Двумерная неоднородная разностная схема повышенного порядка точности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 2, № 5, 1997

ДВУМЕРНАЯ НЕОДНОРОДНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ *

Е. Г. Быкова

Красноярский государственный технический университет, Россия В. В. ШАйдуров Институт вычислительного моделирования СО РАН Красноярск, Россия e-mail: lena@ccin.krascience.rssi.ru

The paper deals with the construction and justification of an inhomogeneous difference scheme with the improved order of magnitude for a two-dimensional elliptic equation. The heterogeneity of the scheme is connected with the periodic alternation of the difference operator pattern. At some nodes there is a nine-point pattern and in the rest there is a standard five-point pattern. The general idea of such a construction is illustrated as well as the justification principle of the improved accuracy of its solution. Numerical examples confirm the theoretical conclusion of the fourth accuracy order of the approximated solution in spite of the second order of approximation in each of the difference equations.

1. Введение

Настоящая работа продолжает цикл статей, посвященных построению и обоснованию неоднородных разностных схем повышенного порядка точности. Здесь рассматривается двумерная краевая задача Дирихле для уравнения эллиптического типа на прямоугольнике. Основная идея построения такой схемы аналогична [1], где она изложена для обыкновенного дифференциального уравнения, но увеличение размерности усложнило как саму схему, так и доказательство ее точности. Тем не менее для построенной схемы доказан четвертый порядок точности в равномерной норме, что подтвержденно численными примерами.

Как и в одномерном случае, разностная схема аналогична по структуре системе метода экстраполированных уравнений У. Рюде [2] для конечных элементов. Но доказательство точности построенной схемы отличается от обоснования метода У. Рюде, основанного на минимизации функционала.

Напомним, что стандартный разностный метод второго порядка точности на прямоугольнике приводит к системе линейных алгебраических уравнений с пятидиагональной матрицей при соответствующем упорядочении неизвестных. Построенная схема приводит к системе уравнений с девятидиагональной матрицей, сохраняющей основные свойства: положительную определенность, симметрию и положительную обратимость.

* Работа выполнена при финансовой поддержке фонда Фольксвагена (Volkswagenstiftung, Deutschland).

© Е. Г. Быкова, В. В. Шайдуров, 1997.

Напомним также, что термин “неоднородная схема"возник из-за разных правил построения сеточных уравнений в соседних узлах в отличие от однородных схем [3], когда правило построения одинаково для всех узлов сетки.

2. Краевая задача и ее неоднородная разностная аппроксимация

Пусть П — единичный квадрат (0,1) х (0,1) с границей . Рассмотрим задачу Дирихле

—Ди + йи = / в П, (1)

и = д на (2)

с достаточно гладкими заданными функциями

й,/ € С4(П)^ (3)

й > 0 на П. (4)

Эти условия обеспечивают однозначную разрешимость задачи. Предположим достаточную гладкость решения:

и € С6 (П). (5)

Для разностной аппроксимации задачи (1) - (2) построим равномерную разностную сетку

йн = = (Жг, Уз) : X = гЛ, у = 3Л, г = 0,1, ... , п, 3 = 0,1, ..., п }

с шагом Л = 1/п и четным п > 4. Введем также множество внутренних узлов

йн = € йн : г = 1, 2, ... , п — 1, 3 = 1, 2, ... , п — 1}

и разобьем его на множества узлов только с четными, только с нечетными индексами и с индексами разной четности (первый индекс четный, а второй нечетный или первый индекс нечетный, а второй четный):

йоо = {¿г,з € йн : г = 0, 2, ... , п, 3 = 0, 2,... , п }, йоо = йоо \ ,

йц = {гг,з € йн : г = 1, 3, ...,п — 1, 3 = 1, 3, ...,п — 1},

йо1 = {гг,з € йн : г = 0, 2, ... , п, 3 = 1, 3, ..., п — 1 }, йо1 = йо1 \ ,

й1о = йн \ (йоо и йц и йо1^ й1о = й1о \ .

