Равномерные оценки осцилляторных интегралов с выпуклой фазой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.5

раздел МАТЕМАТИКА

РАВНОМЕРНЫЕ ОЦЕНКИ ОСЦИЛЛЯТОРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ С ВЫПУКЛОЙ ФАЗОЙ

© Д. Д. Туракулов

Самаркандский государственный университет Республика Узбекистан, 140104 г. Самарканд, Университетский бульвар, 15.

Тел.: +7 (8366) 231 06 32.

Е-таіІ: davirt@rambler.ru

Рассмотрена гиперповерхность S с К"+]'. Пусть dm = y(x)dS(х) , где dS(х) — поверхностная мера на £ и у є С0° (£) — фиксированная гладкая функция с компактным носителем. Рассмотрены равномерные по направлениям оценки преобразования Фурье меры (заряда) dm и в случае, когда поверхность £ выпукла. Получены оценки, которые оптимальны для выпук-

1

лых гиперповерхностей с показателем осцилляции р <

2

Ключевые слова: гиперповерхность, гладкая функция, показатель осцилляции, оптимальная оценка.

1. Постановка задачи

Пусть £ с К"+1 - гиперповерхность, заданная в виде графика выпуклой функции

хп+1 = Ф(х1 = х2,....=хп).

В дальнейшем для определенности мы будем считать

Ф(0,0,...,0) = О, УФ(0,0,...,0) = 0.

Определим меру dm = W(x)dS(х) для гладкой функции с компактным носителем, т.е. у(х) є С ¥ (£)

dS(х) =д/1 + |УФ(х)| dx1dx2...dxn ■ Рассмотрим преобразования Фурье меры dm ■

/(Х) ■= фОЙ = |ехрОСг^УтСг) (1)

S

Пусть Ф(у) - выпуклая гладкая функция конечного типа в некоторой выпуклой окрестности нуля. Согласно теореме Шульца [1], существуют ортогональная матрица А и выпуклая окрестность нуля и, обладающие следующими свойствами:

1) для Ф имеет место равенство Ф(Ау) = Р(у) + К (у), где Р(у) квазиоднородный выпуклый многочлен с

1 1 1

весом

к1 ’ к2

к.

т.е. для Р( у) имеет место сле-

дующее равенство: для любого г> 0 и у є К" \{0}

Р(тк'у„г*2у2,...ткпуп) = тР(у), Р(0) = 0, Р(у) > 0,

2) для любого у ф 0 для остатка К(у) выполняется следующее соотношение: существует такое е > 0, что

Ііт

Г®+0

Я^у^ у2,-..,ткпуп)

= 0.

Причем последнее соотношение выполняется равномерно относительно у єи .

Аналогичная задача для осцилляторных интегралов поставлена в работе [2] и рассмотрена в ряд работ В. Н. Карпушкина [3, 4].

Основным результатом работы является следующая теорема.

Теорема. Существует окрестность нуля и, такая, что для любой функции у є С~ (и) имеет место следующая оценка

сЫ,

dm(X) < -

где р = тЫ

{Г и}

IX

ІС 2(и) р

I 1 1

и =—+—+. к1 к 2

к.

к1, І = (1, п) четные натуральные числа, определенные из разложения Шульца, ||у| 2 норма функции на С2.

2. Схема доказательства теоремы

Так как по условию S задана в виде графика выпуклой функции, то мы можем написать следующее:

(Х,Х) = Х1Х + Х2Х2 + ... + Хп Х" + Ф(х)Х"+1 . Рассмотрим осцилляторный интеграл, полученный из dm(X) заменой переменных х = Ау и Л'Х = X ■

/ (Х=| ехР°'(Ф1(у)Х+1 + ^у&1 ))ЫуШ..Луп,

£ ]=1

где У(у) = у(у)ф + |УФ>1(у)|2 и Ф1 (у) = Ф(Ау).

Не ограничивая общности, мы можем предполагать, что носитель у содержится в некотором шаре с центром 0 и с радиусом 1. Если

Х"+1І < М ■ тах1х1 1<к<п

с фиксированным положительным числом М, то мы можем выбрать окрестность и , такую, что для интеграла / (X) справедливо неравенство

С

/ (Х) < ,

где N - любое фиксированное положительное число. Последнее неравенство вытекает из формулы интегрирования по частям.

Далее будем предполагать, что

ІХ+1І ^М ■ тах1Х1 ■

1<к <п

Обозначим через С¥Д < |у| < 2) неотри-

0 ^2 ^

цательную функцию, такую, что для всех

1

и

г

y е supps\ {(0,0)} имеет место следующее соотношение

£s(d (у)) = 1,

П=0

V V

где ^ (у) = (2к,у1,2к2 у2,...,2Куп).

