CC BY
10
Выбор постоянных А = Ац, Ао = Аог, А\ = А\2 в соответствии с теоремой 3 очевидным образом доказывает утверждение о точности сеточных решений щ, а следовательно, и щ, щ, что завершает доказательство теоремы 3.
Замечание. Формулы (37), (38) при то ^ 0 дают решения задач III'4 и lVh соответственно, а (39), (40) — их асимптотические разложения.
Автор выражает искреннюю признательность В.Б. Андрееву, работы и советы которого использованы при написании статьи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Wasow W. On the truncation error in the solution of Laplace's equation by finite differences //J. Res. Nat. Bur. Standarts. 1952. 48. P. 345-348.
2. Giese J.H. On the truncation error in a numerical solution of the Neumann problem for a rectangle // J. Math, and Phys. 1958. 37. N 2. P. 169-177.
3. Андреев В. Б. Краевые задачи для сеточного уравнения Лапласа в угле // Вычисл. методы и программирование. 1983. Вып. 39. С. 82-145.
4. Андреев В. Б. Смешанная задача для сеточного уравнения Лапласа в полуплоскости // ДАН СССР. 1977. 234. № 5. С. 997-1000.
5. Андреев В. Б. Смешанная задача для сеточного уравнения Лапласа в полуплоскости // Вычисл. методы и программирование. 1981. Вып. 35. С. 82-136.
6. Андреев В. Б. Асимптотика решения сеточного уравнения Лапласа в угле // ДАН СССР. 1977. 244. № 6. С. 1289-1293.
7. Бе л ухи на И. Г. Асимптотика решения первой краевой задачи для сеточного уравнения Лапласа в угле 5тг/4 // Диф. ур-ния. 1996. 32. № 7. С. 902-911.
8. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1958.
Поступила в редакцию 12.01.07
УДК 519.63
Н. С. Удовиченко
ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРА В ГРАНИЧНОМ УСЛОВИИ НА УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
(кафедра вычислительных методов факультета ВМиК, e-mail: [email protected])
1. Введение. Устойчивость разностных схем для уравнения теплопроводности
ди д2и
т = м> 0<ж<1' i>0'
и(х, 0) = Uq (ж) , 0 ^ ж ^ 1, (1)
ди . ди . .
с параметром у £ (0,1] в нелокальном граничном условии изучалась в работах [1-5]. Было замечено, что при 0 < 7 < 1 спектр пространственного оператора является простым и только в случае 7=1 переходит в кратный. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости разностных схем по начальным данным и по правой части в некоторой специальным образом построенной энергетической
норме. При (7! < 1 применяется теория устойчивости симметризуемых разностных схем. Доказана эквивалентность построенных ранее норм сеточной ¿2"ноРме-
Целью настоящей работы является исследование схем с весами
Уг_Уг _ „,.п+1
Т
-//!';.] • п -i//;,,- ¿ = I,ív-I,
У"М+\ = I [-(7У^1 - О + (! - °)ЬУ1 0 - У",м)] , (2)
у° = и0(хг), г = 0,1 ,...,М, уо"+1=0, га = 0,1,...,
при вещественных параметрах <7 и 7, причем 7 ^ 0 и 7 > 1.
Показано, что случай 7 = —1 является особым, как и 7 = 1. Система собственных функций образует базис при (7! ф 1, иначе ее необходимо пополнять присоединенными функциями. При (7! > 1 появляются комплексно-сопряженные собственные значения. Также исследованы интервалы значений параметра 7, при которых вещественные части собственных значений положительны. Свойство положительности вещественных частей собственных значений оказывает прямое влияние на устойчивость схемы (2). Найдено необходимое условие устойчивости, обобщенное для всех вещественных 7 и ст. Доказан критерий устойчивости схемы (2) для (7! > 1 в особой энергетической норме.