Стандартная конечно-разностная аппроксимация уравнения (1) состоит в замене вторых производных по х и по у на вторые центральные разности

иХХ(Ж У) = (и(х — Л,У) — 2u(x, У) + и(х + Л

(Х у) = (м(Х У - - 2м(Х у) + м(Х У + ^))/^2

(6)

В итоге получается сеточная задача

= / на

, _ (7)

м = д на 7^ = П ^,

с разностным оператором

н

Путем разложения решения и в ряд Тейлора устанавливается второй порядок аппроксимации [3], а на основании разностного принципа максимума [3] доказывается устойчивость решения в сеточной норме

1Ми,^ = тах Нг)|.

В совокупности это дает сходимость приближенного решения мн задачи (7) к точному решению и задачи (1) - (2) со вторым порядком точности:

||мн — и||те^ < с^НиН^д, 1 (9)

где использовано обозначение

дг+з и

І II (к)

«II о

1 "<^,П

Е

0<і+]<к

джгду-

<^,П

с целым к > 0 и

ІНЦп = ^Р Мп

Для построения схемы четвертого порядка введем оператор с удвоенным шагом

Ь2н^(ж, у) = — (у(х- 2Л,, у)+г>(я, у — 2Л,)- 4у(х, у)+,у(ж+2Л,, у)+г>(я, у+ 2Л,))/4Л,2+^(ж, у)^(ж, у)

только в четных узлах й00 •

Во введенных обозначениях рассмотрим разностную задачу

Ьнмн = / на \ ^оо, (10)

Ьнмн - Ь2нмн = 0 на й00, (11)

мн = д на 7н. (12)

Эта сеточная задача, как и (7), содержит (п + 1)2 неизвестных и (п + 1)2 уравнений. В четных узлах получается девятиточечный шаблон (рис. 1, б), а в остальных узлах схема имеет обычный пятиточечный шаблон (рис. 1, а).

Для функций, заданных на П, применим обозначение

^ = а(жі,у,-) = а(гй, і'й).

В уравнениях (10) - (11) исключим краевые значения (12). Оставшиеся неизвестные и уравнения занумеруем от 1 до (п - 1)2 в лексикографическом порядке, определяемом внутренними узлами £ц, ¿12, ... , ¿1п-1, ¿21, ... , гга_1га-1. В итоге получается система линейных алгебраических уравнений с симметричной разреженной матрицей Ан:

фттН

1 Здесь и далее мы будем обозначать символом с с целыми индексами г различные константы, не

зависящие от х и к.

а

~ h2

1

h2

t2 + d

- 1

h2

1 1 Ah2 h2 —I— Ah2 ° 1 h2 1 1 h2 Ah

3 1 1

h2

1

h2

1 /1 u1

Рис. 1. Шаблоны неоднородной разностной схемы в четных (б) и остальных (а) узлах.

В качестве примера на рис. 2 приведена структура ненулевых элементов матрицы Ah для шага h = 1/8.

В теоретических целях нам будет полезно записать систему (10)-(12) также в векторном виде. Для этого занумеруем неизвестные и уравнения от 1 до (n + 1)2 в лексикографическом порядке, определяемом узлами z00, z0i, ..., z0n, zi0, ..., znn. В итоге получается система линейных алгебраических уравнений с матрицей Bh:

BhVh = Gh. (14)

3. Устойчивость и разрешимость сеточной задачи

Докажем, что матрица системы (13) является положительно определенной.

Теорема 1. При выполнении условия (4) матрица Лк системы (13) положительно определена.

