Эволюционные задачи, порождающие равномерные сжатия выпуклыхзамкнутых поверхностей в точку Текст научной статьи по специальности «Математика»

Н. М. Ивочкина

ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ, ПОРОЖДАЮЩИЕ РАВНОМЕРНЫЕ СЖАТИЯ ВЫПУКЛЫХ ЗАМКНУТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ТОЧКУ*

1. Постановка задачи

Пусть Г Є Нп+1 —достаточно гладкая строго замкнутая гиперповерхность, М Є Г — произвольная точка, и(М) —внутренняя нормаль, д = (д^) — метрический тензор, симметричная матрица Ь порождает вторую квадратичную форму (Ь£,£),£ Є Нп. Если X Є Кп+1 —вектор позиции этой поверхности, в = (в1, ...,вп) —какая-либо локальная параметризация Г, то

дХ

9ij (-^¿i Xj), Ь (Хвв, v) ({Xij, г/)), Xi , i,j 1

Здесь и далее (,) —евклидово скалярное произведение в Rn+1. Назовем матрицей кривизны поверхности Г симметричную матрицу K := g-1/2bg-1/2. Матрица K[Г] является геометрическим инвариантом и ее собственные значения в каждой точке М G Г совпадают с главными кривизнами hi[Г](М),i = 1, ...,n. Если Г строго выпуклая поверхность, то ее главные кривизны положительны, hi > ... > hn > 0, и для компактных достаточно гладких поверхностей определена постоянная

П(Г) = infШ

К J г кп(М)

В геометрической литературе (см., например, [1]) при введении постоянной П(Г) или ее оценки сверху употребляют термин pinching.

Для замкнутой гиперповерхности символами d-, d+ обозначим минимальное и максимальное расстояния между параллельными касательными плоскостями соответственно.

Назовем эволюцией {Г(£),£ G [0; T)} однопараметрическое семейство замкнутых поверхностей и через v(t,M) обозначим нормальную компоненту скорости, т. е. vpt] := Xt, v) [Г4].

Определение 1.1. Эволюция {Г(£),£ G [0; T)} называется равномерно сжатой, если найдется постоянная C > 1 такая, что

£§И ‘е[0;П

В современной теории полностью нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка центральное место занимают функции симметричных матриц со специальными свойствами. Именно, пусть Sym(n) — пространство симметричных n х n матриц, D С Sym(n) —выпуклый конус с вершиной в 0, содержащий единичную матрицу I, F : D ^ R и D, F удовлетворяют следующим необходимым условиям:

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №МШ-8336.2006.1). © Н. М. Ивочкина, 2006

I) если S e D, BBT = I, то BSBT e D, F(S) = F(BSBT);

II) если S e D, то F(S + £ х £) > F(S), |£| > 0.

Мы рассматриваем следующую эволюционную задачу:

v = F[Г] := F(K[Г]), Г(0)=Го,

(1.1)

где Го —заданная начальная поверхность.

Определение 1.2. Поверхность Г является Г-допустимой, если К[Г](М) € В для всех М € Г. Эволюция {Г(£),£ € [0; Т)} называется допустимым решением, уравнения

(1.1), если это решение, и при всех £ € [0; Т) поверхности Г(£) Г -допустимы.

В этой заметке нас интересуют сжимающиеся эволюции, т. е. начальная поверхность в задаче (1.1) должна быть Г-контрактором в смысле следующего определения.

Определение 1.3. Поверхность Г называется Г -контрактором, если она Г -допустима и Г [Г] > 0.

Обозначим через 8уш+ (п) множество положительно определенных матриц и сформулируем основной результат.

Теорема 1.4. Пусть В € Буш+ (п),дВ = {Б : Г (Б) < 0}. Предположим, что Г вогнута в В и

Тогда для любого Г-контрактора Го существуют Т и единственное допустимое решение {Г(£),£ € [0; Т)} задачи (1.1), сжимающееся в точку за время Т. При этом эволюция {Г(£),£ € [0; Т)} является равномерно сжатой.