2. Собственные значения и собственные векторы разностного оператора. Введем сетку и = ит X ш/г, где ит = {¿п = гаг, г > 0, га = 0,1,...} — равномерная сетка по времени с шагом г, = {ж^ = ¿/г, I = О, N, НИ =1} — равномерная сетка по пространству на отрезке х 6 [0,1] с шагом к. Рассмотрим ^-мерное линейное пространство Н комплекснозначных векторов у^ = у(х{), заданных на сетке и удовлетворяющих условию уо = 0, со скалярным произведением и нормой
ЛГ-1
(у,у]= + \\у]\ = у/(у, у]. (3)
¿=1
Приведем разностную схему (2) к каноническому виду
ВУп+1 ~ Уп + Ауп = 0, га = 0,1,..., (4)
г
где уп = у{Ьп) = (у"у" ■ ■ -Удг)Т' Уо задан. Здесь В = Е + атА, где оператор А : Н —> Н определяется равенствами
,(1Ух,о ~ Ух,1у)
(Ay)t = -ysx¿, i = 1, N — 1, yo = 0, (Ay)N = -2Kiyx'u h (5)
Рассмотрим задачу на собственные значения для оператора (5):
Ухх,г + = О, 1=1,И-1, у0 = 0, ~т(уух,о ~ Ух,м) = Аудг (6)
п
для различных значений параметра 7.
Случай 7 > 1. Докажем следующую лемму.
Лемма 1. Собственные значения оператора (5) при 7 > 1 имеют вид
4 2 ( Ф \ л 4 . 2 {як Ф \ л 4 . 2 (^к 1 ф
Ап = ^т sin ( - I , Аоа-—1 = —т sin (---I , А2к = —т sin (--1--I , (7)
h2 \2N) h2 \N 2N J h2 \ N 2N ) 1 { >
где ф = г ln a, a = 7 + ^/j2 — 1, к = 1,2,... ,m, m = (iV — 1)/2 в случае нечетного N, m = iV/2 —le случае четного N. Соответствующие собственные функции имеют вид
(0) _ . ( Ф Л (2к — 1) _ . (27Гк - ф л (2к) _ . (27Гк + ф .
/4 = ^^ ' ^ = ^ дт 3) ' ^ 81п I N 3) ' ^ = ^ (8)
Доказательство. Запишем уравнение (6) в виде — (2 — /г2А+ = 0. Оно явля-
ется уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, которое решается стандартным способом. Таким образом, получаем выражения (7) и (8). В работе [5], где рассматривался случай
у G (0,1), показано, что ф = arceos 7. В случае 7 > 1 удобнее записать параметр ф в комплексной форме: ф = i In (7 + — 1) = i In a, a = 7 + -\Jy2 — 1.
Базисность системы собственных функций (8) следует из того, что при 7 > 1 оператор А имеет простой спектр. Справедлива
Лемма 2. При у > 1 в случае нечетного N существует одно вещественное собственное значение Ао, при четном N — два вещественных собственных значения Ао и Аду2. Остальные собственные значения комплексно-сопряженные: \2k-1 = Re Mk-i ~ ¿ Im А2k-i, Мк = ReA2& + ¿ImA2fc, где ReA2fc_i = ReA2&, Im \2k-1 = Im А2k- Вещественные части собственных значений расположены в возрастающем порядке:
Re А0 < 0 < Re Ai < ... < Re A2k < Re Mk+i < ... < Re Адг_1.
Доказательство. С помощью тождественных преобразований получаем из выражений (7): Re A2fc_i = Re A2k = 2h~2 (l - cos (2irkh) ch(ln ah)) , Im A2fc_i = Im A2k = -2h~2 sin (2irkh) sh(ln ah).
Мнимая часть собственного значения обращается в ноль, когда sin (2irkh) = 0, таким образом, в случае нечетного N существует одно вещественное собственное значение (к = 0), при четном N — два вещественных собственных значения (к = 0 и N/2). Остальные собственные значения являются комплексно-сопряженными.