Доказательство. Левую часть каждого из уравнений (10) и (11) умножим на Ник (г) с соответствующим г и просуммируем по всем г Е шк:

к ^ ик(г)Ькик(г) - Н ^ ик(г)Ь'2кик(г). (15)

гб^Н ¿6^00

Положим ик = 0 на 7к и для полученного выражения применим разностный аналог первой формулы Грина [3], перейдя к индексной форме записи:

п п— 1

Н XI ик (г )ЬН ик (г) = Н ^2 [(и*3 - и*—М)2 + (ик1 - “м —1)2] + Н X (ик )2 ’ (16)

г,3=1 г,3=1

i п/2

2h uk (z )L2H UH [(U2¿,2j — U2i-2,2j )2 + (u2i,2j — U2i,2j-2 +

z€w 00 i ,j=1

Рис. 2. Структура ненулевых элементов матрицы А1/8. ЗнакШ означает положительный элемент, знакЕ —отрицательный, их отсутствие — нулевой элемент.

п/2—1

+ 2Н X/ ^2г,23 (и2г,23)2- (17)

¿,3=1

Для вещественных чисел а,Ь справедливо неравенство а2 + Ь2 > (а + Ь)2/2, из которого следует, что

(и2г,23 — и2г—1,23) + (и2г,23 — и2г,23—1) + (и2г—1,23 — и2г—2,23) + (и2г,23—1 — и2г,23—2) —

— 2 [(и2г,23 — и2г—2,23) + (и2г,23 — и2г,23—2) ] • (18)

С учетом этого неравенства выражение (15) оценивается снизу величиной

„ п п—1 п/2

4Н X/ [(иг,3 - иг—1,3)2 + (иг,3 - иг,3—1)^ + Н X/ ^¿,3(иг,3)2 - Н X/ ^¿,23(и2г,23)2. (19)

¿,3=1 ¿,3=1 ¿,3=1

Сумма Н£пп/=1 ^¿,3(иг1,)2 содержит все слагаемые к ^¿,2?(и^23)2- Поэтому разность

п/2 п/2

Н ^ ; ^¿,3 (иг,3) — Н ^ у d2¿,23 (и2¿,23)

¿,3=1 ¿,3=1

неотрицательна. Первая сумма в (19) оценивается снизу с помощью неравенства [3]

16н2 ^ (и2,3)2 — ^ [(<3 — и2_1,3)2 + (и2,3 - и2,3—1)^ , (20)

¿,3=1 ¿,3=1

п

п

О

являющегося аналогом вложения норм из (П) в ¿2(П). В итоге выражение (19) оценивается снизу величиной

П— 1

12к£ (<“ )2 = 12к£ («'“И)2. (21)

¿,3=1

Сопоставляя ее с (15), приходим к утверждению теоремы.

Симметричность и положительная определенность матрицы Лн приводят к двум полезным заключениям. Во-первых, система (13) будет иметь единственное решение пн при

любой правой части ^н, что вытекает из недопустимости нулевого собственного числа у матрицы Л^. Во-вторых, для приближенного решения системы (13) становится возможным применение множества различных прямых и итерационных методов [4].

Теперь покажем, что система (14) удовлетворяет теоремам сравнения, несмотря на то, что она не является М-матрицей. Для этого введем обозначение Он < 0 для вектора Он с компонентами С^, ] = 1, ... , (п + 1)2, означающее покомпонентное сравнение.

Теорема 2. Пусть выполнено условие (4) и шаг к достаточно мал:

к < 2/(5|Нил). (22)

Тогда для системы (14) из > 0 следует Vн > 0.

Доказательство. Для стандартного использования результатов об М-матрицах необходимо, чтобы диагональные элементы были положительные, а внедиагональные

— неотрицательные. Для уравнений в узлах шц, ш10 и ш01 это условие выполнено, а для уравнений в узлах ш00 — нет (см. рис. 2). Поэтому несколько преобразуем систему (14) или, что то же самое, систему (10) - (12), чтобы избавиться от положительных внедиаго-нальных элементов в узлах ш00. Для этого к каждому уравнению, соответствующему (ж, у) € ш00, прибавим четыре уравнения, соответствующих узлам (ж ± к, у ± к) € ш11, с весом а и четыре уравнения, соответствующих узлам (ж ± к, у) € ш10, (ж, у ± к) € ш01, с весом Ь. В результате в узле (ж, у) € ш00 получается уравнение с шаблоном, изображенным на рис. 3, в котором

