Равномерная устойчивость однопараметрического семейства разностных схем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.63

А.В. Гулин1, А.Ю. Мокин2

РАВНОМЕРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА РАЗНОСТНЫХ СХЕМ*

Рассматривается разностная схема с весами, аппроксимирующая нелокальную краевую задачу для уравнения теплопроводности с параметром в граничных условиях. Доказаны равномерные по параметру оценки решения схемы, означающие устойчивость по начальным данным в среднеквадратической норме.

Ключевые слова: разностная схема, устойчивость, нелокальное граничное условие.

1. Введение. В работах [1, 2] исследована разностная схема, аппроксимирующая нелокальную краевую задачу Самарского-Ионкина

ди д^и

— = тт^Г! О < х < 1, £ > О, и(х, 0) = <р(х), 0 ^ х ^ 1, (1)

т ох2

г)и г)и

и(о,г) = о, —(о,*) = —(1,*), ¿>о.

Пусть ш/г = {х,1 = г/г, / 1.2.....Л\ к = 1/^}, шт = = ¿т, у = 0,1, 2,..., г > 0} — равномерная

сетка по переменным х, I соответственно. Обозначим через Н пространство функций, заданных на сетке ш/г, со скалярным произведением и нормой

N — 1

= Ьи{хк)у{хк) + 0.5/ги(жЛг)и(жЛг), ||у]| = у/(у, у]. (2)

к=1

Определим функции уп = у(х,1п) £ Н, п = 0,1,2,... . Тогда схема, рассмотренная в упомянутых выше работах, может быть представлена в операторном виде

уп+1—уп

(Е + тоА)--+ Ауп = 0, п = 0,1,2,..., у° = <р(х), х € (3)

т

где а ^ 0 — весовой множитель схемы, А — линейный оператор, действующий в пространстве Н согласно равенствам

(Ау)(ху) = -уях,з, .7 1-2.....Л; ^ !. (Ау)(хЛГ) = /г_1(Ух,о - Ух,и)- (4)

Здесь и далее предполагается, что уо = 0.

Корректность схемы (3), (4) впервые была установлена в работе [1]. Устойчивость понималась в смысле следующего определения.

Определение 1. Разностная схема (3) называется устойчивой по начальным данным в пространстве //. если ее решение удовлетворяет неравенству

11гЛ1 < п = 1,2,...,

с константой С > 0, не зависящей от выбора г, /г > 0.

Обозначим через Ни пространство сеточных функций у = у (ж), снабженное энергетиче-

ской нормой

||у]\в = у/{Оу,у], I)* = I) > 0. (5)

1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: vmgulQcs.msu.su

2 Факультет ВМК МГУ, асс., к.ф.-м.н., e-mail: mknandrewQmail.ru

* Работа выполнена в рамках научной школы академика Е.И. Моисеева (проект НШ-7332.2010.9) при поддержке ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы, а также при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 10-01-00728).

Определение2. Разностная схема (3) называется равномерно устойчивой в пространстве Hq, если ее решение, отвечающее любому значению <р(х), удовлетворяет неравенству

11УП+1]1я < \\УП]\в1 п = 0,1,2,... .

В работе [2] определена энергетическая норма Ц-]^, гарантирующая равномерную устойчивость схемы (3), (4) при выполнении условия

а ^ 0.5 — h2/(4т). (6)

Там же доказана необходимость данного условия для равномерной устойчивости в построенной норме, а также неулучшаемость условия за счет выбора оператора D энергетической нормы. Полученные в работе [3] неравенства

*i\\y]\2 < \\y]\2D < ^г||у]|2, ye Я,

с константами щ, ж2, существенно от h не зависящими, означают эквивалентность норм ||-]|, Ц-]^ при Л. —> 0.

Результаты работ [2, 3] гарантируют устойчивость схемы (3), (4) в смысле определения 1 при выполнении условия (6). Заметим, что доказанные в работе [1] условия устойчивости по начальным данным содержат более жесткие требования на выбор параметров схемы.