Обозначим bk = Re \2k-1 = Re к и покажем, что последовательность && возрастает. Действительно, bk+i — Ь^ = 4h~2 ch(ln ah) sin (к(2к + 1 )h) sin {irh) > 0, так как выражения под знаком синуса находятся в пределах от 0 до 7г: 0 < ir/N < тг, 0 < тг(2к + 1 )/N < 7Г для всех допустимых к, следовательно, последовательность bк возрастает.
Теперь изучим вопрос о положительности вещественных частей собственных значений (7). Рассмотрим минимальное значение: Re Ао = Ао = 2h~2 (l — ch(ln ah)). Оно всегда отрицательно, поскольку ch(lna/i) > 1. Далее, Re Ai = 2h~2 (l - cos (2nh) ch(ln ah)) ^ 2h~2 (1 - cos(27r/i)) > 0, так как (x + 1/x) ^ 2, x > 0. Получаем, что Re A& > 0 при к > 0.
Случай у < 0. Теперь изучим спектральные свойства оператора (5) при отрицательных у. Собственные значения и собственные функции оператора (5) по-прежнему имеют вид (7) и (8), где ф = arccos7. Для дальнейшего удобно записать соответствующие выражения в виде
ж(к — 0,5) у \ N 2N ) ' (9)
где ip = arccos (7!, к = 1,..., то, и то = (N — 1)/2 в случае нечетного N, тп = N/2 — 1 в случае четного N, и собственные функции при отрицательных значениях параметра
(0) . (7Г - У Д (2к — 1) . (к(2к + 1) - у Д (2к) . (тг{2к- 1 )+<р Д . —-ti =sm )' ti =sm ^-Ñ-3)' ti =sm ^-Ñ-3)' 3 = '
(10)
Рассмотрим отдельно случаи —1 < у < 0, у = —1, у < —1, которые во многом аналогичны симметричным положительным интервалам, но также имеют свои особенности.
Замечание. В случаях | —у| ^ 1 рассматриваем Н как пространство вещественнозначных функций y¿ = y(xi), заданных на сетке Uh и удовлетворяющих условию уо = 0, со скалярным произведением и нормой
JV-1
(y,v]= ^2ytvth + 0,5yNvNh, \\у\] = у/(у, у]. ¿=i
Случай — 1 < 7 < 0. Исследуем свойства спектра при — 1 < у < 0.
Лемма 3. При — 1 < у < 0 собственные значения являются положительными и образуют возрастающую последовательность
0 < А0 < . . . < A2fc_3 < \2k-2 < ^2к-1 < ^2к < • • • < Адг_1.
Система собственных функций (10) составляет базис в Н.
Доказательство. Так как в случае — 1 < у < 0 параметр <р является вещественным числом, то из (9) очевидно, что все собственные значения положительны. Последовательность собственных значений (9) возрастает, если справедливы следующие неравенства:
4.2 4.2 ( 7г(к + 0,5) у \ 4 . 2 (
Ao=/^Sm ЬлГ]' = (—--2ÑJ> X2k=V*m (
1) ^2к-1 - ^2к-2 > 0; 2) А2к — ^2к-1 > 0.
Докажем, что верно неравенство 1. Подставим в него выражения для собственных значений (9) и используем тригонометрические преобразования, тогда получим
4 / 1г(2к — 3) \ /2тг-аЛ
V (~Чг ) 8111 ) >
Выражения под знаком синуса положительные, так как 0 < {2ж — < 7Г, 0 < 7г(2к — 3)/Л^ < 7Г для
всех допустимых к. Следовательно, неравенство 1 доказано. Неравенство 2 доказывается аналогично. Таким образом, все собственные значения (9) являются различными, следовательно, система функций (10) образует базис в Н.