3 4Ь

91 к2 к2’

1 , /4 Д 2а

92 = "к2 + + V - к2'

(4 Д 2Ь

93 = а + у - к2 ' (23)

1 ь

94 4к2 к2:

а

95

к2

Попробуем подобрать веса а, Ь так, чтобы в полученном после преобразования уравнении диагональный элемент был положительным, а внедиагональные — неотрицательными. Это будет выполняться, если

91 > 0, #2 < 0, #з < 0, ^4 < 0, #5 < 0, (24)

э; я я

& ?г . Я3+ 35+

2

?4 ?2 9, д2| £74|

9, 93 + Ь + 3 - 92 З3+ Я

я я Я

Рис. 3. 21-точечный шаблон уравнения в узле (ж, у) Є <^оо после преобразования.

что дает задачу теории линейного программирования об определении допустимого состояния. Пусть для шага Н выполняется условие (22). Тогда задача (24) имеет непустое множество допустимых значений, из которого мы возьмем

а = 1/20, Ь = 1/4. (25)

В итоге получаются следующие коэффициенты шаблона на рис. 3:

2 1 d 91 - Н, 92 - - ЮН + 4 ’

3 ^ А 1

9з - -^Т77 + ™, 94 - 0, 95 -

10Н2 20

20Н2

Легко проверить, что при условии (22) мы приходим к неравенствам (24). Таким образом,

вместо (14) получаем систему __ _

— (26)

ВлУк - сн

с М-матрицей В и и тем же самым решением Vи. Ввиду положительности весов а, Ь справедливо неравенство С > 0. Поэтому на основании свойств М-матрицы [3]

Vи > 0.

Теперь докажем полезную в дальнейшем априорную оценку.

Теорема 3. Пусть для задачи

Ьнун = ди на \ иоо,

Ьн ун — Ь2Н ун = ди на и00,

Vй = ди на 7Л

выполнены оценки (4) и (22). Тогда

(27)

ЬлII _ < 11 ||дл|

і \\ж_н — 48 і

Ж_н

+ 1^

1^,7 н

(28)

Доказательство. Введем функцию

ю - с3 + с4х(1 — х) на О

(29)

с константами

Отметим, что

сз = \\д

11 N н\| с4 = — II д \ | 4 12 IIу

Ьнт = Ьт = ¿т + 2с4 > 2с4 на шн, Ь2нт = Ьт = ¿т + 2с4 на ш00.

Поэтому для узлов (х,у) £ ш ъ \ ш00 имеем

Ьнт > 2с4 > ||дн\ > |д"

— ^ — \\и 11^,^^ — 1

Для граничных узлов (х,у) Є 7н также очевидно, что

т > \\д‘

> |дн

Рассмотрим сеточный оператор в узле (х,у) £ ш00, преобразованный указанному в теореме 2:

L ш — L ш + а ш(х + Н, у + Н) + ^ ш(х — Н,у + Н) + +£Ъш(х + Н, у — Н) + ЬЪш(х — Н,у — Н)) + Ь [ЬЪш(х, у + Н)+ +ЬЪш(х, у — Н) + ЬЪш(х + к, у) + ЬЪш(х — к, у)) >

12 11 ,, Ъ11

> 8ас4 + 8Ьс4 = — с4 > — IIо У >

— 4 4 5 4 — 5 —

> \дн + а [дЪ(х + Н,у + Н) + о71 (х — Н,у + Н) +

+дЪ(х + Н, у — Н) + дЪ (х — Н, у — Н)) +Ь (дЪ (х, у + Н)+

+дЪ(х, у — Н) + дЪ (х + Н, у) + дЪ (х — Н, у)) | .

Введем векторы УЪ и Ж71 с компонентами

гЪ, Г„,ЪТга+1 тл/Ъ

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

по правилу,

(35)

У‘ = Ш^о

Ж“ = 0%}“«

упорядоченными, как в системе (14). Тогда из неравенств

(33) - (35) следует, что

БНШн > БНУн,

то

есть БН — Ун) > 0.