Для однородных функций Г доказательство утверждения теоремы 1.4 по существу содержится в статье [1]. Что касается существования, теорема 1.4 является частным случаем результатов, полученных в статье [2]. Здесь мы продемонстрируем подход из [2] на примере задачи (1.1) и приведем доказательство равномерности сжатия в аналитических терминах.

2. Описание аналитического аппарата

Пусть Мо, начало векторов позиции X[Г(£)], является внутренней точкой областей, ограниченных поверхностями Г(£). Свяжем с точкой М\ € Г(^) декартову систему {в1,..., еп+1} с началом в М\. При этом орт в^,г = 1,...,п направим вдоль главных направлений поверхности Г(^) в М1, еп+1 = V(М1). Далее будем называть такую систему стандартной, связанной с М1. Пусть Цг (М1) € И+ х Кп+1 такая параболическая окрестность М1, что в ней X[Г(£)] = Х1 + У(£),

и геометрическое уравнение (1.1) локально эквивалентно полностью нелинейному уравнению в частных производных

F(S) < F^(S)Sij, SeD, := j—.

OSij

(1.2)

Y = (y1, ...,yn,u(y,t)), u(0,ti)=0, uy(0,ti)=0, y не зависит от t и r = (rk) = g-1/2, u(i) = ukrk, u(yy) = (иыткrj). Тогда

(2.1)

Благодаря условию II, уравнение (2.2) является невырожденным параболическим для и(уу)(у,1) € В. Поэтому уравнение (1.1) локально по времени разрешимо в допустимом смысле, если Го Г-допустима, и проблема максимального времени существования решения сводится к построению двусторонних априорных оценок для V, К.

Введем в Qt линейный параболический дифференциальный оператор

Ь[и] = -wt + Ггз (К )и^.

(2.3)

В точке (0, ¿1) справедливы равенства

^(¿7)(к1) к1)(г^) ^ ^у^

(,,)

г,3,к,1 = 1,...,n,

и на решениях уравнения (2.2) в этой точке имеем Ь[щ] = 0, + и2] = Ргги?4,

Ь[и(дд)] ( ut + Г ' иИ)и(дд) Г и,ЗЧ ик1д, Ч 1,...,п.

(2.4)

Эти соотношения являются вспомогательными, поскольку в них оператор Ь вычислен на функциях не имеющих геометрического смысла. Дополним их следующим простым предложением.

Лемма 2.1. Предположим, что и = и)'/и)". Тогда в точке стационарности т выполнено равенство

Ь[ш\ = —(Ъ\ш'] —

3. Априорные оценки

Для того, чтобы гарантировать максимальное время существования эволюции (до сжатия ее в точку), достаточно построить априорные оценки для «(¿) := ттг(() у(М), V(t) = тахг^) v(M), а также оценить главные кривизны сверху и снизу для допустимых решений задачи (1.1). Это сделано в работе [1] для уравнений более общего вида. Для

(1.1) соответствующие результаты выглядят следующим образом. Напомним, что мы всегда предполагаем выполненными условия I, II.

Лемма 3.1. Пусть гладко вложенная в Кп+1 замкнутая гиперповерхность Го является Г-контрактором и {Г(Ь),Ь € [0; Т)} допустимое решение задачи (1.1). Тогда функция «(¿) возрастает.

Действительно, свяжем с произвольной точкой М1 € Г(Ь), Ь < Т, стандартную систему координат и положим «/ = щ,и)" = у/1 + . Тогда для V = ю'/ю" в М\ на

допустимом решении выполнено равенство L[v] = —vГ11 и,,,. Поскольку в начальный момент V > 0 по условию, функция «(¿) возрастает.

Лемма 3.2. В условиях леммы 3.1 предположим, что Г вогнута в В и выполнено условие (1.2). Тогда функция

К (¿) = тах кг^} г^),, v(M)

не убывает.

