоднородным граничным условиям (8) и (9).
Теперь определим функцию У1 (х, ^), которая должна удовлетворять однородным граничным условиям и новым начальным условиям
Эу,
= f (x), —it = 0 Jiy ' Эt
t = 0
где
fi( x) = f ( x) - V 2
, F,( x) = F (x) —^ t = 0 iW V ' Эt
t=0
v
2
l
n=i
n=i
V
Отметим, что в силу равенств (6) функции /(х) и Р1(х) обращаются в ноль на концах струны
/1 (0) = /(0) - (0,0) = /(0) - у (0) = 0,
/ (Ь) = /(Ь) - У2 (1,0) = /(Ь) - У2(0) = 0 , ЭУ2(X, 0
^(0) = F(0) -Fl( Ь) = F (Ь) -
Эг
дУ2(x, г)
Эг
= F(0)-у'(0) = 0 .
х = 0, г = 0
= F (Ь)-у2 (0) = 0. х = Ь, г = 0
Построим решение Даламбера. Используя прием, который применял Н. Г. Бондарь [5], продолжим функции /1 (х) и F1 (х) периодически с периодом, равным 2Ь, причем нечетным образом. Легко доказать, что в этом случае разбегающиеся волны гасят друг друга на концах струны и однородные граничные условия удовлетворяются автоматически. Теперь решение Даламбера является также и решением краевой задачи с однородными граничными условиями. Функции /1 (х) и F1 (х) могут быть разложены в ряд Фурье по синусам в силу их нечетности:
. ПШ ^,ч ^7 • ПШ
/1(г) = £ Й1П sin ПШ , Fl(г) = £ Ь
П=1 (21)
Ь ; 1 чу ^ 2П т
П=1 Ь П=1 Ь
где
о 1
7 2 г . . . . ПШ ,
Ь1п =- i /г (х) • — ёх , (22)
Ь 0 Ь
2 ь пш
Ь2п = ^ |f1(x) • .
Ь 0 Ь
Подставим правые части равенств (21) в решение Даламбера:
/1 (х - аг) + /1 (х + аг) 1 „ ч ,
у, (х, г) = —-——-- + — к (1)йх.
1 2 2а Л 1
Первое слагаемое правой части последнего равенства принимает вид:
/ (х - аг)+ / (х + аг) ^ . пш пшаг —-Чг^-" = 2 Ьщ эт — • есв—. (23)
1п т т
П=1 ^ ^
Упростим второе слагаемое
где
1 х+аг 1 х+аг ¥ ¥ ,
1 г 1 г . пшг , . пшх . пшаг ^^
— I 2М2 = — I 2Ь2П вт-—= 2Ь3П вт-— • вт——, (24)
2 с пшх
Ь3п =-| F1(x) • эт-ёх. (25)
ап ш 0 Ь
Складывая почленно равенства (23) и (24), получим функцию У1 (х, г)
ч \ i nrnit , . nrnit i . npx , ч
v(xt)=z I bin • +b3n'sin _^Jsin '
где коэффициенты b1n и b3n определяются формулами (22) и (25).
Вывод. Решение волнового уравнения (1) при заданных начальных условиях (2) и (3) и неоднородных граничных условиях (4) и (5) имеет вид
u (x, t) = v1(x, t) + v2 (x, t) ,
где функции Vj( x, t) и v2( x, t) определяются формулами (26) и (20). Его вид значительно проще, если сравнивать с известным решением [1; 2], и он удобен для исследования. Например,
n ■ L n ■ L
анализ выражения (20) приводит к выводу, что в случае, когда число - или - является
a ■ l a ■ l1
целым, то наступает резонанс по n -й гармонике, и амплитуда колебаний неограниченно возрастает. Это объясняется отсутствием сил вязкого сопротивления.
Замечание. Полученное решение можно применить, если функции y1 (t) и y2 (t) заданы на конечном интервале, непрерывны, но не являются периодическими. В этом случае их можно разложить в ряд Фурье с периодом, равным удвоенному конечному интервалу.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. — М.: Высшая школа, 1970. — 710 с.
2. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1966. - 443 с.
3. Араманович И. Г., Левин В. И. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1969. - 286 с.
4. Баев С. В., Пикуш Ю. С. Применение метода Даламбера к построению периодических решений уравнения колебаний струны при неоднородных краевых условиях. // Theoretical Foundations of Civil Engineering - XY. - Warsaw: 2007, pp. 21-24.
5. Бондарь Н. Г. Нелинейные автономные задачи механики упругих систем. - К.: Бущвельник, 1971. - 140 с.
6. Баев С.В., Пикуш Ю.С. Построение решения уравнения колебаний струны при неоднородных краевых условиях. // Вюник Придшпровсько! державно! академи будiвництва та архггектури. - Д.: ПДАБА, 2007. - № 12. - 68 с.
УДК 531.08
Применение метода Даламбера к решению уравнения колебаний струны с подвижными концами /С. В. Баев, Ю. С. Пикуш //Вкник ПридншровськоТ державноТ академп будiвництва та архггектури. - Д.: ПДАБА, 2007. - № - С. Бiблiогр. : (5 назв).
Представлено решение задачи о колебаниях натянутой струны, закрепленной на концах. Концы струны совершают периодические поперечные перемещения с различными периодами. Для решения использован метод Даламбера.