Из свойств М-матриц вытекает, что

— Ун > 0, то есть т > ьп на шн.

Аналогично из (33) - (35) следует, что

т > —V на шн.

Поэтому

1у | < ш на шЪ.

В левой части возьмем максимум по Шъ, а в правой — по П.

||«Ъ II _ < Сз + С4/4,

II — 3 4/ ’

В итоге получаем

что равносильно (28).

4. Сходимость неоднородной разностной схемы

Теорема 4. Пусть п,пн —решения задач (1) - (2) и (10)-(12) соответственно и выполнены условия (3)-(5). Тогда

11« - ин\\^рк < о5к4. (37)

Доказательство. Установим более тонкую структуру погрешности. Докажем, что ре-

шение п0 представимо в виде

.о

и = п + К4р0 на ш11,

п0 = п + и>о1К4 + К4р0 на Шо1 и Шщ, п0 = п + ^ооК4 + 1-4р^ на Щ0^, д 4п

где функции Ш01 = -^М, Щю = -^М, М = д-і + ^

не зависят от К, а остаточный член р0 ограничен следующим образом:

||р0|| _ < е6.

ІК Иго _ь — 6

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

В выражении (6) применим разложение в ряд Тейлора из точек (х ± К, у) и (х,у ± К) в узел (х, у). Далее будем опускать аргумент (х,у) там, где это не вызывает недоразумений:

д2п К2 д4п 4 0

п°° = —о + —7 + К Міх,

хх дх2 12 дх4

д2п К2 д4п 4 0

ау +12 ау + К М‘>'

(43)

п° °

УУ

здесь

Іміхі <

360

д6п

1

360

дх6 5 6п

ду6

на Ші,

на Ші.

(44)

С учетом разложений (38), (40) и (43) для нечетных узлов ш11 получаем

Ьнпн = Ькп + к4Ьнрн - к2(щл(ж + к,у) +

+^(х - к, у) + 'ш0\{х,у + к) + 'ш0\{х,у - к)). (45)

Для функции и>01 используем разложение в ряд Тейлора из точек (х ± к, у) и (х, у ± к) в

узел (х,у):

^01 (х + к, у) + т01(х - к, у) + и>01(х, у + к) + и>01(х, у - к) = 4и>01 + 2к2^, (46)

где с учетом (41) имеем

2 |М011 <

д2Шо1 + д 2Шо1

дх2 2 ;у

І II(6)

п|| о-

1 "<^Д2

Учитывая разложения (43), (46) в (45), получаем равенство

Ь0 п0 = (-Ап + ¿п) — м — К4(м0х + М°У) + К4Ь0р0 — 4К2ш01 — 2К4м01

К2

4 і і

-.4 т і _!

12

1

1

На основании уравнений (1), (10) и определений (41) происходит сокращение слагаемых порядка 1 и К2. Разделим оставшиеся слагаемые на К4. В результате приходим к равенству

Ь0 р0 = м°х + М0у + 2м°1 на Ши. (48)

Подстановка разложений (39), (40), (46) в сеточный оператор (11) для четных узлов шоо дает следующее соотношение:

Ь0п0 — Ь20п0 = Ь0п — Ь20п + К4(Ь0р0 — Ь20р0) +

(49)

+К (4^оо/К + ¿'Шоо^ — 4К 'Шо1 — 2К Мо1•

В четных узлах тоо справедливы разложения, аналогичные (43), но с удвоенным шагом, что дает

К2 ~3

где

L2hu = (—Au + du) —— м — h4(^2x + м2У), (50)

I М‘2x 1 — л г l^2xl - 45

д 6u

_ , 1^2У I - 45

го,П 45

d6u

ду6

_ на ^оо. (51)