В этом случае, согласно теореме Лебега о можо-рантной сходимости, для фиксированного X осцилля-торный интеграл J(£) выражается в виде суммы следующего ряда:

J (X) = £ Jv(X),

где

Jv(X) = J exp(i(^l(y)Xn+l +^иуЛі ))y(y)s(d2v (y))dy,

D j=1

D n TT^TyWTWI^ О ГТ А^ТТПЛТТ n TDn

Б с Я" некоторая область в Я".

Далее рассмотрим оценки для интегралов Jv (£). Воспользуемся заменой переменных

8 (у) = 2 .

Тогда у = 82-п (г), <}у = 2 dz,

и 1 1 1

щ = — +— +... + —, к, к2 кп

и общий вид интегралов Jv (£) меняется следующим образом:

Jv (Х) = | ехР( 1 (Ф,(у)Х"+, +

Б

+ X у)) у (у)а(82п(у))^ =

1=,

= 2 | ехр( I (Х" + ,( Р (82-V ( г ))) + Я (82-V ( г )) +

+^YXj ■2 j' zj))yd2v(z)s(z)dz=

xn+1 j=1

= 2va jexpiXn+l • 2-V(P(z) +2VR(d,-, (z)) +

+^ XX/'2 J ' zj(z))s(z)dz

Xn+1 j=1

Здесь мы воспользовались тем, что P - квазиод-

1 1 1

т. е.

нородный многочлен с весом (_

к1 к 2 кп

равенством Р(82-п (г)) = 2-пР(г).

Теперь рассмотрим следующие три случая:

1. Пусть |х + 2~п| <М для некоторого М > 0.

В этом случае из тривиальной оценки для интегралов получим

I С • 2~Па У < С 2—.

1 + |х+12 п

Теперь оценим интеграл (1). Суммируя по V, получим требуемую оценку. Действительно,

X |л|<, X ^■

|&+12-1<М |Х„+12-1<М 1 + Х„+12 х„+1|

2. Пусть X +12-^ >М . Обозначим через

£ -V

у = Х1 2 к I = (Тп). Тогда общий вид интегралов Х»+1

Jv преобразуется следующим образом:

Jv = 2Ча | ехр(1(Х„+1 • 2-V (Р( г) +2VЯ(82-v (г)) +

+X У]г])) y(82-v(z))s(z)dz

1=1

Напомним, что для остатка Я выполняется соотношение: при 2V Я(8 ,, (г)) ® 0 в С¥, и

эту сходимость следует понимать в следующем смысле. Допустим, N - фиксированное натуральное число. Для произвольного положительного числа е существует положительное число Д, такое, что при любом V > Д.

|2Я(8^(г))||^ <е.

Справедлива следующая лемма.

Лемма 1. Существует Д0 > 0, удовлетворяющее

условию: если |У| >д , то для любого V справед-

ливо неравенство:

J\<-

С • 2-

1 + |Xn+l2-VV

► Без ограничения общности мы будем предпо-

компактное

лагать, что |у| > До. Так как ге Б и Б -множество, то можем предполагать, что

^ (Р(г) + 2''Я8 (г))) <Д° бг1 2 2

и для любого N существует CN, такое, что

||Р(г) + 2VЯ8 (г))^(б) < CN ■

Интегрируя по частям несколько раз внутреннего интеграла, получим требуемую оценку. Действительно,

JV= 2 |ехр(г(/, z/))dz/x

Б

х |ехр(Х„+12-V(Р(г) + 2^8 (г)) +

^l(D)

+ (g, z'Wd-v (z))S(z)dzl

i2-VX

- J exp(i(g, z'))dz' x

n+1 D'

x J exp(iXn+l2-V(P(z) + + 2V R(S2-v (z)) +(/, z ))~(z,v)dzl = .

2-vl'J

Pl(D)

+ 2VR(S2-V (z)) + (g ,z'))a(z,v)dzl = )

(i2 xn+1)

-O (1),

где

Wd-v(zMz)

~(z,V) =------------ -, (g,z) = ^gjzj

o N . j=2

(Л +^ (P(z)+2vR(STn(z)))f

dz, 2

и ^,(^) - сечение области D с плоскостью

z' = const. ◄

Лемма 2. Существует A > 0 и N, удовлетворяющие условиям:

Если ||^| <А и v> N, то для интегралов Jn

справедлива следующая оценка:

V

D

V=0

D

D

V

V

238

раздел МАТЕМАТИКА

С • 2-

\J\<-

1 +|Xn + 1^ |N

► Пусть z0 е D0 = sup p(s) n D - фиксированная точка. Из соотношения однородности Эйлера

~z---------1— z2--------+...+— z — = P

k1 Ozl k2 Oz2 kn Ozn

1 дР 1 дР 1

+-к

вытекает, что УР(г0) Ф 0. Без ограничения общности

будем предполагать, что дР(г ) ф 0.