В работе [4] рассмотрена схема с весами (3), в которой оператор А определен равенствами

(.Ay)(xj) = -y-xx,:h Í = 2,..., (ÍV - 1), (Ay)(xN) = - Ух,к), (7)

где 7 — вещественный параметр. Данная схема аппроксимирует уравнение (1) с нелокальным условием

f)ll f)ll «(0,í) = 0, 7—(0,í) = —(i,í), í > о,

и является обобщением разностной схемы, изученной в работах [1, 2]. Авторами работы [4] доказана корректность схемы (3), (7) при 0 < j < 1, в частности, найдена сеточная энергетическая норма, в которой схема равномерно устойчива при выполнении условия (6). Как и в случае 7 = 1, полученное условие является неулучшаемым относительно выбора нормы, в которой изучается устойчивость.

Дальнейшие исследования показали (см. [5]), что энергетическая норма, определенная в работе [4], эквивалентна сеточной среднеквадратической норме (2) с константами щ, ж2, которые не зависят от выбора h > 0, но меняются таким образом, что отношение х\ является бесконечно большой величиной при 'у —> 1 слева. Это свойство констант эквивалентности не позволяет вывести равномерные по параметру 7 € (0,1] априорные оценки решения схемы (3), (7) в норме (2).

В настоящей работе определена энергетическая норма Ц-]^, где D = D(7), отличная от нормы, введенной ранее в работе [4]. Существенное отличие от результатов работы [4] заключается в том, что отношение констант эквивалентности x-<¡х\ нормы ||-]|£>(7) равномерно ограничено на множестве 0 < 7 < 1. Как следствие доказана устойчивость схемы с параметром 7 в смысле определения 1, где константа С не зависит существенно от 7.

2. Сеточная энергетическая норма. Для определенности рассматривается случай нечетного N. Здесь и далее в работе оператор А определен равенствами (7).

Пусть N = 2m + 1, чр = arccos(7). Известно (см. [4]), что сеточные функции

= sm(ipx), ¿¿(2/г_1)(ж) = sin((27rfc - ф)х), ¿¿(2/г)(ж) = sin((27r к + ф)х), k = l,2,...,m,

являются собственными функциями оператора А, так что справедливы равенства j (I. ! • 2.....I. где

А0 = 4/i"2sm2(0.5#,), X2k-i = 4h~2 sin2 ((тгА; - 0.5ip)h),

= 4/i~2sin2((7Г& + 0.5ф)к), к = 1,2,... ,m. (8)

Совокупность собственных функций линейно независима и при каждом 7 € (0,1) образует базис пространства Н. Базис, взаимный к данному, образуют функции

г>(2/г-1)(ж) = ^acos((27rfc - ф)х + ф), г>(2/г)(ж) = acos((27rfc + ф)х - ф),

= асов{ф(1 — ж)), а = 2/втф, & = 1, 2,..., т,

которые являются собственными функциями оператора, сопряженного к А в смысле скалярного произведения (2). Нормировочная константа а выбрана таким образом, что г^] = <5ТО)П,

т, п = 0,1, 2,..., N — 1.

В базисе из собственных функций оператора А схема (3), (7) распадается на N однотипных скалярных уравнений, что позволяет изучить корректность схемы. Этот прием лежит в основе исследований, выполненных в работе [4]. Нетрудно видеть, что при ф —> +0 (т. е. при 7 ^ 1^0) собственные функции /х^') становятся линейно зависимыми и теряют свойство базисности. В результате доказанные авторами работы [4] неравенства, означающие устойчивость схемы (3), (7), обесцениваются при малых ф, или, что то же самое, при 7, близких к единице.

Для доказательства аналогичных оценок, существенно от 7 не зависящих, предлагается рассмотреть вспомогательную систему функций {/^(ж), 3 = 0,1, 2,..., N — 1}, в которой

/(°)(ж) = 0.5^2^"У0)(ж) = 0.5л/2®8шс (фх),

/(^-^(ж) = О.б^"1 (¿¿(2к)(х) - = хятс(фх) соз(2тгкх),

/(2*)(®) = 0Ц^2к)(х) + ^2к~1)(х)) = (сов фх)зт(2тткх),

к = 1,2,..., т. (9)

Здесь и далее используется обозначение

[у~1 зту, у ф 0, ятсу = < * п

У \1, у = 0.