дх6

Учитывая (50) в (49), получаем равенство

Lhuh — L2huh = h4(Lh ph — L2hph) + 4h2Woo + dwooh4 — 4h2Woi — 2^^ — h2 h2

—12м — h4^hx— hVhy + “зм + hVhx + hVi •

Снова на основании уравнений (1), (10) и определений (41) происходит сокращение слагаемых порядка 1 и К2. На этот раз сокращение слагаемых порядка К2 произошло за счет правильного выбора множителя при Ь20п0. Оставшиеся слагаемые после деления на К4 дают равенство

Ь0р0 — Ь20р0 = м°х + М0у — М°х — Моу — ¿^оо на Шоо- (52)

Подстановка разложений (38), (39), (40) в сеточный оператор (10) для узлов с переменной четностью индексов /ш1о дает соотношение

-і„.і_гі». , Мг і> . (4™о1 , \ ™оо(х + К,у) ^оо(х — К,у)

LV1 = ^u + h4Lhph + h4 ^+ dwoij — ии^2 *' — ^ h2 ' J • (53)

Для функции woo используем разложение в ряд Тейлора из точек (х ± h,y) в узел (х,у) аналогично (46), (47). В результате получаем

woo(x + h, у) + woo(х — h, у) = 2woo(x,y) + h2^(х,у), (54)

где с учетом (41) имеем

I^m! — _ l|u|(6^ • (55)

^oo I — g И иго,П v J

Учитывая разложения (43), (54) в (53), получаем равенство

h2

Lhuh = (—Au + du) — — М + h4Lh ph + 4h2woi +

+к dwol — 2к ^00 — к — к р\у — к ^00*

Снова на основании уравнений (1), (10) и определений (41) происходит сокращение слагаемых порядка 1 и к2. В результате после деления на к4 приходим к равенству

Ь°р° = —dwol + р°х + р0у + р°0 на Шю* (56)

Аналогично для узлов другой группы переменной четности ш01 получаем равенство

Ь°р° = —dwol + р°х + р°у + р°0 на Ш01 (57)

с такой же оценкой (55) остаточного члена р°0.

Учитывая (39), (40), (48), (52), (56) и (57), получаем для р° задачу

Ь°р° = £0 на ш° \ Ш00,

1°р° - Ь20р° = £° на Ш00, (58)

р° = -Ш01 на 7° П (Ш01 и Шю),

ph — -^оо на 7^ П Wqq

с правой частью

£° = р°х + р°у + 2р°1 на

£° = — ^01 + Р°х + Р°у + Р°0 на Ш01 и ш10,

£° = Р°х + Р°у — Р°х — Р°у — ^00 на ш00*

Благодаря оценкам (44), (47), (51), (55), ограниченности функций d и р из (41) справедливо неравенство

|£°| < с7 на ш°* (59)

Привлечем априорную оценку из теоремы 3. Тогда с учетом (41)

1Ии№ < 11 пи, + Б 1И1-», * (60)

Принимая во внимание оценку (59), получаем (42) с константой

С6 = 11ст/48+ /12*

Из представления (38) - (40) вытекает, что

11« - п°Щ^ < к4 (||р0Щ^ + Н^Н^.п +

С учетом (60) это доказывает оценку (37).

5. Численные примеры

По аналогии с работой [1] применим построенный метод для двух задач вида (1)-(2) с улучшенной гладкостью и с осциллирующим решением. Первая задача имеет вид

-Аи = 2 cos (y) v(1 - v)cos (y) +(1 - x) sin (y) ny(1 - V) cos (Y) -

-x sin (■y) ny(l - y) cos (■у) + 2x(1 - x) cos (^) n2y(! - y) cos (y) +

/nx\ (ny\ , (nx\ fny\

+2x(1 - x) cos J co^yJ + x(1 - x) cos ^—J (l - y) sm )

— x) cos | -r- I cos | — j + x(1 — x) cos 1(1 — y) sin | — I n—

ч (nx \ . (ny\

—x(1 — x) cos ( — )y sin ( —- In на

u = 0 на . (61)

Ее точное решение

u(x, y) = x(1 — x) cos (Пт) y(1 — y) co^у ) •

Вторая задача имеет вид

—Au = —32c(1 — x)y(1 — y) + 512sx(1 — x)y(1 — y) + 32cxy(1 — y)+

+2sy(1 — y) — 32cx(1 — x)(1 — y) + 32cx(1 — x)y + 2sx(1 — x) на П,

u = 0 на , (62)

где использованы обозначения s = sin(16x + 16y) и c = cos(16x + 16y). Ee точное решение

u(x, y) = sin(16x + 16y)x(1 — x)y(1 — y).