дг1

Следовательно, существует окрестность и(г0) точки г0, такая, что для любой г є и (г0) справедливо: дР( г)

lz1

> С > 0.

Мы можем выбрать Я , такое, что

С

II/” + 2VR(S2v (z)) с2 < - .

Пусть се С0¥ (и(г0)) - некоторая гладкая функция с носителем в и (г0). Рассмотрим интеграл

Jz = 2-\а | ехрСХ+^ЛРф +

Б

+ ТЯ(82-,(г)) + (у, z))(~(82-v (г))а(г)с(г№.

Так как

д

lz1

(P(z) + 2-Rd (z)) + (у,z)) =

-?+1,(ГЯ8 <*»+* >С

для любого г е и (г0), то, интегрируя по частям несколько раз последнего интеграла, получим следующую оценку:

JX= 2-Vax J

(exp(Xn+l 2-V(P(z)+2VR(d2- (z))+(2, z)));

U(z0) iXn+l2-V(f +/- (2VR(d2-v (z))+ у))

оЦ оЦ 2

xy(d-v (z))a(z)c(z)dz=... =

2

-vH

(iXn+l 2-V)N

O(1).

Так как г0 - любая точка, то мы можем выбрать конечное покрытие и соответствующее разбиение единицы. Оценивая полученный интеграл, имеем:

С 2-,/Н

и I<——----------

г 1+|x„+l2-у N

при у<Л, V > N .◄

Мы можем выбрать а, такое, что 8ир ра п 8ир р {~(82-„ (г)) = 0 при V < N. Следовательно, J = 0 при V < N.

Как в первом случае мы можем получить оценку для (1). Действительно,

С

Ж!< X —— <

Xn+l2-|>М \Х+12-"\>М 1 + Xn+12 '

С

-•X

І"НН

С

\Xn+l\ \Хпа2-\>М |4+l| \Xr+

Итак, осталось рассмотреть случай,

3) когда V > N и Я < у < Д0, где 1, Д0 - фиксированные положительные числа и N - достаточно большое фиксированное число.

Пусть у0 - фиксированный ненулевой вектор. Обозначим через

Я (г, у0) = Р(г) + (г, у0).

Лемма 3. Пусть г 0 е Б0 - фиксированная точка, удовлетворяющая условию

У Я (г 0,у°) ф 0.

Тогда существуют положительные числа ^,е и окрестность и(г0), такие, что при любом

Се С0¥(и(г0)) и у > N0, |у-у°| < е для осциллятор-

ного интеграла J у имеет место следующая оценка:

I С • 2-1/ М

JС(X) < ^ 2 ^ ■

1 + |Х„+1 • 2-V |

Доказательство леммы 3 аналогично доказательству леммы 2.

Согласно лемме 3, нам необходимо рассмотреть лишь достаточно малые окрестности критических точек функции Я(г,У).

Пусть Ст = {г е Б : У Я (г, у") = 0} (Ст - замкнутое множество). Отметим, что СЯ может быть пустым множеством. Допустим, что Ст ф 0 и г0 е ер - фиксированная точка. Тогда

УР(г0) + У = 0 (2)

Лемма 4. Пусть (г0,у°) е Я" хЯ" - фиксированная точка. Тогда существуют положительные числа ^,,е и окрестность и(г°), такие, что при любом

Се С0¥(и(г0)), V > N0 и |у-у0 <е справедлива сле-

дующая оценка

\JC(X)\ <

С • 2-

1 + Xn+l2 -v р

► Из (2), применяя соотношения однородности Эйлера, получим:

(a1z1) ((H -DZ ^

D2P(z°)

a1z2

Hz У

(а -1)у°)

= (а-1)у° ф0.

-у

Так как Р - квазиоднородный многочлен и

УР(0) = 0 то а<1 ([4]) и следовательно

’ ' 2 (1 -а)У ф 0. Поэтому вгР(г0) ф 0 и гапк(Б2Р(г0)) > 1, и мы можем применять лемму Морса, зависящую от параметра, к функции

Р(г) + 2 >'Я8 (г)) + (у, г) при г е и(г0), | у- у0 < е.

Без ограничения общности мы можем считать,

что д Р(г ) ф 0 . Согласно лемме Морса, существует дг2

замена переменных вида

a

x

а

« = ul(z,у2-у), « = ^ из = гз,...цп = гп,

такие, что

Р(г1 (и, у), и2, «3 ,...,«п) + 2 *' Я(82-у (г(и))) +

+ у г1(«,у) + (у', г') = ±«7;, («1,...,и„ ,у^2 *' ).