Непосредственно проверяется, что система функций

д^(х) = фу^(х) = 2л/2(зтсф)~1 соз(-гД(1 — ж)),

д^-^Цх) = ф(у(2к)(ж) - у^-^Цх)) = Цятсф)-1 сов(^(1 - ж)) софъкх),

д^2к)(х) = у(-2к)(х) + %Рк~1)(х) = 4(зтс^)_18тс(^(1 -ж))(1 - ж) ят^пкх),

й = 1,2,...,т, (10)

является взаимной к {/^(ж)}^,1, иначе говоря, {/^(х), д^(х)] = 1,3 = 0, N — 1. Отсюда вытекает линейная независимость и базисность в пространстве Н вспомогательной системы функций (9).

Пусть М — оператор перехода из базиса {/^(ж)}^1 в единичный базис пространства Н. В единичном базисе он определяется матрицей

М =

/(0) I /(1) I /(2) I ••• |/(ЛГ_1)

А^хАГ

столбец М^ которой составлен из значений функции /^"^(ж) в узлах сетки ш^- Рассмотрим оператор К : II г II. матрица которого в единичном базисе имеет вид К = с!1а§(1,1,..., 1/2), а также самосопряженный и положительно определенный оператор

О (-у) = (кМКМ*)~\ те (0,1). (И)

Далее в работе при каждом 7 € (0,1) исследуется равномерная устойчивость схемы (3), (7) в энергетической норме (5), оператор Б которой определен равенством (11). Изучаются также свойства данной нормы.

Предварительно докажем вспомогательное утверждение.

Лемма 1. Для любой функции у € ///.;; -,). £>(7) = (ИМ КМ*)-1 справедливо равенство

N-1

IIУ] 1-0(7) = Ук'-

к=0

где Уо,У1, ■ ■ •,УN-1 — координаты у (ж) в базисе {/^ (ж)}^_~

N — 1 3=0 •

Доказательство. Поскольку оператор М осуществляет переход от базиса {/^^^о1 в единичный базис пространства //. имеет место равенство (М_1у)(ж^) = У3-1, ./' 1.2...../V. Отсюда и

из (5), (11) вытекает, что

N

\\у]\щ7) = Ь-1{К-1(М-1у),М~1у} =^У2з-1-

3=1

Лемма доказана.

3. Устойчивость схемы с параметром. Рассмотрим вопрос равномерной устойчивости схемы (3), (7) в пространстве II /ц,,. D(7) = (/iMKM*)~l. Требуется при каждых а ^ О, 0 < у < 1 найти те значения параметров т, h > 0, при которых решение схемы уп, п = 0,1, 2,..., удовлетворяет определению 2.

Умножим разностную схему (3) слева на оператор М-1 и выполним замену неизвестного zn = = М~1уп, п = 0,1, 2,..., в результате получим эквивалентную схему

zn+i _ „п

(.E + toJ)-+ Jzn = 0, п = 0,1, 2,..., z° = M~1<p(x), (12)

т

где J = М~1АМ. В силу леммы 1 условие равномерной устойчивости схемы (3), (7) в пространстве Hd(l), оператор нормы которого определен согласно (11), равносильно требованию

N N

Е(гП+1М2<Е(гПМ3' п = 0,1, 2,... . (13)

3=1 3 = 1

Согласно определению оператора Л /. матрица оператора J в единичном базисе совпадает с матрицей оператора А в базисе {/^Цх)}^^1. Вычислим образы базисных векторов f^\x) под действием оператора А. Из равенств (9) следует, что

А/<°> = 0.5л/^АоЛ А/'2*"1* = ОДЦГЧ W2fc) - Aafc.!^"1)),

AfW = О.ЦХ2к^ + Х2к.1^2к~1У), к = 1,2,..., m,

и, кроме того,

/i(2fc-l) = /(2fc)_^/(2fc-l)j ^2k)=f(2k)+ijf(2k-l)^ к = 1,2,...,т. Отсюда вытекают равенства

А/<°> = Ао/<°\

Af(2k-i) = Q-5(A2fc + д^)/^"1) + О.б^"1^ - hk-i)f{2k\

А/(2*) = О.Ьф(Х2к - Х2к.г)^2к-^ + 0.5(A2fc + A2fc-i)/(2fc), к = 1,2,..., т.

Таким образом, матрица оператора J в единичном базисе имеет блочно-диагональный вид J = = diag [Aq I Ji I J2 I... I JTO], где Jk — матрица размера 2x2, определенная равенством

Jk —

0.5(A2fc + A2fc-i) О.Ьф(Х2к - X2k-i) О.Ьф~1(Х2к — X2k-i) 0.5(A2fc + A2fc_i)

к = 1,2,..., т.