Случай 7 = — 1. При 7 = — 1 получим собственные значения и соответствующие им собственные функции, подставив явное значение (р = агссоэ | —1| = 0 в (9) и (10):
у) = 81П ]) , у) = 8111 I -—-] ) , ] = 1, N. (12)
Лемма 4. Собственные значения оператора (5) при у = — 1 расположены в возрастающем порядке: 0 < А0 < ... < ^2к-1 = А2к < ^2к+1 = ^2к+2 < ■ ■ ■ < \n-i-
Доказательство. Из вида выражений для собственных значений (11) легко увидеть, что собственные значения при всех к больше нуля. Равенства \2k-1 = Мк очевидны. Неравенства ^2к+1 ~ Мк > 0 доказываются аналогично лемме 3.
Из леммы 4 следует, что в случае 7 = —1, в отличие от 7 = 1, не существует собственного значения, равного нулю. При четном N все собственные значения являются кратными с алгебраической кратностью 2, в противном случае при к = N — 1 одно собственное значение простое, остальные кратные. Получаем, что собственные функции, соответствующие \2k-1 и Мк, линейно зависимы, следовательно, система собственных функций базис не образует. Этот случай является особым, так же как и 7 = 1.
По аналогии со случаем 7=1 (см. [1]) пополним систему собственных функций (12) до базиса присоединенными функциями. Рассмотрим задачу для присоединенных функций оператора (5) при 7=-1:
_ 2
- Хг^ = ру^, ] = 2Г0 = 0, --(гх,о + %,лг) - А^дг = рум- (13)
Лемма 5. Решением задачи (13) являются сеточные функции
N
z¡ = XjCOB[^^L) (14)
при р = рк = 2/hsm(Tr(2k + 1) /N).
Доказательство. Равенства (14) проверим непосредственной подстановкой в уравнения (13). Для функций Zj при j = 1, N — 1 имеем
4 . о тг(2к + 1) тг(2к + l)j 2 . тг(2А;+1) . тг(2k + l)j
— Zrr i = ТТГХп sin - COS--b "Г sin - sin -,
//-' ' 2 N N h N N
что равно A Zj + pyj. Далее, при j = N удг = 0, тогда уравнение (13) запишем как 2h~1(zX)o + zX)n) + + \zj\f = 0 и подставим в него выражения для Zj. Получим
2 2 4 7г (к + 0 5) j¿(zx,o + %,jv) = j^(cosir(2k + 1 )h - 1) = sin2-N =
Следовательно, уравнения (13) верны и для j = N.
Теперь составим систему собственных и присоединенных функций такую, что ц^2^ = у^2к\
^(2k-i) _ z(2k-i) ^ и докажем ее базисность в пространстве Н. Рассмотрим оператор А*, определенный по правилу
_ 2
{A*v)i = -vXX)i, i = l,N-l, (A*v) N = -vX)N, v0 = -vN. (15)
Лемма 6. Оператор А* является сопряженным оператору (5) при у = — 1 в смысле скалярного произведения (3).
Доказательство. Доказательство следует из определений и второй разностной формулы Грина.
Задача на собственные значения для оператора (15) имеет вид
+ = О, ¡ = Vo = -VN, -(иг,дг) = Аидг. (16)
Уравнения для поиска присоединенных функций записывается следующим образом:
-Zxx¿ - \zj =-pvj, j = l,N-l, z0 = -zN, -zS)N - \zN = pvN. (17)
Лемма 7. Оператор А* имеет те же собственные значения, что и оператор (5) при у = — 1. Собственные и присоединенные функции оператора (15) имеют вид соответственно t>(2fc_1) (®¿) = = 4cos(7r(2k + 1 )x¡), (a;¿) = 4(1 — a;¿) sin(7r(2A; + 1 )x¡), так что при p = pk = 2h~l sin ir(2k + 1 )h выполнены равенства
A*v^k-l\xl) = \kv^l\xl), (18)
A*v^k\xl) = \kv^k\xl)+pkv^k+l\xl), k = i = l,N-l.
Доказательство. Доказательство проводится аналогично лемме 5.
Далее, докажем лемму о биортонормированности систем собственных и присоединенных функций
Лемма 8. Системы функций и {t^/j}^1 биортонормированы, так что \/k,l выпол-
нено vС) = 5k¡.