В табл. 1, 2 приведены погрешности $2 = ||u — uh||^^h и ^ = ||u — uh||2^h =

l2\1/2

(2 \ 1/2

(и(^) — «^(¿О) ) решений обеих задач стандартным методом (7) второго порядка точности и предложенным методом (10)-(12) четвертого порядка.

Таблица 1

Погрешность приближенных решений задачи с улучшенной гладкостью

Задача I

№ метод (7) метод (10) - (12)

2, uh то, uh 2, то, uh

4 ОО о - о 00 l l 2.2410 - 03 6.7310 - 04 2.2010 - 03

8 2.92io - 04 4 О - о l l 6. 4.30io - 05 4 0 - О .6 г-Ч

16 7.27io - 05 4 О - о СМ .5 l 2.6810 - 06 5 0 - О СМ .0 г-Ч

32 5 0 - 0 2i °9 1 3.82io - 05 7 0 - О 00 .6 l 6.4610 - 07

64 4.5410 - 06 9.5410 - 06 1.0610 - 08 4.0810 - 08

Таблица 2

Погрешность приближенных решений осциллирующей задачи

Задача II

№ метод (7) метод (10) - (12)

2, uh то, uh 2, uh то, uh

4 1.3810 - 01 2.7010 - 01 1.5310 - 01 3.6410 - 01

8 2 0 - 0 81 1 1 2.6710 - 02 4.7010 - 02 1.4110 - 01

16 2.4210 - 03 5.7610 - 03 2.5710 - 03 2 0 - 0 41 .0 1

32 5.7810 - 04 3 О - 0 91 .3 1 4 0 - 0 21 .4 1 6.0010 - 04

64 1.4310 - 04 3.5210 - 04 8.4510 - 06 3.6110 - 05

Эти же данные представлены на графиках (в логарифмическом масштабе по обеим осям). На рис. 4, 5 цифрами 1, 2 обозначены погрешности $1 и $2 метода (7); 3, 4 — метода (10) - (12); 5 и 6 — графики прямых с наклонами tg(<^) = 2 и tg(<^) = 4, характеризующими зависимость $ = Л,2 и $ = Л4 соответственно.

Кроме того, на рис. 6 приведен поточечный график погрешности $2 = и — пн предложенного метода (10) - (12) на сетке с шагом Л = 1/32 для задачи I.

¿1; ¿2

1.00Я- 08 1.00^7 — 06 1.00^7 — 04 1.00Я- 02 1.00Я + 00

Ж

--

-- __-3

^ — 7.7-“ —————1

— ~ ~ - — 1 " — -+5

1 1 1 ь 1 1 1 ь->

8 16 32 64

Рис. 4. Погрешность приближенных решений задачи I.

Рис. 5. Погрешность приближенных решений задачи II.

*1е — 7 2.65

1.32 0.00

-3.23

-6.46

32 о

Рис. 6. Погрешность ¿2 метода (10)-(12) при n = 32. Задача I.

Список литературы

[1] Быкова Е.Г., Шайдуров В. В. Неоднородная разностная схема повышенного порядка точности. Одномерный иллюстративный пример. Препринт №17, Вычисл. центр СО РАН, Красноярск, 1996.

[2] Rüde U. Extrapolation and Related Techniques for Solving Elliptic Equations. Preprint №I-9135, München Technical University, 1991.

[3] Самарский А. А. Теория разностных схем. Наука, М., 1977.

[4] Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. Наука, М., 1978.

Поступила в редакцию 15 января 1997 г.,