Операторно-разностная схема (12) в единичном базисе распадается на (т+1) разностное уравнение

„,,П+1

(1 + тстАо)—-^ + А0< = 0, (14)

т

и;п+1 _ и;п

(Л-гстЛ)-^—^-+ = к = 1,2,...,т. (15)

Здесь I € -/?2х2 — единичная матрица, = хп{х\) и = ^хп{х2к),хп{х2к+\))Т € Я2, к = 1,2,... ,пг, при каждом п = 0,1, 2,... .

Условие устойчивости (13) эквивалентно равномерной устойчивости каждой из задач (14), (15), т. е. неравенствам

< |гоо |, ||^+1||2 < ||го^||2, к = 1,2,...,т, п = 0,1,2,..., (16)

где

||го||2 = у/('ш, го)г, (и, го)2 = + «2^2

— норма и скалярное произведение в арифметическом пространстве Дг • Первое из неравенств (16) эквивалентно требованию

1/А0 ^т(0.5-<т). (17)

Проверим при каждом к = 1,2,... ,т второе из неравенств (16). Известно (см. [6]), что необходимым и достаточным условием равномерной устойчивости задачи (15) в евклидовой норме пространства Дг является матричное неравенство

,1к + 4 > т( 1 - 2а)

Поскольку йеЬ(^) = Х2кЬк _1, то матрица <7^ невырожденная и последнее неравенство эквивалентно неравенству

(<4_1)Т + ^ ^ г(1 - 2<т)7, к = 1, 2,..., т,

которое означает, что число т( 1 — 2а) не превосходит наименьшего собственного значения матрицы левой части. В результате приходим к неравенству

1 -(Азл + Аз*-! -ОЦчр + чр-1)^-^-!)) >т(0.5-а), к = 1,2,...,т. (18)

2\2к^2к~: Тем самым доказана

Теорема 1. Для равномерной устойчивости схемы (3), (7) в пространстве II щ). D( 7) = = (h,MKM*)~l, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства (17), (18).

Докажем теперь, что неравенства (17), (18) являются следствием более жесткого ограничения на выбор параметров a,r,h — неравенства (6).

Теорема 2. Неравенство (6) является достаточным условием равномерной устойчивости схемы (3), (7) в энергетическом пространстве П dí,,. оператор нормы которого определен равенством (11).

Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из неравенств

1 h2 1 _ h2 "Г ^ ~Г' —\-(А2а: + A2fc-i — + V7 1)(A2fc — A2fc-i)) ^ —, k = 1,2,... ,т,

Ао 4 ¿Á2k^2k-1 4

первое из которых является очевидным. Второе в силу равенств (8) принимает вид

sin2 ((тгА; + 0.5ф)к) + sin2 ((жк - 0.5ф)к) - О.Цф + ф~1) [sin2 ((тгк + 0.5ф)к) - sin2 ((тгА; - 0.5ф)к)} ^

^ 2 sin2 ((тг к + 0.5ф)к) sin2 ((тг к - 0.5ф)к), к = 1,2,..., т.

В результате эквивалентных преобразований получим неравенство

1 - 0.5(ф + ф~1)8ш(2тхкк) sin (фк) ^ 0.5(cos 2(фк) + cos2(2tikh)), k=l,2,...,m,

или, что то же самое,

sin2(2тткк) + sin2(фН) ^ (ф + ф~г) sm(2ixkh) sm(iph), к = 1,2,... ,m.

Поделив левую и правую части неравенства на sin2(фК), приходим к неравенству

р2-(ф + ф~1)р+ 1^0, р = sin(2TrM)/sin(#,), k = l,2,...,m. (19)

Определим область допустимых значений величины р. Поскольку 0 < ф < 0.5тг, то дробь р может принимать сколь угодно большие положительные значения. Воспользовавшись неравенствами

sm2ixkh ^ sinTr/i, к = 1,2, ...,m, sinTr/i > (3/tt)tt/i, 0 < h ^ 1/6, зтфк < фк, h > 0,

получим оценку снизу: р > 3/ф в предположении 0 < h ^ 1/6, которое в дальнейшем будем считать выполненным.