Доказательство. Доказательство следует из взаимной сопряженности операторов А ж А* и определения биортогональности функций. Проводится непосредственная подстановка формул для входящих в выражения функций и вычисление скалярного произведения.
Из свойства биортонормированности систем функций {д^'}^)1 и {t^''}^1 следует их базисность в пространстве Н.
Лемма 9. Системы собственных и присоединенных функций и {t^/j}^1 составляют
базис в пространстве Н.
Доказательство. Покажем линейную независимость системы {д^'}^)1 в Н. Предположим, что найдутся числа akl такие, что выполнено равенство
«0Д(0) (X) + 0¿1¡1(1) (ж) + . . . + Oik¡l(k) (ж) + . . . + 0¿N-i¡l(N~l) (ж) = 0.
Домножим его скалярно на v^ (ж) и учтем свойство биортонормированности. Тогда получим, что o¿k = 0 при к = О, ÍV — 1. Это означает, что функции {д^'}^)1 линейно независимы. Базисность системы {wf/jl^Q1 доказывается аналогично.
Случай у < — 1. При у < — 1 собственные значения равны
4 . 2 (<р-п\ 4 . 2 {тг(к + 0,5) ср\ 4 . 2 firjk- 0,5) , у \
(19)
где íp = i ln a, a = | —y| + у/y2 — 1, к = 1,..., то, m = (N — 1)/2 в случае нечетного N, m = N/2 — 1 в случае четного iV, собственные функции оператора (5) имеют вид
По аналогии с леммой 2 доказывается
Лемма 10. При у < — 1 в случае четного N не существует вещественных собственных значений, при нечетном N существует одно вещественное собственное значение \(n-i)/2- Остальные собственные значения — комплексно-сопряженные \2k-1 = Re Mk-i — ¿ImA2fc_i, A2k = Re Mk + + i Im \2k, где
Re \2k-i = Re A2fc = 2h~2 (l - cos (2тг(к ± 0,5)h) ch(ln ah)) ,
Im \2k-i = Im \2k = 2h~2 sin (2тг(к ± 0,5)h) sh(ln ah).
Пусть Ък = Re A2fc_i = ReA2&. Последовательность bк является возрастающей. Система собственных функций (20) образует базис в пространстве Н.
Изучим вопрос о положительности вещественных частей собственных значений (19). Лемма 11. При у < — 1 Ьк > 0 при любых к, если
7 > — ch
г
— — arccos
h V cos irh
(21)
Доказательство. Рассмотрим минимальную из вещественных частей собственных значений (19) Re Ао = 2h~2 (1 — cos (irh) cos (<ph)). Выясним, при каких значениях параметра 7 Re Ао > 0:
2 1
— (1 — cos (nh) cos ((ph)) > 0, или ip > — arccos
h2 ' h \cos(irh)
Подставим cp = Una, a= I7I + л/y2 — 1 и решим неравенство относительно у, получим
I7I < ch
г ( 1
— — arccos
h \cos(irh)
Учитывая, что у < —1, и раскрывая знак модуля, имеем Re Ао > 0, и следовательно, вещественные части всех собственных значений (19) положительны при у > — ch [—¿/г-1 arccos (cos-1 (vr/г))].
Замечание. Заметим, что предел выражения lim ch \—ih~1 arccos (cos-1 (тгh))] равен ch7r.
/г-Я)
3. Необходимое условие устойчивости. Для самосопряженного положительного оператора D \ Н —т- Н определим ||y||ö = у/(Dy, у). Будем говорить, что разностная схема (2) устойчива в пространстве Hp, если при любом уп £ Н для решения задачи (2) справедливо неравенство
\\Уп+Л\в ^ \\Уп\\о, п = 0,1,----
Теорема 1. Для устойчивости разностной схемы (2) в каком-либо пространстве Но необходимо, чтобы
(2а- l)r + 2min^-^f ^ 0, (22)
к
где Хк — собственные значения оператора (5), а соответственно ReA& — вещественные части Хк, к = 1, 2,..., т.