Для доказательства леммы 3.2 предположим, что функция ехр(—(¿), Л > 0, достигает максимум при Ь = ¿1 в точке М1 € Г(Ь1). Введем в окрестности М1 стандартную систему координат и пусть к1(М1) > к,(М1),г = 1,...,п. В параметризации

(2.1) к1(М1) = иц(0,^) и функция и = ехр(—Х1)и(11)/щ также достигает максимум в

М1, а для оператора (2.3) должно быть выполнено в (0, Ь1) неравенство Ь[и] < 0. Последнее невозможно для положительных Л, поскольку соотношение (2.4), вогнутость Г, условия (1.2) и лемма 2.1 дают в (0, Ь1)

v ехр(ЛЬ1)Ь[и] = Лиц + и^1 (—ut + Г11 и,,) — Г1^'к1 иц1 икц > 0.

Устремляя Л к 0, приходим к справедливости леммы 3.2.

Условия (1.2) и вогнутость Г, вообще говоря, не являются независимыми. Они совместны лишь для асимптотически 1-однородных функций Г > 0. Именно, справедлива Лемма 3.3. Предположим, что Г вогнута, Г (Б) > 0 и выполнено условие (1.2) для Б € В. Тогда для всех Л > Ло > 1 в В справедливо неравенство

^(А0Б) ^(АБ) Ар ^(А0Б)

А0 - А - А0 - 1 А0 ' [ }

Для доказательства неравенства (3.1) зафиксируем Бо € В и введем функцию ]: f (Л) = Г(ЛБо), Л > 1. Неравенство (1.2) равносильно соотношению

<1\ - А ’ [ }

откуда немедленно следует левая часть неравенства (3.1).

Для доказательства правой части неравенства (3.1) воспользуемся следующим представлением:

/(Ло) , /(Ло) ( 1 /(1) \ .

/(А)-^т + 1Гти“щ- (3'3)

Здесь 1 < Л < Ло —число из теоремы Лагранжа, примененной к разности ](Ло) — f (1). Благодаря вогнутости Г, функция ]' не возрастает, и в условиях леммы 3.3 соотношения (3.2), (3.3) приводят к цепочке неравенств

Л Ло — 1 Ло

т. е. к правой части неравенства (3.1).

Для формулировки следующих предложений будем в точке М1 € Г(Ь1) нумеровать главные кривизны в порядке убывания, т. е. к1 > к, >■■■> кп.

Лемма 3.4. В условиях леммы 3.2 справедливо неравенство

v(M) < Г(2^(М), М € Г(Ь). (3.4)

В самом деле, выберем в неравенстве (3.1) Л = к1(М), Б = К(М)/к1, Ло = 2. Тогда из уравнения (1.1) и неравенства (3.1) следует

(¡Н *

Понятие Г -допустимой поверхности (определение 1.2) предполагает лишь достаточно локально гладкое погружение Г и приведенные выше результаты являются слишком общими характеристиками эволюций. Следующее предложение имеет смысл лишь для строго выпуклых допустимых поверхностей и содержит равномерную по Ь оценку pinching-постоянных П[Г(Ь)] для решений задачи (1.1).

Лемма 3.5. Пусть В С Буш+(п); ¥ (Б) < 0 для Б € дВ. Предположим, что выполнены условия леммы 3.2. Тогда

Щ < с, м * т, (3.6)

где постоянная С зависит от Го и характеристик функции ¥ в области {|Б| < 2}П {¥ (Б) > ш1пго ¥ (К )/к}

Действуя так же, как при выводе неравенства (3.5), и учитывая утверждение леммы 3.2, приходим к соотношению

ПШ1^ < < ¥ (^к) (М) <¥ (2сИа§|1,...,^'П (М), МеГ(г). (3.7)

Г0 кх к1 \кх ) \ у кх) )

Здесь символом diag{sl,..., в„} обозначена диагональная матрица. Поскольку на дВ ¥ (Б) < 0, неравенство (3.6) есть следствие (3.7).