Таким образом, достаточно доказать, что все значения р € (3/ф,+оо) удовлетворяют неравенству (19). Последнее вытекает из соотношений

3/ф > 0.5(^ + ф'1), 9/ф2 - Цф + ф~1)/ф + 1 > О, справедливых при всех 0 < ф < л/3. Теорема доказана.

4. Константы эквивалентности энергетической нормы. Согласно теореме 2, сеточная энергетическая норма, определенная в п. 1 настоящей работы, гарантирует равномерную устойчивость схемы (3), (7) в тех же предположениях на параметры а, г, h, что и ранее известная норма, полученная в работе [4]. Качественное отличие между ними заключается в том, что константы эквивалентности ж2 нормы ||-]|£)(7), оператор D(7) которой определен равенством (11), и сеточной среднеквадратической нормы (2) не зависят существенно от выбора 7 € (0,1) и их отношение х->/ус\ не имеет особенности при 7 —> 1. Справедлива

Теорема 3. При любых ф = arccos(7) € (0, 0.5-7г), h > 0 и для любой функции у (ж), определенной на сетке шь, справедливы неравенства

2(1 +sine2 ^)_1||у]|2 < \\y)\2D(j) <8(1 + sine"2 ^)||у]|2.

Доказательство. В основе доказательства лежит технический прием, использованный в работах [1, 3] и монографии [5].

Прежде всего вычислим верхнюю константу эквивалентности норм ||-]|£)(7), ||-]|. Предположим, что

// //o/i0) + //./il) + • • • + //v ifix n. uj (!HIiJ)\- i = 0,l,2,...,iV^l, где и определены согласно (9), (10) соответственно. Представим коэффициенты yj в виде

Уо = 2-\/2(sinc ф)~1 (ycos(ip(l — ж)), 1 = 2^/2(втсф)~1 (^К~1Кусов{ф(1 — ж)), 1 V2k-i = 4(sinc'i/')~1 (у cos(^(l — x)),cos(2Trkx)

= 2-\/2(sincф)~1 ^К~1 Ку cos(ф( 1 — ж)), л/2 cos(27rfcr) У2к = 4(smc'i/')~1 — ж) sinc(^(l — ж)), sin(27rкх)

= 2V2(sincф)'1 (К~1КУ{ 1 - ж) sinc(^(l - ж)), V2sin(2Trкх)

к — 2,..., тп^

к = 1, 2,..., т.

Система функций {1, у/2соз(2тткх), у/2зт(2тткх), к = 1,2, ...,т} является ортонормированным базисом в пространстве функций, заданных на сетке ц^, со скалярным произведением

N

з=1

Отсюда и из равенства Парсеваля следует неравенство N — 1

у2 < 8(з1псг/')~2|(усо8('г/'(1 — х)), Кусов{ф(1 — ж))] +

з=о

+ (у(1 — ж) вте (■»/>( 1 — х)),Ку(1 — ж) яте(ф(1 — ж))]

Воспользовавшись неравенством Коши-Буняковского, оценим правую часть, в результате получим N — 1

^ у2 < 8(зтс^)-2||К]|[||у(ж)со8^(1 - ж)]|2 + ||^_1у(ж) - ж)]|2].

3=0

Поскольку ||1Г]| = 1 и |cosi/>(l — ж)| ^ 1, |sini/>(l — ж)| ^ sin^ при х € ш/г, то справедливо неравенство

N-1

Уj < 8(sinciA)—2 [l + sine2 ф] ||y]|2,

j=о

из которого с учетом леммы 1 вытекает требуемая оценка сверху на \\у]\%^у

Докажем оценку снизу на величину \\у]\2п^у Так как базис {д(кЦх), к = 0,1,..., N — 1} является взаимным к {/^(ж), к = 0,1,..., N — 1}, то справедливо равенство

JV-1

{у,у}= ^УкУк, ук = {у,д(к)], yk = (y,f{% A; = 0,1,2,...,JV- 1, fc=0

из которого следует неравенство

,N-1 \ 1/2 ,N-1 \ 1/2

imME^) (Е^) • (2°)

fc=0 ' fc=0 '