Доказательство. Для устойчивости разностной схемы в пространстве Но необходимо, чтобы собственные значения оператора перехода схемы (2) были по модулю меньше или равны 1. Оператор перехода S = Е — тВ~1 А = Е — т(Е + сттА)~1 А, тогда собственные значения оператора S равны Sk = 1 — т\к(1 + ит\к)~1 ■ Следовательно, необходимое условие имеет вид
|1 - (1 - а)т\к\ ^ |1 + от А
к I
Возведя обе части неравенства в квадрат, получим (22).
Следствие 1. Если а ^ 0,5 и у > 1 или а ^ 0,5 и у < — ch [—¿/г-1 arccos (cos-1 (vr/г))], mo схема (2) абсолютно неустойчива.
Доказательство. При а ^ 0,5 первое слагаемое неравенства (22) (2а — 1 )т ^ 0. По лемме 2 и лемме 7 неравенства 7 > 1 и 7 < - ch [—¿/г-1 arccos (cos-1 (vr/г))] означают, что существует номер к, при котором Re А^ < 0. Следовательно, необходимое условие (22) не выполняется для всех допустимых к и схема (2) является неустойчивой.
Следствие 2. При | —у| ^ 1 условие (22) преобразуется к следующему.
1 h2
а>---. 23
^ 2 4т v '
Доказательство. При |-у| ^ 1 все собственные значения — Re являются вещественными. Тогда преобразуем условие (22):
1
(2ст - 1 )г + 2min-)0.
к \к
В лемме 4 и в [5] доказано, что последовательность собственных значений возрастающая, т.е. min А^ 1
достигается при к = т. Из вида выражений для собственных значений при (7! ^ 1 получаем неравенство
1 h2 (2а - 1 )т + 2— ^ (2а - 1 )т + 2—^0, Am 4
которое путем очевидных преобразований приводится к искомому.
Следствие 3. Если у > 1, то min Re Хк \Хк\ 2 достигается при к = 0. Если у < —1, то при
к
к = т. Необходимое условие (22) принимает вид при у > 1
а при у < — 1
1 h2
О---;-71-г, 24
2 2r(cos ф1г — 1) v '
^ 1 h2 (1 + cos irh cos tph) ^ 2 2r(cos(fh — cos nfi)2
Доказательство. При у > 1 по лемме 2 только Ао = Re Ао < 0, следовательно, min Re Хк | А&| 2
к
достигается при к = 0. Тогда условие (22) преобразуется к виду (2а— 1)г + 2А0 ^ 0. Подставив выражение для Ао, получим
явное
1 h2 О ^ +
2 г[(7+У73Т)/г/2_(7+у^ТЗТ)-/г/2]2-
С использованием тригонометрических преобразований это неравенство приводится к условию (24). Доказательство для у < — 1 проводится аналогично.
4. Критерий устойчивости разностной схемы (2) в Ни при (7! > 1. Пусть ¡1 — матрица порядка N, столбцами которой являются нормированные собственные векторы оператора (5). Матрица ¡1 невырожденная, так как система собственных функций образует базис при (7! > 1.
Рассмотрим матрицу ¡1 как линейный оператор, действующий из Н в Н. Матрица оператора д*, сопряженного в смысле скалярного произведения (3), определяется как ¡1* = И-1 ¡1Т И, где Д = diag(rl, г 2, • • •, гм), г г = ^ Для ¿ = 1,2,...,^ — 1игдг = 0,5/1. Зададим эрмитовый положительный в Н оператор
Д = (26)
Теорема 2. Для того чтобы разностная схема с весами (2) была устойчивой в пространстве Ир, необходимо и достаточно, чтобы
1 1 . Re Хк
а >---тш-27
2 г к |А,|2
Доказательство. Условие (27) необходимо для устойчивости схемы (2) в любой норме. Докажем достаточность.