Для того, чтобы получить полный набор оценок, гарантирующий продолжение эволюции, построим априорную оценку сверху для V. При этом, как и выше, предполагается, что существует допустимое решение {Г(£); £ € [0; Т)} с каким-либо Т > 0. Известно [2], что если В С 8уш+(п), то поверхности Г(£) сжимаются, не пересекаясь с ростом ¿. Пусть ¿1 < Т. Обозначим через гх = г(£х) внутренний радиус поверхности Г(£х) и

поместим начало векторов позиции X (М (£)) в центр шара БГ1, который содержится в

области, ограниченной Г(£х).

Лемма 3.6. В условиях леммы 3.5 справедливо неравенство

V < 2^+(Г°) тах(2СТ^;тах¥(^)1 , г < ^ < Т, (3.8)

“ Ли) \ г{ь) ’ г„ ^ V ’ ^ ;

где С — постоянная из неравенства (3.6).

Для доказательтва введем вспомогательную функцию

р=-(Х,и) (3.9)

2р - гх ’

и предположим, что ю достигает максимум в точке Мх € Г(£2), 0 < ¿2 < ¿1. Введем в окрестности Мх стандартную систему координат. В этой окрестности

щ хкик — (ж"+1 + и)

1 + «2 \ 1 + и1

^--------------------- т”+1 < о.

2(хкик — (х"+х + и)) — г^ 1+и2

хх + и)) — гху 1+ иа

Тогда Ь\ш'] = 0, Ь[ю''] = 2(щ + ¥11 игг) — гх¥гги2 в Мх. Условие (1.2) и положительность главных кривизн приводят к неравенству Ь[ш"] < (4—knГl)¥ггuгг. Из леммы 2.1 следует, что в Мх имеется неравенство

0 > ю''Ь[ю] > (кпгх — 4)¥ггигг. (3.10)

Анализируя неравенства (3.5), (3.6) и учитывая, что ю" > 0, видим, что неравенство (3.10) возможно лишь в случае v(Ml) < 4С¥(2!) а если это не так, то функция (3.9)

ю'

принимает максимальное значение при t = 0. Эта альтернатива доказывает неравенство (3.8).

Отметим, что функция (3.9) как средство для оценки v сверху в подобных задачах впервые была введена в работе [3]. Лемма 3.6, вообще говоря, является частным случаем леммы 6.7 из [2]. Однако в [2] постоянная в аналоге неравенства (3.8) выписана неверно, пропущен множитель 1/ri. Впрочем, это не имеет значения для доказательства теорем существования эвлюций, сжимающихся в точку. Более того, в оценке (3.8) в качестве ri можно взять радиус любого шара, принадлежащего области, ограниченной r(ti). Такой шар в услових теоремы 4.1 существует при любом ti < T, поскольку из леммы 3.1 и неравенств (3.5), (3.6) следует

к> >°> мет, о

Итак, мы построили двусторонние априорные оценки v, K для допустимых решений уравнения (1.1), что позволяет использовать теорию полностью нелинейных равномерно параболических уравнений для дальнейшего улучшения гладкости решений уравнения (2.2). Все это гарантирует сжатие эволюции {r(t),t G [0; ti],ti <T в точку.

4. Pinching как достаточное условие равномерно сжатых эволюций

В статье Б. Эндрюса [1] найдено следующее свойство строго выпуклых замкнутых гиперповерхностей.

Лемма 4.1. Пусть Г G Д”+1 —замкнутая гиперповерхность класса C3. Предположим, что имеется а > 0 такое, что K [Г] > al. Тогда справедливо неравенство

^(Г)<П(Г), (4.1)

где П(Г) есть ртаНтд-постоянная гиперповерхности Г. Неравенство (4.1) является точным и равенство достигается лишь на сфере.