В интеграле сделаем замену переменных

«1 = «1( Z,У,2~У ), «2 = г2 , «3 = z3,..., «п = гп

и получим

.]^ = 2- *' М | ехр(г'х„+12- *' (±«12 +

и (0)

+ X(«2,...,«п,у,2)))ЭЛ^..dun = 2 ^ х

х | ехр(1Хп+1 2^ I («2 ,..., « , у,2- 1' ))du2 .. Л«п х

x

J exp(±2 v i'Xn+1 • u^)adu1.

р(и (0))

Применяя лемму Ван дер Корпута [5] (а также [6]) к внутренному интегралу, получим

С • 2-1/М ◄

КС(Х)| <-С-А-------------Т . ◄

1 + Х,1+12 - |’

Теперь суммируя полученную оценку по V , получим требуемую оценку для (1). Действительно,

С • 2- ■'М

1

’)-V І2

<

Е Л < Е

Xn+1 2-V |> М Xn+1 2-V |>М 1 + |X+1 2-

^-СТ Е Е2 ^ <

X I 2 IХг+1 2-vI>М ~ 2 X I 2 I Хг+1 2-v|>М |?г+1| 1 1 2 |тг+і| 1 1

С

\4г+1

____С_

\£г+1

а <

а >

Осталось рассмотреть случай H =

Предложение. Существует положительное число е > 0 такое, что для интеграла J v справедлива оценка:

. С • 2

(3)

1 + Х"+1 • 2-г |2

при доказательстве предложения используем следующие леммы:

Лемма 5. Пусть Р - квазиоднородный многочлен степени единицы с весом (а1,а2,...,ап), удовлетворяющий условиям Р(0) = 0, УР(0) = 0. Если для фиксированной точки г0 дР(г°) ф0, то

dz,

либо rank(D2P(z0)) > 2 , либо d2 P(z°)

dz 2

Доказательство леммы 5 аналогично доказательству леммы 3.3 работы [7].

Лемма 6. Если

тапк(Б2Р(г0)) > 2,

то существуют окрестность и(г0) и положительное

число е, такое, что при |у- у0| < е, и £е С0¥ (и(г0))

для интеграла J£ справедлива оценка

I С • 2^М

VС\<-СГ2--------1 ■

' 1 + |X„+l2-V |

Доказательство леммы 6 вытекает из леммы Морса с параметром [8] и метода стационарной фазы [8].

Лемма 7. Пусть Р - выпуклый квазиоднородный многочлен, удовлетворяющий условиям

Р(0) = 0, УР(0) = 0.

Если для фиксированной точки г0 е Я" \ {0}

УР(г0) + / = 0, у° Ф 0, д2Р(г0) ф0,

дг12

то существует гладкая функция g, определенная в окрестности и точки (г°,г0,...,,у12,..., у0) такая, что функция г1 ® Я(г) := Р(г) + (у, г) имеет невырожденную критическую точку g(г2,...,2п,у1,...,уп). Более того,

Р ^(г 2,..., ,у1,...,у„), г 2,..., ,у1,...,у„)

функция конечного типа в точке (г20, г30,... , гп0) при

у= у0.

Доказательство леммы 7 аналогично к доказательству предложения 3.4 работы [7].

Продолжение доказательства предложения.

Заметим, что если гапк(Б2Р(г 0)) > 2, то доказательство оценки (3) с е =1 вытекает из леммы 6. Если

2

тпк (Б2 Р(г 0)) = 1, то оценка (3) следует из леммы 7 с использованием метода стационарной фазы. Из предложения следует доказательство основного результа-

1

та при H = -

2

Работа поддержана грантом №76-06 Фонда поддержки Фундаментальных исследований АН РУз.

ЛИТЕРАТУРА

1. Shulz H . Indiana Univ. Math. J. 40, No.4, 1991. С. 1267-1275,

2. Арнольд В. И. УМН, 1973. Т. 28, вып. 5, С. 17-44.

3. Карпушкин В. Н. ДАН, 1980, 254, №1. С. 28-31.

4. Карпушкин В. Н., Труды Семинара имени И. Г. Петровского. Вып. 9, 1983. С. 3-39.

5. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм // Москва: Наука, 1987.

6. Икромов И. А. Вопросы анализа и алгебры, 1994, С. 41-48.

7. Isroil. A. Ikromov, Michael Kempe and Detlef Muller. Duke mathematical Journal. Vol. 126. No.3. 2005.

8. Федорюк М. В. Метод перевала. М.: Наука, 1977, -544 с.

Ф 0

1

а

2

1

2

Поступила в редакцию 0S.10.2007 г.