Матрица ¡1 — матрица, столбцами которой являются собственные векторы матрицы А оператора (5). Тогда Ац = дЛ, где Л — диагональная матрица, на главной диагонали которой расположены собственные значения Хк матрицы А. При этом А = дЛд-1, следовательно, матрица перехода 5 = Е — тВ~1 дАд-1 = ¡1(Е — тВ~1К)11~1, т.е. матрица перехода 5 подобна диагональной матрице 5' = Е — т(Е + <7гЛ)-1Л, на главной диагонали которой расположены собственные значения вк = (1 — (1 — а)тХк)/(1 + атХк), к = 1,..., /V, матрицы 5.
Запишем уравнение (4) в виде уп+ \ = 5у„, тогда уп+ \ = или = 5'и„, и„ =
Отсюда и из (27) следует, что (й^) ^ 1. Тогда в силу диагональности матрицы 5' получаем, что ||г>„_1_1|| ^ |К|| или ||д_1?/„_|_11| ^ ||д_1?/„||. Это неравенство и означает устойчивость схемы (2) в пространстве Ир, где I? определен согласно (26). Теорема доказана.
5. Заключение. Таким образом, в настоящей работе получены следующие основные результаты. В случае | —у| > 1 возникают комплексно-сопряженные собственные значения, в отличие от случая I7I ^ 1. Собственные функции образуют базис в пространстве сеточных функций Н, если (7! ф 1. Разностная схема (2) устойчива в пространстве Ни при значениях параметра
7 G [— ch [—¿/г-1 arccos (cos-1 (vr/г))] , —1)
и выполнении условия (27). В остальных случаях при | —у| > 1 доказана неустойчивость схемы (2).
При 7 = — 1 собственные функции не образуют базиса в вещественном пространстве. Этот случай аналогичен случаю 7=1, рассмотренному в работах [1] и [5]. Система собственных функций дополняется до базиса присоединенными функциями.
Следует отметить некоторую несимметричность результатов для 7 > 0 и 7 < 0, которая проявляется при смещении интервала устойчивости в случае |-у| > 1 и в том, что при 7 = — 1 не возникает собственного значения, равного нулю, в отличие от случая 7=1.
В заключение хочу выразить искреннюю благодарность профессору A.B. Гулину за постановку задачи и внимание к работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ионкин Н.И. Разностные схемы для одной неклассической задачи // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1977. № 2. С. 20-32.
2. Ионкин Н.И., Морозова В. А. Устойчивость разностных схем с нелокальными граничными условиями // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2000. № 3. С. 19-23.
3. Гулин A.B., Морозова В. А. Об устойчивости нелокальной разностной краевой задачи // Диф. ур-ния. 2003. 39. № 7. С. 1-6.
4. Гулин A.B., Морозова В. А. Об одной нелокальной разностной краевой задаче // Прикладная математика и информатика. М.: МАКС Пресс, 2002. С. 80-88.
5. Гулин A.B., Ионкин Н.И., Морозова В.А. К теории устойчивости нелокальных разностных задач. М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2006.
Поступила в редакцию 13.11.06
УДК 519.6
Х. Д. Икрамов
О КОНЕЧНОМ РАЦИОНАЛЬНОМ КРИТЕРИИ НЕПРИВОДИМОСТИ МАТРИЦ
(кафедра общей математики факультета ВМиК, e-mail: [email protected])
1. Согласно определению, данному в [1], матрица A G М„(С) называется неприводимой (irreducible), если единственными ортопроекторами, перестановочными с А, являются нулевая и единичная матрицы.
Известно, что если А, В Е Мп(С) перестановочны, то всякое собственное подпространство одной из матриц является инвариантным подпространством для другой (см., например, [2, задача 6.3.14]). На этом факте основан критерий неприводимости, предложенный в [1].
Пусть (т(-) обозначает спектр соответствующей матрицы. Обозначим через Ai,...,Am все различные собственные значения матрицы А. Если проектор Р перестановочен с А, то его сужение на подпространство ker(A — А¿/) обозначим через P¿ (1 ^ i ^ то).