Оценим сверху сумму + у2 + ... + y%_i- Поскольку

1 1 у0 = —^={ухзтс(фх), 1] = —-щ (КК~1Кух&тс(фх), 1],

I

y2k-1 = (уж sinews), cos(27rfcr)] = —р (K~lKyx smc(i/>x), v2cos(27rfcs)],

л/2

I

у 2k = (у соз(фх),8т(2тткх)] = —= (К~1Ку соз(фх), л/2зт2тткх], к = 1,2,..., т,

у2

то выполняется неравенство JV —1

У] у I ^ О.б^ужэтс^ж), Кужэтс^ж)] + (у cos(ipx), Ку сов(фх)]^. к=о

Воспользовавшись здесь неравенством Коши-Буняковского, получим

JV-1

]Гу2 ^0.5(1 +sine2 ^)||у]|2. fc=0

Отсюда и из неравенства (20) вытекает, что

||у]|Ч 0.5(1 + sine2ф)\\у]\щ7у

Теорема доказана.

Константы эквивалентности *ri(y) = 2(1 + sine2 ф)~1, ^2(7) = 8(1 + sine-2 ф), полученные в теореме 3, не являются точными и, вообще говоря, зависят от N. Ниже приводятся результаты расчетов данных констант при различных значениях N и 7 € (0,1). Случай 7 = 0.1, jii(O.l) = 1.37, х2(0.1) = 25.46:

N 9 15 21 27 51 101

мю 3.64 3.63 3.63 3.63 3.63 3.63

мю 9.60 9.60 9.61 9.61 9.61 9.61

Случай 7 = 0.5, >q(0.5) = 1.18, *2(0.5) = 19.69:

N 9 15 21 27 51 101

мю 2.66 2.66 2.66 2.66 2.66 2.66

мю 8.77 8.77 8.77 8.77 8.77 8.77

Случай 7 = 0.9, >q(0.9) = 1.03, *2(0.9) = 16.56:

N 9 15 21 27 51 101 201 401 1001 2001

мю 1.83 1.78 1.76 1.74 1.72 1.71 1.71 1.70 1.70 1.70

мю 9.32 9.59 9.71 9.78 9.90 9.97 10.01 10.02 10.04 10.04

Случай 7 = 0.99, >q(0.99) = 1.00, ж2(0М) = 16.05:

N 9 15 21 27 51 101 201 401 1001 2001

мю 1.69 1.63 1.60 1.59 1.57 1.55 1.55 1.54 1.54 1.54

мю 9.51 9.85 10.01 10.10 10.25 10.33 10.38 10.40 10.42 10.42

Следствием теорем 2 и 3 является

Теорема 4. Пусть а ^ 0.5 — /i2/(4r), тогда решение схемы (3), (7), отвечающее параметру

7 G (0,1), удовлетворяет неравенству

11ЛКС1И, п = 0,1,2,...,

с константой С = 2(sine^ + l/sinci/>), ф = arccos7, не зависящей от выбора весового множителя

а ^ 0, а также r,h > 0.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ионкин Н. И. Разностные схемы для одной неклассической задачи // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1977. № 2. С. 20-32.

2. Гулин A.B., Ионкин Н.И., Морозова В. А. Разностные схемы для нелокальных задач // Известия вузов. Математика. 2005. № 1 (512). С. 40-51.

3. Гулин А. В., Ионкин Н. И., Морозова В. А. Исследование нормы в задачах об устойчивости нелокальных разностных схем // Диф. ур-ния. 2006. 42. № 7. С. 914-923.

4. Гулин A.B., Ионкин Н. И., Морозова В. А. Критерий устойчивости разностной схемы для нелокальной задачи теплопроводности // Известия вузов. Математика. 2007. № 6 (541). С. 21-28.

5. Гулин A.B., Ионкин Н. И., Морозова В. А. Устойчивость нелокальных разностных схем. М.: ЛКИ, 2008.

6. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. 2-е изд. М.: УРСС, 2005.

Поступила в редакцию 31.03.10

ON THE UNIFORM STABILITY OF ONE-PARAMETER FAMILY OF DIFFERENCE SCHEMES Gulin A. V., Mokin A. Ju.

A family of weighted difference schemes is considered in the paper. The schemes approximate a nonlocal boundary value problem with parameter in boundary relations. It is proved that the solution of schemes is uniformly stable in mean square norm with respect to the parameter value.

Keywords: difference scheme, nonlocal boundary value problem, the uniform stability.