Простым следствием неравенства (3.6) и леммы 4.1 является

Лемма 4.2. Допустимые решения из теоремы 1.4 являются равномерно сжатыми эволюциями в смысле определения 1.1.

Мы воспроизвдем доказательсто леммы 4.1 в несколько иных терминах, чем в [1]. Зафиксируем начало Мо векторов позиции в области, ограниченной гиперповерхностью Г, и построим отображение Г ^ Г*. Именно, сопоставим точке М € Г ее образ М* € Г* как проекцию Мо на касательную плоскость к Г в М. Гиперповерхность Г* звездна относительно Мо для выпуклых Г и, вообще говоря, невыпукла. Обозначим через ¿(М*) длину отрезка прямой МоМ* с концами на Г* и назовем

¿+ = шах ¿(М *), = тш ¿(М *)

максимальным и минимальным диаметрами Г*.

Различным выборам Мо соответствуют различные поверхности Г*, но набор диаметров инвариантен относительно Мо, в частности, ¿+, совпадают с величинами из

определения 1.1.

Пусть Бп —сфера единичного радиуса с центром в Мо. Рассмотрим Г* как график функции р из (3.9) на этой сфере и приведем локальную параметризацию Г* и Бп,

индуцированную преобразованием Лежандра функции и из локальной параметризации

(2.1). Имеем рі = щ,і = 1, ..., п, h = xku¡~ — (xq+1 + и), p = hj\J 1 + p2,

Pi 1 г, 7 • ,

Zn+1 = Г = pZ, 1 = 1, ...,n,

где Z = (zi,..., zn+i), P — векторы позиции Б”, Г*. Пусть h = dp/dpi, hp, hpp — гра-

диент и матрица Гессе функции Н. Известно, что Нрр = и-,.1, и поэтому собственными

значениями задачи

VI +Р2Ьрр = Ад, д= (д*) = (б* - (4.2)

являются главные радиусы кривизны поверхности Г. В выбранной локальной параметризации выполнено тождество

VI + Р2^ = р* + р% + р>рг + р (#* ~ ^2 ) , г,3 = 1, ..., п

и задача (4.2) равносильна задаче о стационарных значениях отношения квадратичных форм

((1 +p2)pij+р%+ pi Pi + р{5* -

^3

Ш)=-------------—■ ,0)

Следуя [1], рассмотрим R(£) на сфере S2 : рз = ... = pn = 0, перейдем в (4.3) к сферической системе координат 0 < 61 < 2п, 0 < 62 < п и вычислим R в направлении меридиана £ = (cos 61, sin 61):

Ц = К(вив2) = Щ+р.

Выберем сферу Б2 таким образом, что на ней реализуются в+, в-. Пусть сначала полюса Б2 соответствуют в+, К = К+. Вычисляем

Д+йв = (¿6»! (^7^ + Р^ віп(6*2)сгб*2 = 27гс1+. (4.4)

Аналог равенства (4.4) имеется и для в-, К-. Функции К+, К- различны, но в каждой точке Б2 их отношение оценивается pinching-постоянной поверхности Г, что доказывает неравенство (4.1).

Zi =

Summary

N. M. Ivochkina. Evolution problems generating contraction of convex hypersurfaces to a point.

In the paper the methods of the modern theory of fully nonlinear second order partial differential equations are applied to some geometric evolution problems. We use geometric construction of B.Andrews to prove uniformity in time of evolution of convex hypersurfaces.

Литература

1. Andrews B. Contraction of convex hypersurfaces in Euclidian space // Calc. Var. Partial Differ. Equ. 1994. Vol. 2. P. 151-171.

2. Ivochkina N. M. Geometric evolution equations preserving convexity // Transl. of Amer. Math. Soc. 2006.

3. Tso K. Deforming a hypersurface by its Gauss—Kronecker curvature // Comm. pure Appl. Math. 1985. Vol. 38. P. 867-882.

Статья поступила в редакцию 10 апреля 2006 г.